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期中复习与测试（2）（第11-13 章）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符号题目要求）
1．（2023秋·江西宜春·八年级校考阶段练习）第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相
关的图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·广东江门·八年级校考阶段练习）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）如图，四个图形中，线段 是 的
高的图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）若一个正 边形的内角和为 ，则它
的每个外角度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·山东德州·八年级校联考阶段练习）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出
的依据是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）等腰三角形的一个外角是 ，则它的顶角是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
7．（2022秋·天津宁河·八年级校考期中）如图，已知在 中， ，若沿图中虚线剪去
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图， 是 的平分线， 于P，连接
，若 的面积为 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．（2022秋·天津宁河·八年级校考期中）如图， ，根据“ ”判定 ，还需
添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·天津·八年级天津二十中校考期中）如图，在 中， ， ，
为 边上的中线， 于 ，交 于 ，过点 作 的垂线交 于 ．现有下列结论：①
；② ；③ ；④ 为 中点．其中结论正确的为（ ）A．①② B．②③ C．③④ D．①③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·天津和平·八年级校考期中）设a，b，c是 的三边长，化简：
．
12．（2023秋·河北廊坊·八年级廊坊市第四中学校考阶段练习）已知：如图所示，在 中，点 ，
， 分别为 ， ， 的中点，且 ，则阴影部分的面积为 ．
13．（2022秋·天津滨海新·八年级校考期中）如图，在 中， ， ，点 的坐
标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．
14．（2022秋·天津·八年级校考期中）如图，已知 ，点 在边 上， ，点 ，
在边 上， ，若 ，则 ．15．（2022秋·天津和平·八年级校考期中）如图， ， ， ，则 的度数
为 ．
16．（2022秋·天津宁河·八年级校考期中）如图，平面上直线 分别经过线段 两端点（数据如
图），则 相交所成的锐角是 度．
17．（2022秋·天津·八年级天津一中统考期中）如图，点 C在线段 BD上，AB⊥BD于 B，ED⊥BD于
D．∠ACE＝90°，且 AC＝5cm，CE＝6cm，点 P以 2cm/s的速度沿 A→C→E向终点 E运动，同时点 Q
以 3cm/s的速度从 E 开始，在线段 EC上往返运动（即沿 E→C→E→C→…运动），当点 P到达终点时，
P，Q同时停止运动．过 P，Q分别作 BD的垂线，垂足为 M，N．设运动时间为 ts，当以 P，C，M为顶
点的三角形与△QCN全等时，t的值为 ．
18．（2021秋·福建福州·八年级校考期中）如图， 为等边 的高， 、 分别为线段 、上的动点，且 ，当 取得最小值时， ．
三、解答题（本大题共6个小题，每小题4分，共58分）
19.（本小题满分8分）（2023秋·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）将一副三角板拼成如图所示的图
形，其中A， ， 三点在同一条直线上， ， ， 三点在同一条直线上， 的平分线 交
于点 ．
（1）求证： ．
（2）求 的度数．
20.（本小题满分8分）（2022秋·天津和平·八年级校考期中）如图，AD、BC相交于点O，
，求证： ．21.（本小题满分10分）（2023秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，在8×8的正方形网格中，
每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点 （即三角形的顶点都在格点上）．
（1）在图中作出 关于直线l对称的 ；（要求：A与 ，B与 ，C与 相对应）
（2） 的面积为 ；（直接写答案）
（3）在直线l上找一点P，使 的长最短．（保留作图痕迹）22.（本小题满分10分）（2022秋·天津·八年级天津二十中校考期中）如图，∠ACB=90°，AC=BC，
AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）证明： BCE CAD；
（2）若AD=25cm，BE=8cm，求DE的长．
23.（本小题满分10分）（2022秋·天津·八年级天津一中统考期中）如图， ABC和 EBD中，
∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，△AE与BC△交于点N．
（1）求证：AE＝CD； （2）求证：AE⊥CD；
（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD，其中正确的一个是
（请写序号），并给出证明过程．
24.（本小题满分12分）（2023秋·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）（1）问题发现：如图①，
和 均为等边三角形，当 旋转至点 在同一直线上时，连接 ．填空：① 的度数为______；
②线段 之间的数量关系是______．
（2）拓展研究：
如图②， 和 均为等腰三角形，且 ，点 在同一直线上，若
，求 的长度及 的度数．
（3）探究发现：
图①中的 和 ，在 旋转过程中，当点 不在同一直线上时，设直线 与
相交于点 ，试探索 的度数，直接写出结果，不必说明理由．
参考答案
1．D
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图
形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相
重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴
对称图形；
故选：D．
【点拨】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】根据三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性即可得到答案．
解： 三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性，
选项中只含有三角形的是B选项，
即具有稳定性的是B．
故选：B．
【点拨】本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性，四边形不具有稳定性是解题的关键．
3．D
【分析】根据三角形高线的定义即可作答．
解： 边上的高应该是从点B向 或者其延长线作垂线，只有D项满足三角形高线的定义，
故选：D．
【点拨】本题主要考查了三角形高线的定义，掌握相关的定义，是解答本题的关键．
4．D
【分析】根据正多边形的内角和公式可算出 的值，由多边形外角和的定义和性质即可求解．
解：一个正 边形的内角和为 ，
∴ ，解得， ，
∵正六边形的外角和为 ，
∴每个外角的度数为 ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查多边形内角和、外角和的综合运用，掌握内角和公式 ，正多边形外
角和为 的计算方法是解题的关键．
5．D
【分析】利用基本作图得到 ， ，，则根据“ ”可判断
，然后根据全等三角形的性质得到 ．
解：由作图痕迹得 ， ，
所以 ，
所以 ．
故选：D
【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形
的判定与性质．
6．C
【分析】首先求出三角形的一个内角为 ，然后分情况讨论： 是等腰三角形的底角或 是等腰
三角形的顶角，再根据三角形的内角和定理进行计算．
解：∵等腰三角形的一个外角是 ，
∴等腰三角形的一个内角是 ，当 是等腰三角形的顶角时，则顶角就是 ；
当 是等腰三角形的底角时，则顶角是 ．
∴等腰三角形的顶角为 或 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，
做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
7．D
【分析】利用四边形内角和为 和直角三角形的性质求解即可．
解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴
故选：D．
【点拨】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为 和
直角三角形的性质求解．
8．B
【分析】如图所示，延迟 交 于D，证明 得到 ，即可推出
，进而得到 ．
解：如图所示，延迟 交 于D，
∵ 是 的平分线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的面积为 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中线的性质等等，正确作出辅助线构造全
等三角形是解题的关键．
9．B
【分析】找到根据“ ”判定 需要条件，作出证明即可．
解：还需添加的条件是 ，理由是：
在 和 中，
，
∴ （ ），
故选：B
【点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．D
【分析】①由条件可知 ，可得 ，再结合条件即可证
明 ；
② 为 边上的中线，得到 ，则 ，求得 ；
③ ，结合条件可证明 ，则有 ，可得
；
④由③可得 ，而 ，故F不可能为 中点．解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，故①正确；
∵ 为 边上的中线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②不正确；
∵ ，且D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，故③正确；
∵ ，∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴F不是 的中点，故④不正确；
综上可知正确的有①③．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方（
和 ）．
11．0
【分析】根据三角形三边关系可得 ，化简绝对值，即可求解．
解：根据三角形三边关系可得 ，即 ，
，
故答案为：0
【点拨】此题考查了三角形三边关系以及化简绝对值，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．
12．1
【分析】根据三角形中线与面积的关系即可求解．
解：∵点 为 的中点
∵点 为 的中点
∵点 为 的中点
即阴影部分的面积为：
故答案为：1
【点拨】本题考查三角形中线与面积的关系．熟记相关结论即可．
13．【分析】过 和 分别作 轴于 ， 轴于 ，根据角之间的数量关系，得出
，再根据“角角边”，得出 ，再根据全等三角形的性质，得出 ，
，然后根据坐标，得出 ， ， ，再根据线段之间的数量关系，得出
， ，再结合图形，即可求出 点的坐标．
解：如图，过 和 分别作 轴于 ， 轴于 ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 点的坐标是 ．
故答案为：
【点拨】本题考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质，解本题的关键在正确作出辅助线，并充
分利用数形结合思想解答．
14．5
【分析】过P作PD⊥OB于点D，在直角三角形POD中，利用含30度直角三角形的性质求出OD的长，再由PM=PN，利用等腰三角形三线合一的性质得到D为MN中点，根据MN=2求出DN的长，由OD+DN
即可求出ON的长．
解：过P作PD⊥OB于点D，
在Rt△OPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，
∴∠OPD=30°，
∴OD= OP= ×8=4，
∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，
∴MD=ND= MN=1，
∴ON=OD+DN=4+1=5．
故答案为：5．
【点拨】此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解
本题的关键．
15．80°
【分析】先根据三角形内角和定理得到 ，则可计算出
，然后再在 中利用三角形内角和定理计算 的度数．
解：解法一、∵在 中 ,
∴ ,
∴在 中， ;
【点拨】考查三角形的内角和，掌握三角形的内角和等于 是解题的关键.
16．30
解：设a,b两条直线交于点A,由三角形的外角性质得，
相交所成的锐角的度数是 ．
故答案为：30．
17．1或 或
【分析】根据全等三角形的性质可得PC＝CQ，然后分三种情况根据PC＝CQ分别得出关于t的方程，
解方程即得答案．
解：当点P在AC上，点Q在CE上时，如图，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；
当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝ ；
当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，
∵以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等，
∴PC＝CQ，
∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝ ；综上所述：t的值为1或 或 ．
故答案为：1或 或 ．
【点拨】本题考查了全等三角形的应用，正确分类、灵活应用方程思想、熟练掌握全等三角形的性质
是解题的关键．
18． / 度
【分析】作 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 ，由 是等边三角形，且
为 的高，得 ， ， ，则 ， ，所以 ，
，再证明 ，得 ，则 ，可知当点 与点 重
合时， 的值最小，因此 的值也最小，即可求得 ．
解： 如图，作 ，使 ，连接 交 于点 ，连接 ，
是等边三角形，且 为 的高，
， ， ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，，
，
当点 与点 重合时， ，此时 的值最小，
此时 的值也最小，
，
当 取得最小值时， ，
故答案为： ．
【点拨】此题重点考查等边三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段
最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
19．（1）见分析；（2）
【分析】（1）根据题意得， ，根据角平分线的
性质得 ，可得 ，则 ，即可得；
（2）由（1）得， ， ，根据三角形内角和定理即可得．
解：（1）证明：根据题意得， ，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：由（1）得， ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，解题的关键是理解题意，掌握三角形内角和
等于180°．
20．见分析
【分析】连接 ，可由“ ”直接证明 ，即得出 ．
解：如图，连接 ．在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质．正确连接辅助线，构造全等三角形是解题关键．
21．（1）画图见分析；（2）5；（3）画图见分析
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）连接 交直线l于点P，连接 ，点P即为所求．
（1）解：如图， 即为所求；
．
（2） ；
（3）如图，点P即为所求．
【点拨】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对
称变换的性质，属于中考常考题型．
22．（1）见分析；（2）DE=17cm．
【分析】（1）根据垂直定义求出∠BEC=∠ACB=∠ADC，根据等式性质求出∠ACD=∠CBE，根据AAS证明 BCE CAD；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到AD=CE，BE=CD，利用DE=CE-CD，即可解答．
解：（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
在 BCE和 CAD中，
，
∴ BCE CAD；
（2）解：∵ BCE CAD，
∴AD=CE，BE=CD，
∴DE=CE-CD=AD-BE=25-8=17（cm）．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证
明 ADC和 CEB全等的三个条件．
23．（1）见分析；（2）见分析：（3）②，证明过程见分析
【分析】（1）先证明 ，利用边角边证明 ，进而即可求证 ；
（2）由（1）的结论可得 ，进而根据 ，即可
证明 ；
（3）作 于 ， 于 ，根据角平分线的性质以及全等的性质可得 ，进而可得
结论①，假设②成立利用反证法求证即可．
解：（1） ∠ABC＝∠DBE＝90°，
，
即 ，
，
（SAS），
（2）
，BE＝BD，（3）结论：②，理由如下：
如图，作 于 ， 于 ，
，
平分
结论②成立
若①成立，同理可得
则 ,根据已知条件不能判断
则①不成立
故答案为：②
【点拨】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的的性质与判定，理解角平分线的性质与判
定是解题的关键．
24．（1）① ；② ；（2） ， ；（3） 的度数是 或
【分析】（1）①证明 ，从而得到 ，再由等边三角形的性质可得
，再由点 在同一直线上，可得 ，从而即可求得 的度数；
②由 即可得到答案；（2）证明 ，从而得到 ， ，再由等腰直角三角形的性质可得
，再由点 在同一直线上，可得 ，从而即可求得 的度数；
（3）由（1）知 ，得 ，由 ，可知
，根据三角形的内角和定理进行计算即可得到答案．
解：（1）① 和 均为等边三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，
，
，
为等边三角形，
，
点 在同一直线上，
，
，
，
故答案为： ；
② ，
，
故答案为： ；
（2） 和 均为等腰直角三角形，
， ， ，
，即 ，
在 和 中，
，，
， ，
为等腰直角三角形，
，
点 在同一直线上，
，
，
，
；
（3）如图，
由（1）知， ，
，
，
，
，
如图，
同理求得 ，
，的度数是 或 ．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形
内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点，得出是解此题的关键．
