文档文本内容
３ ０ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算
学生用书P195
?Z GY ?Y GY
%+ GY MJN MJN
?Y?Y ?Y ?Y
+
+ GY Z MJN G Y ? Y G Y
+ ?Y ?Y
P55 %+3KM
+ D %+3KM
%+0 3KM
3 A%3(
0+
0
GY DD GY
+ GY Y3, GY Y−1
GY TJOY GY DPTY
D GY DPTY GY TJOY
0
GY BYB ,B GY BYMOB
GY FY GY FY
GY LOGYB ,B GY
B YMOB
GY MOY GY
Y
+D0 +D0"
UG Y dH Y U G Y dH Y
/ UG Y H Y U G Y H Y G Y H Y ,UDG Y U DG Y
G Y G Y H Y G Y H Y
H Y
H Y UH Y U
+!" Y YeU
X U X
学生用书P196
题型 一 利用导数的几何意义求曲线的切线方程 达式解题
：
切点在切线上
及参数 （１） ；
切点在曲线上
（２） ；
1.若已知曲线ｙ ｆ ｘ 过点Ｐ ｘ ｙ 求曲线过点Ｐ的切线方
＝ （ ） （ ０， ０），
（３）
在切点横坐标处的导数等于切线的斜率．
程 ， 则需分点Ｐ （ ｘ ０， ｙ ０） 是切点和不是切点两种情况求解． 例1
（１）
函数ｆ
（
ｘ
）＝
ｘ
ｅ
ｘ
－２ｅ
ｘ
＋
ｘ
＋ｅ
的图象在
（１，
ｆ
（１））
处的切
当点 Ｐ ｘ ｙ 是切点时 切线方程为 ｙ ｙ ｆ ′ ｘ
（１） （ ０， ０） ， － ０＝ （ ０）· 线方程为 Ａ
（ ）
ｘ ｘ ．
（ － ０）
Ａ．
ｙ
＝
ｘ
Ｂ．
ｙ
＝２
ｘ
－１
当点Ｐ ｘ ｙ 不是切点时 可分以下几步完成
（２） （ ０， ０） ， ：
Ｃ．
ｙ
＝ｅ
ｘ
－ｅ＋１ Ｄ．
ｙ
＝－ｅ
ｘ
＋ｅ＋１
第一步 设切点坐标为Ｐ′ ｘ ｆ ｘ ( )
： （ １， （ １））；
直线ｌ经过点 ３ 且与曲线ｙ ｘ２ ｘ 相切 写出ｌ的
第二步 写出在点 Ｐ′ ｘ ｆ ｘ 处的切线方程 即 ｙ ｆ ｘ （２） ，０ ， ＝ （ ＋１） ，
： （ １， （ １）） ， － （ １） ５
ｆ ′ ｘ ｘ ｘ 一个方程 ｙ （或 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ） ．
＝ （ １）（ － １）； ＝０ ５ － －３＝０ １５ ＋１２５ －９＝０
第三步 将点Ｐ ｘ ｙ 代入切线方程求出ｘ 解析 （ ）ｆ ′（ｘ） ｘ ｘ ｘ ｘ （ｘ ） ｘ ，则ｆ ′（ ）
： （ ０， ０） １； １ ＝ｅ ＋ ｅ －２ｅ ＋１＝ －１ ｅ ＋１ １ ＝ １
第四步 将ｘ 的值代入方程ｙ ｆ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ ｘ 可得过 （切点处的导数即为切线的斜率），又ｆ（ ） ，所以所求切线方
： １ －（ １）＝ （ １）·（ － １）， １ ＝１
点Ｐ ｘ ｙ 的切线方程． 程为ｙ ｘ ，即ｙ ｘ．故选
（ ０， ０） －１＝ －１ ＝ Ａ．
2.已知切线方程求参数 （ ）令ｆ（ｘ） ｙ ｘ２（ｘ ） ｘ３ ｘ２，
２ ＝ ＝ ＋１ ＝ ＋
当曲线的切线方程是已知条件时 常选择以下三个条件的表 则ｆ ′（ｘ） ｘ２ ｘ，
， ＝３ ＋２
专题三 导数及其应用 ３ １
设直线ｌ与曲线ｆ（ｘ）相切的切点为（ｘ ，ｙ ），斜率为ｋ． ａ
０ ０ （ｘ ， ｘ ），且ｘ ，又ｆ ′（ｘ） ，ｇ′（ｘ） １ ，所以公切线的
ì
ï
ｋ
＝
ｆ ′（ｘ
０
）
＝３
ｘ２
０＋２
ｘ
０
， ２ ２ ２≥０ ＝ ｘ ＝
２
ｘ
则í ï ï ｋ ＝ ｙ ０－０ ， 斜率ｋ ＝ｘ ａ ＝ １ ｘ ，则ａ ＞０ ， ４ ａ２ｘ ２＝ ｘ２ １ ，公切线方程为ｙ － ａ ｌｎ ｘ １＝
ï ｘ ３ １ ２ ２
０－ ａ ａ
ï ï ５ （ｘ ｘ ），即ｙ ｘ ａ ｘ ａ，
îｙ ｘ３ ｘ２， ｘ － １ ＝ｘ ＋ ｌｎ １－
０＝ ０＋ ０ １ １
（根据切点处的导数值等于切线斜率，直线上任意两点可表示 由题意知（ｘ ， ｘ ）在切线ｙ ａ ｘ ａ ｘ ａ上，则 ｘ ａ ·ｘ
２ ２ ＝ｘ ＋ ｌｎ １－ ２ ＝ｘ ２
直线斜率，切点在曲线上 个条件列出方程组） １ １
３ ａ ｘ ａ，
ì ï ï ｘ ０＝０ ， ì ï ï ｘ ０＝１ ，
ì
ï ï ï ｘ ０＝－ ５ ３ ， 将
＋ ｌ
ｘ
ｎ
２＝
１－
ｘ ａ ２ １ ２ 代入整理得 ａ １ ２ ＝ ４ｌｎ ｘ ｘ １－４．
解得íｙ ，或íｙ ，或íｙ １８， ４ １
î ïï ｋ ０ ＝ ＝ ０ ０ î ïï ｋ ０ ＝ ＝ ５ ２ ï ï ０＝ １２５ 若总存在两 ｘ 条不同的直线与曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｙ ＝ ｇ（ｘ）均相切，则方
ïｋ ３ ， 程 １ ４ｌｎ １－４在（ ， ）上有两个不等实根（将公切线条数
î ＝－ ａ２ ＝ ｘ ０ ＋∞
２５ １
当ｘ ，ｙ ，ｋ 时，直线ｌ为ｙ ； 问题转化为方程根的个数问题，进而转化为图象交点个数问
０＝０ ０＝０ ＝０ ＝０
当ｘ ，ｙ ，ｋ 时，直线ｌ为ｙ （ｘ ），即 ｘ ｙ ； 题）
０＝１ ０＝２ ＝５ －２＝５ －１ ５ － －３＝０
ｘ
当ｘ ３ ，ｙ １８，ｋ ３ 时， 设ｈ（ｘ） ４ｌｎ －４，ｘ ，
０＝－ ０＝ ＝－ ＝ ｘ ＞０
５ １２５ ２５
( )
直 即 线 ｘ ｌ为ｙ － ｙ １ １ ２ ８ ５ ＝－ ． ２ ３ ５ ｘ ＋ ５ ３ ， 则ｈ′（ｘ） ＝ ４ ｘ ·ｘ － （ ｘ ４ ２ ｌｎ ｘ －４ ） ＝ ８－４ ｘ２ ｌｎ ｘ ，
综上
１５
，直
＋１
线
２５
ｌ
－
的
９
方
＝０
程为ｙ 或 ｘ ｙ 或 ｘ ｙ ．
令ｈ′（ｘ）
＝０
，得ｘ
＝ｅ
２，
＝０ ５ － －３＝０ １５ ＋１２５ －９＝０ 当ｘ （ ， ２）时，ｈ′（ｘ） ，ｈ（ｘ）单调递增，
题型 二 曲线的公切线问题 ∈ ０ ｅ ＞０
当ｘ （ ２， ）时，ｈ′（ｘ） ，ｈ（ｘ）单调递减，
∈ ｅ ＋∞ ＜０
1.求曲线的公切线的方法 所以ｈ（ｘ）在ｘ ２ 处取得极大值即最大值，即ｈ（ｘ） ｈ（ ２）
＝ｅ ｍａｘ＝ ｅ ＝
设公切线ｌ与曲线ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 和 ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的切点分别是 Ｐ １（ ｘ １， ４ｌｎ ｅ ２ －４ ４ ，
ｆ ｘ 和Ｐ ｘ ｇ ｘ 求出切线方程分别为 ｙ ｆ ′ ｘ ｘ ２ ＝ ２＞０
（ １）） ２（ ２， （ ２））， ＝ （ １） ＋ ｅ ｅ
ｆ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ 和ｙ ｇ′ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｇ′ ｘ 则这两条直 由ｈ（ｘ） 可得ｘ ，且ｈ（ｘ）有且只有一个零点，故ｈ（ｘ）的大
（ １）－ １ （ １） ＝ （ ２） ＋ （ ２）－ ２ （ ２）， ＝０ ＝ｅ
线 的 斜 率 和 纵 截 距 分 别 相 等 即 致图象如图，
，
{ｆ ′ ｘ ｇ′ ｘ Z
（ １）＝ （ ２）， 解得 ｘ 和 ｘ 代入切线
ｆ ｘ ｘ ｆ ′ ｘ ｇ ｘ ｘ ｇ′ ｘ １ ２， F
（ １）－ １ （ １）＝ （ ２）－ ２ （ ２）， F
方程求得公切线． 0 F Y
2.已知公切线求参数值（范围）的步骤
分别设切点坐标 求出两曲线的切线方程 {ａ ，
（１） ， ； ＞０
根据斜率和纵截距相等列关于切点横坐标的方程组 所以当 时满足题意，解得 ａ ｅ ，故实数 ａ 的取值范
（２） ； １ ４ ＞
消元得含参数的方程 ０＜ａ２＜ ２ ２
ｅ
（３） ；
( )
分离参数 通过求函数的值域求参数的取值范围． 围为 ｅ ， ．故选
（４） ， ＋∞ Ａ．
3.判断或证明公切线条数的步骤 ２
分别设切点 求出切线方程
（１） ， ； 多想少算
利用两切线重合 建立关于切点横坐标的方程组
（２） ， ； 例 （ 浙江温州期末， ）已知 ｘ ｘ ｘ 函数ｆ ｘ
消元得某一切点横坐标的方程 ２０２４ ８ ０＜ １＜ ２＜ ３＜４π， （ ）＝
（３） ； ｘ的图象在点 ｘ ｘ ｉ 处的切线均经过坐标原
通过判断方程在规定范围内解的个数判断公切线的条数． ｓｉｎ （ ｉ，ｓｉｎ ｉ）（ ＝１，２，３）
（４） 点 则 Ｃ
例2 已知函数ｆ ｘ ａ ｘ ｇ ｘ ｘ 若总存在两条不同的直 ， （ ）
（ ）＝ ｌｎ ， （ ）＝ ， ｘ ｘ ｘ ｘ
线与曲线ｙ ｆ ｘ ｙ ｇ ｘ 均相切 则实数ａ的取值范围是 ｔａｎ １ ｔａｎ ３ ｔａｎ １ ｔａｎ ３
＝ （ ）， ＝ （ ） ， Ａ． ｘ ＜ ｘ Ｂ． ｘ ＞ ｘ
Ａ １ ３ １ ３
（ ） ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
( ) ( ) Ｃ． １＋ ３＜２ ２ Ｄ． １＋ ３＞２ ２
解析 由题意知ｆ ′（ｘ） ｘ，
ｅ ｅ ＝ｃｏｓ
Ａ． ，＋∞ Ｂ． －∞，
２ ２ ｘ
æ ö ( ２ ) 则曲线在点（ｘ ｉ ， ｓｉｎ ｘ ｉ ）处的切线斜率ｋ ｉ＝ｃｏｓ ｘ ｉ＝ ｓｉｎ ｘ ｉ，（注意切
ç ４ ÷ ｅ ｉ
Ｃ．è０， ｅ ２ ø Ｄ． ４ ，＋∞ 线过原点）
解析 设曲线 ｆ（ｘ） ａ ｘ 与其中一条切线的切点坐标为
＝ ｌｎ 即ｘ ｓｉｎ ｘ ｉ ｘ，
（ｘ ，ａ ｘ ），且 ｘ ，曲线 ｇ（ｘ） ｘ与该切线的切点坐标为 ｉ＝ ｘ ＝ｔａｎ ｉ
１ ｌｎ １ １＞０ ＝ ｃｏｓ ｉ
３ ２ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
ｘ 解法二 设Ａ（ｘ ， ｘ ），Ｂ（ｘ ， ｘ ），Ｃ（ｘ ， ｘ ），如图 ，
所以ｔａｎ ｉ ，故 ， 错误； １ ｔａｎ １ ２ ｔａｎ ２ ３ ｔａｎ ３ １
ｘ ｉ ＝１ Ａ Ｂ 易知Ｄ（ｘ ， ｘ ），Ｅ（ｘ ， ｘ ），
２－π ｔａｎ ２ ２＋π ｔａｎ ２
同时ｘ ｉ 可看作直线ｙ ＝ ｘ与曲线ｙ ＝ｔａｎ ｘ在（ ０ ， ４π ）内的 ３ 个交 由正切函数图象性质知ｋ ＡＤ＜ ｋ ＥＣ ，
点的横坐标．对于 、 ， ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ Ｄ 得ｔａｎ ２－ｔａｎ １ ｔａｎ ３－ｔａｎ ２，
解法一 作函数 ｙ ｘ 与 ｙ ｘ 的图象，如图 ，设 Ａ（ｘ ， ｘ ｘ ＜ ｘ ｘ
＝ｔａｎ ＝ １ １ ２－π－ １ ３－ ２－π
ｘ ），Ｂ（ｘ ， ｘ ），Ｃ（ｘ ， ｘ ）， ｘ ｘ ｘ ｘ
ｔａｎ １ ２ ｔａｎ ２ ３ ｔａｎ ３ 即 ２－ １ ３－ ２ ，
易知Ｄ（ｘ ， ｘ ），Ｅ（ｘ ， ｘ ）， ｘ ｘ ＜ｘ ｘ
２－π ｔａｎ ２ ２＋π ｔａｎ ２ ２－π－ １ ３－ ２－π
由正切函数图象性质知ｋ ｋ ，所以ＡＭ ＣＮ，如图 所示， 又ｘ ｘ ，ｘ ｘ ，
ＡＤ＜ ＥＣ ＞ ２ ２－π－ １＞０ ３－ ２－π＞０
又因为ｘ ｘ ｘ ， 所以（ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ） （ｘ ｘ ）（ｘ ｘ ），
Ｍ＋ Ｎ＝２ ２ ２－ １ ３－ ２－π ＜ ３－ ２ ２－π－ １
所以ｘ ｘ ｘ ，故选 即ｘ ｘ ｘ ，即ｘ ｘ ｘ ，故 正确， 错误．故选
１＋ ３＜２ ２ Ｃ． １π＋ ３π＜２π ２ １＋ ３＜２ ２ Ｃ Ｄ Ｃ．
Z /$ 风向解读
Z Y
% # $ Z UBOY % 本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项 Ｃ 、 Ｄ 的关
" & # & 键是根据 ｔａｎ ｘ ｉ＝ ｘ ｉ （ｉ ＝１ ， ２ ， ３ ）构造 ｔａｎ ｘ ＝ ｘ，通过转化思想和
0 数形结合思想分析，将计算问题转化为图形问题，减少计算
Y .
???? "
量，体现新高考的变化趋势．
图 图
１ ２
坐标原点的切线 则ａ的取值范围是 （ ， ） （ ， ） ．
学生用书P23 ， －∞ －４ ∪ ０ ＋∞
７．（ 新高考 ， ， 分，中）曲线ｙ ｘ 过坐标原点的两
ｘ ｘ ２０２２ Ⅱ １４ ５ ＝ｌｎ｜ ｜
１．（ 全国甲理， ， 分，易）设函数ｆ ｘ ｅ ＋２ｓｉｎ 则曲线ｙ
２０２４ ６ ５ （ ）＝ ｘ２ ， 条切线的方程为 ｙ １ ｘ ｙ １ ｘ（不分先后） ．
１＋ ＝ ， ＝－
ｆ ｘ 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面 ｅ ｅ
＝ （ ） （０，１） ８．（ 新高考 ， ， 分，难）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ
积为 Ａ ２０２１ Ⅱ １６ ５ （ ）＝ ｜ｅ －１｜， １＜０，
（ ）
ｘ 函数ｆ ｘ 的图象在点Ａ ｘ ｆ ｘ 和点Ｂ ｘ ｆ ｘ 处
１ １ １ ２
２＞０， （ ） （ １， （ １）） （ ２， （ ２））
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ＡＭ
６ ３ ２ ３ 的两条切线互相垂直 且分别交ｙ轴于Ｍ Ｎ两点 则｜ ｜的
２．（ 新课标 ， ， 分，中）若曲线ｙ ｘ ｘ在点 处的 ， ， ， ｜ ＢＮ ｜
２０２４ Ⅰ １３ ５ ＝ｅ ＋ （０，１）
切线也是曲线ｙ ｘ ａ的切线 则ａ ． 取值范围是 （ ， ） ．
＝ｌｎ（ ＋１）＋ ， ＝ ｌｎ２ ０ １
９．（ 全国甲文， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ ｇ ｘ
考点 导数的运算及几何意义 学生用书P23 ２０２２ ２０ １２ （ ）＝ － ， （ ）＝
ｘ２ ａ 曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｘ ｆ ｘ 处的切线也是曲线 ｙ ｇ
＋ ， ＝ （ ） （ １， （ １）） ＝
１．（ ２０２０ 课标 Ⅰ 理， ６ ， ５ 分，易）函数ｆ （ ｘ ）＝ ｘ４ －２ ｘ３ 的图象在点 ｘ 的切线．
（ ）
ｆ 处的切线方程为 Ｂ
（１， （１）） （ ） 若ｘ 求ａ
ｙ ｘ ｙ ｘ
（１） １＝－１， ；
Ａ． ＝－２ －１ Ｂ． ＝－２ ＋１ 求ａ的取值范围．
（２）
ｙ ｘ ｙ ｘ
Ｃ． ＝２ －３ Ｄ． ＝２ ＋１ 解析 解法一：由题意可知ｆ ′ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ｘ３ ｘ
ｘ ( ) （ ）＝ ３ －１， （ １）＝ １－ １，
２．（
２０２３
全国甲文，
８
，
５
分，易）曲线ｙ
＝ｘ
ｅ 在点
１，
ｅ 处的切 则曲线ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
在点
（
ｘ
１，
ｆ
（
ｘ
１））
处的切线方程为ｙ
－（
ｘ３
１－
ｘ
１）＝
＋１ ２
线方程为 （ Ｃ ） （３
ｘ２
１－１）（
ｘ
－
ｘ
１），
即ｙ
＝（３
ｘ２
１－１）
ｘ
－２
ｘ３
１
．
因为曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｘ ｆ ｘ 处的切线也是曲线ｙ ｇ ｘ
．ｙ ｅ ｘ ．ｙ ｅ ｘ ＝ （ ） （ １， （ １）） ＝ （ ）
Ａ ＝ Ｂ ＝ {ｙ ｘ２ ｘ ｘ３
４ ２ 的切线 所以 ＝（３ １－１） －２ １，有且仅有一组解
．ｙ ｅ ｘ ｅ ．ｙ ｅ ｘ ３ｅ ， ｙ ｘ２ ａ ，
Ｃ ＝ ＋ Ｄ ＝ ＋ ＝ ＋
４ ４ ２ ４ 即方程ｘ２ ｘ２ ｘ ｘ３ ａ 有两个相等的实数根
３．（ 新高考 ， ， 分，中）若过点 ａ ｂ 可以作曲线 ｙ ｘ －（３ １－１） ＋２ １＋ ＝０ ，
２０２１ Ⅰ ７ ５ （ ， ） ＝ｅ 从而Δ ｘ２ ２ ｘ３ ａ ａ ｘ４ ｘ３ ｘ２ ．
的两条切线 则 Ｄ ＝（３ １－１） －４（２ １＋ ）＝０⇔４ ＝９ １－８ １－６ １＋１
， （ ） 若ｘ 则 ａ ａ ．
ｂ ａ ａ ｂ （１） １＝－１， ４ ＝１２⇔ ＝３
Ａ．ｅ ＜ Ｂ．ｅ ＜
Ｃ．０＜
ａ
＜ｅ
ｂ
Ｄ．０＜
ｂ
＜ｅ
ａ （２）４ ａ ＝９ ｘ４ １－８ ｘ３ １－６ ｘ２ １＋１，
ｘ 令ｈ ｘ ｘ４ ｘ３ ｘ２
４．（ 全国甲理， ， 分，易）曲线ｙ ２ －１在点 处 （ ）＝９ －８ －６ ＋１，
２０２１ １３ ５ ＝ ｘ
＋２
（－１，－３） 则ｈ′
（
ｘ
）＝３６
ｘ３
－２４
ｘ２
－１２
ｘ
＝１２
ｘ
（
ｘ
－１）（３
ｘ
＋１），
的切线方程为 ｙ ｘ ．
＝５ ＋２ 令ｈ′ ｘ 得 １ ｘ 或ｘ
ｘ （ ）＞０， － ＜ ＜０ ＞１，
５．（ 课标 文， ， 分，易）设函数 ｆ ｘ ｅ ．若 ｆ ′ ３
２０２０ Ⅲ １５ ５ （ ）＝ ｘ ａ （１）＝
＋ 令ｈ′ ｘ 得ｘ １ 或 ｘ
（ ）＜０， ＜－ ０＜ ＜１，
ｅ 则ａ ． ３
， ＝ １ ( )
４ 所以 ｈ ｘ 在 １ 和 上单调递增 在
６．（ 新高考 ， ， 分，中）若曲线ｙ ｘ ａ ｘ 有两条过 （ ） － ，０ （１， ＋ ∞ ） ，
２０２２ Ⅰ １５ ５ ＝（ ＋ ）·ｅ ３
专题三 导数及其应用 ３ ３
( ) 名师点拨
１ 和 上单调递减
－∞，－ （０，１） ，
３ 本题主要考查导数在研究函数中的应用和导数的概念
( )
又ｈ ｈ １ ２０ 所以ｈ ｘ 及几何意义．本题第（ ）问先求出切线与ｘ轴和ｙ轴的交点，
（１）＝－４， － ＝ ， （ ）≥－４， ２
３ ２７ 再求出三角形的面积表达式，分ｔ 和ｔ 两种情况，也可以
所以ａ ． ＞０ ＜０
≥－１ 只研究ｔ 时Ｓ（ｔ）的最小值，由上面解析知当ｔ 时，Ｓ（ｔ）
解法二：由题意可知ｆ ′ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ｘ３ ｘ 则曲线ｙ ＞０ ＝２
（ ）＝３ －１， （ １）＝ １－ １， ＝
取最小值，Ｓ（ｔ） Ｓ（ ） ，利用ｆ（ｘ） ｘ２ 是偶函数，
ｆ ｘ 在点 ｘ ｆ ｘ 处的切线方程为ｙ ｘ３ ｘ ｘ２ ｍｉｎ＝ ２ ＝ ３２ ＝ １２－
（ ） （ １， （ １）） －（ １－ １）＝（３ １－１）
图象关于ｙ轴对称，得出ｔ 时，Ｓ（ｔ） Ｓ（ ） ．
ｘ ｘ 即ｙ ｘ２ ｘ ｘ３ ＜０ ｍｉｎ＝ －２ ＝３２
·（ － １）， ＝（３ １－１） －２ １①，
设公切线与曲线ｙ ＝ ｇ （ ｘ ） 的切点为 （ ｘ ２， ｘ２ ２＋ ａ ）， １１．（ ２０２０ 新高考 Ⅰ ， ２１ ， １２ 分，中）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ ａ ｅ ｘ －１ －ｌｎ ｘ ＋
又ｇ′ ｘ ｘ
（ ２）＝２ ２，
ｌｎ
ａ．
则切线可表示为ｙ ｘ２ ａ ｘ ｘ ｘ 当ａ 时 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线与两
－（ ２＋ ）＝２ ２（ － ２）， （１） ＝ｅ ， ＝ （ ） （１， （１））
即ｙ ｘ ｘ ｘ２ ａ 坐标轴围成的三角形的面积
＝２ ２ － ２＋ ②， ；
{ ｘ２ ｘ 若ｆ ｘ 求ａ的取值范围．
因为 表示同一直线方程 所以 ３ １－１＝２ ２， （２） （ ）≥１，
①② ，
－２
ｘ３
１＝－
ｘ２
２＋
ａ
， 解析 ｆ
（
ｘ
）
的定义域为
（０，＋∞），
ｆ ′
（
ｘ
）＝
ａ
ｅ
ｘ －１
－
１
ｘ
．
则 ｘ２ ２ ｘ３ ａ ａ ｘ４ ｘ３ ｘ２ ．
（３ １－１） －８ １＝４ ⇔４ ＝９ １－８ １－６ １＋１ 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ′ 曲线ｙ ｆ ｘ
下面同解法一． （１） ＝ｅ ， （ ）＝ｅ －ｌｎ ＋１， （１）＝ｅ－１， ＝ （ ）
在点 ｆ 处的切线方程为ｙ ｘ 即
易错警示 （１，（１）） －（ｅ＋１）＝（ｅ－１）（ －１），
ｙ ｘ ．
不能认为两曲线的公切线切点相同． ＝（ｅ－１） ＋２
直线ｙ ｘ 在ｘ轴 ｙ轴上的截距分别为－２ ．
＝（ｅ－１） ＋２ ， ，２
１０．（ 北京， ， 分，中）已知函数ｆ ｘ ｘ２． ｅ－１
２０２０ １９ １５ （ ）＝１２－
æ
求曲线ｙ ｆ ｘ 的斜率等于 的切线方程
（１） ＝ （ ） －２ ； 因此所求三角形的面积为 ２ ç易错：容易忽略三角形的面
è
设曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｔ ｆ ｔ 处的切线与坐标轴围成的 ｅ－１
（２） ＝ （ ） （ ， （ ））
三角形的面积为Ｓ ｔ 求Ｓ ｔ 的最小值． ö
（ ）， （ ） 积应大于 而把结果写成－２ ÷．
解析
（１）
因为ｆ
（
ｘ
）＝１２－
ｘ２
，
所以ｆ ′
（
ｘ
）＝－２
ｘ
，
０ ｅ－１ ø
令 ｘ 解得ｘ 解法一：当 ａ 时 ｆ ａ ａ ．
－２ ＝－２， ＝１， （２） ０＜ ＜１ ， （１）＝ ＋ｌｎ ＜１
又ｆ 所以所求切线方程为ｙ ｘ
（１）＝１１， －１１＝－２（ －１）， 当ａ 时 ｆ ｘ ｘ －１ ｘ ｆ ′ ｘ ｘ －１ １ ．当ｘ
＝１ ， （ ）＝ｅ －ｌｎ ， （ ）＝ｅ － ｘ ∈（０，１）
整理得 ｘ ｙ ．
２ ＋ －１３＝０
时 ｆ ′ ｘ 当ｘ 时 ｆ ′ ｘ ．所以当ｘ 时
（２）
由
（１）
可知ｆ ′
（
ｘ
）＝－２
ｘ
，
所以曲线ｙ
＝
ｆ
（
ｘ
）
在点
（
ｔ
，
ｆ
（
ｔ
））
， （ ）＜０； ∈（１，＋∞） ， （ ）＞０ ＝１ ，
ｆ ｘ 取得最小值 最小值为ｆ 从而ｆ ｘ ．
处的切线斜率ｋ ｔ 又 ｆ ｔ ｔ２ 所以切线方程为 ｙ （ ） ， （１）＝１， （ ）≥１
＝－２， （ ）＝ １２－ ， －
ｔ２ ｔ ｘ ｔ 整理得 ｔｘ ｙ ｔ２ 当ｘ 时 ｙ 当ａ ＞１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ａ ｅ ｘ －１ －ｌｎ ｘ ＋ｌｎ ａ ＞ｅ ｘ －１ －ｌｎ ｘ ≥１ ．
（１２－ ）＝－２（ －）， ２ ＋ －（ ＋１２）＝０， ＝０ ，
综上 ａ的取值范围是 ．
＝
ｔ２
＋１２，
所以切线与ｙ轴的交点为
（０，
ｔ２
＋１２），
， ［１，＋∞）
ｔ２ (ｔ２ ) 解法二：由ｆ （ ｘ ）≥１， 可得ａ ｅ ｘ －１ －ｌｎ ｘ ＋ｌｎ ａ ≥１，
当ｙ 时 ｘ ＋１２ 所以切线与ｘ轴的交点为 ＋１２ ．
＝０ ， ＝ ｔ ， ｔ ，０ 即 ｘ －１＋ｌｎ ａ ｘ ａ
２ ２ ｅ －ｌｎ ＋ｌｎ ≥１，
ｔ２ ｔ２ ２ 即 ｘ －１＋ｌｎ ａ ａ ｘ ｘ ｘ ｌｎ ｘ ｘ．
当ｔ 时 Ｓ ｔ １ ＋１２ ｔ２ （ ＋１２） ｅ ＋ｌｎ ＋ －１≥ｌｎ ＋ ＝ｅ ＋ｌｎ
① ＞０ ， （ ）＝ · ｔ ·（ ＋１２）＝ ｔ ， 令ｇ ｔ ｔ ｔ 则ｇ′ ｔ ｔ
２ ２ ４ （ ）＝ｅ＋， （ ）＝ｅ＋１＞０，
ｔ２ ｔ２ ｇ ｔ 在Ｒ上单调递增．
则Ｓ′ ｔ ３（ －４）（ ＋１２） ∴ （ ）
（ ）＝
４
ｔ２ ，
ｇ ａ ｘ ｇ ｘ
∵ （ｌｎ ＋ －１）≥ （ｌｎ ），
当 ｔ 时 Ｓ′ ｔ 此时Ｓ ｔ 在 上单调递减
０＜ ＜２ ， （ ）＜０， （ ） （０，２） ； ａ ｘ ｘ
∴ ｌｎ ＋ －１≥ｌｎ ，
当ｔ 时 Ｓ′ ｔ 此时Ｓ ｔ 在 上单调递增
＞２ ， （ ）＞０， （ ） （２，＋∞） ， 即 ａ ｘ ｘ ．
ｌｎ ≥ｌｎ － ＋１
所以Ｓ ｔ Ｓ ．
（ ）ｍｉｎ＝ （２）＝３２ 令ｈ
（
ｘ
）＝ｌｎ
ｘ
－
ｘ
＋１，
当ｔ 时 Ｓ ｔ （ ｔ２ ＋１２） ２ 则Ｓ′ ｔ ３（ ｔ２ －４）（ ｔ２ ＋１２） ｘ
② ＜０ ， （ ）＝－ ４ ｔ ， （ ）＝－ ４ ｔ２ ， ∴ ｈ′ （ ｘ ）＝ １ ｘ －１＝ １－ ｘ ，
当ｔ ＜－２ 时 ， Ｓ′ （ ｔ ）＜０， 此时Ｓ （ ｔ ） 在 （－∞，－２） 上单调递减 ； 当 ０＜ ｘ ＜１ 时 ， ｈ′ （ ｘ ）＞０， 函数ｈ （ ｘ ） 单调递增 ，
当 －２＜ ｔ ＜０ 时 ， Ｓ′ （ ｔ ）＞０， 此时Ｓ （ ｔ ） 在 （－２，０） 上单调递增 ， 当ｘ ＞１ 时 ， ｈ′ （ ｘ ）＜０， 函数ｈ （ ｘ ） 单调递减 ，
所以Ｓ （ ｔ ）ｍｉｎ＝ Ｓ （－２）＝３２ ． ∴ ｈ （ ｘ ）≤ ｈ （１）＝０，
综上所述 ， 当ｔ ＝±２ 时 ， Ｓ （ ｔ ） 取最小值 ， 为 ３２ ． ∴ ｌｎ ａ ≥０，∴ ａ ≥１，
故ａ的取值范围为 ．
［１，＋∞）
３ ４ 5年高考3年模拟 B版 数学（教师用书）
思路导引
（ ）根据导数的几何意义即可求出切线方程，可得三角形的
１
面积；
（ ）解法一：对ａ进行分类讨论，看哪种情况下可使ｆ（ｘ） ；
２ ≥１
解法二：不等式等价于 ｘ －１＋ｌｎ ａ ａ ｘ ｘ ｘ ｌｎ ｘ ｘ，
ｅ ＋ｌｎ ＋ －１≥ｌｎ ＋ ＝ｅ ＋ｌｎ
令ｇ（ｔ） ｔ ｔ，根据函数单调性可得 ａ ｘ ｘ ，再构造
＝ｅ＋ ｌｎ ≥ｌｎ － ＋１
函数ｈ（ｘ） ｘ ｘ ，利用导数求出函数的最值，即可求出ａ
＝ｌｎ － ＋１
的取值范围．
图象与直线ｙ ａ ｘ 有 个交点 则实数ａ的取值范围为
学生用书P25 ＝ （ －１） ３ ，
Ｄ
１．（ 福建厦门一模， ）已知直线ｌ与曲线ｙ ｘ３ ｘ在原点处 （ ）
２０２４ ３ ＝ －
相切 则ｌ的倾斜角为 Ｃ Ａ．（－∞，０） Ｂ．（－１，０）
， （ ）
Ｃ．（－∞，－π） Ｄ．（－π，０）
π π ３π ５π ３．（ 福建部分地市质量检测， ）若直线ｙ ａｘ ｂ与曲线ｙ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． ２０２４ ７ ＝ ＋ ＝
６ ４ ４ ６ ｘ 相切 则ａ ｂ的取值范围为 Ａ
２．（ 湖北八市联考， ）已知函数ｆ ｘ 为偶函数 其图象在点 ｅ ， ＋ （ ）
２０２４ ６ （ ） ，
ｆ 处的切线方程为 ｘ ｙ 记 ｆ ｘ 的导函数为 Ａ．（－∞，ｅ］ Ｂ．［２，ｅ］
（１， （１）） －２ ＋１＝０， （ ）
ｆ ′ ｘ 则ｆ ′ Ａ Ｃ．［ｅ，＋∞） Ｄ．［２，＋∞）
（ ）， （－１）＝ （ ） ４．（ 湘豫名校联考一模， ）已知曲线 ｙ ｘ 与曲线 ｙ
２０２４ １５ ＝ｅ －１ ＝
１ １ ｆ ｘ 关于直线ｘ ｙ 对称 则与两曲线均相切的直线的方程
Ａ．－ Ｂ． Ｃ．－２ Ｄ．２ （ ） － ＝０ ，
２ ２
为 ｘ ｙ ．
３．（ 广东茂名一模， ）曲线ｆ ｘ ｘ ａｘ在点 处的切 － ＝０
２０２４ ４ （ ）＝ｅ ＋ （０，１） ５．（ 山东日照联考）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ的图象上存在
线与直线ｙ ｘ平行 则ａ Ｃ ２０２４ （ ）＝ ＋ｓｉｎ
＝２ ， ＝ （ ）
三个不同的点Ａ Ｂ Ｃ 使得曲线ｙ ｆ ｘ 在Ａ Ｂ Ｃ三点处的切
， ， ， ＝ （ ） ， ，
Ａ．－２ Ｂ．－１ Ｃ．１ Ｄ．２ 线重合 则此切线的方程为 ｙ ｘ （或ｙ ｘ ） ． 写出符合
４．（ 山东名校考试联盟联考， ）若曲线ｆ ｘ ｘ 在ｘ 处 ， ＝ ＋１ ＝ －１ （
２０２４ ６ （ ）＝ｅ ＝１ 要求的一条切线即可
的切线与曲线ｇ ｘ ｘ ａ也相切 则ａ Ｄ ）
（ ）＝ｌｎ ＋ ， ＝ （ ） ６．（ 河北石家庄模拟， ）已知函数ｆ ｘ ａｘ ｘ ｂ在ｘ
２０２４ １５ （ ）＝ｅ －ｅ － ＝０
１ ３ 处的切线为ｘ轴．
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
２ ２
求ａ ｂ的值
５．（ 湖南衡阳一模， ）若函数ｆ ｘ ｘ３ 与ｇ ｘ ｘ２ ｘ （１） ， ；
２０２４ ７ （ ）＝ ＋４ （ ）＝ －２
求ｆ ｘ 的单调区间．
图象的交点为Ａ 则曲线ｙ ｆ ｘ 在点Ａ处的切线与坐标轴围 （２） （ ）
， ＝ （ ） 解析 因为ｆ ｘ ａｘ ｘ ｂ 所以ｆ ′ ｘ ａ ａｘ
成的三角形的面积为 Ｂ （１） （ ）＝ｅ －ｅ － ， （ ）＝ ｅ －ｅ，
（ ）
依题意ｆ 且ｆ ′
（０）＝０ （０）＝０，
Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ． ２ ３ Ｄ． ８ ３ 所以 { ｅ ０ － ｂ ＝０， 解得 {ａ ＝ｅ，
６．（ 辽宁葫芦岛学业质量监测， ）已知直线ｙ ａｘ 与曲线 ａ ０ ｂ ．
２０２４ ８ ＝ －１ ｅ －ｅ＝０， ＝１
ｘ 由 可得ｆ ｘ ｅ ｘ ｘ 定义域为Ｒ
ｙ ｌｎ 相切 则ａ的值为 Ａ （２） （１） （ ）＝ｅ －ｅ －１， ，
＝ ｘ ， （ ） 又ｆ ′ ｘ ｅ ｘ ＋１ ｅ ｘ
（ ）＝ｅ －ｅ＝ｅ（ｅ －１），
令ｇ ｘ ｆ ′ ｘ ｅ ｘ ＋１ 则ｇ′ ｘ ｅ ｘ ＋２
１ １－ｌｎ２ ２ （ ）＝ （ ）＝ｅ －ｅ， （ ）＝ｅ ＞０，
Ａ．１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．２ｅ 所以ｇ ｘ 在定义域Ｒ上单调递增 即 ｆ ′ ｘ 在 Ｒ上单调递
ｅ ４ （ ） ， （ ）
７．（多选）（ 河北质量监测， ）过点Ａ 与曲线ｆ ｘ 增．又ｆ ′ 所以当ｘ 时ｆ ′ ｘ 当ｘ 时ｆ ′ ｘ
２０２４ １０ （１，２） （ ）＝ （０）＝０， ＜０ （ ）＜０， ＞０ （ ）＞０，
ｘ３ ｘ相切的直线为 ＣＤ 所以ｆ ｘ 的单调递减区间为 单调递增区间为
＋ （ ） （ ） （－∞，０）， （０，
ｘ ｙ ｘ ｙ ．
Ａ．２ ＋ －４＝０ Ｂ．３ － －１＝０ ＋∞）
ｘ ｙ ｘ ｙ ７．（ 湖北武汉四调， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ａｘ ｘ２．
Ｃ．４ － －２＝０ Ｄ．７ －４ ＋１＝０ ２０２４ １６ （ ）＝ｌｎ － ＋
若ａ 求曲线ｙ ｆ ｘ 在点 ｆ 处的切线方程
学生用书P25 （１） ＝－１， ＝ （ ） （１， （１）） ；
讨论ｆ ｘ 的单调性．
１．（ 湖南长沙适应性考试， ）已知直线ｙ ａ与函数ｆ ｘ （２） （ ）
２０２４ ７ ＝ （ ）＝
ｘ ｇ ｘ ｘ的图象分别相交于Ａ Ｂ两点．设ｋ 为曲线ｙ 解析 （１） ａ ＝－１ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ｌｎ ｘ ＋ ｘ ＋ ｘ２ ， ｆ ′ （ ｘ ）＝ １ ｘ ＋１＋２ ｘ ，
ｅ ， （ ）＝ｌｎ ， １ ＝
ｆ ｘ 在点Ａ处切线的斜率 ｋ 为曲线ｙ ｇ ｘ 在点Ｂ处切线 则ｆ ′ ｆ
（ ） ， ２ ＝ （ ） （１）＝４， （１）＝２，
的斜率 则ｋ ｋ 的最大值为 Ａ 所以所求切线方程为ｙ ｘ 整理得ｙ ｘ ．
， １ ２ （ ） ＝４（ －１）＋２， ＝４ －２
ｘ２ ａｘ
１ ｅ ｆ ′ ｘ １ ａ ｘ ２ － ＋１
Ａ． Ｂ．１ Ｃ．ｅ Ｄ．ｅ （２） （ ）＝ ｘ － ＋２ ＝ ｘ ，
ｅ
２．（ 河北唐山期末， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 的 因为ｘ 所以ａ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 上单调
２０２４ ７ （ ）＝ｓｉｎ π ， ∈（０，２） ＞０， ≤０ ， （ ）＞０， （ ） （０，＋∞）
专题三 导数及其应用 ３ ５
递增 ｘ ｘ ｘ 分
， （１＋ｌｎ ０）（ － ０）， （６ ）
当ａ 时 对于ｙ ｘ２ ａｘ Δ ａ２ 则ｂ ｘ ｘ ｘ ａ ｘ 整理得ｂ ａ ｘ ｘ ａ．
＞０ ， ＝２ － ＋１， ＝ －８， － ０ｌｎ ０＝（１＋ｌｎ ０）（ － ０）， ＝ ｌｎ ０－ ０＋
若 ａ 则Δ 此时ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 在 上单 分
０＜ ≤２ ２， ≤０， （ ）≥０， （ ） （０，＋∞） （７ ）
调递增 由过点 ａ ｂ 可以作两条直线与曲线ｙ ｆ ｘ 相切 可得方程
， （ ， ） ＝ （ ） ，
ｂ ａ ｘ ｘ ａ有两个不相等的正根． 分
ａ ａ２ ＝ ｌｎ － ＋ （９ ）
若ａ
＞２ ２，
令
２
ｘ２
－
ａｘ
＋１＝ ０，
得 ｘ
＝
± －８
＞０，０＜
ｘ
＜ ａ ｘ
４ 令ｇ ｘ ａ ｘ ｘ ａ 则ｇ′ ｘ － ． 分
（ ）＝ ｌｎ － ＋ ， （ ）＝ ｘ （１０ ）
ａ ａ２
－ －８时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递增 当ａ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 单调递减 则方程ｂ ａ ｘ ｘ ａ最
， （ ）＞０， （ ） ； ≤０ ， （ ）＜０， （ ） ， ＝ ｌｎ － ＋
４
多只有一个正根 不符合题意． 分
ａ ａ２ ， （１１ ）
ｘ ＋ －８时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递增 当ａ 时 若ｘ ａ 则ｇ′ ｘ ｇ ｘ 单调递增 若ｘ
＞ ， （ ）＞０， （ ） ； ＞０ ， ∈（０， ）， （ ）＞０， （ ） ， ∈
４ ａ 则ｇ′ ｘ ｇ ｘ 单调递减 则ｇ ｘ ｇ ａ ａ ａ．
ａ ａ２ ａ ａ２ （ ，＋∞）， （ ）＜０， （ ） ， （ ）ｍａｘ＝ （ ）＝ ｌｎ
－ －８ ｘ ＋ －８时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递减． 分
＜ ＜ ， （ ）＜０， （ ） （１２ ）
４ ４
故要使得方程ｂ ａ ｘ ｘ ａ有两个不相等的正根 则ｂ ａ ａ．
综上所述 ａ 时 ｆ ｘ 在 上单调递增 ＝ ｌｎ － ＋ ， ＜ ｌｎ
， ≤２ ２ ， （ ） （０，＋∞） ； 分
ａ 时 ｆ ｘ 在
æ
ç
ａ
－
ａ２
－８
ö
÷
æ
ç
ａ
＋
ａ２
－８
ö
÷上单调
（１３ ）
＞２ ２ ， （ ） è０， ø，è ，＋∞ø 学生用书P26
４ ４
递增 在 æ ç ａ － ａ２ －８ ａ ＋ ａ２ －８ ö ÷上单调递减． １． 新定义理解 （多选）（ ２０２４ 山东济南一中等校联考， １０ ）假
， è ， ø 设直线Ｌ与曲线Ｍ相切 若切点唯一 则称直线Ｌ与曲线Ｍ
４ ４ ， ，
８．（ 河南新乡三模， ）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ． 单切 若切点有两个 则称直线Ｌ与曲线Ｍ双切 若Ｌ还与曲线
２０２４ １５ （ ）＝ ｌｎ ； ， ；
求ｆ ｘ 的极值 Ｍ相交 则称直线Ｌ与曲线Ｍ交切．已知函数ｆ ｘ ｘ３ ｘ
（１） （ ） ； ， （ ）＝ ｜ －３ ｜，
若过点 ａ ｂ 可以作两条直线与曲线ｙ ｆ ｘ 相切 证明 ｂ 则 ＡＣ
（２） （ ， ） ＝ （ ） ， ： （ ）
ａ ａ． 直线ｙ 与曲线ｙ ｆ ｘ 双切
＜ ｌｎ Ａ． ＝２ ＝ （ ）
解析 因为ｆ ｘ ｘ ｘ 所以ｆ ′ ｘ ｘ ． 分 直线ｙ ｘ 与曲线ｙ ｆ ｘ 单切
（１） （ ）＝ ｌｎ ， （ ）＝ｌｎ ＋１ （１ ） Ｂ． ＝－４ ＋１ ＝ （ ）
( ) 直线ｙ 与曲线ｙ ｆ ｘ 交切
令ｆ ′ ｘ 得ｘ １ 当ｘ １ 时 ｆ′ ｘ ｆ ｘ 单调 Ｃ． ＝２ ＝ （ ）
（ ）＝０， ＝ ， ∈ ０， ， （ ）＜０， （ ） 存在唯一的直线 与曲线ｙ ｆ ｘ 单切且交切
ｅ ｅ Ｄ． ， ＝ （ ）
( )
递减 当ｘ １ 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递增 分 ２． 创新考法 （ 山东淄博一模， ）已知定义在 Ｒ上的函
， ∈ ，＋∞ ， （ ）＞０， （ ） ， （３ ） ２０２４ １３
ｅ 数ｆ ｘ ｆ ′ ｘ 为ｆ ｘ 的导函数 ｆ ′ ｘ 定义域也是Ｒ ｆ ｘ
( ) （ ）， （ ） （ ） ， （ ） ， （ ）
故当ｘ １ 时 ｆ ｘ 取得极小值 且极小值为ｆ １ １ 无
＝ ， （ ） ， ＝－ ， 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ 则 ２０２４ ｆ ′ ｉ ．
ｅ ｅ ｅ （ ＋１０１２）－（１０１３－ ）＝４ ＋１， ∑ｉ＝ （ ）＝ ４０４８
极大值． 分 １
（５ ）
证明 设切点为 ｘ ｘ ｘ 则切线的方程为ｙ ｘ ｘ
（２） ： （ ０， ０ｌｎ ０）， － ０ｌｎ ０＝
