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§3.1 导数的概念及其意义、导数的计算
课标要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几
何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识梳理
1．导数的概念
(1)设函数y＝f(x)，当自变量x从x 变到x 时，函数值y从f(x)变到f(x)，则函数y＝f(x)在点
0 1 0 1
x 处的导数，通常用符号 f ′ ( x )表示，记作f′(x)＝ ＝lim .
0 0 0
(2)函数y＝f(x)的导函数
f′(x)＝lim .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x 处的导数f′(x)，是曲线y＝f(x)在点(x ，f(x))处的切线的斜率，函数y＝
0 0 0 0
f(x)在x 处切线的斜率反映了导数的几何意义．
0
3．基本初等函数的导数公式
函数 导数
y＝c(c是常数) y′＝0
y＝xα(α是实数) y′＝αxα－1
y＝ax (a>0，a≠1) y′＝ a x ln _a，特别地(ex)′＝ e x
y＝log x (a>0，a≠1) y′＝，特别地(ln x)′＝
a
y＝sin x y′＝cos_x
y＝cos x y′＝ － si n_x
y＝tan x y′＝
4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝ f ′ ( x )± g ′ ( x ) ；
[f(x)g(x)]′＝ f ′ ( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′ ( x ) ；
′＝(g(x)≠0)；
[kf(x)]′＝kf′(x)(k∈R)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(φ(x))对x的导数为：y′＝[f(φ(x))]′＝ f ′ ( u ) φ ′ ( x ) ，其中 u ＝ φ ( x ) ．
x
常用结论
1．在点处的切线与过点的切线的区别
(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条．
(2)过点的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条．
2.′＝(f(x)≠0)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)f′(x)是函数y＝f(x)在x＝x 附近的平均变化率．( × )
0 0
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × )
(3)f′(x)＝[f(x)]′.( × )
0 0
(4)(e－x)′＝－e－x.( √ )
2．若函数f(x)＝3x＋sin 2x，则( )
A．f′(x)＝3xln 3＋2cos 2x
B．f′(x)＝3x＋2cos 2x
C．f′(x)＝＋cos 2x
D．f′(x)＝－2cos 2x
答案 A
3．曲线y＝x2－2在点处的切线的倾斜角是 ．
答案
解析 点在曲线上，且y′＝x，
所以切线的斜率k＝1，所以倾斜角为.
4．设曲线y＝e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a的值为 ．
答案 －
解析 ∵y＝e2ax，∴y′＝e2ax·(2ax)′＝2a·e2ax，
∴在点(0,1)处的切线斜率k＝2ae0＝2a，
又∵切线与直线2x－y＋1＝0垂直，
∴2a×2＝－1，∴a＝－.题型一 导数的运算
例1 (1)(多选)下列求导正确的是( )
A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2
B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2
C.′＝
D．(ln 2x)′＝
答案 AB
解析 对于A，[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；
对于B，(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；
对于C，′＝＝，故C错误；
对于D，(ln 2x)′＝2·＝，故D错误．
(2)(2023·河南联考)已知函数f(x)满足f(x)＝2f′(1)ln x＋(f′(x)为f(x)的导函数)，则f(e)等于(
)
A．e－1 B.＋1
C．1 D．－＋1
答案 D
解析 f′(x)＝＋，
当x＝1时，f′(1)＝2f′(1)＋，
解得f′(1)＝－，
故f(x)＝－＋，
所以f(e)＝－＋＝－＋1.
思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用
运算法则求导．
(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解．
(3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
跟踪训练1 (多选)下列命题正确的是( )
A．若f(x)＝xsin x－cos x，则f′(x)＝sin x－xcos x＋sin x
B．设函数f(x)＝xln x，若f′(x)＝2，则x＝e
0 0
C．已知函数f(x)＝3x2ex，则f′(1)＝12e
D．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)＝－
答案 BD
解析 对于选项A，f′(x)＝sin x＋xcos x＋sin x，故选项A不正确；对于选项B，f′(x)＝ln x＋1，则f′(x)＝ln x＋1＝2，解得x＝e，故选项B正确；
0 0 0
对于选项C，f′(x)＝6xex＋3x2ex，则f′(1)＝6e＋3e＝9e，故选项C不正确；
对于选项D，f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，则f′(2)＝4＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－，故选项D
正确．
题型二 导数的几何意义
命题点1 求切线方程
例2 (1)(2023·全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x＋ D．y＝x＋
答案 C
解析 因为y＝，
所以y′＝＝，
所以当x＝1时，y′＝，
所以曲线y＝在点处的切线方程为y－＝(x－1)，即y＝x＋.
(2)(2022·新高考全国Ⅱ)曲线 y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ，
.
答案 y＝x y＝－x
解析 先求当x>0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为(x，y)，
0 0
则由y′＝，得切线斜率为，
又切线的斜率为，所以＝，
解得y＝1，代入y＝ln x，得x＝e，
0 0
所以切线斜率为，切线方程为y＝x.
同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－x.
综上可知，两条切线方程为y＝x，y＝－x.
命题点2 求参数的值(范围)
例3 (1)(2024·泸州模拟)若直线y＝kx＋1为曲线y＝ln x的一条切线，则实数k的值是( )
A．e B．e2 C. D.
答案 D
解析 设直线y＝kx＋1在曲线y＝ln x上的切点为P(x，y)，
0 0
因为y＝ln x，所以y′＝，
所以切线在点P处的斜率k＝，
所以曲线y＝ln x在点P(x，y)处的切线方程为y－y＝(x－x)，
0 0 0 0
又y＝ln x，
0 0
所以切线方程为y＝·x－1＋ln x，
0又切线方程为y＝kx＋1，
所以解得
(2)(2022·新高考全国Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
答案 (－∞，－4)∪(0，＋∞)
解析 因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为 ，O为坐标原点，
依题意得，切线斜率k ＝ ，化简，得x＋ax－a＝0.因为曲线y
OA 0
＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x 的方程x＋ax －a＝0有两个不同的根，所
0 0
以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．
思维升华 (1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的
方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
(2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
跟踪训练2 (1)(2023·深圳质检)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝x3－x，则曲线y＝f(x)在
点(1,0)处的切线方程是( )
A．2x－y－2＝0 B．4x－y－4＝0
C．2x＋y－2＝0 D．4x＋y－4＝0
答案 C
解析 当x<0时，f(x)＝x3－x，
则f′(x)＝3x2－1，所以f′(－1)＝2，
由f(x)为偶函数，得f′(1)＝－f′(－1)＝－2，
则曲线y＝f(x)在点(1,0)处的切线方程是y＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.
(2)若函数f(x)＝x－＋aln x存在与x轴平行的切线，则实数a的取值范围是 ．
答案 (－∞，－2]
解析 f′(x)＝1＋＋(x>0)，
依题意得f′(x)＝1＋＋＝0有解，
即－a＝x＋有解，
∵x>0，∴x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号，
∴－a≥2，即a≤－2.
题型三 两曲线的公切线
例4 (1)(2024·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－
x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为( )
A．2 B．5 C．1 D．0
答案 C解析 根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a＞0，
由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，
则切线的斜率k＝f′(a)＝－4a，
由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，
则切线的斜率k＝g′(a)＝－－1，
因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a＝－－1，
解得a＝1或a＝－(舍去)，
又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，
将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，
可得m＝1.
(2)若两曲线y＝ln x－1与y＝ax2存在公切线，则正实数a的取值范围是( )
A．(0,2e] B.
C. D．[2e，＋∞)
答案 B
解析 设公切线与曲线y＝ln x－1和y＝ax2的切点分别为(x ，ln x －1)，(x ，ax)，其中
1 1 2
x>0，对于y＝ln x－1有y′＝，
1
则切线方程为y－(ln x－1)＝(x－x)，
1 1
即y＝＋ln x－2，
1
对于y＝ax2有y′＝2ax，
则切线方程为y－ax＝2ax(x－x)，
2 2
即y＝2axx－ax，
2
所以则－＝ln x－2，
1
即＝2x－xln x(x>0)，
1 1
令g(x)＝2x2－x2ln x，x>0，
则g′(x)＝3x－2xln x＝x(3－2ln x)，
令g′(x)＝0，得x＝ ，
当x∈ 时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当x∈ 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x) ＝ ＝e3，
max
故0<≤e3，即a≥e－3.
思维升华 公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切
线重合列方程组求解．
跟踪训练3 (1)(2023·青岛模拟)若曲线C ：f(x)＝x2＋a和曲线C ：g(x)＝4ln x－2x存在有公
1 2
共切点的公切线，则a＝ .
答案 －3
解析 f(x)＝x2＋a，g(x)＝4ln x－2x，
则有f′(x)＝2x，g′(x)＝－2.
设公共切点的坐标为(x，y)，
0 0
则f′(x)＝2x，g′(x)＝－2，
0 0 0
f(x)＝x＋a，g(x)＝4ln x－2x.
0 0 0 0
根据题意，有解得
(2)已知f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1，则f(x)与g(x)的公切线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
答案 C
解析 根据题意，设直线l与f(x)＝ex－1相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋
1)，
对于f(x)＝ex－1，有f′(x)＝ex，
则直线l的斜率k＝em，
则直线l的方程为y＋1－em＝em(x－m)，
即y＝emx＋(1－m)em－1，
对于g(x)＝ln x＋1，有g′(x)＝，
则直线l的斜率k＝，
则直线l的方程为y－(ln n＋1)＝(x－n)，
即y＝x＋ln n，则
可得(1－m)(em－1)＝0，即m＝0或m＝1，
则切线方程为y＝ex－1 或y＝x，故f(x)与g(x)的公切线有2条．
课时精练
一、单项选择题
1．若函数f(x)＝exsin 2x，则f′(0)等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
答案 A解析 因为f(x)＝exsin 2x，
则f′(x)＝ex(sin 2x＋2cos 2x)，
所以f′(0)＝e0(sin 0＋2cos 0)＝2.
2.函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列大小关系正确的是( )
A．2f′(3)0)，
0 0 0
又y′＝－2x，
所以切线斜率k＝－2x，
0由题意知－2x＝－1，
0
解得x＝1或x＝－(舍)，所以P(1，－1)，
0 0
此时点P到直线l：x＋y－4＝0的距离d＝＝2.
5．直线l与曲线y＝ex＋1和y＝ex＋1均相切，则l的斜率为( )
A. B．1 C．2 D．e
答案 B
解析 由y＝ex＋1，可得y′＝ex；
由y＝ex＋1，可得y′＝ex＋1，
设两个切点分别为(x， ＋1)和(x， )，
1 2
直线l的斜率k＝ ，
故x＝x＋1，即x≠x，
1 2 1 2
所以k＝ ＝＝1，
即直线l的斜率为1.
6．若函数f(x)＝＋ln(x＋1)的图象上不存在互相垂直的切线，则a的取值范围是( )
A．a≤1 B．a<0 C．a≥1 D．a≤0
答案 A
解析 因为函数f(x)＝＋ln(x＋1)(x>－1)，
所以f′(x)＝x＋－a＝x＋1＋－a－1≥2－a－1＝1－a，
当且仅当x＋1＝，即x＝0时，等号成立，
因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线，
所以f′(x) ≥0，即1－a≥0，
min
解得a≤1.
二、多项选择题
7．对于函数f(x)＝ln x－1，则下列判断正确的是( )
A．直线y＝是f(x)过原点的一条切线
B．f(x)关于y＝x对称的函数是y＝ex－1
C．若过点(a，b)有2条直线与f(x)相切，则ln af(a)，即b>ln a－1，故C正确；
对于D，由于∀x>0，
设g(x)＝x－ln x－1⇒g′(x)＝，
令g′(x)>0⇒x>1，令g′(x)<0⇒00，故A错误；
对于B，f′(x)＝－3，f″(x)＝－<0在上恒成立，故B正确；
对于C，f′(x)＝－3x2＋3，f″(x)＝－6x<0在上恒成立，故C正确；
对于D，f′(x)＝e－x－xe－x＝(1－x)e－x，f″(x)＝－e－x－(1－x)e－x＝－(2－x)e－x，
因为x∈，所以2－x>0，
所以f″(x)＝－(2－x)e－x<0在上恒成立，故D正确．
三、填空题
9．(2024·呼和浩特模拟)若曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
则实数a＝ .答案 －2
解析 ∵y＝2sin x－2cos x，
∴y′＝2cos x＋2sin x，
∴曲线y＝2sin x－2cos x在点处的切线的斜率k＝2cos ＋2sin ＝2，
∵切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
∴直线x－ay＋1＝0的斜率为－，即＝－，
∴a＝－2.
10．(2023·本溪模拟)请写出与曲线 y＝sin x在原点(0,0)处具有相同切线的另一个函数
．
答案 y＝x3＋x(答案不唯一)
解析 ∵y＝sin x的导函数为y′＝cos x，
又y＝sin x过原点，
∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线斜率k＝cos 0＝1，
∴y＝sin x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x.
所求曲线只需满足过点(0,0)且在x＝0处的导数值y′＝1即可，如y＝x3＋x，
∵y′＝3x2＋1，
∴y＝x3＋x在原点处的切线斜率为1，
又y＝x3＋x过原点，
∴y＝x3＋x在原点(0,0)处的切线方程为y＝x.
11．(2023·南京模拟)若直线y＝x＋m与曲线y＝ax2和y＝ln x均相切，则a＝ .
答案
解析 设直线y＝x＋m与y＝ln x相切于点(x，ln x)，
0 0
因为y＝ln x的导函数为y′＝，
所以＝1，且ln x＝x＋m，
0 0
解得x＝1，m＝－1.
0
因为直线y＝x－1与曲线y＝ax2相切，
联立得ax2－x＋1＝0，a≠0且Δ＝1－4a＝0，即a＝.
12．已知直线y＝kx与y＝kx(k>k)是曲线y＝ax＋2ln|x|(a∈R)的两条切线，则k －k ＝
1 2 1 2 1 2
.
答案
解析 由已知得，曲线的切线过点(0,0)，
当x>0时，曲线为y＝ax＋2ln x，
设x>0，直线y＝kx在曲线上的切点为(x，ax＋2ln x)，y′＝a＋，
1 1 1 1 1
∴切线方程为y－(ax＋2ln x)＝(x－x)，
1 1 1又切线过点(0,0)，
∴－ax－2ln x＝(－x)，
1 1 1
∴x＝e，k＝a＋；
1 1
同理，当x<0时，曲线为y＝ax＋2ln(－x)，
设x<0，直线y＝kx在曲线上的切点为(x，ax＋2ln(－x))，y′＝a＋，
2 2 2 2 2
∴切线方程为y－[ax＋2ln(－x)]＝(x－x)，
2 2 2
又切线过点(0,0)，
∴－ax－2ln(－x)＝(－x)，
2 2 2
∴x＝－e，k＝a－，
2 2
∴k－k＝.
1 2
四、解答题
13．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x.
(1)求f′(e)及f(e)的值；
(2)求f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程．
解 (1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，f′(e)＝2f′(e)＋，
∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明曲线f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并
求此定值．
解 (1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
当x＝2时，y＝，
又∵f′(x)＝a＋，
∴解得
∴f(x)＝x－.
(2)设P(x，y)为曲线y＝f(x)上任一点，
0 0
由y′＝1＋知曲线在点P(x，y)处的切线方程为y－＝(x－x)．
0 0 0
令x＝0，得y＝－，∴切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x，
0
∴切线与直线y＝x的交点坐标为(2x,2x)．
0 0
∴曲线y＝f(x)在点P(x，y)处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形的面积S＝·|2x|＝6.
0 0 0
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和y＝x所围成的三角形面积为定值，且此定值
为6.
15．已知函数f(x)＝ln x＋x的零点为x ，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，切点为P(m，n)，
0
则 等于( )
A. B．e C. D．e2
答案 B
解析 f′(x)＝＋1，切点为P(m，ln m＋m)，
则切线方程为y＝(x－m)＋ln m＋m，
因为l过原点，所以0＝(－m)＋ln m＋m，
解得m＝e，则P(e，e＋1)，
由ln x＋x＝0，可得x＝－ln x，
0 0 0 0
故 ＝ex· ＝ex·＝e.
0 0
16．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝|ex－1|，x<0，x>0，函数f(x)的图象在点A(x ，
1 2 1
f(x))和点B(x ，f(x))的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则的取值范围是
1 2 2
．
答案 (0,1)
解析 由题意得，f(x)＝|ex－1|＝
则f′(x)＝
所以点A(x,1－ )和点B(x， －1)，k ＝ ，k ＝ ，
1 2 AM BN
所以 ＝－1，x＋x＝0，
1 2
所以AM：y－1＋ ＝
所以|AM|＝ ·|x|，
1
同理|BN|＝ ·|x|，
2
所以＝ ∈(0,1)．
