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第一篇 热点、难点突破篇
专题 09 三角函数与三角恒等变换（练）
【对点演练】
一、单选题
1．（2022·河南·民权县第一高级中学模拟预测（文））若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】由 ，可得 ，进而可得 ，代入 中即可得答案.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
2．（2022·贵州·镇远县文德民族中学校高三阶段练习（文））若函数 在区间 上
的最大值是 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】把函数化为 的二次函数,根据 求出函数的最大值,由此求得 的值.
【详解】函数由 ,得 ,所以 时,
函数在区间 上取得最大值 ,解得
故选:
3．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得， ，可得出A、B项错误；根据 ，可得出D项错误.
【详解】由已知可得， 定义域为R，且 ，所以A、B项错误；
又 ，所以 为偶函数.
又 ，所以D项错误，C项正确.
故选：C.4．（2023·全国·高三阶段练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式化简已知等式可求得 ，结合二倍角公式，由正余弦齐次式的求法可求得结果.
【详解】由 得： ，
即 ， ，
.
故选：B.
二、多选题
5．（2022·安徽·阜阳师范大学附属中学高三阶段练习）已知函数 在区间
上单调递减，将 的图像向左平移 个单位长度后得到函数 的图像，则（ ）
A． 的最小正周期为
B．
C． 图像的一个对称中心为
D．
【答案】BC
【分析】由单调性得函数的半个周期不小于区间 的长度，从而确定 的可能取值，然后代入检验
的单调性从而确定 的值，得函数解析式，可判断D，然后求出周期判断A，利用诱导公式变形判断B，代入检验确定对称中心判断C．
【详解】由题意 的周期 ，所以 ，又 ，则 ，
时， ，
时， ， 在此区间上不递减，
时， ， 在此区间上递减，
时， ， 在此区间上不递减，
时， ， 在此区间上不递减，
所以 ， ，
，D错误；
的最小正周期是 ，A错；
，B正确；
， ，所以 是 的图像的一个对称中心，C正确；
故选：BC．
6．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）已知函数 ，则下列各选项正确的是（ ）
A．函数 的图象关于直线 对称
B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上恰有4个极值点【答案】ABD
【分析】利用整体代入法求对称轴和对称中心即可判断AB选项；
利用代入检验法判断C选项；
利用正弦函数的图象确定极值点的个数，即可判断D选项.
【详解】A选项：令 ，整理得 ，令 得 ，所以 是
的一条对称轴，故A正确；
B选项：令 ，整理得 ，令 得 ，所以 是 一个
对称中心，故B正确；
C选项：当 时， ，因为 在 上单调递增，所以 在
时单调递增，故C错；
D选项：当 时， ，根据正弦函数的图象可得 在 上有4个
极值点，所以 在 上恰有4个极值点，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
7．（2022·对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）高三阶段练习）若函数
，满足对任意实数 ，有 ，则 的单调递减区间是______.
【答案】 ，
【分析】根据 得到 关于 对称，从而求出 ，求出解析式，得到递减区间.
【详解】因为 ，所以 关于 对称，，
因为 ，所以故 ，
故 ，
令 ， ，
故 ， ，
故 的单调递减区间为 ， .
故答案为： ， .
8．（2022·山东临沂·高三期中）已知 ，则 ___________.
【答案】
【分析】由诱导公式及万能公式进行求解.
【详解】由诱导公式及二倍角公式得：
，
分子分母同除以 得：
，由诱导公式可得： ，
所以 .
故答案为： .
四、解答题
9．（2023·全国·高三阶段练习）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
(2)当 时，求函数 的值域．
【答案】(1)最小正周期为 ，单调递减区间是
(2)
【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得 ，即可得周期，解
可得单调减区间；
（2）先求出 的范围，结合正弦函数的图象即可求解
【详解】（1） ，
所以 最小正周期为 ，
由 ，得单调递减区间是 ；
（2）当 时， ，
则 ，即 时， 有最小值为 ，
，即 时， 有最大值为 ，
所以此时 的值域为 ．
10．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知函数 的部分
图象如图所示.
(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函
数 的图象，若关于 的方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）结合图象和 ，求得ω的值，再根据 求得 ，即可得 的解析式；（2）
根据函数图象的变换求出 的解析式，再结合正弦函数的图象运算求解.
【详解】（1）由图可得： ，即 ，则 ，
故 ，
∵ ，即 ，则 ，
∴ ，则 ，
又∵ ，则 ，
故 .
（2）根据题意：将函数 的图象向左平移 个单位，得到
，
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数 ，
∵ ，则 ，
由题意可得：直线 与函数 有两个不同的交点，
又∵ ，则 ，
∴ ，当且仅当 ，即 时， ，故 ，
则可得： ，即 ，
故 的取值范围为 .
【冲刺提升】
2023三角函数恒等变换
一、单选题
1．（2022·河南·安阳一中模拟预测（文））函数 图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和极限的思想，即可得出答案.
【详解】解：易得函数定义域为 ，已知函数 ，
，
函数 为奇函数，排除A选项；
当 时， ， ， ，则 ，所以 ，排除C选项；
当 时， ， ， ，则 ，
所以 ，排除D选项；
故选：B.
2．（2022·陕西·汉阴县第二高级中学一模（文））设函数 的图象的一个对称中心
为 ，则 的一个最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由正切函数的对称中心得到 ， ，再对各选项逐一检验分析即可.
【详解】根据题意得 ， ，则 ，
又 ，则 ， ，
对于A，若 是 的最小正周期，则 ，得 ，与 矛盾，故A错误；
对于B，由 得 ，满足条件，故B正确；
对于C，由 得 ，与 矛盾，故C错误；
对于D，由 得 ，与 矛盾，故D错误.
故选：B.
3．（2022·江苏省镇江第一中学高三阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 ，角 满足 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据角 终边上点的坐标得到 ，根据和差公式和 得到 ，最后利用
诱导公式和二倍角公式化简 得到 即可求值.
【详解】因为角 的终边与以原点为圆心的单位圆相交于点 ，所以 ，又 ，
所以 ，整理得 ，所以 ，
.
故选：C.
4．（2022·陕西·礼泉县第二中学高三阶段练习（理））已知函数 ，下列说法错误的是
（ ）
A． 的图象的一个对称中心为
B． 的图象的一条对称轴为直线
C． 在 上单调递增D．函数 的图象向左平移 个单位长度后得到的是一个奇函数的图象
【答案】A
【分析】代入法验证A、B的正误；应用整体法求 的递增区间判断C；根据图象平移及正弦函数的性质
判断D.
【详解】对A：
∵ ，
∴ 不是 的图象的对称中心，A错误；
对B：
∵ 为最小值，
∴直线 是 的图象的对称轴，B正确；
对C：
令 ，则 ，
故 的单调递增区间为 ，
当 时， 在 上单调递增，C正确；
对D：
函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 ，是
奇函数，D正确；
故选：A.
5．（2022·天津市第二耀华中学高三阶段练习）已知函数 ，给出以下四个命题：① 的最小正周期为 ；
② 在 上的值域为 ；
③ 的图象关于点 中心对称；
④ 的图象关于直线 对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用二倍角公式、辅助角公式得到 ，再利用周期公式、正弦函数的图象与性
质进行判定.
【详解】
对于①：因为 ，所以 周期为 ，即①正确；
对于②：因为 ，所以 ，
所以 ， ，
则 的值域为 ，即②错误；对于③：因为 ，
所以 的图象不关于点 中心对称，即③错误；
对于④：因为 为 的最大值，
所以 的图象关于直线 对称，即④正确；
所以正确命题为①④，共2个正确命题.
故选：B.
6．（2022·山东临沂·高三期中）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对 变形后，只需比较 与 的大小，从而构造 ， ，求
导，得到其单调性，从而得到 ，即 ， ；在利用对数运算得到
，先构造 ， ，求导后得到单调性，求出 ，
，再构造 ， ，求导后得到单调性，从而求出
，求出 ，得到 .
【详解】要比较 的大小，只需比较 与 的大小，即 与 的大小，故可比较 与 ，当 的大小，
令 ， ，
则 ，
因为 ，所以 恒成立，
故 在 上单调递增，
故 ，
令 ，则 ，即 ，
故 ， ， ，
所以 ，
，
令 ， ，
在 上恒成立，
故 ，所以 ， ，
则 ，
构造 ， ，
在 上恒成立，
故 在 单调递减，
所以 ，故 ，故 ，
即 ，
综上： .
故选：D
【点睛】构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数
的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对 变形后，构造 ， 比
较 的大小，对 变形，先得到 ，再构造 ，
，比较出 ，得到答案.
二、多选题
7．（2022·广东·肇庆市第一中学高三阶段练习）已知向量 ，函数 ，则
（ ）
A． 的最大值为2
B．直线 是 图象的一条对称轴
C．点 是 图象的一个对称中心
D． 在 上单调递减
【答案】ACD
【分析】根据向量数量积求出 解析式，再根据三角函数正弦函数的性质进行判断即可.【详解】因为 ，所以 的最大值为2，A正确；
因为 ， ，所以B错误，C正确；
令 ， ，解得 ， ，所以 的单调递减区间为
， ，所以D正确.
故选：ACD
三、填空题
8．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）若曲线在 在 ， 两点处
的切线互相垂直，则 的最小值为________．
【答案】 ##
【分析】化简可得 ，求出导数可得切线斜率在 范围内，即可得出切线斜率必须一
个是1，一个是 ，即可求出.
【详解】 ，
曲线的切线斜率在 范围内，
又曲线在两点处的切线互相垂直，
故在 ， 两点处的切线斜率必须一个是1，一个是 .
不妨设在A点处切线的斜率为1，则有 ， ，
则可得 ，
所以 .
故答案为： .
9.（2022·广西贵港·高三阶段练习）已知函数 在区间 上有且仅有3个极值点，
给出下列四个结论，正确的序号是_______________.
① 在区间 上有且仅有3个不同的零点；
② 的最小正周期可能是 ；
③ 的取值范围是 ；
④ 在区间 上单调递增.
【答案】②④
【分析】由函数 在区间 上有且仅有3个极值点, ，即 ,可求
出 判断出 ,再利用三角函数的性质依次可判断 .
【详解】由题意可知 ，要使得函数 在区间 上有且仅有3个极值点，
只需 ，解得 ，故③错误；
又 ，故 的最小正周期可能是 ，故②正确；
当 ，即 时， 在区间 上有且仅有2个不同的零点，故①错误；由 得 ，
由 可知 ，
故 在 上单调递增，即 在区间 上单调递增，故④正确.
故答案为: ②④.
四、解答题
10．（2022·河北张家口·高三期中）已知函数 的最小正周期为 ．
(1)求 的值，并在上面提供的直角坐标系中画出函数 在区间 上的图象；
(2)函数 的图象可由函数 的图象经过怎样的变换得到？
【答案】(1) ,图象见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数 的解析式可得 ，由最小正周期为 可计算 的值；根据
解析式利用五点作图法可画出函数 在区间 上的图象；（2）根据三角函数图象平移变换规律即可
得出结果.
【详解】（1）由题意可知，即 ，所以
此时，函数 的最小正周期为 ，
所以 ，即函数 的解析式为 .
根据五点作图法列表如下：
画出图像如图所示：
（2）根据三角函数图象伸缩变换规律可知，
第一步：首先将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 的图象；
第二步：再将所得到的函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变），可得到函数
的图象.
11．（2022·湖南·慈利县第一中学高三阶段练习）已知 ．
(1)求 的单调递增区间；(2)若函数 在区间 上恰有两个零点 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，再结合三角函数性质求解，
（2）转化为 与 图象有两个交点，数形结合求解，
【详解】（1） ，
由 得 ， ，
故 的单调递增区间为
（2）令 ，当 时， ，
作函数 的图象，
数形结合可得，当 或 时， 与 有两个交点，
即 有两解，
综上，当函数 在区间 上恰有两个零点 时，
的取值范围为12．（2022·四川·盐亭中学高三阶段练习（理））已知函数 .
(1)求 的单调递增区间;
(2)当 时， 求 的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由三角恒等变换化简得 ，再解不等式 即
可求解；
（2）先求出 的范围，再结合正弦图象即可求解
【详解】（1）因为
由
解得所以函数的单调递增区间为
（2）
所以函数的值域为
