文档内容
第 03 讲 三角函数的图象与性质
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：五点作图法............................................................................................................................2
题型二：函数的奇偶性........................................................................................................................5
题型三：函数的周期性........................................................................................................................6
题型四：函数的单调性........................................................................................................................7
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）..............................................................................10
题型六：函数的定义域、值域（最值）..........................................................................................11
题型七：三角函数性质的综合应用..................................................................................................13
题型八：根据条件确定解析式..........................................................................................................19
题型九：三角函数图像变换..............................................................................................................22
题型十：三角函数实际应用问题......................................................................................................24
02 重难创新练....................................................................................................................................27
03 真题实战练....................................................................................................................................47题型一：五点作图法
1．设 ，函数 的最小正周期为 ，且 ．
(1)求 和 的值；
(2)在给定坐标系中作出函数 在 上的图像；
(3)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）∵函数 的最小正周期 ，∴ ．
∵ ，且 ，∴ ．
（2）由（1）知 ，列表如下：
0
0
－
1 0 0
1在 上的图像如图所示：
（3）∵ ，即 ，
∴ ，
则 ，
即 ．
∴ 的取值范围是
2．设函数 （ ）的最小正周期为 ，且
(1)求 和 的值；
(2)填下表并在给定坐标系中作出函数 在 上的图象；
x【解析】（1）由题意知： ，解得 ，又 ，又 ，解得
.
（2）由（1）知： ，列表如下
x
1 0 0
图像如图：
.题型二：函数的奇偶性
3．（2024·江西鹰潭·模拟预测）已知函数 ，则“ ， ”是“ 为偶函
数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】函数 ，当 时，
，
则 为奇函数，所以充分性不成立，
当 为偶函数时， ，所以必要性不成立，
故“ ， ”是“ 为偶函数”的既不充分也不必要条件．
故选：D.
4．（2024·浙江嘉兴·二模）已知函数 是奇函数，则 的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由 为奇函数，可得 ， ，
当 时， .
故选：C.
5．若函数 在区间 上的最大值､最小值分别为 ､ ，则 的值为
（ ）
A．2 B．0 C． D．3
【答案】C
【解析】化简函数 ，得到 ，构造新函数
，得出函数 为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而根据 和的值域相同，即可求解.由函数 ，
可得 ，
令 ，则 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，
设 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 ，
因为 和 的值域相同，
即 的最大值与 的最大值相同，最小值也相同，
所以 ，所以 .
故选：C.
题型三：函数的周期性
6．（2024·青海海西·模拟预测）已知函数 （其中 ）的图象与直线 的两个相
邻交点的距离等于 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C．1 D．3
【答案】C
【解析】由函数 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，又 ，
所以 ，可得 ．
故选：C．
7．（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数 ，若存在非零实数a，b，使 恒成立，
则满足条件的一组值可以是 ， .
【答案】 （答案不唯一） 1（答案不唯一）
【解析】若 ，则 ，
当 时， ， ，
故可取 ，
故答案为： ， 答案不唯一
8．（2024·江西·模拟预测）函数 的最小正周期为 ．【答案】
【解析】 ，
故所求函数的最小正周期 ．
故答案为：
9．已知函数 图象的两个相邻对称中心之间的距离为 ，则 ．
【答案】2
【解析】由题意可得 ，即 ，则 .
故答案为：2.
题型四：函数的单调性
10．（2024·青海海南·二模）已知函数 ，且 .若 的
最小值为 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 ，且 ， 的最小值为 ，
则 ，所以 ，故 ，所以 ，所以 ，
令 得 ，
故 的单调递增区间为 .
故选：A
11．（2024·全国·模拟预测）函数 的单调递增区间为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】 ，令 ，
,
故函数 的单调递增区间为 .
故选：D．
12．（2024·甘肃张掖·模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再把图象
上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数 的图象，若 与 的图象关于 轴对称，则
的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，
由于 与 的图象关于 轴对称，所以 ，
令 ，解得 ，
取 ，则 ，
故选：C
13．函数 的图象经过点 和点 ，则 的
单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】依题意， ，且 ，
即 且 ，
因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，所以 时，故 ，
所以 ．
由 ，得 ，
所以 的单调递增区间是 ．
故选：D．
14．（2024·辽宁·模拟预测）函数 在下列哪个区间上单调递增（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ，得 ，
令 可得， 的一个增区间为 ，结合选项可得C符合题意.
故选：C
15．函数 的单调递增区间是 .
【答案】
【解析】因为 ，由 有：
.故答案为： .
题型五：函数的对称性（对称轴、对称中心）
16．（2024·全国·模拟预测）函数 的图象的对称中心为
【答案】
【解析】令 ， ，解得 ，所以对称中心为 .
故答案为: .
17．（2024·河南·模拟预测）曲线 的一个对称中心为 （答案不唯一）.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】 ，
令 或 ，
则 或 ，
令 ，则 .所以函数的一个对称中心是 .
故答案为： （答案不唯一）.
18．（2024·上海松江·二模）已知函数 的图象关于点 对称，且 ，则实数 的
值为 .
【答案】 或1
【解析】∵函数 的图象关于点 对称，且 ，
∴ ， ，或 ，则令 ，可得实数 或 ，
故答案为： 或1.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象的
一条对称轴为直线 ，则 ．
【答案】
【解析】
，
由于 的图象的一条对称轴为直线 ，
所以 ，
解得 ．
又因为 ，
所以 ．
故答案为： .
题型六：函数的定义域、值域（最值）
20．函数 的定义域为 .
【答案】
【解析】对于函数 ，令 ，即 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .故答案为：
21．已知 ， ，则 的值域为 .
【答案】
【解析】令 ，
则 ，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 在 单调递增，
则当 ，
所以 的值域为 .
故答案为： .
22．若x，y满足 ，则 的最大值为
【答案】3
【解析】设 ， ，
因此 ，其中
，所以当 时， 取到最大值3.
故答案为：3.
23．若函数 ，当 时，函数的值域是 .
【答案】
【解析】 ；
当 时， ，令 ， ，
为开口方向向下，对称轴为 的抛物线，
， ，
当 时， 的值域为 .
故答案为： .
24．（2024·高三·浙江·开学考试）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由题可得：
，令 ，则 ，令
，
所以函数 的值域等价于 在区间 上的值域，
由于 ，所以当 时， ， ，
则函数 的值域为 ，
故答案为：
题型七：三角函数性质的综合应用
25．（多选题）（2024·江苏扬州·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 最小正周期为B． 是 图象的一条对称轴
C． 是 图象的一个对称中心
D． 在 上单调
【答案】BC
【解析】 ，
对于A： 的最小正周期为 ，错误；
对于B：令 可得 ，
所以 的图象关于直线 对称，正确；
对于C：令 可得 ，且 ，
所以 的图象关于点 对称，正确；
对于D：因为 ，所以 ，
由 在 上单调递增， 上单调递减可知，
在 上单调递增，在 单调递减，错误；
故选：BC.
26．（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数 的图象关于 对称，则
（ ）
A．函数 为奇函数 B． 在区间 有两个极值点
C． 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】ACD
【解析】因为函数 的图象关于 对称，所以 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
对A，由 得 ，定义域为R，且 ，
所以函数 为奇函数，正确；
对B，当 时， ，
由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由 ，解得 ，
即 为函数的唯一极值点，错误；
对C，当 时， ， ，
所以 是曲线 的对称中心，正确；
对D，由 ，得 ，
解得 或 ，
从而得 或 ，
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
此时切线方程为 ，即 ，
即直线 是曲线 的切线，正确.
故选：ACD
27．（多选题）（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，则下列命题
正确的有（ ）
A．当 时， 是 的一条对称轴
B．若 ，且 ，则C．存在 ，使得 的图象向左平移 个单位得到的函数为偶函数
D．若 在 上恰有5个零点，则 的范围为
【答案】BD
【解析】
对于A，当 时， ，
所以 ，
所以 不是 的一条对称轴，故A错误；
对于B，由题意知， ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，故B正确；
对于C， 向左平移 个单位后，
得到 ，
假设 为偶函数，则 ， ，
解得 ，
而 ，所以假设不成立，故C错误；
对于D， 时， ，
令 ，
则 ，
因为 在 上恰有5个零点，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BD.28．（多选题）（2024·安徽阜阳·模拟预测）已知函数 （ ， ， ）的部
分图象如图所示，且图中阴影部分的面积为 ，则（ ）
A．
B．点 是曲线 的一个对称中心
C．直线 是曲线 的一条对称轴
D．函数 在区间 内单调递减
【答案】ABC
【解析】设函数 的最小正周期为 ，
由题意可知： ， ， 则 ，
即函数 的最小正周期为 ，可得 ，故A正确；
且 ，可得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
且 ，可得 ，所以 .
对于选项B：因为 ，
所以点 是曲线 的一个对称中心，故B正确；
对于选项C：因为 为最大值，
所以直线 是曲线 的一条对称轴，故C正确；
对于选项D：因为 ，则 ，且 在 不单调，所以函数 在区间 内不单调，故D错误；
故选：ABC.
29．（2024·北京·三模）已知函数 .
(1)若 ， ，求 的值；
(2)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【解析】（1）因为 ，由 ，得到 ，
解得 或 ，
即 或 ，又 ，
所以 或 .
（2）因为
，
令 ，因为 ，得到 ，
由 的图象与性质知， ，所以 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .
30．已知函数 的图象如图所示．
(1)求函数 的解析式；
(2)首先将函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移 个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数 的图象，求函数 在 内
的值域．
【解析】（1）由图象可知， ，
，所以 ，得 ；
当 时， ，则 ，
由于 ，得 ，
所以 ；
（2）函数 的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，得 ，
将所得函数的图象向右平移 个单位长度，得 ，
再向上平移1个单位得到 ，即 ，
当 时， ， ，
所以函数 的值域是 .
31．（2024·上海·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的在 上单调递减区间；
(2)若函数 在区间 上有且只有两个零点，求m的取值范围．
【解析】（1）依题意，
，
当 时， ，由 ，得 ，
所以函数 的在 上的单调递减区间为 .
（2）当 时， ，又函数 在区间 上有且只有两个零点，
即函数 在 只有两个零点，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
题型八：根据条件确定解析式
32．函数 的部分图象如图所示，将 的图象向左平移 个
单位长度得到函数 的图象，则函数 的解析式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图象得 ， ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ， ， ， ，
由 得 ，
所以 ，
因为将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，
所以 ．
故选：D．
33．已知函数 （其中 ， ， ）的部分图象如图所示，将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移 个单位，得到函数 的图象，则函数 的
解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由图知： 且 ，则 ，故 ，
则 ，
由 ，则 ， ，
所以 ， ，
又 ，故 ，
综上， ，
将函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的6倍得到 ，再向左平移 个单位得到
，
故选：B
34．已知函数 的周期为 ，图象的一个对称中心为 ，将函数
图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位长度后
得到函数 的图象，则函数 的解析式为 .
【答案】【解析】因为 ，所以 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，
，
将函数 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 倍（纵坐标不变），
可得函数 ，再将所得图像向右平移 个单位长度后，
，
故答案为： .
35．（2024·吉林·模拟预测）若将函数 图象上所有的点向左平移 个单位长度得到函数 的图象，
已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式为 .
【答案】
【解析】由图知： ，且 ，即 ，
∴ ，可得 ，又 ，则 ， ，
∴当k=0时， ，故 ，
∵ 所有的点向左平移 个单位长度得到函数 ，
.
∴
故答案为：题型九：三角函数图像变换
36．（2024·江苏南京·二模）为了得到函数 的图象，只要把函数 图象上所有的点
（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】A
【解析】 ，
则把函数 图象上所有的点向左平移 个单位即可，
故选：A.
37．（2024·山东青岛·三模）为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点
（ ）
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
【答案】A
【解析】 ，
由诱导公式可知：
又
则 ，即只需把图象向右平移 个单位.
故选：A
38．已知函数 （其中 ）图象的一个对称中心为 ，为了得到
的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
【答案】D
【解析】因为函数 的一个对称中心为 ，且 ，
将点 代入 ，可得 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
所以函数 的图象向右平移 个单位可得到 的图象.
故选：D.
39．（2024·全国·模拟预测）为了得到函数 的图象，可将函数
的图象（ ）
A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
【答案】D
【解析】 ，
所以将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到 的图象.
故选：D．
题型十：三角函数实际应用问题
40．（2024·广东佛山·二模）近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建
设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周
运动，角速度大小为 ，圆上两点A，B始终满足 ，随着圆O的旋转，A，B两点的位置
关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运
动开始时刻，即 秒时，点A位于圆心正下方：则 秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；
A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为 .【答案】
【解析】以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速 ，
设点 ，圆上两点A、B始终保持 ，
则 ，要使A、B两点的竖直距高为0，
则 ，第一次为0时， ，解得 ，
.
故答案为： ；
41．（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐陈廷章
《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以风生.虽
破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4 的筒车按逆时针方向每分钟转一
圈，筒车的轴心O距离水面的高度为 .在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于 的时
间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒【答案】D
【解析】假设 所在直线垂直于水面，且 米，如下示意图，
由已知可得 ，
所以 ，处在劣弧 时高度不低于 米，
转动的角速度为 /每秒，
所以水筒P距离水面的高度不低于 的时间为 秒，
故选：D.
42．（2024·浙江金华·模拟预测）如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心 到水面的距离为 ，筒车的半径
是 ，盛水筒的初始位置为 与水平正方向的夹角为 ．若筒车以角速度 沿逆时针方向转
动， 为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点 所需的时间（单位： ），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设盛水桶在转动中到水面的距离为 ，时间为 ，
由题意可得，盛水桶到水面的距离 与时间 的函数关系如下：
，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，可得 ， ，，故C正确；
， ，
，故D错误；
又 ，解得 ，故B错误；
，解得 ，故A错误.
故选：C.
1．（2024·四川成都·三模）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的
距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 （
， ， ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数 的图象关于点 成中心对称；
②函数 的解析式可以为 ；③函数 在 上的值域为 ；
④若把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数
是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】由图可知 ，所以 ，
且 ，所以 ，
又因为 ，所以只能 ，
所以 ，
对于①， ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③，当 时， ，此时 的取值范围是 ，
从而函数 在 上的值域为 ，故③正确；
对于④，若把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，
则所得函数是 ，故④错误；
综上，正确的编号是②③.
故选：B.
2．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 的图象关于点 对称，若当
时， 的最小值是 ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由题意可得 ，则 ，
又 ，故 ，即 ，
当 时， ，又 的最小值是 ，
则 ，故 ，即 的最大值是 .
故选：B.
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，且 满足以下性质：① 在 内存
在零点；②对于任意 ，有 ；③ 在 内不单调，但是它的图像连续不断，则
可以是：（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A： ，指数型复合函数，单调递增，③不符合.
， ，①不符合. ，②符合.
故A错；
对于B： ，当 ，即 时 ，①符合.
，②符合.
由①可知， 在 内不单调，但是它的图象连续不断，③符合.
故B正确.
对于C： ，当 ，即 时 ，①符合.
，②不符合.
由①知， 在 内不单调，但是它的图象连续不断，③符合.
故C错；
对于D： ，当 ，即 时 ，①符合；
，②不符合；
在 内不单调，由定义域可知它的图象是断开的，③不符合.故D错；
故选：B.
4．（2024·吉林长春·模拟预测）函数 的部分图象如图所示，下列
说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的最小正周期为
C．函数 在 上单调递减
D．函数 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于 轴对称
【答案】C
【解析】由 得 ， ，
所以 ，又 ，所以 ，故A错误；
时， ，所以 ， ，故B错误；
，令 ，则 ，
时， ，此时 单调递增， 单调递减，
故 在 上单调递减，故C正确；
的图象上的所有点向左平移 个单位长度，
得到 ，图象关于原点对称，故D错误.
故选：C.5．（2024·广东汕头·三模）已知 A，B，C是直线 与函数 （ ， ）的
图象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 的图象关于 中心对称 D． 在 上单调递减
【答案】B
【解析】由 ，得 ，而 ，且点A在 图象的下降部分，则 ，
于是 ，显然 是直线 与 的图象的三个连续的交点，
由 点横坐标 ，即 ，解得 ， ，
解得 ， ，则 ，而 ，因此 ，所以 ，
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ， 的图象关于 不对称，C错误；
对于D，当 时， ，当 ，即 时，函数 取得最小值，
又 ，因此 在 上不单调，D错误.
故选：B
6．（2024·河北·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，
又因为 ，
所以
即 ，
因为 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
则 ，则 ，
要使得不等式 ，即 恒成立，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故选：D.
7．（2024·山东泰安·模拟预测）将函数 图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到
函数 的图象，则（ ）
A． B． 在 上单调递增
C． 在 上的最小值为 D．直线 是 图象的一条对称轴
【答案】D
【解析】对于选项A，由题意，可得 ，
故A错误；对于选项B，令 ， ，
所以 在 上单调递增，故B错误；
对于选项C，因为 ，所以 ，故 ，
在 上的最小值为0，故C错误；
对于选项D，函数 的对称轴方程为 ，
化简可得 ，取 ，可得 ，
所以 是 图象的一条对称轴，故D正确.
故选：D.
8．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数 ，将 图象上所有的
点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，若 在 上恰有一个极值点，则
的取值不可能是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【解析】因为
，
又将 图象上所有的点的横坐标缩短到原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，
所以 ．
当 时， ，
又因为 在 上恰有一个极值点，
所以 ，解得 .
故选：A．9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A．当 时， 的图象关于 对称
B．当 时， 在 上的最大值为
C．当 为 的一个零点时， 的最小值为1
D．当 在 上单调递减时， 的最大值为1
【答案】ACD
【解析】 时， ，因为 ，
所以 关于 对称，故A正确；
时，由 可得 ，
根据余弦函数的单调性可知 的最大值为 ，故B错误；
若 ，则 ， ，所以 ， ，且 ，
所以 的最小值为1，故C正确；
因为 在 上单调递减，且 ，
根据余弦函数的单调性可知 的单调递减区间为：
， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：ACD．
10．（多选题）（2024·湖南衡阳·模拟预测）若函数 的两条相邻对称轴距
离为 ，且 ，则（ ）
A． B．点 是函数 的对称中心C．函数 在 上单调递增 D．直线 是函数 图象的对称轴
【答案】AB
【解析】∵ 的两条相邻对称轴距离为 .
∴ ，∴ . .
∴
∵ ，∴ ，又 ，则 .
. 选项A正确；
∴ ∴
选项B：由 ，
可得函数 对称中心的横坐标： .
当 时，对称中心为 .B正确；
选项C：当 时， ， ，
∴ 在 上不递增，C错误；
选项D：由 ， .
可得对称轴： ， . 不是 对称轴.
∴
或验证法把 代入得 ，∴ 不是 对称轴.
D错误；
故选：AB.
∴
11．（多选题）（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称
B． 的值域为
C．若方程 在 上有6个不同的实根，则实数 的取值范围是
D．若方程 在 上有6个不同的实根 ，则 的取值范围是
【答案】BC
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 的图象不关于点 对称，A说法错误；
当 时， ，由 可得 ，
当 时， ，由 可得 ，
综上 ，B说法正确；
当 时，由 解得 ，
当 时，由 解得 ，
所以方程 在 上的前7个实根分别为 ，
所以 ，C说法正确；
由 解得 或 ，
又因为 ，
所以根据正弦函数的单调性可得 图象如图所示，
所以 有4个不同的实根， 有2个不同的实根，
所以 ，解得 ，
设 ，则 ，所以 ，所以 的取值范围是 ，D说法错误，
故选：BC
12．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车
发明于隋而盛于唐，距今已有 多年的历史 如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 米的筒车
按逆时针方向做每 分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心 距离水面 的高度为 米，设筒车上的
某个盛水筒 的初始位置为点 （水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时， 分钟时，该盛水筒距水
面距离为 ，则 .
【答案】3
【解析】由题意得 ，又 ，故 ，
且 ，解得 ，
故 ，
当 时， ，即 ， ，
又 ，解得 ，
故 ，
所以
.
故答案为：3
13．（2024·江西南昌·一模）潮汐现象是地球上的海水在太阳和月球双重引力作用下产生的全球性的海水
的周期性变化，人们可以利用潮汐进行港口货运.某港口具体时刻 （单位：小时）与对应水深 （单位：
米）的函数关系式为 .某艘大型货船要进港，其相应的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，船底与海底距离不小于4.5米时就是安全的，该船于2点开始卸货（一次卸货最长时间不
超过8小时），同时吃水深度以0.375米/小时的速度减少，该船8小时内没有卸完货，要及时驶入深水区
域，则该船第一次停止卸货的时刻为 .
【答案】6时
【解析】令船底与海底距离为 ，则 ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
所以当 或 时， 当 时，
所以 在 上单调递增； 在 上单调递减.
又因为 ，
所以当 时， ；当 时，
所以该船第一次停止卸货的时刻为6时.
故答案为：6时
14．（2024·安徽合肥·三模）已知函数 在区间 上只有一个零
点和两个最大值点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
，
由 ， ，得 ，
时， ， 最大时， 也最大，
若 在区间 上只有一个零点和两个最大值点，
则只需 ，解得 ．
故答案为： .15．（2024·河北衡水·三模）已知 是函数 的一条对称轴， 在区间
内恰好存在3个对称中心，则 的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由题意知 是函数 的一条对称轴，
故 ，解得 ， ，因为 ，故 ，
故 ，令 ，解得 ，
原点附近的6个对称中心分别为 ，
若3个对称中心恰好是 ，
则 ，则t不存在，不合题意；
若3个对称中心恰好是 ，
则 ，则 ；
故当 时，符合题意．
故t的取值范围为 ，
故答案为：
16．（2024·江苏苏州·三模）函数 的值域是 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 是以 为周期的周期函数，
当 时 ，由 ，则 ，所以 ，则 ；
当 时 ，
由 ，则 ，所以 ，则 ；
综上可得 的值域为 .
故答案为：
17．（2024·河北石家庄·二模）已知函数 在区间 上的值域均为 ，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， .
因为函数 在区间 上的值域均为 ，
而 ， ，所以 .
又因为 ， ,
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
18．某港口在一天之内的水深变化曲线近似满足函数 ，
其中 为水深（单位：米）， 为时间（单位：小时），该函数图像如图所示.(1)求函数 的解析式；
(2)若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底
与水底的距离），则该船一天之内至多能在港口停留多久？
【解析】（1）由图知 ， ， ， ，
所以 ，将点 代入得 ，
结合 解得 ，
所以函数 的解析式 .
（2）货船需要的安全水深为 米，所以当 时货船可以停留在港口.
由 得 ，得 ，
即 ，
当 时， ，当 时， ，
所以该船一天之内至多能在港口停留 小时.
19．（2024·上海浦东新·三模）已知 ，其中 ， .
(1)若 ，函数 的最小正周期T为 ，求函数 的单调减区间；
(2)设函数 的部分图象如图所示，其中 ， ，求函数的最小正周期T，并求
的解析式.
【解析】（1）由题， ，解得 ，故 .
令 ，
所以 的单调减区间为 .（2）由题，可得 ， ，
因此， ，又 ，得 .
由 ，得 .
再将 代入 ，即 .
由 ，解得 .
因此 的解析式为 .
20．（2024·北京西城·三模）已知函数 .
(1)求 的最小正周期；
(2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
① 在 有恰有两个极值点；
② 在 单调递减；
③ 在 恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【解析】（1）因为
.
所以 的最小正周期为 .
（2）因为 ，所以 .
选择①，因为 在 有恰有两个极值点.
所以 .所以 .
若选择②，因为当 时， 函数递增，
所以 在 不可能单调递减，所以②不符合题意；
选择③，因为 在 恰好有两个零点.
所以 .
所以 .
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知向量 ， ，
， 图象上相邻的最高点与最低点之间的距离 .
(1)求 的值及 在 上的单调递增区间；
(2)设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，求 的值域.
【解析】（1）依题意可得
，
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为 ，设函数的最小正周期为 ，
则 ，解得 （负值已舍去），则 ，解得 .
.
令 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ，
又 ，故 在 上的单调递增区间为 .
（2）因为 ， ，
由余弦定理 ，
又 且 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，则 ，
则 ，所以 的值域为 .
22．（2024·北京·三模）已知函数 的最小正周期为 .
(1)求 的值；
(2)在锐角 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 在 上的最大值，再从条件①、条件
②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；条件
②： ；条件③： 的面积为S，且 .注：如果选择多个
条件分别解答，按第一个条件计分.
【解析】（1）由题意可知：
，
因为函数 的最小正周期为 ，且 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，
因为 ，则 ，
可知当 ，即 时， 取到最大值3，即 .
若条件①：因为 ，
由正弦定理可得 ，又因为 ，
可得 ，且 ，则 ，
可得 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若条件②；因为 ，
由正弦定理可得： ，
则 ，
因为 ，则 ，
可得 ，
即 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 ；
若选③：因为 ，则 ，
整理得 ，且 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，可得 ，
则
，
因为 锐角三角形，则 ，解得 ，
可得 ，则 ，可得
所以 的取值范围为 .
23．（2024·河北·三模）已知函数 ．
(1)求 在 上的单调增区间；
(2)若关于x的方程 在区间 内有两个不同的解 ， ，求实数
a的取值范围，并证明 ．【解析】（1） ，
由 得 ，
所以 增区间为 ，
而 ，
故 在 的单调增区间为 和 ．
（2）由 得 ，
即 ，其中 ， ．
所以当且仅当 ，
即 满足题意．
故实数a的取值范围为 ．
当 时， ，即 ；
此时 ，而 ，
所以 ，
当 时， ，即 ；
此时 ，而 ，
所以 ；
综上， ．1．（2024年上海高考数学真题）下列函数 的最小正周期是 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对A， ，周期 ，故A正确；
对B， ，周期 ，故B错误；
对于选项C， ，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D， ，周期 ，故D错误，
故选：A．
2．（2024年天津高考数学真题）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对A，设 ，函数定义域为 ，但 ， ，则 ，故
A错误；
对B，设 ，函数定义域为 ，
且 ，则 为偶函数，故B正确；
对C，设 ，函数定义域为 ，不关于原点对称， 则 不是偶函数，故C错误；
对D，设 ，函数定义域为 ，因为 ， ，
则 ，则 不是偶函数，故D错误.
故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移
个单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 向左平移 个单位所得函数为 ，
所以 ，
而 显然过 与 两点，
作出 与 的部分大致图像如下，
考虑 ，即 处 与 的大小关系，
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， ；
所以由图可知， 与 的交点个数为 .
故选：C.
4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数 在区间 单调递增，
直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】因为 在区间 单调递增，
所以 ，且 ，则 ， ，
当 时， 取得最小值，则 ， ，
则 ， ，不妨取 ，则 ，
则 ，
故选：D.
5．（2022年新高考天津数学高考真题）已知 ，关于该函数有下列四个说法：
① 的最小正周期为 ；
② 在 上单调递增；
③当 时， 的取值范围为 ；
④ 的图象可由 的图象向左平移 个单位长度得到．
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 的最小正周期为 ，①不正确；
令 ，而 在 上递增，所以 在 上单调递增，②正确；因为
， ，所以 ，③不正确；
由于 ，所以 的图象可由 的图象向右平移 个单
位长度得到，④不正确．
故选：A．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）为了得到函数 的图象，只要把函数 图
象上所有的点（ ）A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【解析】因为 ，所以把函数 图象上的所有点向右平移
个单位长度即可得到函数 的图象．
故选：D.
7．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）将函数 的图像向左平移 个单位长
度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：曲线 为 ，又 关于 轴对称，则
，
解得 ，又 ，故当 时， 的最小值为 .
故选：C.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 在区间 恰有三个极值点、两
个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意可得 ，因为 ，所以 ，
要使函数在区间 恰有三个极值点、两个零点，又 ， 的图象如下所示：则 ，解得 ，即 ．
故选：C．
9．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递减 B． 在 上单调递增
C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增
【答案】C
【解析】因为 .
对于A选项，当 时， ，则 在 上单调递增，A错；
对于B选项，当 时， ，则 在 上不单调，B错；
对于C选项，当 时， ，则 在 上单调递减，C对；
对于D选项，当 时， ，则 在 上不单调，D错.
故选：C.
10．（2022年新高考全国I卷数学真题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】A
【解析】由函数的最小正周期T满足 ，得 ，解得 ，
又因为函数图象关于点 对称，所以 ，且 ，
所以 ，所以 ， ，
所以 .
故选：A11．（2021年北京市高考数学试题）函数 是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【解析】由题意， ，所以该函数为偶函数，
又 ，
所以当 时， 取最大值 .
故选：D.
12．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）把函数 图像上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解法一：函数 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到 的
图象，再把所得曲线向右平移 个单位长度，应当得到 的图象，
根据已知得到了函数 的图象，所以 ，
令 ,则 ,
所以 ,所以 ；
解法二：由已知的函数 逆向变换，
第一步：向左平移 个单位长度，得到 的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到 的图象，即为 的图象，所以 .
故选：B.
13．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）函数 的最小正周期和最大值分别是
（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C
【解析】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．
14．（2021年全国新高考I卷数学试题）下列区间中，函数 单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的单调递增区间为 ，
对于函数 ，由 ，
解得 ，
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
则 ， ，A选项满足条件，B不满足条件；
取 ，可得函数 的一个单调递增区间为 ，
且 ， ，CD选项均不满足条件.
故选：A.
15．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 的图像关于点中心对称，则（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【解析】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．
对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．16．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）函数 在 上的最大值是 ．
【答案】2
【解析】 ，当 时， ，
当 时，即 时， .
故答案为：2
17．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若 为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，
所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
故答案为：2.
18．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
故答案为： .19．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线
的两个交点，若 ，则 ．
【答案】
【解析】设 ，由 可得 ，
由 可知， 或 ， ，由图可知，
，即 ， ．
因为 ，所以 ，即 ， ．
所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ， ．
故答案为： ．
20．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）记函数 的最小正周期为
T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】 因为 ，（ ， ）
所以最小正周期 ，因为 ，
又 ，所以 ，即 ，又 为 的零点，所以 ，解得 ，
因为 ，所以当 时 ；
故答案为：
21．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则
.
【答案】
【解析】由题意可得： ，
当 时， ，
令 可得： ，
据此有： .
故答案为： .
22．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知函数 的部分图像如图所示，则满足
条件 的最小正整数x为 ．【答案】2
【解析】由图可知 ，即 ，所以 ；
由五点法可得 ，即 ；
所以 .
因为 ， ；
所以由 可得 或 ；
因为 ，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，即 ，
解得 ，令 ，可得 ，
可得 的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足 ，又 ，符合题意，可得 的
最小正整数为2.
故答案为：2.
