北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
考点 导数的运算及几何意义
1.(2023全国甲文，8）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设曲线 在点 处的切线方程为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ，故选：C
{−lnx,0<x<1,
2.(2016四川理,9,5分)设直线l,l 分别是函数f(x)= 图象上点P,P 处的切线,l 与l 垂直相
1 2 lnx,x>1 1 2 1 2
交于点P,且l,l 分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( )
1 2
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)
答案 A 设l 是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P(x,y),l 是y=ln x(x>1)的切线,切点P(x,y),
1 1 1 1 2 2 2 2
1
l:y-y=- (x-x),①
1 1 x 1
1
1
l:y-y= (x-x),②
2 2 x 2
2北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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y −y +2
1 2
①-②得x= ,
P 1 1
+
x x
1 2
易知A(0,y+1),B(0,y-1),
1 2
1 1
∵l⊥l,∴- · =-1,∴xx=1,
1 2 x x 1 2
1 2
|y −y +2|
1 2
1 1
∴S = |AB|·|x|= |y-y+2|·
△PAB P 1 2 |1 1|
2 2 +
x x
1 2
(y −y +2) 2
=
1
·
1
x +
2
x =
1 ·(−ln x
1
−ln x
2
+2) 2
2 1 2 2 x +x
x x 1 2
1 2
=1·[−ln(x x )+2] 2 =1· 4 = 2 ,
1 2
2 x +x 2 x +x x +x
1 2 1 2 1 2
又∵0<x<1,x>1,xx=1,
1 2 1 2
∴x+x>2 =2,
1 2 √x x
1 2
∴0<S <1.故选A.
△PAB
思路分析 设出点P,P 的坐标,进而根据已知表示出l,l,然后求出点A、B的坐标及x,最后利用点在曲线
1 2 1 2 P
上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.
评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.
3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( )
A.0 B.1 C.2 D.3
1
答案 D y'=a- ,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.
x+1
4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D 解法一:当x→-∞时,曲线y=ex的切线的斜率k>0且k趋向于0,当x→+∞时,曲线y=ex的切线的斜
率k>0且k趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x轴上方,且在曲线y=ex的下方,∴0<b<ea,故选
D.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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解法二:易知曲线y=ex在点P(t,et)处的切线方程为y-et=et(x-t),
∵切线过点(a,b),∴b-et=et(a-t),
整理得et(t-a-1)+b=0.
令f(t)=et(t-a-1)+b,
则f '(t)=et(t-a),
当t<a时, f '(t)<0,当t>a时, f '(t)>0,
∴f(t)在(-∞,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,
∴当t=a时, f(t)取得最小值f(a)=-ea+b.
由已知得, f(t)的零点的个数即为过点(a,b)的切线条数,
∴f(t)有且仅有2个零点.
∴f(a)=-ea+b<0,
即b<ea.
①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,et(t-a-1)<0,则f(t)<0,
∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.
②若0<b<ea,
由以上讨论可知,
f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,
∴f(t) =f(a)=-ea+b<0,
min
且lim ¿f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,
t→−∞
由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.
综上,0<b<ea.故选D.
2x−1
5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.
2(x+2)−5 5 5
解析 y= =2− ,所以y'= ,
x+2 x+2 (x+2) 2
所以k=y'| =5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.
x=-1北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”
和“过某点”的区别.
6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
1 1
答案 y= x;y=- x(不分先后)
e e
解析 由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x,
0
1 1
| =
ln x),∵y'= ,∴切线斜率k=y' ,
0 x x=x 0 x
0
1 1
故切线方程为y-ln x= (x-x),又知切线过原点(0,0),∴-ln x=-1,∴x=e,故切线方程为y-1= (x-e),即
0 x 0 0 0 e
0
1 1 1
y= x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=- x,故过坐标原点的两条切线方程为y= x和y=-
e e e
1
x.
e
7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
解析 设f(x)=(x+a)ex,则f '(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x
0
,(x
0
+a)ex 0),
因此切线方程为y-(x
0
+a)ex 0=(x
0
+a+1)ex 0(x-x
0
),
又∵切线过原点(0,0),∴-(x+a) =(x+a+1)· (-x),整理得 +ax-a=0,又切线有两条,∴关于x 的方程
0 ex
0
0 ex
0
0 x2 0 0
0
+ax-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
x2 0
0
x
8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x- 在点(0,1)处的切线方程为 .
2
答案 x+2y-2=0
解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的
几何意义的理解和掌握程度.
x 1 1 1 1
∵y=cos x- ,∴y'=-sin x- ,∴y'| =- ,即曲线在(0,1)处的切线斜率为- ,∴切线方程为y-1=- (x-0),即
x=0
2 2 2 2 2
x+2y-2=0.
方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处
导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.
9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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答案 y=2x
解析 本题主要考查导数的几何意义.
2
因为y'= ,所以y'| =2,又(0,0)为切点,
x+1 x=0
所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.
10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为 .
答案 2x-y-2=0
解析 本题主要考查导数的几何性质.
2
由y=2ln x得y'= .因为k=y'| =2,点(1,0)为切点,
x=1
x
所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.
11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .
答案 -3
解析 本题考查导数的综合应用.
设f(x)=(ax+1)ex,则f '(x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f '(0)=a+1=-2,解得a=-3.
1
12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+ 在点(1,2)处的切线方程为 .
x
答案 x-y+1=0
解析 本题考查导数的几何意义.
1 1
∵y=x2+ ,∴y'=2x- ,∴y'| =2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
x x2 x=1
13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距
为 .
答案 1
解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.
1
由题意可知f '(x)=a- ,所以f '(1)=a-1,
x
因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),
所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),
即y=(a-1)x+1.
令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.
易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
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14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=
.
答案 1-ln 2
1
解析 直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x,y),B(x,y),由y=ln x+2得y'= ,
1 1 2 2
x
由y=ln(x+1)得y'= 1 ,∴k= 1 = 1 ,∴x
1
=1,x
2
=1-1,∴y
1
=-ln k+2,y
2
=-ln k.即A(1
,−lnk+2
),B
x+1 x x +1 k k k
1 2
(1 ),
−1,−lnk
k
1
{ 2−lnk=k· +b,
∵A、B在直线y=kx+b上,∴
k ⇒{b=1−ln2,
(1 ) k=2.
−lnk=k· −1 +b
k
评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.
15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= .
答案 1
解析 由题意可得f '(x)=3ax2+1,∴f '(1)=3a+1,
又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),
∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.
16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=
.
答案 8
1
解析 令f(x)=x+ln x,求导得f '(x)=1+ , f '(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为
x
y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x,y),则y' =2ax+a+2=2,得
0 0 | 0
x=x
0
1 1
a(2x+1)=0,∴a=0或x=- ,又ax2+(a+2)x+1=2x-1,即ax2+ax+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x=- ,此
0 0 2 0 0 0 0 0 0 2
时a=8.
评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.北京曲一线图书策划有限公司 2025版《5年高考3年模拟》B
版
1
17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y= (x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为
x
.
答案 (1,1)
解析 ∵函数y=ex的导函数为y'=ex,
∴曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k=e0=1.
1
1 1
设P(x,y)(x>0),∵函数y= 的导函数为y'=- ,
0 0 0 x x2
∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k=- 1 ,
2
x x2
0
1
则有k 1 k 2 =-1,即1·( − )=-1,解得 x2=1,又x 0 >0,
x2 0
0
1
∴x=1.又∵点P在曲线y= (x>0)上,∴y=1,故点P的坐标为(1,1).
0 0
x
18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 .
答案 y=4x-3
3
解析 y'=3ln x+1+x· =3ln x+4,k=y'| =4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.
x=1
x
评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.
19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)
已知函数f(x)=aex-1-ln x+ln a.
(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;
(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.
1
解析 f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=aex-1- .
x
(1)当a=e时,f(x)=ex-ln x+1,f '(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即
y=(e-1)x+2.
−2
直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为 ,2.
e−1
2
因此所求三角形的面积为 .
e−1
(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.
