文档内容
第 03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图.........................................................................4
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质.............................................................................5
知识点3： 与 的图像与性质...........................................7
解题方法总结......................................................................................................................................10
题型一：五点作图法..........................................................................................................................10
题型二：函数的奇偶性......................................................................................................................15
题型三：函数的周期性......................................................................................................................18
题型四：函数的单调性......................................................................................................................22
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）..............................................................................27
题型六：函数的定义域、值域（最值）..........................................................................................30
题型七：三角函数性质的综合应用..................................................................................................35
题型八：根据条件确定解析式..........................................................................................................42
题型九：三角函数图像变换..............................................................................................................50
题型十：三角函数实际应用问题......................................................................................................53
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................60
05课本典例·高考素材........................................................................................................................63
06易错分析·答题模板........................................................................................................................65
易错点：三角函数图象变换错误......................................................................................................65
答题模板：求三角函数解析式..........................................................................................................67考点要求 考题统计 考情分析
2024年天津卷第7题，5
分
（1）正弦函数、余弦
2024年北京卷第6题，5 本节命题趋势仍是突出以三角函数的图
函数和正切函数的图像
分 像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、最
性质
2024年II卷第9题，6分 值等重点内容展开，并结合三角公式、化简
（2）三角函数图像的
2023 年甲卷第 12 题，5 求值、平面向量、解三角形等内容综合考
平移与变换
分 查，因此复习时要注重三角知识的工具性，
（3）三角函数实际应
2023年天津卷第5题，5 以及三角知识的应用意识．
用问题
分
2023年I卷第15题，5分
复习目标：
（1）理解正、余弦函数在区间 内的性质．理解正切函数在区间 内的单调性．
（2）了解函数 的物理意义，能画出 的图像，了解参数 对函
数图像的影响．
（3）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单的实际问题．知识点1：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
【诊断自测】已知向量 ，向量 ，令 ．
0
(1)化简 ，并在给出的直角坐标系中用描点法画出函数 在 内的图象；
(2)求函数 的值域．
【解析】（1） ，
0
图像如下图：（2） ， ， ，
， ，故函数值域为 .
知识点2：正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间
递减区间 无
对称中心
对称轴方程 无
注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是 ；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是 ；
正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离 ；
【诊断自测】（多选题）（2024·湖南衡阳·三模）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列说法正确的是（ ）A．函数 的最小正周期为
B．
C．函数 在 上单调递增
D．方程 的解为 ，
【答案】ABD
【解析】对于A，由图可知，函数 的最小正周期为 ，故A正确；
对于B，由 ，所以 ，
因为 ，则 ，则 ，
因为 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C， ，由 ，得 ，
而 ，即 时， 没有意义，故C错误；
对于D， ，则 ，
方程 ，得 ，
即 ，即 ，所以 或 ，因为 ， ，
所以 或 ，解得 或 ，故D正确.
故选：ABD.
知识点3： 与 的图像与性质
（1）最小正周期： ．
（2）定义域与值域： ， 的定义域为R，值域为[-A，A]．
（3）最值
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（4）对称轴与对称中心．
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与 轴交
点的位置．（5）单调性．
假设 ．
①对于 ，
②对于 ，
（6）平移与伸缩
由函数 的图像变换为函数 的图像的步骤；
方法一： ．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们
“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．
方法二： ．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先
周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 而
言的，即图像变换要看“变量 ”发生多大变化，而不是“角 ”变化多少．
【诊断自测】（多选题）（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数 为偶
函数，将 图象上的所有点向左平移 个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的 ，得到函
数 的图象，若 的图象过点 ，则（ ）A．函数 的最小正周期为1
B．函数 图象的一条对称轴为
C．函数 在 上单调递减
D．函数 在 上恰有5个零点
【答案】AC
【解析】由函数 为偶函数，得 ，而 ，则 ，
因此 ， ，
由 ，得 ，于是 ，解得 ，则 ，
对于A，函数 的最小正周期为 ，A正确；
对于B， ，函数 图象关于 不对称，B错误；
对于C，当 时， ，而余弦函数 在 上单调递减，
因此函数 在 上单调递减，C正确；
对于D，由 ，得 ，解得 ，
由 ，解得 ，因此函数 在 上恰有6个零点，D错误.
故选：AC
解题方法总结
1、关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，得；对称中心的求取方法；令 ，得 ，即对称中心为
．
（5）求函数 的对称轴的方法；令 得 ，即
对称中心为
2、与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若 为偶函数，则 ；若为奇函数，则 .
(2)若 为偶函数，则 ；若为奇函数，则 .
(3)若 为奇函数，则 .
题型一：五点作图法
【典例1-1】已知函数 ， .
(1)在用“五点法”作函数 在区间 上的图象时，列表如下：
0
将上述表格填写完整，并在坐标系中画出函数的图象；(2)求函数 在区间 上的最值以及对应的 的值.
【解析】（1）在用“五点法”作函数 在区间 上的图象时，列表如下：
0
0
0 2 0
描点，连线，可得图象如下：
（2）因为 ，可得 ，
故当 时，即 时， 取最大值 ，
当 时，即 时， 取最小值 .
【典例1-2】某同学用“五点法”画函数 ， 在某一个周期内的图象时，列
表并填入了部分数据，如下表：0
0 0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数 的解析式；
(2)当 时，求不等式 的解集．
【解析】（1）由表可知 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
表格如下：
0
0 0
（2） ，即 ，
所以 ，解得 ， ，
又因 ，所以 ，即不等式 的解集为 ．
【方法技巧】
（1）在正弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．
（2）在余弦函数 ， 的图象中，五个关键点是：
．【变式1-1】（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 .
(1)完善下面的表格并作出函数 在 上的图象：
0
1
(2)将函数 的图象向右平 个单位后再向上平移1个单位得到 的图象，解不等式 .
【解析】（1）表格如下：
0
0
0 1 0
函数 在 上的图象如下：
（2）将函数 的图象向右平 个单位后再向上平移1个单位得到 的图象，
则 ，所以 ，即 ，
则 ，
得 ，
所以不等式 的解集为 .
【变式1-2】设函数 .
(1)列表并画出 ， 的图象；
(2)求函数 在区间 上的值域.
【解析】（1）
列表：
0
x 1 4 7 10
y 0 2 0 0
作图：
（2）由已知
，
由已知 ，∴ ，
∴ ，
∴函数 在区间 上的值域是 .
题型二：函数的奇偶性
【典例2-1】若将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，且
为奇函数，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
则 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 最小值为 ，
故选：D
【典例2-2】（2024·重庆·模拟预测）将函数 的图象向右平移 个单位后，所得
图象关于坐标原点对称，则 的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 向右平移 个单位后解析式为 ，又图象关于原点对称，
时， ，
故选：B.
【方法技巧】
由 是奇函数和 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
（1）若 为奇函数，则 ；
（2）若 为偶函数，则 ；
（3）若 为奇函数，则 ；
（4）若 为偶函数，则 ；
若 为奇函数，则 ，该函数不可能为偶函数．
【变式2-1】（2024·青海西宁·二模）将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到的函数图
象关于 轴对称，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的图象向右平移 个单位长度得
，
又 的图象关于 轴对称，所以 ，
解得 ，当 时， 取得最小值 ．
故选：A．
【变式2-2】（2024·四川成都·一模）已知函数 满足： ，函数
，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．4
【答案】B【解析】依题意 ，
所以
所以 .
故选：B
【变式2-3】已知 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】 ，则
.
故 .
故选：A
题型三：函数的周期性
【典例3-1】（2024·江西·南昌县莲塘第一中学校联考二模）将函数 的图象向右平移
个单位长度后得到函数 的图象，若对满足 的 ，总有 的最小
值等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的周期为 ，
将函数的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，
可得 ，
由 可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且 ，不妨设 ，则 ，即 在 时取得最小值，
由于 ，此时 ，不合题意； ，此时
，
当 时， 满足题意.
故选：C.
【典例3-2】函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，
所以 的最小正周期 ．
故选：C．
【方法技巧】
关于三角函数周期的几个重要结论：
（1）函数 的周期分别为 ， ．
（2）函数 ， 的周期均为
（3）函数 的周期均 ．
【变式3-1】已知函数 ，则 （ ）
A．2025 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得 ，
所以 ，
所以
故选：B.
【变式3-2】已知函数 ，如果存在实数 ，使得对任意的实数 ，
都有 成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 因为 ，设 的最小正周期为
，则 ，所以 的最小值为 ，故选C.
【变式3-3】设函数 （ ， ， 是常数， ， ）．若 在区间 上
具有单调性，且 ，则 的最小正周期为_______．
【答案】 /
【解析】 在区间 上具有单调性，区间 的长度为 ，
区间 的长度为 ，
由于 ，
所以 的一条对称轴为 ，其相邻一个对称中心为 ，即 ，
所以 .
故答案为：【变式3-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲线
的两个交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
当 时， ，即 ， ；
当 时， ，即 ， ；
综上： ；
因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设 ，则 ，
因为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
．
故选：C.
【变式3-5】（2024·辽宁·二模）A，B，C是直线 与函数 （ ， ）的图
象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则
（ ）A． B．-1 C． D．2
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，且点A在 图像的下降部分，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 是直线 与 的图像的三个连续的交点；
由 点横坐标 ，即 ，解得 ， ，
解得 ， ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
则 ．
故选：A．
题型四：函数的单调性
【典例4-1】（2024·全国·二模）已知函数 ， ，则函数 的单调递减区
间为 .
【答案】【解析】由题意知， ，
由 ，得 ，
令 ，得 ，令 ，则 ，
即函数 的单调递减区间为 .
故答案为：
【典例4-2】（2024·高三·山东青岛·期末）函数 的单调减区间为 ．
【答案】 ；
【解析】因为 ，
则函数的单调减区间为: ，
解得： .
故答案为： .
【方法技巧】
三角函数的单调性，需将函数 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合
函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 的单调区间的确定基本思想是吧 看做是一个整体，
如由 解出 的范围，所得区间即为增区间；
由 解出 的范围，所得区间即为减区间．
若函数 中 ，可用诱导公式将函数变为 ，则
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．
对于函数 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
【变式4-1】函数 在 上的单调递减区间为 .
【答案】【解析】由题意知， .
即 ， ，因为 ，所以 ，
所以在 中， ，
所以 在 上的单调递减区间为 .
故答案为：
【变式4-2】（2024·湖北·二模）将函数 的图象上每一点的横坐标变为原来的 （纵坐标不
变），再向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数（ ）
A．在区间 上单调递减 B．在区间 上单调递增
C．在区间 上单测递减 D．在区间 上单调递增
【答案】B
【解析】函数 的图象上每一点的横坐标变为原来的 得 ，
再向右平移 个单位长度得 ，
即 ，
由 ， 得增区间为 ， ．
当 时，一个增区间为 ，而 ，所以B正确.
故选：B
【变式4-3】（2024·湖南长沙·二模）已知函数 的最小正周期为 ，
直线 是 图象的一条对称轴，则 的单调递减区间为（ ）
A．
B．C．
D．
【答案】B
【解析】由于 的图象是将 的图象在x轴下方部分
翻折到x轴上方，
且 仅有单调递增区间，
故 和 的最小正周期相同，均为 ，
则 ，即 ，
又直线 是 图象的一条对称轴，则 ，
即 ，结合 ，得 ，
故 ，令 ，则 ，
即 的单调递减区间为 ，
故选：B
【变式4-4】已知函数 ，若函数 的图象向左平移 个单位
长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）
A．B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设函数 的图象向左平移 单位长度后得到的函数图象对应的函数为 ，由图可知
，函数 的图象的最小正周期为 ，
所以 ，
所以 ，
由 ，得 ， ， ，
所以 ， ，取 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以由 ，得 ，即 ，
所以 ， ，即 ， ，
所以不等式 的解集为 （ ），
故选：C
【变式4-5】 的部分图像如图所示，则其单调递减区间为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】由图可得 ，即 ，
结合图象可得到在区间 中， 为最高点，对应的横坐标为 ，
轴右侧第一个最低点为 ，对应的横坐标为 ，
故函数的单调递减区间为
故选：B
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
【典例5-1】（2024·上海松江·校考模拟预测）已知函数 的对称中心为 ，若函数 的
图象与函数 的图象共有6个交点，分别为 ， ，…， ，则
__________.
【答案】6
【解析】显然函数 的图象关于点 成中心对称，
依题意，函数 的图象与函数 的图象的交点关于点 成中心对称，
于是 ，所以 .
故答案为：6
【典例5-2】写出函数 的一个对称中心： .
【答案】【解析】
，
令 或 ，
则 或 ，
令 ，则 ，所以函数 的一个对称中心是 .
故答案： (答案不唯一，横坐标符合 ( )即可)
【方法技巧】
关于三角函数对称的几个重要结论；
（1）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（2）函数 的对称轴为 ，对称中心为 ；
（3）函数 函数无对称轴，对称中心为 ；
（4）求函数 的对称轴的方法；令 ，得
；对称中心的求取方法；令 ，得
，即对称中心为 ．
（5）求函数 的对称轴的方法；令 得 ，即
对称中心为
【变式5-1】（2024·高三·河南·期末）将函数 图象向右平移 个单位，得到的图象关于直线 对称，则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 ，
的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
由题意 的图象关于直线 对称，
所以 ，所以 ，
又 ，则当 时， .
故答案为： .
【变式5-2】（2024·河南开封·模拟预测）已知函数 的图象关于点 对称，那么
的最小值为 ．
【答案】
【解析】 的图象关于点 对称， ，即
，令 ，可得 的最小值为 ．
故答案为：
【变式5-3】（2024·高三·吉林通化·期中）已知三角函数 的图象关于
对称，且其相邻对称轴之间的距离为 ，则 ．
【答案】
【解析】函数 的图象相邻对称轴之间的距离为 ，
则有 ，得 ，所以 ，则 ，
又函数图象关于 对称，则 ，且 ，所以 ．故答案为： .
【变式5-4】（2024·四川成都·模拟预测）函数 的图象关于直线 对称，则
【答案】
【解析】 ，
显然函数的最小正周期 ，
又 为对称轴，
设 在 右侧附近的一个对称中心为 ，
故 ，解得 ，故 的一个对称中心为 ，
，解得 .
故答案为：
题型六：函数的定义域、值域（最值）
【典例6-1】实数 满足 ，则 的范围是___________.
【答案】
【解析】 .故令 ， .
则原式 ，故 .
故答案为： .
【典例6-2】求 的值域.
【解析】由 可得 ，即 ，
由三角函数辅助角公式可得 ，
（ 为辅助角），
则 ，解得 ，
故函数 的值域为 .
【方法技巧】
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型
处理．
（1） ，设 ，化为一次函数 在 上的最值求解．
（2） ，引入辅助角 ，化为 ，求解方法同类
型（1）
（3） ，设 ，化为二次函数 在闭区间 上的最值求
解，也可以是 或 型．
（4） ，设 ，则 ，故
，故原函数化为二次函数 在闭区间 上的最值求解．
（5） 与 ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式
法求最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 或 的函数求解释务必注意
或 的范围．
（6）导数法
（7）权方和不等式
【变式6-1】设 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】设 ，由 ，得 ，
又由 ，得 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， 时，即当 时，
原函数取到最小值 .
故答案为： .
【变式6-2】（2024·上海崇明·二模）已知实数 满足： ，则
的最大值是 ．
【答案】6
【解析】因为
故令 ，且 ，
因为 ，
所以 ，
所以
，仅当 时等号成立.
【变式6-3】已知函数 ，该函数的最大值为__________．
【答案】
【解析】由题意，函数 ，
令 且 ，则 ，
从而 ， 令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， ，
所以 在 上单调递减；在 上单调递增；在 上单调递减．因为 ， ，所以 的最大值为 .
故答案为： .
【变式6-4】函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由正弦函数的性质可知，当 ，
当 时， ；当 或 时， ，故值域为 .
故答案为：
【变式6-5】函数 在区间 上的最大值与最小值之和是 .
【答案】
【解析】由函数 ，
令 ，则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，且 ，可得 ，
则 ，
又由 在 是增函数，
当 时， ；当 时， ，
所以 .
故答案为：
【变式6-6】（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）设角 、 均为锐角，则 的
范围是______________．【答案】
【解析】因为角 、 均为锐角，所以 的范围均为 ，
所以 ，
所以
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时取等，
令 ， ， ，
所以 .
则 的范围是： .
故答案为：
【变式6-7】已知向量 ，函数 .
(1)求 ；
(2)若把 的图象向右平移 个单位长度可得 的图象，求 在 上的值域.
【解析】（1）由题意，得 ，
.
∴
（2）由题意，得 ，
∵ ，∴ ，∴ ， ， ，∴ 在 上的值域为 .
【变式6-8】函数 的值域为_____________．
【答案】
【解析】令 ， ，
则 ，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
即函数 的值域为 ．
故答案为： .
题型七：三角函数性质的综合应用
【典例7-1】（多选题）（2024·贵州六盘水·三模）已知函数 ，若函数
图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ， 为函数 图象的一条对称轴，则（ ）
A．
B．
C．点 是函数 图象的对称中心
D．将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得函数的图象关于 轴对称
【答案】ABD
【解析】因为函数 图象的相邻两个对称中心之间的距离为 ，所以 ， ，因为直线 为函数 图象的一条对称轴，
所以 ， ，则 ， ，
因为 ，所以 ，故AB正确；
所以 ，因为 ，故C错误；
将函数 的图象向左平移 个单位长度后所得函数为
，图象关于 轴对称，故D正确.
故选：ABD.
【典例7-2】（多选题）（2024·安徽·三模）已知函数 ，则（ ）
A． 是偶函数 B． 的最小正周期是
C． 的值域为 D． 在 上单调递增
【答案】AC
【解析】对于A，由于 的定义域为 ，且
，
故 是偶函数，A正确；
对于B，由于 ， ，故 ，这说明
不是 的周期，B错误；
对于C，由于
，
且 ，故 .
而对 ，有 ， ，故由零点存在定理知一定存在 使得
.所以 的值域为 ，C正确；
对于D，由于 ， ，故 在 上并不是单
调递增的，D错误.
故选：AC.
【方法技巧】
三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．
因为对称性 奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数 为奇函数；若函数图像关于 轴
对称，则函数 为偶函数）；对称性 周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是 ；相邻的对称中心
之间的距离为 ；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为 ）；对称性 单调性（在相邻的对称轴之间，
函数 单调，特殊的，若 ，函数 在 上单调，且 ，设
，则 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
【变式7-1】（多选题）（2024·广东广州·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】 ，
对于A，由 ，所以 ，故A正确；
对于B，当 时， ，由正弦函数可知， 在 上单调递减，
又 的对称轴为 ，所以 ，由 ，则
，故B正确；
对于C，令 ， ，所以 的对称中心为 ， ，若 成立，则则 关于点 对称，
令 ，解得 ，故C错误；
对于D，因为 的周期为 ， ， ，
， ， ， ，
，
所以
.故D正确.
故选：ABD.
【变式7-2】（多选题）（2024·黑龙江佳木斯·三模）关于函数 ，则下列说法正确
是（ ）
A． 是函数 的一个周期 B．在 上单调递减
C．函数图像关于直线 对称 D．当 时，函数 有40个零点
【答案】ABD
【解析】对于A， ，故 是函数
的一个周期，故A正确；
对于B， 当 时， ，
则 ，
因为 ， ，
所以 在 恒成立，
即函数 在 上单调递减，故B正确；
对于C，因为 ，故C错误；对于D，因为 ，
所以函数 为偶函数，
又因为 ，
所以函数 关于 对称，
所以 ，
故函数 的最小正周期为 .
又因为
由B选项知，函数 在 上单调递减，
由对称性，则函数 在 上单调递增，
且 ， ，
当 时， 恒成立，
由对称性， ， 恒成立.
故函数 在一个周期 内有两个零点，
则函数 在 内共40个零点，故D正确.
故选：ABD.
【变式7-3】函数 的部分图象如图所示．(1)求函数 的解析式；
(2)将函数 的图象先向右平移 个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
得到函数 的图象，求 在 上的最大值和最小值；
(3)若关于 的方程 在 上有两个不等实根，求实数 的取值范围．
【解析】（1）由函数 的部分图象可知 ，
， ， ，又 ，
，解得 ，由 可得 ，
；
（2）将 向右平移 个单位，得到 ，
再将所有点的横坐标缩短为原来的 ，得到 ，
令 ，由 ，可得 ，
因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
可得 ， ；
（3）因为关于 的方程 在 上有两个不等实根，即 与 的图象在 有两个交点.
由图象可知符合题意的 的取值范围为 .
【变式7-4】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ．
(1)若 ，求 的值域；
(2)若关于x的方程 有三个连续的实数根 ， ， ，且 ， ，求a
的值．
【解析】（1）
因 ，令 ，则 ，
因 在 上单调递增，在 上单调递减，
而 ，故 ．
则 ， 的值域为 ．
（2）如图，因 的最小正周期为 ，
当 时，易得 ，不满足 ，故舍去，
当 时，依题意： ，代入 得： ．
由 ， ，可得 ， ．
由 ， ，代入 ，解得 ， ．
， ，当 时， ， ；
当 时， ， ，
故 的值为 ．
【变式7-5】（2024·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)若 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
(2)将函数 的图象的横坐标缩小为原来的 ，纵坐标不变，再将其向右平移 个单位，得到函数
的图象.若 ，函数 有且仅有4个零点，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，
当 时，可得 ，
当 ，即 时， 取得最小值 ，
因为 时， 恒成立，所以 ，
即实数 的取值范围为 .
（2）由 图象的横坐标缩小为原来的 ，可得： ，
再将其向右平移 ，可得： ，
即函数 ，
因为 ，所以 ，在给定区间的正弦函数的零点是 ，
再由函数 有且仅有4个零点，则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围 .
题型八：根据条件确定解析式
【典例8-1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数 的图象如图所示
.将 的图象向右平移2个单位长度，得到函数 的图象，则 的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知 的周期 满足 ，得 ，
即 ，得 ，
所以 ，
因为点 是 图象的一个点，
所以 ， ，
则 ，又 ，所以 ，所以 ，
将 的图象向右平移2个单位长度，
得到函数 .
故选：D.
【典例8-2】（2024·四川攀枝花·二模）函数 的部分图象如图所示，
则将 的图象向右平移 个单位长度后，得到的函数图象解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由图可得 ，又 ，故 ， ，故 ，
则 ，又 ，故 ，
，即 ， ，
故 ， ，又 ，故 ，
则 ，将 的图象向右平移 个单位长度后，
可得 ，
故选：A.
【方法技巧】
根据函数必关于 轴对称，在三角函数中联想到 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．【变式8-1】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）函数 的部分图像如图所
示，把函数 的图像向右平移 得到 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据图像可知 ，可得 ，即 ；
又 ，可得 ，
解得 ，由 可知 ；
即可得 ，
把函数 的图像向右平移 得到 ；
即 .
故选：A
【变式8-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数
的部分图象，将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图象可知 ，
则 的一个最低点为 ，
的最小正周期为 ，则 ，
，即 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
将 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
得 的图象，
再将所得曲线向左平移 个单位长度，
得 ，
故 ，
故选：D.
【变式8-3】（2024·高三·北京东城·开学考试）函数 的部分图象如图所示，则函数 的解析式为 ，若将 的图象向右平移 个单位后，得到新函数解析式为
.
【答案】
【解析】根据图象知 ， ，
将点 代入 ，得 ，
，又 ，则 ，
，
将 的图象向右平移 个单位后，得到新函数解析式为 ．
故答案为： ， ．
【变式8-4】已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，将函数 图象上所
有的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函
数图象的解析式为 ．
【答案】
【解析】由题知，函数 （ ， ）的部分图象如图所示，所以 ，即
所以 ，
所以 ，
因为图象经过点 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度，
得 ，
再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得 ，
所以所得函数图象的解析式为 ，
故答案为：
【变式8-5】（2024·河北保定·一模）函数 ，（ ， ， ）的部分图象
如图中实线所示，图中圆C与 的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下说法正确的是（ ）A．函数 的最小正周期是
B．函数 在 上单调递减
C．函数 的图象向左平移 个单位后关于直线 对称
D．若圆C的半径为 ，则函数 的解析式为
【答案】D
【解析】由函数 图象，可得点 的横坐标为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以A不正确；
又由 ，且 ，即 ，
根据五点作图法且 ，可得 ，解得 ，
因为 ，可得 ，
结合三角函数的性质，可得函数 在 是先减后增的函数，所以B错误；
将函数 的图象向左平移 个单位后，得到 ，
可得对称轴的方程为 ，即 ，
所以 不是函数 的对称轴，所以C错误；
当 时，可得 ，即 ,
若圆的半径为 ，则满足 ，即 ，解得 ，所以 的解析式为 ，所以D正确.
故选：D.
题型九：三角函数图像变换
【典例9-1】（2024·高三·广东湛江·期末）已知函数 ，要得到函数
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】 ，
，
故将 的图象向右平移 个单位长度可得 ，即为 的图
象.
故选：D
【典例 9-2】（2024·全国·模拟预测）为了得到函数 的图象，只需将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】A
【解析】因为 ，
所以只需将函数 的图象向左平移 个单位长度.
故选：A【方法技巧】
由函数 的图像变换为函数 的图像．
方法： 先相位变换，后周期变换，再振幅变换．
的图像 的图像
的图像
的图像
【变式9-1】为了得到函数 的图象，只需把函数 的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标不变
【答案】B
【解析】因为把函数 的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，就能
得到函数 的图象.
故选：B
【变式9-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，直线 和
为函数 图象的两条相邻对称轴，为了得到函数 的图象，则将函数
的图象至少（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】A
【解析】由题可得 ，由直线 和 为函数 图象的两条相邻对称轴可得，
函数 的最小正周期 ，得 ，
所以 ，
则 ，
故将函数 的图象至少向左平移 个单位长度可得到 的图象.
故选：A．
【变式9-3】将函数 的图象平移后所得的图象对应的函数为 ，则进行的平移是
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位C．向右平移 个单位 D．向左平移
个单位
【答案】A
【解析】对于A： 向左平移 个单位可得到
，符合；
对于B： 向右平移 个单位可得到 ，不符合；
对于C： 向右平移 个单位可得到 ，不符
合；
对于D： 向左平移 个单位可得到 ，不符
合；
故选：A.
【变式9-4】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知曲线 ，则下面结论
正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长
1度，得到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长
1
度，得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度
1
C
2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
【答案】C
【解析】曲线 ，
把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象；
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线 的图象.
故选：C.
题型十：三角函数实际应用问题
【典例10-1】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观众
在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大值）
米．
【答案】
【解析】如图所示：由题意知： ， ，设 ，
则 ， ，
所以 ，
由于 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，因为 ，
所以当 时，可以获得观看的最佳视野.
故答案为：
【典例10-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱
里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，
设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【答案】A
【解析】设座舱距离地面的最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴建立平面
直角坐标系，如图所示，
设函数 表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为 ，直径为 ，且转一周大约需要 ，
周期 ， ，所以 ，
即 ，
当 时，游客在点 ，其中以 为终边的角为 ，所以 ，
当 时，可得
所以，摩天轮的座舱 后距离地面高度约为 .
故选：A.
【方法技巧】
（1）研究 的性质时可将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解
题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转
化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒 到水
面的距离为 （单位：米）（在水面下，则 为负数）．若以盛水筒 刚浮出水面时开始计算时间， 与
时间 （单位：分钟）之间的关系为 ．某时刻 （单位：分钟）时，盛水筒 在过点
（ 为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过 分钟后，盛水筒 （ ）
A．在水面下 B．在水面上
C．恰好开始入水 D．恰好开始出水
【答案】B
【解析】由题意， ，
可得 ， 或 （舍去）．所以 ，
所以再经过 分钟，可得 ，所以盛水筒在水面上．
在判断 时，可以采用放缩法更为直接，过程如下：
，
,故盛水筒在水面上．
故选：B．
【变式10-2】摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从
高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮最高点距离地面高度为 ，转盘直径为 ，设置有48个座舱，
开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要 .
(1)游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动 后距离地面的高度为 ，求在转动一周的过程中， 关
于 的函数解析式；
(2)求游客甲在开始转动 后距离地面的高度；
(3)若甲、乙两人分别坐在两个相邻的座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差 （单
位： ）关于 的函数解析式，并求高度差的最大值（精确到0.1）.
（参考公式与数据： ； ；
.）
【解析】（1）如图，设座舱距离地面最近的位置为点 ，以轴心 为原点，与地面平行的直线为 轴
建立直角坐标系.
设 时，游客甲位于点 ，
以 为终边的角为 ；根据摩天轮转一周大约需要 ，可知座舱转动的角速度约为 ，
由题意可得 ，（2）当 时，
.
所以，游客甲在开始转动 后距离地面的高度约为 .
（3）如图，甲、乙两人的位置分别用点 ， 表示，则 ，
经过 后甲距离地面的高度为 ，
点 相对于点 始终落后 ，
此时乙距离地面的高度为
则甲、乙距离地面的高度差
利用 ，
可得 ， .
当 （或 ），即 （或22.8）时， 的最大值为 .
所以，甲、乙两人距离地面的高度差的最大值约为 .
【变式10-3】某兴趣小组对小球在坚直平面内的匀速圆周运动进行研究，将圆形轨道装置放在如图1所示
的平面直角坐标系中，此装置的圆心 距离地面高度为 ，半径为 ，装置上有一小球 （视为质
点）， 的初始位置在圆形轨道的最高处，开启装置后小球 按逆时针匀速旋转，转一周需要 ．小球
距离地面的高度 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系满足
．(1)写出 关于 的函数解析式，并求装置启动 后小球 距离地面的高度；
(2)如图2，小球 （视为质点）在半径为 的另一圆形轨道装置上，两圆形轨道为同心圆， 的初始
位置在圆形轨道的最右侧，开启装置后小球 以角速度为 顺时针匀速旋转．两装置同时启动，
求 两球高度差的最大值．
【解析】（1）由题意，半径为 m， ，
根据小球转一周需要需要6 ，可知小球转动的角速度 ，
所以 关于 的函数解析式为 ， ，
当 时， ，
所以圆形轨道装置启动1min后小球 距离地面的高度为 m．
（2）根据题意，小球 的高度 关于 的函数解析式为
， ，
则 ， 两点高度差为 ， ，
当 ，即 时， 的最大值为2，
所以 , 两球高度差的最大值为2m．
【变式10-4】（2024·广东珠海·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，
最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，
游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要
30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．(1)经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足
（其中 ， ），求摩天轮转动一周的解析式 ；
(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，首次距离地面的高度恰好为30米？
【解析】（1） （其中 ， ， ，
由题意知： ，
，故 ，
， ，
又 ， ，
，
故解析式为： ， , ；
（2）令 ，则 ，即 ，
因为 , ，则 ，
所以 或 ，解得 或 ，
故游客甲坐上摩天轮5分钟时，首次距离地面的高度恰好为30米．1．（2024年天津高考数学真题）已知函数 的最小正周期为 ．则 在
的最小值是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】 ，由 得 ，
即 ，当 时， ，
画出 图象，如下图，
由图可知， 在 上递减，
所以，当 时，
故选：A
2．（2024年北京高考数学真题）设函数 .已知 ， ，且
的最小值为 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知： 为 的最小值点， 为 的最大值点，
则 ，即 ，且 ，所以 .
故选：B.
3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）当 时，曲线 与 的交点个
数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】因为函数 的的最小正周期为 ，
函数 的最小正周期为 ，
所以在 上函数 有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6个交点.
故选：C
4．（2023年天津高考数学真题）已知函数 的图象关于直线 对称，且 的一个周期为
4，则 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A选项中 ，B选项中 ，
C选项中 ，D选项中 ，
排除选项CD，对于A选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B选项，当 时，函数值 ，故 是函数的一条对称轴，
故选：B.
5．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）对于函数 和 ，下列
说法中正确的有（ ）
A． 与 有相同的零点 B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期D． 与 的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解析】A选项，令 ，解得 ，即为 零点，
令 ，解得 ，即为 零点，
显然 零点不同，A选项错误；
B选项，显然 ，B选项正确；
C选项，根据周期公式， 的周期均为 ，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质 的对称轴满足 ，
的对称轴满足 ，
显然 图像的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
1．已知周期函数 的图象如图所示，
（1）求函数的周期；（2）画出函数 的图象；
（3）写出函数 的解析式.
【解析】（1） .
（2）把 向左平移一个单位得 的图象，即如图所示
（3）
所以 .
2．在直角坐标系中，已知 是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与 的交点
为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并画出其图象
【解析】三角函数定义可得 ，
0 2 0 -2 0
描点连线，再向两边延伸得图象如图所示：
3．已知函数 ，
（1）求 的最小正周期；
（2）求 在区间 上的最大值和最小值.
【解析】（1）最小正周期为 .
（2） ，
.即 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
4．已知函数 是定义在R上周期为2的奇函数，若 ，求 的值.
【解析】由题意可得 ，
.
.
5．容易知道，正弦函数 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心，
除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对
称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦
函数和正切函数，讨论上述同样的问题
【解析】由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，它们的坐标为
，正弦曲线是轴对称图形，对称轴的方程为 .
能.
由余弦函数和正切函数的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为 ，对称轴的方程
是 ，
正切曲线的对称中心坐标为 ，正切曲线不是轴对称图形.
6．设函数 .
（1）求函数 的最小正周期；
（2）求函数 在 上的最大值.
【解析】（1）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以该函数的最小正周期 ;
（2）由题意，，
由 可得 ，
所以当 即 时，函数取最大值 .
易错点：三角函数图象变换错误
易错分析： 函数 中，参数 的变化引起图象的变换：
的变化引起图象中振幅的变换； 的变化引起横向伸缩变换； 的变化引起左右平移变换； 的变化引
起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
【易错题1】要得到函数 ， 的图象，只需将函数 ， 的图象
（ ）
A．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
【答案】C
【解析】将函数 的图象上各点横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变，
得 的图象.
故选：C.
【易错题2】已知曲线 ， ，若想要由 得到 ，下列说法正确的是（ ）A．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位
B．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
C．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位
D．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位
【答案】D
【解析】曲线 化为 ，将曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
可得到函数 的图象，再将所得函数图象上每点向右平移 个单位，可得到函数
的图象，即曲线 .
故选：D.
答题模板：求三角函数解析式
1、模板解决思路
求三角函数解析式就是求其中参数 ， 的值，根据各参数的几何意义，结合所给的图象，然后
求出各参数的值即可，一般先求A， ，然后求 ，最后求 ．
2、模板解决步骤
第一步：求A， ，借助函数图象的最高点、最低点来确定参数A， 的值．
第二步：求 ，根据周期公式确定参数 的值．
第三步：通过代入法求 ．
第四步：确定函数解析式．
【典型例题1】已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则 的
解析式为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】依题意，由图象中最值可知 ，
周期满足 ，又 ，则 ，故 ，
所以 ，又点 在 的图象上，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
而 ，所以 ，
所以 .
故选：C.
【典型例题2】若函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】如图：
易知： ， ，即 .
由 ， ，
时， .
所以： .
故选：C
