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专题三 函数的概念与基本初等函数
3.1 函数及其性质
基础篇
考点 一 函数的概念及表示 域和值域分别与函数 ｙ ｌｇ ｘ的定义域和值
＝１０
域相同的是
１.( 届兰州五十五中开学考ꎬ )函数 ｙ ( )
２０２３ ６ ＝
ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ １
ｌｎ(１－ ) １的定义域是 Ａ. ＝ Ｂ. ＝ｌｇ Ｃ. ＝２ Ｄ. ＝ ｘ
ｘ
＋ｘ ( )
＋１ 答案 Ｄ 函数 ｙ ｌｇ ｘ的定义域 值域均为
＝１０ 、
Ａ.[－１ꎬ０)∪(０ꎬ１) Ｂ.[－１ꎬ０)∪(０ꎬ１] 而 ｙ ｘ ｙ ｘ 的定义域均为 Ｒ 排
(０ꎬ＋∞)ꎬ ＝ ꎬ ＝２ ꎬ
Ｃ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１) Ｄ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１] 除 ｙ ｘ 的值域为 Ｒ 排除 故选 .
ì ｘ ＡꎬＣꎻ ＝ｌｇ ꎬ Ｂꎬ Ｄ
ï
ï １－ >０ꎬ 易错警示
答案 Ｃ 要使函数有意义 则íｘ 解
ꎬ ï ＋１>０ꎬ 利用对数恒等式将函数 ｙ ｌｇ ｘ变为 ｙ ｘꎬ将
î
ï
ｘ
＝１０ ＝
≠０ꎬ 其值域认为是 Ｒ 是失分的主要原因.
得 ｘ 或 ｘ .所以函数的定义域为
－１< <０ ０< <１
.故选
(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１) Ｃ. ４.( 浙江绍兴模拟ꎬ )下列函数中 函数值
２.( 长沙雅礼中学月考ꎬ )下列各组函数 ２０２２ ３ ꎬ
２０２２ ４ 域为 的是
中 ｆ ｘ ｇ ｘ 是同一函数的是
(０ꎬ＋∞) ( )
ꎬ ( )ꎬ ( ) ( ) ｙ ｘ ２ ｘ
Ａ. ＝( ＋１) ꎬ ∈(０ꎬ＋∞)
ｆ ｘ ｘ２ ｇ ｘ ｘ ４
Ａ. ( )＝ ꎬ ( )＝ ( ) ｙ ｘ ｘ
Ｂ. ＝ｌｏｇ２ ꎬ ∈(１ꎬ＋∞)
Ｂ.
ｆ
(
ｘ
)＝ ｌｏｇａ
ｘ２
ꎬ
ｇ
(
ｘ
)＝ ２ ｌｏｇａ
ｘ
ｙ ｘ
Ｃ. ＝２ －１
ｘ
ｆ ｘ ４ －１ ｇ ｘ ｘ ｙ ｘ
Ｃ. ( )＝ ｘ ꎬ ( )＝ ２ ＋１ Ｄ. ＝ ２ －１
２ －１ 答案 Ｂ 对于 函数ｙ ｘ ２ ｘ
Ａꎬ ＝( ＋１) ꎬ ∈(０ꎬ＋
ｆ ｘ ｘ ｘ ｇ ｘ ｘ ｘ
Ｄ. ( )＝ －１ １－ ꎬ ( )＝ －１＋ １－ 的值域为 所以 不符合题意
∞) (１ꎬ＋∞)ꎬ Ａ ꎻ
答案 Ｄ 对于
Ａꎬ
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２ 的定义域为Ｒ
ꎬ
ｇ
对 于 因 为 ｙ ｘ 在
Ｂꎬ ＝ ｌｏｇ２ ( １ꎬ
ｘ ｘ ４ 的定义域为 故不是同 上单调递增 所以 ｙ ｘ 所
( )＝ ( ) [０ꎬ＋∞)ꎬ ＋∞) ꎬ ＝ｌｏｇ２ >ｌｏｇ２１＝０ꎬ
一函数 以函数的值域为 所以 符合题意
ꎻ (０ꎬ＋∞)ꎬ Ｂ ꎻ
对于 ｆ ｘ ｘ２ 的定义域为 ｘ ｘ ｇ 对于 函数 ｙ ｘ 的值域为
Ｂꎬ ( )＝ ｌｏｇａ { ｜ ≠０}ꎬ Ｃꎬ ＝２ －１ (－∞ꎬ＋∞)ꎬ
ｘ ｘ 的定义域为 故不是同 所以 不符合题意 对于 函数 ｙ ｘ
5 ( )＝ ２ｌｏｇａ (０ꎬ＋∞)ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ ＝ ２ －１
年 一函数 的值域为 所以 不符合题意.故
高 ꎻ [０ꎬ＋∞)ꎬ Ｄ
考 ｘ
选
3 对于 ｆ ｘ ４ －１的定义域为 ｘ ｘ ｇ Ｂ.
年 Ｃꎬ ( )＝ ｘ { ｜ ≠０}ꎬ
模 ２ －１ ５.(多选)( 海南中学模拟ꎬ )下面关于函
拟 ｘ ｘ 的定义域为 Ｒ 故不是同一函数 ２０２２ ９
A ( )＝ ２ ＋１ ꎬ ꎻ ｘ
数 ｆ ｘ ２ －３的性质 说法正确的是
版 对于 ｆ ｘ ｇ ｘ 的定义域均为 对应 ( )＝ ｘ ꎬ ( )
Ｄꎬ ( )ꎬ ( ) {１}ꎬ －２
高 关系均为 ｙ 故是同一函数.故选 ｆ ｘ 的定义域为
考 ＝０ꎬ Ｄ. Ａ. ( ) (－∞ꎬ２)∪(２ꎬ＋∞)
数
学 ３.( 课标 ꎬ ꎬ 分)下列函数中 其定义 ｆ ｘ 的值域为 Ｒ
２０１６ Ⅱ １０ ５ ꎬ Ｂ. ( )
４２
ｆ ｘ 在定义域上单调递减 答案 Ｄ ｆ ２ ｆ ｆ
Ｃ. ( ) ∵ (－３)＝ (－３) －１＝８ꎬ∴ ( (－
点 是 ｆ ｘ 图象的对称中心 ｆ 故选
Ｄ. (２ꎬ２) ( ) ３))＝ (８)＝ ｌｏｇ２８＝３ꎬ Ｄ.
ｘ ｘ ２.( 广东广雅中学月考ꎬ )已知函数ｆ ｘ
答案 ＡＤ ｆ ｘ ２ －３ ２( －２)＋１ ２０２２ ５ ( )
( ) ＝ ｘ ＝ ｘ ＝ ２
－２ －２ ì ï ｘ ｘ
２ ꎬ０≤ ≤１ꎬ
ï
１ . ï ｘ æ æ æ ööö
＋ｘ í２ꎬ１< <２ꎬ 则 ｆçｆçｆç３ ÷÷÷的值为
－２ ＝ ï è è è øøø ( )
２
ï１ ｘ
ï
将 ｙ １的图象向右平移 个单位 再向上平 î ꎬ ≥２ꎬ
＝ ｘ ２ ꎬ ２
１
移 个单位得到ｆ ｘ １ 的图象 因为ｙ Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.－３ Ｄ.
２ ( )＝ ２＋ｘ ꎬ ２
－２
æ ö
答案 Ａ 由题意得 ｆç３ ÷ ｆ １ ｆ
１的图象关于点 对称 所以 ｆ ｘ 的 ꎬ è ø ＝２ꎬ (２)＝ ꎬ
＝ ｘ (０ꎬ０) ꎬ ( ) ２ ２
æ ö æ æ æ ööö
图象关于点 对称 故 正确 函数 ｆ ç１ ÷ １ 所以 ｆçｆçｆç３ ÷÷÷ ｆ ｆ ｆ
(２ꎬ２) ꎬ Ｄ ꎻ è ø ＝２× ＝１ꎬ è è è øøø ＝ ( (２))＝
２ ２ ２
ｘ 的定义域为 值域为
( ) (－∞ꎬ２)∪(２ꎬ＋∞)ꎬ æ ö
ç１ ÷ .故选 .
故 正确 错误 函
(－∞ꎬ２)∪(２ꎬ＋∞)ꎬ Ａ ꎬＢ ꎻ è ø ＝１ Ａ
２
数 ｆ ｘ 在 上单调递减 故
( ) (－∞ꎬ２)ꎬ(２ꎬ＋∞) ꎬ ３.( 届福建部分名校联考ꎬ )已知函数
２０２３ ６
错误.故选
Ｃ ＡＤ. {ｘ２ ｘ ｘ æａö
ｆ ｘ ＋ ꎬ >０ꎬ若ｆ ａ ｆ ａ 则ｆç ÷
６.( 江苏ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ｘ 的 ( )＝ ｘ ｘ . ( －２)＝ ( )ꎬ è ø ＝
２０１８ ５ ５ ( )＝ ｌｏｇ２ －１ ５ ＋６ꎬ ≤０ ２
定义域为 .
( )
答案
[２ꎬ＋∞)
Ａ.１１ Ｂ.６ Ｃ.４ Ｄ.２
解析 由题意可得
ｌｏｇ２
ｘ
－１≥０ꎬ
即
ｌｏｇ２
ｘ
≥１ꎬ 答案 Ｄ 因为 ｆ ｘ
{ｘ２
＋
ｘ
ꎬ
ｘ
>０ꎬ 所以函
ｘ . ( )＝ ｘ ｘ
∴ ≥２ ５ ＋６ꎬ ≤０ꎬ
函数 ｆ ｘ 的定义域为 . 数 ｆ ｘ 在 和 上均为增函
∴ ( ) [２ꎬ＋∞) ( ) (－∞ꎬ０] (０ꎬ＋∞)
易错警示 {ａ
数 因为 ｆ ａ ｆ ａ 所以 －２≤０ꎬ解得
本题易错误认为“ｘ ꎬ得到 ｘ ”.注意 ꎬ ( －２)＝ ( )ꎬ ａ
－１≥１ ≥２
>０ꎬ
区分“ ｘ ”与“ (ｘ )”的写法不同
ｌｏｇ２ －１ ｌｏｇ２ －１ ０<
ａ
≤２
.由题意可得 ａ２
＋
ａ
＝５(
ａ
－２)＋６ꎬ
即 ａ２
之处.
æａö
ａ 解得 ａ 所以 ｆç ÷ ｆ ２
７.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ －４ ＋４＝０ꎬ ＝２ꎬ è ø ＝ (１)＝ １ ＋
２０１８ Ⅰ １３ ５ ( )＝ ２
ｌｏｇ２(
ｘ２
＋
ａ
)
.若ｆ
(３)＝ １ꎬ
则 ａ
＝
.
１＝２
.故选
Ｄ.
答案 ４.( 山 东 文ꎬ ꎬ 分) 设 ｆ ｘ
－７ ２０１７ ９ ５ ( ) ＝
解析 ｆ ｘ ｘ２ ａ 且 ｆ {
ｘ ｘ æ ö
∵ ( )＝ ｌｏｇ２( ＋ ) (３)＝ １ꎬ
ꎬ０< <１ꎬ 若 ｆ ａ ｆ ａ 则 ｆç１ ÷
ｆ ａ ａ ａ . ｘ ｘ . ( )＝ ( ＋１)ꎬ èａø ＝ 专
∴ (３)＝ ｌｏｇ２(９＋ )＝ １ꎬ∴ ＋９＝２ꎬ∴ ＝－７ ２( －１)ꎬ ≥１ 题
三
考点 二 分段函数 ( ) 函
数
Ａ.２ Ｂ.４ Ｃ.６ Ｄ.８ 的
１.( 福建厦门模拟ꎬ )已知函数 ｆ ｘ 概
答案 Ｃ 解法一 当 ａ 时 ａ ｆ
２０２２ ３ ( )＝ 念
: ０< <１ ꎬ ＋１>１ꎬ∴
{ ｘ ｘ 与
ｌｏｇ２ ꎬ ≥１ꎬ则
ｆ ｆ (
ａ
)＝
ａ
ꎬ
ｆ
(
ａ
＋１)＝ ２(
ａ
＋１－１)＝ ２
ａ.由 ｆ
(
ａ
)
基
本
ｘ２
－１ꎬ
ｘ
<１ꎬ
( (－３))＝ ( )
æ ö
初
等
ｆ ａ 得 ａ ａ ａ １.此时 ｆç１ ÷ ｆ 函
＝ ( ＋１) ＝２ ꎬ∴ ＝ èａø ＝ 数
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３ ４
４３
.当 ａ 时 ａ
(４)＝ ２×(４－１)＝ ６ ≥１ ꎬ ＋１>１ꎬ １矛盾 舍去
ꎬ ꎻ
ｆ ａ ａ ｆ ａ ａ ａ.
２
∴ ( )＝ ２( －１)ꎬ ( ＋１)＝ ２( ＋１－１)＝ ２
æ æ öö æ ö
由ｆ ａ ｆ ａ 得 ａ ａ 无解.综上
( )＝ ( ＋１) ２( －１)＝ ２ ꎬ ꎬ 当１ ａ 即 ａ １时 ｆçｆç１ ÷÷ ｆç１ ａ÷
－ ≥１ꎬ ≤－ ꎬ è è øø ＝ è － ø
æ ö ２ ２ ４ ２
ｆç１ ÷ 故选 .
èａø ＝６ꎬ Ｃ １ ２－ ａ ２ 则１ ａ 即 ａ ３ 满足 ａ
＝２ ＝４＝２ ꎬ － ＝２ꎬ ＝－ ꎬ
解法二 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ为增函数 ２ ２
:∵ ０< <１ ꎬ ( )＝ ꎬ
当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 为增函数 又 ｆ １.故 ａ ３.
≥１ ꎬ ( )＝ ２( －１) ꎬ ∵ ≤－ ＝－
２ ２
ａ ｆ ａ ａ ａ ａ １.
( )＝ ( ＋１)ꎬ∴ ＝２( ＋１－１)ꎬ∴ ＝ ∴ 考点 三 函数的单调性及最值
４
æ ö
ｆç１ ÷ ｆ 故选 . 考向一 判断函数的单调性
èａø ＝ (４)＝ ６ꎬ Ｃ
１.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)下列函数中是增函
５.( 届山东潍坊五县联考ꎬ )已知函数 ２０２１ ４ ５
２０２３ １３
数的为
{ ｘ ｘ ( )
ｆ ｘ ２ －１ꎬ ≤０ꎬ 若 ｆ ｍ 则 ｍ . æ öｘ
( )＝ ｘ１ ２ ｘ . ( )＝ ３ꎬ ＝ Ａ. ｆ ( ｘ )＝ － ｘ Ｂ. ｆ ( ｘ )＝ è ç ２ ø ÷
ꎬ >０
３
答案
９ ｆ ｘ ｘ２ ｆ ｘ ３ｘ
Ｃ. ( )＝ Ｄ. ( )＝
解析 当 ｍ 时 ｆ ｍ ｍ 则 ｍ
≤０ ꎬ ( )＝ ２ －１＝３ꎬ ＝２ 答案 Ｄ 对于 ｆ ｘ ｘ 易知 ｆ ｘ 是减函
( )＝ － ꎬ ( )
不成立
>０ ꎻ æ öｘ
数 故 不符合题意 对于 ｆ ｘ ç ２÷ 易知
当ｍ 时 ｆ ｍ ｍ１ ２ ｍ 则ｍ 成立. ꎬ Ａ ꎻ ( )＝ è ø ꎬ
>０ ꎬ( )＝ ＝ ＝３ꎬ ＝９>０ ３
综上 ｍ . ｆ ｘ 是减函数 故 不符合题意 对于 ｆ ｘ
ꎬ ＝９ ( ) ꎬ Ｂ ꎻ ( )
６.( 浙江ꎬ ꎬ 分)已知ａ Ｒ 函数ｆ ｘ ｘ２ 由二次函数的图象可知 ｆ ｘ 在
２０２１ １２ ４ ∈ ꎬ ( )＝ ＝ ꎬ ꎬ ( ) (－∞ꎬ
{ｘ２
－４ꎬ
ｘ
>２ꎬ 若ｆ ｆ 则ａ . ０)
上单调递减
ꎬ
在
(０ꎬ＋∞)
上单调递增
ꎬ
故
Ｃ
ｘ ａ ｘ . ( ( ６))＝３ꎬ ＝ 不符合题意 对于 ｆ ｘ ３ｘ ｘ１ ３ 由幂函数的
｜ －３｜＋ ꎬ ≤２ ꎻ ( )＝ ＝ ꎬ
答案 性质可知 ｆ ｘ 在 上单调递增 故
２ ꎬ ( ) (－∞ꎬ＋∞) ꎬ
解析 因为 ６> ４ ＝２ꎬ 所以 ｆ ( ６)＝ ( ６) ２ － 选 Ｄ .
２.(多选)( 华中师大琼中附中月考ꎬ )
４＝２ꎬ ２０２２ １０
下列函数中 满足 ｘ ｘ 都有
所以 ｆ ｆ ｆ ａ ａ
( ( ６))＝ (２)＝ ｜２－３｜＋ ＝１＋ ＝３ꎬ
ꎬ “∀ １ꎬ ２∈(０ꎬ＋∞)ꎬ
ｆ ｘ ｆ ｘ
解得 ａ .
＝２ ( １)－ ( ２) 的有
ｘ ｘ <０” ( )
７.( 广东肇庆二模ꎬ ) 设函数 ｆ ｘ －
１ ２
２０２１ １４ ( ) ＝
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ
{ ｘ ａ ｘ æ æ öö Ａ. ( )＝ ｜ －１｜ Ｂ. ( )＝ －３ ＋１
２ － ꎬ <１ꎬ若ｆçｆç１ ÷÷ 则 ａ .
ｘ ｘ è è øø ＝４ꎬ ＝ ｆ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｘ ２
２ ꎬ ≥１ꎬ ４ Ｃ. ( )＝ ＋４ ＋３ Ｄ. ( )＝ ｘ
5
年
高 答案 ３ 答案 ＢＤ 由 ｘ ｘ 都有
考 － ∀ １ꎬ ２ ∈(０ꎬ＋∞ )ꎬ
3 ２ ｆ ｘ ｆ ｘ
年 æ ö ( １)－ ( ２) 知ｆ ｘ 应为 上的减
模 解析 １ ｆç１ ÷ １ ａ １ ａ. ｘ ｘ <０ꎬ ( ) (０ꎬ＋∞)
拟 ∵ <１ꎬ∴ è ø ＝２× － ＝ － １ － ２
４ ４ ４ ２
函数.对于 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则 ｆ ｘ
A æ æ öö æ ö Ａꎬ >１ ꎬ ( )＝ －１ꎬ ( )
版 当１ ａ 即 ａ １时 ｆçｆç１ ÷÷ ｆç１ ａ÷ 在 上为增函数 故 错误.对于 ｆ
－ <１ꎬ >－ ꎬ è è øø ＝ è － ø ＝ (１ꎬ＋∞) ꎬ Ａ Ｂꎬ
２ ２ ４ ２
高
ｘ ｘ 在 上为减函数 故 正
考 æ ö
数 ç １ ａ÷ ａ ａ 解得 ａ 与 ａ
( )＝ －３ ＋１ (０ꎬ＋∞) ꎬ Ｂ
学 ２×è － ø－ ＝１－３ ＝４ꎬ ＝－１ꎬ >－ 确.对于 ｆ ｘ 图象的对称轴为直线 ｘ
２ Ｃꎬ ( ) ＝－
４４
２ 故 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 在 上为增函 对于 易知函数的定义域为 Ｒ.记 ｔ ｘ
ꎬ ( )＝ ＋４ ＋３ (０ꎬ＋∞) Ｄꎬ ( )＝ ｜
ｘ 则ｔ ｘ ｘ ｘ ｔ ｘ
数 故 错误.对于 ｆ ｘ ２在 ｓｉｎ ｜ꎬ (－ )＝ ｜ｓｉｎ(－ )｜ ＝ ｜ｓｉｎ ｜ ＝ ( )ꎬ
ꎬ Ｃ Ｄꎬ ( )＝ ｘ (０ꎬ＋∞)
所以函数 ｔ ｘ ｘ 为偶函数 所以选项
( )＝ ｜ｓｉｎ ｜ ꎬ
上为减函数 故 正确.故选 .
不符合题意.故选
ꎬ Ｄ ＢＤ
Ｄ Ｃ.
３.( 课标文ꎬ ꎬ 分)下列函数中 既是偶
２０１１ ３ ５ ꎬ 考向二 由单调性确定参数的值（或取值范围）
函数又在 单调递增的函数是
(０ꎬ＋∞) １.( 河北曲阳一中月考ꎬ ) 若 ｆ ｘ
２０２２ ６ ( ) ＝
( ) { ａ ｘ ａ ｘ
(６－ ) － ꎬ <１ꎬ是定义在 Ｒ 上的增函数
Ａ.
ｙ
＝
ｘ３
Ｂ.
ｙ
＝ ｜
ｘ
｜＋１ ｘ ｘ ꎬ
ｌｏｇａ ＋３ꎬ ≥１
ｙ ｘ２ ｙ －｜ ｘ ｜
Ｃ. ＝－ ＋１ Ｄ. ＝２ 则实数 ａ 的取值范围是
( )
答案 Ｂ 对于 ｙ ｘ３ 为奇函数 不合题
Ａꎬ ＝ ꎬ é ö
ê
３ ÷
意.对于 令 ｆ ｘ ｙ ｘ .ｆ ｘ 的定义域 ê
Ｂꎬ ( )＝ ＝ ｜ ｜＋１ ( )
Ａ.[１ꎬ５] Ｂ.ë ꎬ５ø
２
为 Ｒ ｆ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ
æ ö
ꎬ (－ )＝ ｜－ ｜＋１＝ ｜ ｜＋１＝ ( )ꎬ
ç３ ÷
ｘ 为偶函数 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 为 Ｃ.è ꎬ５ø Ｄ.(１ꎬ５)
( ) ꎬ >０ ꎬ ( )＝ ＋１ꎬ (０ꎬ＋ ２
上的单调递增函数 符合题意.对于 { ａ ｘ ａ ｘ
∞) ꎬ Ｃꎬ 答案 Ｂ 因为 ｆ ｘ (６－ ) － ꎬ <１ꎬ是
ｙ ｘ２ 和ｙ －｜ ｘ ｜ 在 上单调递 ( )＝ ｘ ｘ
Ｄꎬ ＝－ ＋１ ＝２ (０ꎬ＋∞) ｌｏｇａ ＋３ꎬ ≥１
减 不合题意.故选 . 定 义 在 Ｒ 上 的 增 函 数 所 以
ꎬ Ｂ ꎬ
４.( 福建龙岩重点高中月考ꎬ )下列函数 ì ａ
ï
２０２２ ２ ６－ >１ꎬ
ï
中 既为奇函数又在定义域内单调递增的是 íａ 解得３ ａ 故选 .
ꎬ ï >１ꎬ ≤ <５ꎬ Ｂ
ï ２
î ａ ａ
( ) ｌｏｇａ１＋３≥(６－ )－ ꎬ
ｙ － ｘ ｘ ｙ ｘ２ ２.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ
Ａ. ＝２ －２ Ｂ. ＝ｌｏｇ２( ＋１) ２０２０ Ⅱ ７ ５ ( )＝
ｘ ｘ２ ｘ 在 ａ 单调递增 则 ａ 的取
ｙ １＋ ｘ ｙ ｘ ｌｇ( －４ －５) ( ꎬ＋∞) ꎬ
Ｃ. ＝ｌｎ ｘ＋ Ｄ. ＝ ｜ｓｉｎ ｜
１－ 值范围是
( )
答案 Ｃ 对于 由于 ｙ － ｘ是减函数 ｙ
Ａꎬ ＝２ ꎬ ＝
Ａ.(－∞ꎬ－１] Ｂ.(－∞ꎬ２]
ｘ 是减函数 所以 为减函数 减函数 减
－２ ꎬ Ａ ( ＋
Ｃ.[２ꎬ＋∞) Ｄ.[５ꎬ＋∞)
函数 减函数 所以 不符合题意
＝ )ꎬ Ａ ꎻ 答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 在 ａ
∵ ( )＝ ｌｇ( －４ －５) ( ꎬ＋∞)
对于 易知函数的定义域为 Ｒ.记 ｇ ｘ
Ｂꎬ ( )＝ {ａ２ ａ
上单调递增 －４ －５≥０ꎬ解得ａ .故ａ
ｌｏｇ２( ｘ２ ＋１)ꎬ 则 ｇ (－ ｘ )＝ ｌｏｇ２[(－ ｘ ) ２ ＋１] ＝ ｇ ꎬ∴ ａ ≥５
≥２ꎬ
(
ｘ
)ꎬ
所以函数 ｇ
(
ｘ
)＝ ｌｏｇ２(
ｘ２
＋１)
是偶函数
ꎬ 的取值范围为
[５ꎬ＋∞)
.
不符合题意
ꎻ ３.( 石家庄二中月考ꎬ )已知函数ｆ ｘ
２０２２ ６ ( )＝
对于 函数的定义域为 关于原点
Ｃꎬ (－１ꎬ１)ꎬ {ｘ２ ａｘ ａ ｘ
对称 －２ ＋４ ꎬ <１ꎬ 若对任意 ｘ ｘ Ｒ 且
ꎬ ａ ｘ ａ ｘ １ꎬ ２∈ ꎬ 专
( －２) ＋４ ꎬ ≥１ꎬ 题
ｘ ｘ
三
记 ｆ ｘ １＋ ｘ 所以 ｆ ｘ １－ ｘ ｘ ｘ 有 ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 成立 则
( )＝ ｌｎ ｘ＋ ꎬ (－ )＝ ｌｎ ｘ－ ＝ １≠ ２ꎬ ( １ － ２)[ ( １)－ ( ２)]<０ ꎬ 函
１－ １＋
实数 ａ 的值是 数
æ ｘ ö ( ) 的
ç １＋ ｘ÷ ｆ ｘ 所以函数是奇函数 又 概
－èｌｎ ｘ＋ ø ＝－ ( )ꎬ ꎬ 念
１－ ６ ３ 与
Ａ.２ Ｂ. Ｃ. Ｄ.１
æ ö ５ ４ 基
ｆ ｘ ç ２ ÷ ｘ 是增函数 所以符合 本
( )＝ ｌｎè－１＋ ｘø＋ ꎬ 答案 Ｄ 因为对任意 ｘ ｘ Ｒ 且 ｘ ｘ 初
１－ １ꎬ ２∈ ꎬ １≠ ２ꎬ 等
函
题意 有 ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 成立 所以函数 数
ꎻ ( １ － ２)[ ( １)－ ( ２)]<０ ꎬ
４５
在Ｒ上单调递减 ｘ 在 上的值域是
ꎬ ４ [１ꎬ２) ( )
ìａ é ö é ö
ï ê ê
≥１ꎬ １７÷ １７÷
ï ê ê
则有íａ ａ .故选 Ａ.ë５ꎬ ø Ｂ.ë４ꎬ ø
２ ２
ï －２<０ꎬ ∴ ＝１ Ｄ.
ï æ ö
î １－２ ａ ＋４ ａ ≥ ａ －２＋４ ａ ꎬ ç １７÷
Ｃ.è０ꎬ ø Ｄ.[５ꎬ＋∞)
４.(多选)( 山东泰安模拟ꎬ )函数 ｆ ｘ ２
２０２２ ９ ( )＝
答案 Ａ 因 为 ｆ ′ ｘ １
ｘ ａ
２ － 在区间 ｂ 上单调递增 则下列说 ( ) ＝ － ｘ２ ＋ ４ ＝
ｘ ( ꎬ＋∞) ꎬ
＋１ ｘ ｘ
法正确的是 (２ ＋１)(２ －１) 所以当ｘ 时 ｆ ′ ｘ
( ) ｘ２ ꎬ ∈[１ꎬ２) ꎬ ( )
ａ ｂ
Ａ. >－２ Ｂ. >－１ ｆ ｘ 是增函数 所以 ｆ ｆ ｘ ｆ
>０ꎬ ( ) ꎬ (１)≤ ( )< (２)ꎬ
ｂ ａ
Ｃ. ≥－１ Ｄ. <－２
即 ｆ ｘ １７.故选 .
ｘ ａ ａ ５≤ ( )< Ａ
答案 ＡＣ ｆ ｘ ２ － ＋２. ２
( )＝ ｘ ＝２－ｘ
＋１ ＋１ ３.( 全国乙ꎬ ꎬ 分)下列函数中最小值为
２０２１ ８ ５
ｆ ｘ 在区间 ｂ 上单调递增 ａ
∵ ( ) ( ꎬ＋∞) ꎬ∴ ＋２> 的是
４ ( )
ａ
０ꎬ∴ >－２ꎬ
ｆ ｘ 在区间 上单调递增 ｂ Ａ.
ｙ
＝
ｘ２
＋２
ｘ
＋４ Ｂ.
ｙ
＝ ｜ｓｉｎ
ｘ
｜＋
４
ｘ
∵ ( ) (－１ꎬ＋∞) ꎬ∴ ≥ ｜ｓｉｎ ｜
.故选
－１ ＡＣ. ｙ ｘ ２－ ｘ ｙ ｘ ４
名师点睛 Ｃ. ＝２ ＋２ Ｄ. ＝ｌｎ ＋ ｘ
ｌｎ
已知函数的单调性确定参数的值或范围要 答案 Ｃ 对于 ｙ ｘ２ ｘ ｘ ２
Ａꎬ ＝ ＋２ ＋４＝( ＋１) ＋３
注意三点:( )若函数在区间[ａꎬｂ]上单调ꎬ 所以它的最小值为 所以 不符合题
１ ≥３ꎬ ３ꎬ Ａ
则该函数在此区间的任意子区间上也是单 意 对于 设 ｘ ｔ 则 ｔ ｙ
ꎻ Ｂꎬ ｜ ｓｉｎ ｜ ＝ ꎬ ０< ≤１ꎬ ＝
调的ꎻ( )分段函数的单调性ꎬ除注意各段的
２ ｘ ４ ｔ ４ ｔ 易知 ｙ ｔ
｜ｓｉｎ ｜＋ ｘ ＝ ＋ ｔ ꎬ ∈(０ꎬ１]ꎬ ＝ ＋
单调性外ꎬ还要注意衔接点的取值ꎻ( )复合
｜ｓｉｎ ｜
３
函数的单调性ꎬ不仅要注意内外函数单调性 ４在 上单调递减 故 ｔ 时 ｙ
ｔ (０ꎬ１] ꎬ ＝１ ꎬ ｍｉｎ ＝１＋
对应关系ꎬ而且要注意内外函数对应自变量
的取值范围. ４ 所以 不符合题意 对于 令 ｘ ｔ ｔ
＝５ꎬ Ｂ ꎻ Ｃꎬ ２ ＝ (
１
考向三 由单调性确定函数的值域
则 ｙ ｘ ２－ ｘ ｔ ４ ｔ 易知 ｙ ｔ ４
１.( 山东枣庄月考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ >０)ꎬ ＝２ ＋２ ＝ ＋ ｔ ꎬ >０ꎬ ＝ ＋ ｔ
２０２２ ３ ( )＝
在 上单调递减 在 上单调递
ｘ (０ꎬ２) ꎬ (２ꎬ＋∞)
２ 则 ｆ ｘ 在区间 上的最大值为
ｘ ꎬ ( ) [２ꎬ６]
－１ 增 所以当 ｔ 时 ｙ 取最小值 ｙ ４
ꎬ ＝２ ꎬ ꎬ ｍｉｎ ＝２＋ ＝
２
( )
故 符合题意 对于 令 ｘ ｔ ｔ Ｒ 且
5
４ꎬ Ｃ ꎻ Ｄꎬ ｌｎ ＝ ꎬ ∈
年 １２
高 Ａ. Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５
考 ５ ｔ 则 ｙ ｘ ４ ｔ ４ 显然ｔ 时 函数
≠０ꎬ ＝ｌｎ ＋ ｘ＝ ＋ ｔ ꎬ <０ ꎬ
3 ｘ ｌｎ
年 答案 Ｃ ｆ ｘ ２ ２ 在 上
模 ∵ ( )＝ ｘ ＝２＋ｘ [２ꎬ６] 值小于 不符合题意.故选 .
拟 －１ －１ ０ꎬ Ｃ
单调递减
A
ꎬ 考点 四 函数的奇偶性
版
ｆ ｘ ｆ .故选
高
∴ ( )ｍａｘ ＝ (２)＝ ４ Ｃ.
考向一 直接判断函数的奇偶性
考
数 ２.( 广东普通高中质检ꎬ )函数ｆ ｘ １
学 ２０２２ ３ ( )＝ ｘ ＋ １.( 广东深圳六校联考ꎬ )若定义在Ｒ 上的
２０２２ ３
４６
函数ｆ ｘ 不是偶函数 则下列命题正确的是 {ｘ２ ｘ ｘ
( ) ꎬ φ ｘ ＋２ ꎬ >０
Ｃ. ( )＝ ｘ２ ｘ ｘ
( ) － －２ ꎬ <０
ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ.∀ ∈ ꎬ ( )＋ (－ )＝ ０ Ｄ. ｈ ( ｘ )＝ ｌｏｇ１ ２( ｘ２ ＋１－ ｘ )
ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ｂ.∃ ∈ ꎬ ( )＋ (－ )＝ ０ 答案 ＡＢＤ .函数 ｙ ｆ ｘ 的定义域为
Ａ ＝ ( )
ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
Ｒ 关于原点对称 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ
Ｃ.∃ ∈ ꎬ ( )≠ (－ )
ꎬ ꎬ (－ )＝ － ｜－ ｜ ＝－ ｜ ｜ ＝
Ｄ.∀
ｘ
∈
Ｒ
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)≠
ｆ
(－
ｘ
)
{ｘ２ ｘ
ｆ ｘ 为奇函数 ｆ ｘ ꎬ ≥０ꎬ 结合 ｆ
答案 Ｃ
∵
定义在 Ｒ 上的函数 ｆ
(
ｘ
)
不是 － ( )ꎬ ꎬ ( )＝ ｘ２ ｘ
－ ꎬ <０ꎬ
偶函数 ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ .故选 .
ꎬ∴ ∃ ∈ ꎬ ( )≠ (－ ) Ｃ ｘ 的图象可知 函数 ｙ ｆ ｘ 是增函数. .函
( ) ꎬ ＝ ( ) Ｂ
ｘ
２.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ ｘ １－ 数 ｙ ｇ ｘ 的定义域为 Ｒ 关于原点对称 ｇ
２０２１ ４ ５ ( )＝ ｘꎬ ＝ ( ) ꎬ ꎬ
１＋
则下列函数中为奇函数的是 ｘ ｘ １ ｇ ｘ － ｘ １ － ｘ ｘ ｘ
( )＝ ２ － ｘꎬ (－ )＝ ２ － ｘ＝２ －２ ＝－(２ －
( ) －
２ ２
ｆ ｘ ｆ ｘ
Ａ. ( －１)－１ Ｂ. ( －１)＋１ － ｘ ｇ ｘ ｇ ｘ 是奇函数 因为 ｙ ｘ 是
２ )＝ － ( )ꎬ ( ) ꎬ ＝２
Ｃ. ｆ ( ｘ ＋１)－１ Ｄ. ｆ ( ｘ ＋１)＋１ 增函数 ｙ － ｘ是减函数 所以 ｇ ｘ ｘ － ｘ
ꎬ ＝２ ꎬ ( )＝ ２ －２
答案 Ｂ ｆ ｘ ２ 其图象的对称中 是增函数 所以函数 ｙ ｇ ｘ 既是奇函数 又
ꎬ ＝ ( ) ꎬ
( )＝ －１＋ｘ ꎬ
＋１ 是增函数. .函数ｙ φ ｘ 的定义域为
心为 将ｙ ｆ ｘ 的图象沿ｘ 轴向右
Ｃ ＝ ( ) (－∞ꎬ
(－１ꎬ－１)ꎬ ＝ ( ) 关于原点对称.结合图象可
０)∪(０ꎬ＋∞)ꎬ
平移 个单位 再沿 ｙ 轴向上平移 个单位
１ ꎬ １ 知 函数 φ ｘ 的图象不关于原点中心对称
ꎬ ( ) ꎬ
可得函数ｆ ｘ 的图象 其关于 对
( －１)＋１ ꎬ (０ꎬ０) 故函数 ｙ φ ｘ 不是奇函数. .函数ｙ ｈ ｘ
＝ ( ) Ｄ ＝ ( )
称 所以函数 ｆ ｘ 是奇函数 故选 .
ꎬ ( －１)＋１ ꎬ Ｂ 的定义域为 Ｒ 关于原点对称.因为ｈ ｘ ｈ
ꎬ (－ )＋
３.(
２０２０
课标
Ⅱ
ꎬ
１０
ꎬ
５
分)设函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
－ｘ
１
３ ꎬ (
ｘ
)＝ ｌｏｇ１ ２(
ｘ２
＋１＋
ｘ
) ＋ｌｏｇ１ ２ (
ｘ２
＋１ －
ｘ
)＝
ｙ ｈ ｘ 为奇函数 又ｈ ｘ
则ｆ ｘ ｌｏｇ１ ２１＝０ꎬ∴ ＝ ( ) ꎬ ( )＝ ｌｏｇ１ ２
( ) ( )
是奇函数 且在 单调递增 １ 在 上单调递增 ｈ 且
Ａ. ꎬ (０ꎬ＋∞) (０ꎬ＋∞) ꎬ (０)＝ ０
ｘ２ ｘ
是奇函数 且在 单调递减 ＋１＋
Ｂ. ꎬ (０ꎬ＋∞)
函数图象在定义域上连续 函数 ｙ ｈ ｘ
是偶函数 且在 单调递增 ꎬ∴ ＝ ( )
Ｃ. ꎬ (０ꎬ＋∞)
在 Ｒ 上 单 调 递 增 函 数 ｙ
是偶函数 且在 单调递减 ꎬ ∴ ＝
Ｄ. ꎬ (０ꎬ＋∞)
ｈ ｘ 既是奇函数 又是增函数.
答案 Ａ 函数 ｆ ｘ 的定义域为 ( ) ꎬ
( ) (－∞ꎬ０)∪
考向二 利用奇偶性求参数值
关于原点对称 ｆ ｘ ｘ ３
(０ꎬ＋∞)ꎬ ꎬ (－ )＝ (－ ) －
１.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ ｘ３
２０２１ Ⅰ １３ ５ ( )＝
１ ｘ３ １ ｆ ｘ 故ｆ ｘ ｘ３ １是奇
ｘ ３ ＝－ ＋ｘ３ ＝－ ( )ꎬ ( )＝ －ｘ３ ａ ｘ － ｘ 是偶函数 则 ａ .
(－ ) ( ２ －２ ) ꎬ ＝
答案
函数. ｆ ′ ｘ ｘ２ ３ ｆ ｘ 在区间 １
∵ ( )＝ ３ ＋ｘ４ >０ꎬ∴ ( ) (０ꎬ 解析 ｆ ｘ ｘ３ ａ ｘ － ｘ 为偶函数 ｆ 专
∵ ( )＝ ( ２ －２ ) ꎬ∴ 题
三
上单调递增.故选 . æ ö
＋∞) Ａ ｆ ａ １ ç １ａ ÷ ａ .当 函
４.(多选)( 山东学情联考ꎬ )下列既是奇
(１)＝ (－１)ꎬ∴ ２ － ＝－è －２øꎬ∴ ＝１
数
２ ２
２０２２ ９ 的
函数 又是增函数的是
ａ
＝１
时
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
(２
ｘ
－２
－ ｘ
)ꎬ
定义域为 Ｒ
ꎬ
且 概
念
ꎬ ( ) 与
满足 ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 为偶函数.
ｆ ｘ ｘ ｘ (－ )＝ ( )ꎬ ( ) 基
Ａ. ( )＝ ｜ ｜ 本
２.( 福建龙岩重点高中月考ꎬ )若函数 初
ｘ
２０２２ １４ 等
ｇ ｘ ４ －１
Ｂ. ( )＝ ｘ ｆ ｘ ｘ ｋｘ 为偶函数 则ｋ . 函
数
２ ( )＝ｌｏｇ４(４ ＋１)－ ꎬ ＝
４７
ｔ
答案 １ ＋１
ｔ ｔ ２ ｔ２ ｔ
２ 令 ｘ ｔ ｔ 则 ｍ －１ ( ＋１) ＋１＋２
解析 易知函数的定义域为 Ｒ.因为 ｆ ｘ ２ ＝ ( >１)ꎬ >ｔ２ ＝ ｔ２ ＝ ｔ２
( )＝ ＋１ ＋１ ＋１
ｘ ｋｘ 所以 ｆ ｘ － ｘ ｋｘ
ｔ２
－１
ｌｏｇ４(４ ＋１)－ ꎬ (－ )＝ ｌｏｇ４(４ ＋１)＋
ｔ
ｘ ｘ ｋｘ ２ ２ 对 ｔ 恒成立 ｙ ２
＝ｌｏｇ４(４ ＋１)－ ＋ ꎬ ＝１＋ｔ２ ＝１＋ >１ ꎬ∵ ＝
因为 ｆ ｘ 是偶函数 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ＋１ ｔ １ ｔ １
( ) ꎬ ( )＝ (－ )ꎬ － ＋ ｔ ＋ ｔ
ｋｘ ｘ ｋｘ 对任意 ｘ Ｒ 都成立 故 ｋ ｘ
＝－ ＋ ∈ ꎬ (２ －１)
在 上单调递减 ｙ ２ ｍ
(１ꎬ＋∞) ꎬ∴ ＝１＋ <２ꎬ∴
则 ｋ 解得 ｋ １. ｔ １
＝０ꎬ ２ －１＝０ꎬ ＝ ＋ ｔ
２
３.( 北京理ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ ｘ ｘ ｍ 的取值范围为 .
２０１９ １３ ５ ( )＝ ｅ ＋ ≥２ꎬ∴ [２ꎬ＋∞)
ａ － ｘ ａ 为常数 .若 ｆ ｘ 为奇函数 则 ａ 考向三 利用奇偶性求解析式（或函数值）
ｅ ( ) ( ) ꎬ ＝
若 ｆ ｘ 是 Ｒ 上的增函数 则 ａ 的 １.( 届辽宁六校期初ꎬ )已知函数 ｆ ｘ
ꎻ ( ) ꎬ ２０２３ ５ ( )＝
取值范围是 . æ ö
ａｘ３ ｂ ｘ ｘ ａ ｂ Ｒ 若 ｆçπ÷ 则
答案 ＋ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ( ꎬ ∈ )ꎬ è ø ＝１ꎬ
－１ (－∞ꎬ０] ３
解析 ｆ ｘ ｘ ａ － ｘ为奇函数 ｆ ｘ ｆ æ ö
∵ ( )＝ ｅ ＋ ｅ ꎬ∴ (－ )＋ ｆç π÷
ｘ 即 － ｘ ａ ｘ ｘ ａ － ｘ ａ ｘ è－ ３ ø ＝ ( )
( )＝ ０ꎬ ｅ ＋ ｅ ＋ｅ ＋ ｅ ＝０ꎬ∴ ( ＋１)(ｅ
－ ｘ ａ . Ａ.－１ Ｂ.０ Ｃ.１ Ｄ.２
＋ｅ )＝ ０ꎬ∴ ＝－１
ｆ ｘ 是 Ｒ 上的增函数 ｆ ′ ｘ 恒成 答案 Ｂ 因为 ｆ æ çπ ö ÷ ａ æ çπ ö ÷ ３ ｂ π
∵ ( ) ꎬ∴ ( )≥０ è ø ＝ è ø ＋ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
立 ｘ ａ － ｘ 即 ２ ｘ ａ ａ ２ ｘ 又 ３ ３ ３
ꎬ∴ ｅ － ｅ ≥０ꎬ ｅ － ≥０ꎬ∴ ≤ｅ ꎬ
∵ ｅ ２ ｘ >０ꎬ∴ ａ ≤０ .当 ａ ＝０ 时 ꎬ ｆ ( ｘ )＝ ｅ ｘ 是增 π ＝１ꎬ
３
函数 满足题意 故 ａ .
ꎬ ꎬ ≤０ æ ö３
即ａçπ÷ ｂ π π １
４.( 福建长汀一中月考二ꎬ )已知 ａ ｂ è ø ＋ ｓｉｎ ＝１－ｃｏｓ ＝ ꎬ
２０２２ ２０ ꎬ ∈ ３ ３ ３ ２
ｘ ｂ æ ö æ ö３ æ ö æ ö
Ｒ 且 ａ 函数 ｆ ｘ ４ ＋ 是奇函数. 所以 ｆç π÷ ａç π÷ ｂ ç π÷ ç π÷
>０ꎬ ( )＝ ｘ ａ è－ ø ＝ è－ ø ＋ ｓｉｎè－ ø＋ｃｏｓè－ ø
４ － ３ ３ ３ ３
求 ａ ｂ 的值 æ ö３
(１) ꎬ ꎻ ａçπ÷ ｂ π π １ π .故
＝－ è ø － ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝－ ＋ｃｏｓ ＝０
对任意 ｘ 不等式 ｍｆ ｘ ３ ３ ３ ２ ３
(２) ∈(０ꎬ＋∞)ꎬ ( )－
选
æ ｘ ö Ｂ.
ｆç ÷ 恒成立 求实数 ｍ 的取值范围.
è ø>０ ꎬ ２.( 山东枣庄三中月考ꎬ )已知函数ｆ ｘ
２ ２０２２ １３ ( )＝
解析
(１)
因为 ｆ
(
ｘ
)
是奇函数
ꎬ
所以 ｆ
(－
ｘ
) ｌｎ( １＋
ｘ２
－
ｘ
)＋１ꎬ
ｆ
(
ａ
)＝２ꎬ
则ｆ
(－
ａ
)＝
.
ｆ ｘ 答案
＝ － ( )ꎬ
０
5 即 ２－２ ａｂ ＋( ｂ － ａ ) (４ ｘ ＋４ － ｘ ) ＝ ０ 恒成立 ꎬ 解析 易知函数的定义域为 Ｒ.因为 ｆ ( ｘ )＝ ｌｎ
年 {ｂ ａ
高 － ＝０ꎬ ｘ２ ｘ 所以设 ｇ ｘ ｆ ｘ
考 ( １＋ － )＋１ꎬ ( )＝ ( )－１＝ｌｎ
3 ∴ ａｂ
年 ２－２ ＝０ꎬ ｘ２ ｘ
模 又 ａ 所以解得 ａ ｂ . ( １＋ － )ꎬ
拟 >０ꎬ ＝ ＝１
因为 ｇ ｘ ｇ ｘ ｘ２ ｘ
A æ ｘ ö æ ö (－ ) ＋ ( ) ＝ ｌｎ( １＋ ＋ ) ＋ｌｎ
不等式 ｍｆ ｘ ｆç ÷ ｍçç ２ ÷÷
版 (２) ( )－ è ø>０⇔ è１＋ ｘ ø－ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ２ 所以 ｇ ｘ 为
２ ４ －１ ( １＋ － )＝ ｌｎ(１＋ － )＝ ０ꎬ ( )
高
æ ö 奇函数 因为 ｆ ａ 所以ｇ ａ ｆ ａ
考
数 学 è ç ç １＋ ２ ｘ ２ ø ÷ ÷ >０ 对任意 ｘ ∈(０ꎬ＋∞) 恒成立 ꎬ ꎬ 即 ｇ ( ａ )＝ ２ꎬ ｇ ａ ( )＝ 所 ( 以 ) ｆ －１ ａ ＝
４ －１ ２－１＝１ꎬ (－ )＝ － ( )＝ －１ꎬ (－ )
４８
ｇ ａ . 令ｘ ｙ 得ｆ ｆ ｆ ｆ 故
＝ (－ )＋１＝－１＋１＝０ ＝１ꎬ ＝０ꎬ (１)＋ (１)＝ (１) (０)ꎬ
３.( 广东汕头金山中学期中ꎬ )已知函数 ｆ
２０２２ １３ (０)＝ ２ꎬ
ｆ ｘ 为定义在 Ｒ 上的奇函数 当 ｘ 时 同理 令 ｘ ｙ 得 ｆ
( ) ꎬ ≥０ ꎬ ꎬ ＝１ꎬ ＝１ꎬ (２)＝ －１ꎻ
ｆ ｘ ｘ ｍ 则 ｆ . 令 ｘ ｙ 得 ｆ
( )＝ ２ ＋ ꎬ (－２)＝
＝２ꎬ ＝１ꎬ (３)＝ －２ꎻ
答案 令 ｘ ｙ 得ｆ 令ｘ ｙ 得ｆ
－３
＝３ꎬ ＝１ꎬ (４)＝ －１ꎻ ＝４ꎬ ＝１ꎬ
解析 因为ｆ ｘ 为定义在Ｒ 上的奇函数 所
(５)＝ １ꎻ
( ) ꎬ
令 ｘ ｙ 得 ｆ .
以 ｆ ０ ｍ ｍ 所以 ｘ 时 ｆ ＝５ꎬ ＝１ꎬ (６)＝ ２
(０)＝ ２ ＋ ＝０ꎬ ＝－１ꎬ ≥０ ꎬ
ｘ ｘ .则 ｆ ｆ ２ . 故 ｆ (１)＋ ｆ (２)＋ ｆ (３)＋ ｆ (４)＋ ｆ (５)＋ ｆ (６)＝ ０ꎬ
( )＝ ２ －１ (－２)＝ － (２)＝ －(２ －１)＝ －３
４.( 河北保定重点高中月考ꎬ )已知函数 所以 ２２ ｆ ｋ ｆ ｆ ｆ ｆ .
２０２２ １９ ∑ ｋ＝ ( )＝ (１)＋ (２)＋ (３)＋ (４)＝ －３
ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上的奇函数 且当 ｘ 时 １
故选 .
( ) ꎬ >０ ꎬ
Ａ
ｆ
(
ｘ
)＝ －
ｘ２
＋２
ｘ.
２.( 届重庆八中入学考ꎬ )已知ｆ ｘ 为Ｒ
２０２３ １５ ( )
求函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上的解析式
(１) ( ) ꎻ 上的奇函数 且 ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
ꎬ ( )＋ (２－ )＝ ０ꎬ －１< <０
解关于 ｘ 的不等式 ｆ ｘ .
(２) ( )<３ 时 ｆ ｘ ｘ 则 ｆ .
解析 当 ｘ 时 ｘ 则 ｆ ｘ
ꎬ ( )＝ ２ ꎬ (ｌｏｇ２２０)＝
(１) <０ ꎬ－ >０ꎬ (－ )＝ －(－
答案 ４
ｘ ２ ｘ ｘ２ ｘ 由 ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上 －
) ＋２(－ )＝ － －２ ꎬ ( ) ５
的奇函数 得ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 且 ｆ 解析 因为 ｆ ｘ 是奇函数 所以 ｆ ｘ ｆ
ꎬ ( )＝ － (－ )＝ ＋２ ꎬ (０) ( ) ꎬ (－ )＝ －
. ｘ 又因为ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ
＝ ０ ( )ꎬ ( )＋ (２－ )＝ ０ꎬ (２－ )＝ －
ì
ï
ｘ２ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数ｆ ｘ
－ ＋２ ꎬ >０ꎬ ( )＝ (－ )ꎬ ( ＋２)＝ ( )ꎬ ( )
ï
综上 ｆ ｘ í ｘ 是周期Ｔ 的周期函数.
ꎬ ( )＝ ï０ꎬ ＝０ꎬ ＝２
î ï ｘ２ ｘ ｘ . æ ö æ ö
＋２ ꎬ <０ ｆ ｆç ２０÷ ｆç ５ ÷
当 ｘ 时 ｘ２ ｘ 恒成立 当 ｘ
(ｌｏｇ２２０)＝ èｌｏｇ２１６＋ｌｏｇ２
１６
ø ＝ è４＋ｌｏｇ２
４
ø ＝
(２) >０ ꎬ－ ＋２ <３ ꎻ ＝ ０
æ ö
时 显然成立 当 ｘ 时 ｘ２ ｘ 即 ｘ２ ｆç ５ ÷
ꎬ０<３ ꎻ <０ ꎬ ＋２ <３ꎬ èｌｏｇ２ ø
ｘ 解得 ｘ 此时 ｘ .综上 ｘ ４
＋２ －３<０ꎬ －３< <１ꎬ －３< <０ ꎬ æ ö æ ö
即不等式的解集为 . ｆç ４ ÷ ｆç ４ ÷ 又因为 ４
>－３ꎬ (－３ꎬ＋∞) ＝ è－ｌｏｇ２ ø ＝－ èｌｏｇ２ øꎬ ｌｏｇ２ ∈
５ ５ ５
且当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 所以 ｆ
考点 五 函数的周期性 (－１ꎬ０)ꎬ －１< <０ ꎬ ( )＝ ２ ꎬ
æ ö
１.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知函数ｆ ｘ 的定 è ç ｌｏｇ２ ４ ø ÷ ＝２ ｌｏｇ２ ４ ５ ＝ ４ ꎬ 所以 ｆ (ｌｏｇ２２０)＝ － ４.
２０２２ Ⅱ ８ ５ ( ) ５ ５ ５
义域为 Ｒ 且 ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｙ ｆ ｘ ｆ ｙ ３.( 辽宁渤海大学附中月考ꎬ )若函数
ꎬ ( ＋ )＋ ( － )＝ ( ) ( )ꎬ ２０２２ １４
２２ ｆ ｘ 是奇函数 定义域为 Ｒ 周期为 当 ｘ
ｆ 则 ｆ ｋ ( ) ꎬ ꎬ ２ꎬ ０<
(１)＝ １ꎬ ∑ ｋ＝ ( )＝ ( ) æ ö
１ 时 ｆ ｘ ｘ 则 ｆç ９÷ ｆ . 专
Ａ.－３ Ｂ.－２ Ｃ.０ Ｄ.１ <１ ꎬ ( )＝ ３ ꎬ è－ ø＋ (３)＝ 题
２ 三
答案 Ａ 令 ｙ 得 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
＝１ꎬ ( ＋１)＋ ( －１)＝ 答案
函
－ ３
ｘ 故 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ .由 数
( )①ꎬ ( ＋２)＋ ( )＝ ( ＋１)② ①② 解析 由题意知 ｆ ｆ ｆ ｆ 的
得 ｆ ｘ ｆ ｘ 故 ｆ ｘ (３)＝ (１)＝ (－１)＝ － 概
( ＋ ２) ＋ ( － １) ＝ ０ꎬ ( ＋ ２) ＝ æ ö æ ö æ ö 念
－ ｆ ( ｘ －１)ꎬ 所以 ｆ ( ｘ ＋３)＝ － ｆ ( ｘ )ꎬ 所以 ｆ ( ｘ ＋６) (１)ꎬ∴ ｆ (３)＝ ０ꎬ∵ ｆ è ç － ２ ９ ø ÷ ＝ ｆ è ç － ２ １ ø ÷ ＝－ ｆ è ç１ ２ ø ÷ ＝ 与 基 本
ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数 ｆ ｘ 的周期 初
＝ － ( ＋３)＝ ( )ꎬ ( ) æ ö 等
ｆç ９÷ ｆ . 函
为 . － ３ꎬ∴ è－ ø＋ (３)＝ － ３ 数
６ ２
４９
４.( 山东文ꎬ ꎬ 分)已知 ｆ ｘ 是定义在 为
２０１７ １４ ５ ( ) ４ꎬ
Ｒ 上的偶函数 且ｆ ｘ ｆ ｘ .若当 ｘ æ ö
ꎬ ( ＋４)＝ ( －２) ∈ ｆ ｆ １ ｆç１ ÷ π ２
[－３ꎬ０] 时 ꎬ ｆ ( ｘ )＝ ６ － ｘ ꎬ 则ｆ (９１９)＝ . ∴ (１５)＝ (－１)＝ ２ ꎬ è ２ ø ＝ｃｏｓ ４ ＝ ２ ꎬ
答案 æ ö
６ ｆ ｆ ｆç１ ÷ ２.
解析 由 ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ ｘ ｆ ｘ ∴ ( (１５))＝ è ø ＝
２ ２
( ＋４)＝ ( －２) ( ＋６)＝ ( )ꎬ
故 ｆ ｘ 是周期为 的函数.所以 ｆ ｆ ６.( 辽宁葫芦岛协作校月考ꎬ )已知ｆ ｘ
( ) ６ (９１９)＝ (６ ２０２２ １６ ( )
ｆ .因为 ｆ ｘ 为 Ｒ 上的偶函数 是定义在 Ｒ 上的奇函数 且对任意的 ｘ Ｒ
×１５３＋１)＝ (１) ( ) ꎬ ꎬ ∈ ꎬ
所以 ｆ ｆ .又 ｘ 时 ｆ ｘ 均有 ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ 时
(１)＝ (－１) ∈[－３ꎬ０] ꎬ ( )＝ (４＋ )＋ (－ )＝ ０ꎬ ∈[－１ꎬ０) ꎬ
６
－ ｘ
ꎬ
所以 ｆ
(－１)＝ ６
－(－１)
＝ ６
.从而 ｆ
(１)＝ ６ꎬ
故 ｆ
(
ｘ
)＝ ２
ｘ
ꎬ
则 ｆ
(１) ＋
ｆ
(２) ＋＋
ｆ
(２ ０２２)＝
ｆ . .
(９１９)＝ ６
５.( 江苏ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ
２０１８ ９ ５ ( ) ( ＋４) 答案 １
－
ｆ ｘ ｘ Ｒ 且在区间 上 ｆ ｘ ２
＝ ( )( ∈ )ꎬ (－２ꎬ２] ꎬ ( )
解析 由题意知 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所
ì ｘ (４＋ )＝ － (－ )＝ ( )ꎬ
ï
π ｘ
ï ïｃｏｓ ꎬ０< ≤２ꎬ
以 ｆ ｘ 的周期为 又 ｆ １ ｆ
í ２ 则 ｆ ｆ 的值为 ( ) ４ꎬ (－１)＝ ꎬ (０)＝ ０ꎬ
＝ ï ( (１５)) ２
ï ｘ １ ｘ
ï
î ＋ ꎬ－２< ≤０ꎬ ｆ １ ｆ ｆ １ ｆ 所
２
(１)＝ － ꎬ (２)＝ ０ꎬ (３)＝ ꎬ (４)＝ ０ꎬ
. ２ ２
以 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
(１)＋ (２)＋＋ (２ ０２２)＝ ５０５×[ (１)＋
答案 ２
ｆ ｆ ｆ ｆ １.
２ (２)＋ (３)＋ (４)]＋ (１)＋ (２)＝ －
解析 ｆ ｘ ｆ ｘ 函数 ｆ ｘ 的周期 ２
∵ ( ＋４)＝ ( )ꎬ∴ ( )
5
年 高
考
3
年
模
拟
A
版
高
考
数
学
５０
综合篇
考法 一 函数定义域的求法 义域为 .
答案
考向一 已知函数解析式求定义域 [０ꎬ１)∪(１ꎬ＋∞)
{ ｘ { ｘ
１.( 广东揭阳普宁段考ꎬ ) 函数 ｙ 解析 由题意知 ２ －１≥０ꎬ ２ ≥１ꎬ
２０２２ ２ ＝
ꎬ ｘ ⇒ ｘ ⇒
ｘ２ ｘ 的定义域为 ｜ ｜－１≠０ ｜ ｜≠１
ｌｏｇ０ . ５(４ －３ ) ( ) {ｘ
é ö æ ù æ ö æ ù ≥０ꎬ 所以 ｆ ｘ 的定义域为
ê ê １ ÷ ç３ ú ú ç １ ÷ ç３ ú ú ｘ 且 ｘ ( ) [０ꎬ１)
Ａ.ë－ ꎬ０ø∪è ꎬ１û Ｂ.è－ ꎬ０ø∪è ꎬ１û ≠－１ ≠１ꎬ
４ ４ ４ ４
.
é
ê
ö æ ö æ ö æ ö ∪(１ꎬ＋∞)
１ ÷ ç３ ÷ ç １ ÷ ç３ ÷
Ｃ.ë ê － ꎬ０ø∪è ꎬ１ø Ｄ.è－ ꎬ０ø∪è ꎬ１ø ３.( 湖北沙市中学月考ꎬ )函数ｆ ｘ
４ ４ ４ ４ ２０２２ １３ ( )＝
答案 Ａ 要使函数有意义 ꎬ 则有 ｌｏｇ０ . ５(４ ｘ２ ｘ２ ｘ ( ｘ －１) ０ 的 定 义 域 为
ｘ 可得 ｘ２ ｘ 即 －５ ＋６ ＋ ｘ ｘ
－３ )≥０ ＝ ｌｏｇ０ . ５１ꎬ ０<４ －３ ≤１ꎬ ＋｜ ｜
{ ｘ２ ｘ .
４ －３ >０ꎬ 解得 １ ｘ 或３ ｘ 故
ｘ２ ｘ － ≤ <０ < ≤１ꎬ 答案
４ －３ －１≤０ꎬ ４ ４ (０ꎬ１)∪(１ꎬ２]∪[３ꎬ＋∞)
选 . ì ï ｘ２ ｘ
Ａ －５ ＋６≥０ꎬ
ï
ｘ 解 析 由 题 意 得 íｘ 解 得
２.( 武汉检测ꎬ )函数 ｆ ｘ ２ －１的定 ï －１≠０ꎬ
ï
２０２２ １３ ( )＝ ｘ îｘ ｘ
｜ ｜－１ ＋｜ ｜>０ꎬ
ì ï ｘ 或 ｘ ｘ的定义域为 .
≥３ ≤２ꎬ
ï １－２
íｘ 故 ｘ 或 ｘ 或 ｘ . 答案
ï ≠１ꎬ ０< <１ １< ≤２ ≥３ [－１ꎬ０]
ï
îｘ 解 析 要 使 函 数 有 意 义 则 需 满 足
>０ꎬ
ꎬ
故函数的定义域是 { ｘ
(０ꎬ１)∪(１ꎬ２]∪[３ꎬ＋
－２≤２ ≤２ꎬ解得 ｘ 所以函数 ｇ ｘ
. ｘ －１≤ ≤０ꎬ ( )
∞)
１－２ ≥０ꎬ
考向二 求抽象函数的定义域 的定义域是 .
[－１ꎬ０]
１.( 届江西上饶、景德镇六校联考ꎬ )已知 ５.( 山东菏泽一中测试ꎬ )已知ｆ ｘ２
２０２３ ７ ２０２２ １４ ( －１)
函数 ｆ ｘ 的定义域为 则函数 ｙ 的定义域为 则 ｆ ｘ 的定义域为
( ) [３ꎬ６]ꎬ ＝ [１ꎬ３]ꎬ (２ －１)
ｆ ｘ ｘ 的定义域为 .
(２ )＋ｌｇ(２－ ) ( )
æ ö æ ù é ù
Ａ.è ç３ ꎬ２ø ÷ Ｂ.è ç３ ꎬ２û ú ú 答案 ë ê ê １ ꎬ ９ û ú ú
２ ２ ２ ２
é ö é ù
解析 由 ｆ ｘ２ 的定义域为 得 ｘ
ê ê ú ( －１) [１ꎬ３]ꎬ ∈
３ ÷ ３
ê ê ú
Ｃ.ë ꎬ２ø Ｄ.ë ꎬ２û 所以 ｘ２ 所以 ｘ２
２ ２ [１ꎬ３]ꎬ ∈[１ꎬ９]ꎬ －１∈[０ꎬ８]ꎬ
答案 Ｃ ｆ ｘ 的定义域为 所以 ｆ ｘ 的定义域为 ｘ
∵ ( ) [３ꎬ６]ꎬ∴ ３≤ ( ) [０ꎬ８]ꎬ∴ ０≤２ －１≤
é ù
ｘ 又 ｘ ３ ｘ ｙ ｆ ｘ 解得 ｘ ê １ ９ ú 所以 ｆ ｘ 的定义域
２ ≤６ꎬ ２－ >０ꎬ∴ ≤ <２ꎬ∴ ＝ (２ )＋ｌｇ ８ꎬ ∈ë ê ꎬ û ú ꎬ (２ －１)
２ ２ ２
é ö é ù
(２－ ｘ ) 的定义域为 ë ê ê ３ ꎬ２ø ÷.故选 Ｃ. 为 ë ê ê １ ꎬ ９ û ú ú .
２ ２ ２
２.( 湖南师大附中开学考ꎬ )若函数 ｙ
２０２２ ４ ＝ 考法 二 函数解析式的求法
ｆ ｘ 的定义域是 则函数ｇ ｘ ｆ ｘ
( ) [－２ꎬ４]ꎬ ( )＝ ( ＋１)
考向一 利用待定系数法求函数解析式
ｆ ｘ 的定义域是
＋ (－ ) ( )
１.( 石家庄二中开学检测ꎬ )已知幂函数
２０２２ ３
Ａ.[－４ꎬ４] Ｂ.[－２ꎬ２]
æ ö
ｙ ｆ ｘ 的图象经过点 则 ｆç１ ÷
Ｃ.[－３ꎬ２] Ｄ.[２ꎬ４] ＝ ( ) (２ꎬ ２)ꎬ è ø ＝
{ ｘ ２
答案 Ｃ 由题意可知 －２≤ ＋１≤４ꎬ解得
ｘ － ( )
－２≤－ ≤４ꎬ
ｘ 所以函数 ｇ ｘ 的定义域为 ２ １
３≤ ≤２ꎬ ( ) [－３ꎬ Ａ.２ Ｂ. ２ Ｃ. Ｄ.
２ ２
.故选
２] Ｃ. 答案 Ｃ 设 ｆ ｘ ｘａ 则 ｆ ａ 可
( )＝ ꎬ (２)＝ ２ ＝ ２ꎬ
３.( 届福建龙岩一中月考ꎬ ) 若函数
２０２３ １４ æ ö
ｆ
(
ｘ２
＋１)
的定义域为
[－１ꎬ１]ꎬ
则 ｆ
(ｌｇ
ｘ
)
的定 得 ａ
＝
１
ꎬ
故 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ
ꎬ
因此
ꎬ
ｆ
è
ç１
ø
÷
＝
２.故
２ ２ ２
义域为 .
选
Ｃ.
答案
２.( 湖北龙泉中学月考ꎬ )已知对数函数 专
[１０ꎬ１００]
２０２２ ２ 题
解析 对于 ｆ
(
ｘ２
＋１)ꎬ
因为
－１≤
ｘ
≤１ꎬ
所以
１ ｙ ｆ ｘ 的图象过点 则 ｆ ３
三
＝ ( ) (ｅꎬ１)ꎬ (ｅ )＝ ( )
函
ｘ２ .因此对于 ｆ ｘ 有 ｘ
数
≤ ＋１≤２ (ｌｇ )ꎬ １≤ｌｇ ≤２ꎬ Ａ.－３ Ｂ.１ Ｃ.２ Ｄ.３ 的
解得 ｘ 所以ｆ ｘ 的定义域为 答案 Ｄ 设 ｆ ｘ ｘ ａ 且 ａ 因 概
１０≤ ≤１００ꎬ (ｌｇ ) ( )＝ ｌｏｇａ ( >０ ≠１)ꎬ 念
与
. 为函数图象过点 所以 ｆ 基
[１０ꎬ１００] (ｅꎬ１)ꎬ (ｅ)＝ ｌｏｇａｅ＝ 本
４.( ２０２２ 山东枣庄三中月考ꎬ １４ )已知函数ｆ ( ｘ ) １ꎬ ａ ＝ｅꎬ 所以 ｆ ( ｘ )＝ ｌｎ ｘ ꎬ 则ｆ (ｅ ３ )＝ ｌｎ ｅ ３ ＝３ . 初 等
函
的定义域为 则函数 ｇ ｘ ｆ ｘ 故选 数
[－２ꎬ２]ꎬ ( )＝ (２ )＋ Ｄ.
５１
３.(多选)( 辽宁阜新实验中学月考ꎬ )已
２０２２ ９ －２ꎬ
知函数 ｆ ｘ 是一次函数 满足 ｆ ｆ ｘ ｘ 所以 ｆ ｘ 的解析式为 ｆ ｘ ｘ２ .
( ) ꎬ ( ( ))＝ ９ ＋ ( ) ( )＝ －２
则 ｆ ｘ 的解析式可能为 考向二 利用方程思想求解析式
８ꎬ ( ) ( )
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ １.( 山东青岛二中期末ꎬ )函数 ｆ ｘ 对 ｘ
Ａ. ( )＝ ３ ＋２ Ｂ. ( )＝ ３ －２ ２０２２ ６ ( )
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ æ ö
Ｃ. ( )＝ －３ ＋２ Ｄ. ( )＝ －３ －４ 的一切实数均有ｆ ｘ ｆç２ ０２２÷ ｘ 则
答案 ＡＤ 设 ｆ ｘ ｋｘ ｂ ｋ 则 ｆ ｆ ≠０ ( )＋２ è ｘ ø ＝３ ꎬ
( )＝ ＋ ( ≠０)ꎬ (
ｘ ｋ ｋｘ ｂ ｂ ｋ２ｘ ｋｂ ｂ 则 ｋ２ｘ ｋｂ ｂ ｆ 等于
( ))＝ ( ＋ )＋ ＝ ＋ ＋ ꎬ ＋ ＋ ＝ (２ ０２２) ( )
ｘ 所 以
{ｋ２
＝９ꎬ 解 得
{ｋ
＝３ꎬ 或 Ａ.２ ０２０ Ｂ.－２ ０２０ Ｃ.－２ ０２１ Ｄ.２ ０２１
９ ＋ ８ꎬ ｋｂ ｂ ｂ æ ö
＋ ＝８ꎬ ＝２ 答案 Ｂ ｆ ｘ ｆç２ ０２２÷ ｘ ｆ
{ｋ ∵ ( ) ＋２ è ｘ ø ＝ ３ ①ꎬ∴
＝－３ꎬ所以 ｆ ｘ ｘ 或 ｆ ｘ ｘ .故
æ ö
ｂ ( )＝ ３ ＋２ ( )＝ －３ －４ ç２ ０２２÷ ｆ ｘ ３×２ ０２２ 由 得
＝－４ꎬ è ｘ ø＋２ ( )＝ ｘ ②ꎬ ①－②×２ －
选
ＡＤ.
４.(
２０２２
河北保定一模ꎬ
６
)已知函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
＋ ３
ｆ
(
ｘ
)＝ ３
ｘ
－
３×２×
ｘ
２ ０２２
ꎬ
ａｘ２ ｘ ｂ 的图象关于点 对称 则 ｂ
＋ ＋ (１ꎬ０) ꎬ ＝
ｆ ｘ ｘ ４ ０４４ ｆ
∴ ( )＝ － ＋ ｘ ꎬ∴ (２ ０２２)＝ －２ ０２２＋２＝
( )
故选
Ａ.－３ Ｂ.－１ Ｃ.１ Ｄ.３ －２ ０２０ꎬ Ｂ.
答案 Ｃ ｆ ｘ 的图象关于点 对称 ２.( 湖南岳阳月考ꎬ )已知函数 ｆ ｘ 满足
∵ ( ) (１ꎬ０) ꎬ ２０２２ ７ ( )
ｆ ｘ ｆ ｘ 又 ｆ ｘ ｘ ３ ａ ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ 则
∴ ( )＋ (２－ )＝ ０ꎬ (２－ )＝ (２－ ) ＋ (２ ２ ( )＋ (－ )＝ ３ ＋２ ＋６ꎬ ( )
ｘ ２ ｘ ｂ ｘ３ ａ ｘ２ ａ ｘ ｆ ｘ 的最小值为
－ ) ＋(２－ )＋ ＝－ ＋( ＋６) －(４ ＋１３) ＋ Ａ. ( ) ２
ａ ｂ ｘ２ ｘ
１０＋４ ＋ ꎬ ｘ Ｒ ２ ＋４ ＋３
Ｂ.∃ ∈ ꎬ ｆ ｘ >２
∴
ｆ
(
ｘ
)＋
ｆ
(２－
ｘ
)＝ (２
ａ
＋６)
ｘ２
－(４
ａ
＋１２)
ｘ
＋１０＋ ( )
ｆ ｘ 的最大值为
ａ ｂ
４ ＋２ ＝０ꎬ Ｃ. ( ) ２
ì ａ
ｘ２ ｘ
ï ｘ Ｒ ２ ＋４ ＋５
２ ＋６＝０ꎬ
ï Ｄ.∀ ∈ ꎬ ｆ ｘ >２
í ａ 解得 ａ ｂ .故选 ( )
∴ ï
ï
４ ＋１２＝０ꎬ ＝－３ꎬ ＝１ Ｃ. 答案 Ｄ 因为 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ
î ａ ｂ ２ ( )＋ (－ )＝ ３ ＋２ ＋
１０＋４ ＋２ ＝０ꎬ
５.( 山东聊城一中质检)已知二次函数 ６①ꎬ
２０２２ 所以用 ｘ 代替 ｘ 得 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ２ ｘ
ｆ ｘ 其图象过点 且满足 ｆ ｘ － ２ (－ )＋ ( )＝ ３ －２ ＋
( )ꎬ (１ꎬ－１)ꎬ ( ＋２)＝ .
ｆ ｘ ｘ 则 ｆ ｘ 的解析式为 . ６②
( )＋４ ＋４ꎬ ( ) 由 可得 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 即 ｆ ｘ
答案 ｆ ｘ ｘ２ ①×２－②ꎬ ３ ( )＝ ３ ＋６ ＋６ꎬ ( )
( )＝ －２ ｘ２ ｘ ｘ ２ 从而 ｆ ｘ 只有最小
解析 设 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａ ＝ ＋２ ＋２＝( ＋１) ＋１ꎬ ( )
5 ( )＝ ＋ ＋ ( ≠０)ꎬ 值 没有最大值 且最小值为 因此 不
年 所以 ｆ ｘ ａ ｘ ２ ｂ ｘ ｃ ꎬ ꎬ １ꎬ Ａ、Ｃ
高 ( ＋２)＝ ( ＋２) ＋ ( ＋２)＋ ꎬ 正确 对于
考 由已知得 ｆ 即 ａ ｂ ｃ 由 ｆ ｘ ꎻ Ｂꎬ
3 (１)＝ －１ꎬ ＋ ＋ ＝－１ꎬ ( ＋ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ ｘ２ ｘ
年 ｆ ｘ ｘ 化简得 ａ ｂ ｘ ａ ｂ ｃ ２ ＋４ ＋３ ２ ＋４ ＋３ ２( ＋２ ＋２)－１
模 ２)＝ ( )＋４ ＋４ꎬ (４ ＋ ) ＋４ ＋２ ＋ ｆ ｘ ＝ ｘ２ ｘ ＝ ｘ２ ｘ ＝ ２－
拟 ( ) ＋２ ＋２ ＋２ ＋２
ｂ ｘ ｃ
A ＝( ＋４) ＋ ＋４ꎬ
１ 所以 不正确 对于 因为
版 ì ï
ï ４
ａ
＋
ｂ
＝
ｂ
＋４ꎬ
ｘ２
＋２
ｘ
＋２
<２ꎬ Ｂ ꎻ Ｄꎬ
高
考
数
因此有í
ï４
ａ
＋２
ｂ
＋
ｃ
＝
ｃ
＋４ꎬ
解得 ａ
＝１ꎬ
ｂ
＝ ０ꎬ
ｃ
＝ ２
ｘ２
＋４
ｘ
＋５ ２
ｘ２
＋４
ｘ
＋５ ２(
ｘ２
＋２
ｘ
＋２)＋１
学 î ï ａ ｂ ｃ ｆ ｘ ＝ ｘ２ ｘ ＝ ｘ２ ｘ ＝ ２＋
＋ ＋ ＝－１ꎬ ( ) ＋２ ＋２ ＋２ ＋２
５２
１ 恒成立 所以 正确 故选
考法 三 分段函数问题的解题策略
ｘ２ ｘ >２ ꎬ Ｄ ꎬ Ｄ.
＋２ ＋２
æ ö 考向一 分段函数单调性问题
３.( 届重庆八中入学考ꎬ )已知ｆç１ｘ ÷
２０２３ １３ è －１ø
２ １.( 石家庄联考ꎬ ) 已知函数 ｆ ｘ
２０２２ ３ ( ) ＝
ｘ 若 ｆ ｔ 则 ｔ .
＝２ ＋３ꎬ ( )＝ ５ꎬ ＝ { ｘ ｘ
－ｌｏｇａ ꎬ ≥３ꎬ则 函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上单调递
答案 １ ｘ ｘ “ ( )
－ ２－ ꎬ <３ꎬ
２
减 是 ａ 的
” “ >１” ( )
解析 令 １ ｘ ｓ 则 ｘ ｓ .由 ｆ
－１ ＝ ꎬ ＝ ２( ＋１) 充分不必要条件
Ａ.
２
必要不充分条件
æ ö
ç１ｘ ÷ ｘ 可得 ｆ ｓ ｓ ｓ Ｂ.
è －１ø ＝２ ＋３ ꎬ ( )＝ ４( ＋１)＋３＝４ ＋ 充要条件
２ Ｃ.
则 ｆ ｘ ｘ .由 ｆ ｔ 可得 ｔ 既不充分也不必要条件
７ꎬ ( )＝ ４ ＋７ ( )＝ ５ ꎬ４ ＋７＝５ꎬ Ｄ.
答案 Ａ 函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上单调递减
则 ｔ ５－７ １. ( ) ⇔
＝ ＝－
４ ２
{ａ
>１ꎬ ａ
４.( 山东济宁开学考ꎬ )已知 ｆ ｘ ⇔１< ≤３ꎬ∵ (１ꎬ３]⫋(１ꎬ＋
２０２２ １４ ３ ( ) ＋ ２－３≥－ｌｏｇａ３
æ ö 函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上单调递减 是 ａ
ｆç１ ÷ ２ 则函数 ｆ ｘ 的解析式为 ∞)ꎬ∴ “ ( ) ” “ >
５ è ｘ ø ＝ ｘ ＋ １ꎬ ( )
的充分不必要条件.故选 .
１” Ａ
.
２.( 山东师大附中检测ꎬ )已知 ｆ ｘ
２０２２ ５ ( )＝
答案 ｆ ｘ ３ ５ｘ １ { ａ ｘ ａ ｘ
( )＝ － ｘ＋ ＋ (３－ ) － ꎬ ≤１ꎬ是 上是增函
８ ８ ８ ｘ ｘ (－∞ꎬ＋∞ )
æ ö ｌｏｇａ ꎬ >１
解析 ｆ ｘ ｆç１ ÷ ２
∵ ３ ( )＋５ è ｘ ø ＝ ｘ ＋１①ꎬ 数 那么实数 ａ 的取值范围是
ꎬ ( )
æ ö æ ö é ê ö
∴ ３ ｆ è ç１ ｘ ø ÷ ＋５ ｆ ( ｘ )＝ ２ ｘ ＋１②ꎬ Ａ.(１ꎬ＋∞) Ｂ. ç è ３ ꎬ３ø ÷ Ｃ.ë ê ３ ꎬ３ø ÷ Ｄ.(１ꎬ３)
２ ２
ì ａ
ï
得 ｆ ｘ ６ ｘ ï ３－ >０ꎬ
①×３－②×５ꎬ －１６ ( )＝ ｘ －１０ －２ꎬ 答案 Ｃ 由题意可得íａ 解得３ ａ
ï >１ꎬ ≤
ï ２
î ａ
ｆ ｘ ３ ５ｘ １. ３－２ ≤０ꎬ
∴ ( )＝ － ｘ＋ ＋
故选
８ ８ ８
<３ꎬ Ｃ.
５.( 鄂东南新高考联盟联考ꎬ )已知函数
２０２２ １４ ３.( 江苏常熟阶段抽测一ꎬ )已知函数
２０２２ ６
ｆ ｘ 的定义域为 且 ｆ ｘ
( ) (０ꎬ ＋ ∞ )ꎬ ( ) ＝ { ｘ ｘ
æ ö ｆ ｘ
１＋ｌｏｇａ( ＋２)ꎬ ≥－１ꎬ
ａ 且 ａ
ｆç１ ÷ ｘ 则 ｆ ｘ . ( )＝ ｘ ２ ａ ｘ ( >０ꎬ ≠１)
２ è ｘ ø －１ꎬ ( )＝ ( ＋１) ＋４ ꎬ <－１
在 上为单调函数 则实数 ａ 的取
ｘ (－∞ꎬ＋∞) ꎬ
答案 ２ １ 值范围是 专
＋ ( ) 题
３ ３ 三
æ ö é ö æ ö æ ù
æ ö ç１ ÷ ê １ ÷ ç １ ÷ ç １ ú 函
解析 ｆ ｘ ｆç１ ÷ ｘ 用 １ 代替 ｘ 得 ｆ Ａ.è ꎬ１ø Ｂ.ë ê ꎬ１ø Ｃ.è０ꎬ ø Ｄ.è０ꎬ û ú 数
( )＝ ２ è ｘ ø －１ꎬ ｘ ꎬ ４ ４ ４ ４ 的
答案 Ｂ ｆ ｘ 在 上为单调函 概
æ ö ∵ ( ) (－∞ꎬ＋∞) 念
ç１ ÷ ｆ ｘ １ 联立可求得 ｆ ｘ ２ ｘ 与
è ｘ ø ＝２ ( ) ｘ －１ꎬ ( )＝ ３ 数 ꎬ ｆ ( ｘ )＝ ( ｘ ＋１) ２ ＋４ ａ 在 (－∞ꎬ－１) 上为单 基 本
调减函数 ｆ ｘ ｘ 在 初
ꎬ∴ ( )＝ ｌｏｇａ( ＋２)＋１ [－１ꎬ＋ 等
１. 函
＋ 上为单调减函数 ａ 且 数
３ ∞) ꎬ ∴ ∈ (０ꎬ１)
５３
{ｘ２ ａｘ ａ ｘ
２ ａ 解得 ａ １ ｆ ｘ －２ ＋２ ꎬ ≤１ꎬ若关于 ｘ 的不等式
(－１＋１) ＋４ ≥１＋ｌｏｇａ(－１＋２)ꎬ ≥ ꎬ ( )＝ ｘ ａ ｘ ｘ .
４
－ ｌｎ ꎬ >１
é ö
ａ ê １ ÷. ｆ ｘ 在 Ｒ 上恒成立 则 ａ 的取值范围为
ê ( )≥０ ꎬ
∴ ∈ë ꎬ１ø
４
( )
４.( 山东师大附中模拟ꎬ )若函数ｆ ｘ
２０２２ ４ ( )＝
Ａ.[０ꎬ１] Ｂ.[０ꎬ２]
{ａｘ ｘ
－２ꎬ ≤２ꎬ 在 Ｒ 上单调递增 则
Ｃ.[０ꎬｅ] Ｄ.[１ꎬｅ]
ａ ｘ ｘ ꎬ
(３－２ )ｌｎ( －１)ꎬ >２ 答案 Ｃ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ
(１) ≤１ ꎬ ( )＝ －２ ＋
实数 ａ 的取值范围是
( ) ａ ｘ ａ ２ ａ ａ２ 若 ａ 则 ｆ ｘ 在
２ ＝( － ) ＋２ － ꎬ① >１ꎬ ( ) (－
Ａ.(０ꎬ１] Ｂ.(０ꎬ２] 上是减函数 所以 ｆ ｘ ｆ
∞ꎬ１] ꎬ ( )≥ (１)＝ １>０
æ ö é ö
Ｃ.è
ç
０ꎬ
３
ø
÷
Ｄ.ë
ê
ê １ꎬ
３ ÷
ø
恒成立
ꎻ②
若 ａ
≤１ꎬ
则 ｆ
(
ｘ
)≥
ｆ
(
ａ
)＝ ２
ａ
－
ａ２
ꎬ
２ ２ 要使 ｆ ｘ 在 上恒成立 只需 ａ
答 案 Ａ 因 为 函 数 ｆ ｘ ( )≥０ (－∞ꎬ１] ꎬ ２
( ) ＝ ａ２ 得 ａ ａ 综合 可
{ａｘ ｘ － ≥０ꎬ ０≤ ≤２ꎬ∴ ０≤ ≤１ꎬ ①②
－２ꎬ ≤２ꎬ 在 Ｒ 上单调递增 所 知 ａ 时 ｆ ｘ 在 上恒成立.
ａ ｘ ｘ ꎬ ꎬ ≥０ ꎬ ( )≥０ (－∞ꎬ１]
(３－２ )ｌｎ( －１)ꎬ >２ 当 ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ｘ ａ ｘ 恒
以有 ｙ ａｘ 在 上单调递增 ｙ (２) >１ ꎬｌｎ >０ꎬ ( )＝ － ｌｎ ≥０
＝ －２ (－∞ꎬ２] ꎬ ＝(３
ｘ ｘ
ａ ｘ 在 上也单调递增 根 成立 即 ａ 恒成立.令 ｇ ｘ ｇ′
－２ )ｌｎ( －１) (２ꎬ＋∞) ꎬ ꎬ ≤ ｘ ( )＝ ｘꎬ
ｌｎ ｌｎ
据增函数图象特征知 点 ａ 不能在点
ꎬ (２ꎬ２ －２) ｘ
ｘ ｌｎ －１ 令 ｇ′ ｘ 得 ｘ 当 ｘ
上方
(２ꎬ０) ꎬ ( )＝ ｘ ２ ꎬ ( )＝ ０ꎬ ＝ｅꎬ ∈
(ｌｎ )
ìａ
ï >０ꎬ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 为减函数 当 ｘ
ï (１ꎬｅ) ꎬ ( )<０ꎬ ( ) ꎬ ∈
于是得í ａ 解得 ａ 所以实数 ａ
ï３－２ >０ꎬ ０< ≤１ꎬ 时 ｇ′ ｘ ｇ ｘ 为增函数 ｇ
ï (ｅꎬ＋∞) ꎬ ( )>０ꎬ ( ) ꎬ∴
î ａ
２ －２≤０ꎬ ｘ ｇ ａ .
( )ｍｉｎ ＝ (ｅ)＝ ｅꎬ∴ ≤ｅ
的取值范围是 .故选
(０ꎬ１] Ａ. 综合 可知 ａ 的取值范围是 ａ
(１)(２) ꎬ ０≤ ≤ｅꎬ
考向二 分段函数与不等式结合问题
故选 .
Ｃ
１.( 课标 文ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ ｘ ３.( 福州一中期中ꎬ ) 设函数 ｆ ｘ
２０１８ Ⅰ １２ ５ ( )＝
２０２１ ５ ( ) ＝
{ － ｘ ｘ { ｘ ｘ
１ ２ ꎬ ｘ ꎬ >０ ≤ ꎬ ０ꎬ则满足ｆ ( ｘ ＋１)< ｆ (２ ｘ ) 的ｘ 的取值 ｌｏｇ２ ꎬ ｘ >０ꎬ ｘ 若 ｆ ( ａ )> ｆ (－ ａ )ꎬ 则实数 ａ 的
ｌｏｇ１ ２(－ )ꎬ <０ꎬ
范围是
( ) 取值范围是
( )
Ａ.(－∞ꎬ－１] Ｂ.(０ꎬ＋∞)
Ａ.(－１ꎬ０)∪(０ꎬ１)
Ｃ.(－１ꎬ０) Ｄ.(－∞ꎬ０)
Ｂ.(－∞ꎬ－１)∪(１ꎬ＋∞)
答案 Ｄ 函 数 ｆ ｘ
( ) ＝
5 { － ｘ ｘ
Ｃ.(－１ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞)
２ ꎬ ≤０ꎬ的图象如图所示 由
年 Ｄ.(－∞ꎬ－１)∪(０ꎬ１)
高 ｘ ꎬ
考 3 １ꎬ >０ { ｘ {ｘ 答案 Ｃ 当ａ >０ 时 ꎬ－ ａ <０ꎬ 由 ｆ ( ａ )> ｆ (－ ａ )
年 模 ｆ ( ｘ ＋１)< ｆ (２ ｘ ) 得 ２ ｘ < ｘ ０ꎬ 得 ｘ <０ꎬ . ∴ ｘ <０ꎬ 得 ｌｏｇ２ ａ >ｌｏｇ１ ２ ａ ꎬ 所以 ２ｌｏｇ２ ａ >０ꎬ 解得 ａ >１ꎻ 当 ａ
拟 ２ < ＋１ꎬ <１ 时 ａ 由 ｆ ａ ｆ ａ 得
< ０ ꎬ － > ０ꎬ ( ) > ( － )
故选 .
A
Ｄ ａ ａ 所以 ａ 可得
版
２.( 天津理ꎬ ꎬ 分)已知 ａ Ｒ.设函数
ｌｏｇ１ ２(－ )>ｌｏｇ２(－ )ꎬ ２ｌｏｇ２(－ )<０ꎬ
高 ２０１９ ８ ５ ∈ ａ 即 ａ .综上 ａ 的取值范围是
０<－ <１ꎬ －１< <０ ꎬ (－
考
数 故选 .
学 １ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞)ꎬ Ｃ
５４
名师点睛 若 ａ 则当 ｘ ａ时 ｆ ′ ｘ ｆ
(２) ０< <１ꎬ ０< < ꎬ ( )<０ꎬ
因为 ａ 的取值情况不确定ꎬ所以需要分 ａ
>０ ｘ 单调递减 当 ａ ｘ 时 ｆ ′ ｘ ｆ
( ) ꎬ < <１ ꎬ ( )>０ꎬ
和 ａ 进行讨论.
<０ ｘ 单调递增 因此 ｘ ａ 时 ｆ ｘ ｆ
４.( 届浙江嘉兴基础测试ꎬ )设函数ｆ ｘ
( ) ꎬ ＝ ꎬ ( )ｍｉｎ ＝
２０２３ １３ ( )
{ｘ２ ｘ ｘ ( ａ )＝ １ ( ａ ) ３ －( ａ ) ３ ＋１＝－ ２ａ３ ２ ＋１ꎬ 所以 －
＋２ ꎬ ≤０ꎬ 若 ｆ ａ 则实数 ａ 的取 ３ ３
＝ ｘ２ ｘ . ( )≥０ꎬ
ｌｇ( ＋１)ꎬ >０ ２ａ３ ２ 显然成立 ａ .综上 ａ 的取
值范围是 . ＋１≥０ꎬ ꎬ∴ ０< <１ ꎬ
３
答案 æ ù
(－∞ꎬ－２]∪[０ꎬ＋∞) 值范围是ç ４ ú ú .
è０ꎬ û
解析 当 ａ 时 由 ｆ ａ ａ２ ａ 解得 ３
≤０ ꎬ ( )＝ ＋２ ≥０ꎬ
ａ 或 ａ 此时 ａ 或 ａ
≤－２ ≥０ꎬ ≤－２ ＝０ꎻ 考法 四 函数单调性的判断及应用
当 ａ 时 由ｆ ａ ａ２ 可得ａ２
>０ ꎬ ( )＝ ｌｇ( ＋１)≥０ꎬ ＋１ 考向一 求函数单调区间
解得 ａ Ｒ 此时 ａ .
≥１ꎬ ∈ ꎬ >０ １.( 山东临沂开学考ꎬ )函数 ｆ ｘ ｘ２
综上所述 实数 ａ 的取值范围是 ２０２２ ３ ( )＝ ｜ －
ꎬ (－∞ꎬ－２]
ｘ 的单调递增区间是
. ３ ＋２｜ ( )
∪[０ꎬ＋∞)
é ö
５.( 海南东方琼西中学月考一ꎬ )已知 ê ３ ÷
ê
２０２２ １５ Ａ.ë ꎬ＋∞ø
{ｘ ｘ ２
ｆ ｘ ＋３ꎬ <０ꎬ 则 ｆ 不等 é ê
３
ù ú和
( )＝ ｘ２ ｘ ｘ (２)＝ ꎻ Ｂ.ë ê １ꎬ û ú [２ꎬ＋∞)
＋ －１ꎬ ≥０ꎬ ２
式 ｆ ｘ ｆ 的解集为 . é ù
( )> (１) 和ê ３ ú
答案 Ｃ.(－∞ꎬ１] ë ê ꎬ２û ú
５ (－２ꎬ０)∪(１ꎬ＋∞) ２
解析 ｆ (２)＝ ２ ２ ＋２－１＝５ .ｆ ( ｘ )> ｆ (１) 等价于 æ ç ３ ö ÷和
{ｘ {ｘ Ｄ.è－∞ꎬ
２
ø [２ꎬ＋∞)
ｘ
<０ꎬ 或
ｘ
≥
２ ｘ
０ꎬ 解得
－２<
ｘ
<０
或 ｘ
>１
. 答案 Ｂ ｆ
(
ｘ
) ＝ ｜
ｘ２
－ ３
ｘ
＋ ２ ｜ ＝
＋３>１ ＋ －１>１ꎬ
ì
ï
ｘ２ ｘ ｘ
６.( 广东深圳三中月考ꎬ )已知函数ｆ ｘ －３ ＋２ꎬ ≤１ꎬ
ï
２０２２ １５ ( )
í ｘ２ ｘ ｘ 其图象如图所示 因此函
ì ï－ ＋３ －２ꎬ１< <２ꎬ ꎬ
ï
í
ï１ｘ３
－
ａｘ
＋１ꎬ０≤
ｘ
<１ꎬ若 ｆ ｘ ｆ 恒成 î
ï
ｘ２ －３ ｘ ＋２ꎬ ｘ ≥２ꎬ
＝ ï３ ( )≥ (１)
ï é ù
îａ ｘ ｘ 数的单调递增区间是ê ３ ú和 .故
ｌｎ ꎬ ≥１ꎬ ë ê １ꎬ û ú [２ꎬ＋∞)
立 则正实数 ａ 的取值范围是 . ２
ꎬ 选
æ ù Ｂ.
答案 ç ４ ú
ú
è０ꎬ û
３
解析 ａ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ａ ｘ ｆ
∵ >０ꎬ∴ ≥１ ꎬ ( )＝ ｌｎ ≥
当 ｘ 时 ｆ ｘ １ ｘ３ ａｘ ｆ ′ 专
(１)ꎬ ０≤ <１ ꎬ ( )＝ － ＋１ꎬ 题
３ 三
ｘ ｘ２ ａ.
函
( )＝ － ２.( 课标 ꎬ ꎬ 分)函数 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 数
若 ａ 则 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递减 ｆ ２０１７ Ⅱ８ ５ ( )＝ ｌｎ( －２ －８) 的
(１) ≥１ꎬ ( )<０ꎬ ( ) ꎬ 概
的单调递增区间是
念
( )
ｘ ｆ 成立 则１ ａ 解得 ａ ４ 与
( )≥ (１) ꎬ － ＋１≥０ꎬ ≤ ꎬ 基
３ ３ Ａ.(－∞ꎬ－２) Ｂ.(－∞ꎬ１) 本
初
ａ ４
Ｃ.(１ꎬ＋∞) Ｄ.(４ꎬ＋∞) 等
函
∴ １≤ ≤ ꎬ 答案 Ｄ 由ｘ２ ｘ 可得ｘ 或ｘ 数
３ －２ －８>０ >４ <－２ꎬ
５５
所以 ｘ 令 ｕ ｘ２ ｘ
∈(－∞ꎬ－２)∪(４ꎬ＋∞)ꎬ ＝ －２ 已知函数 ｆ ｘ １ 则
( )＝ ｘꎬ ( )
－８ꎬ
１＋２
则 ｕ ｘ２ ｘ 在 ｘ 上单调递
ｆ １
＝ －２ －８ ∈(－∞ꎬ－２)
Ａ. (ｌｏｇ２３)＝
减 在 ｘ 上单调递增.又因为 ｙ ４
ꎬ ∈(４ꎬ＋∞) ＝ｌｎ ｆ ｘ 是 Ｒ 上的减函数
ｕ 在 ｕ 上单调递增 所以 ｙ ｘ２ Ｂ. ( )
∈(０ꎬ＋∞) ꎬ ＝ｌｎ( ｆ ｘ 的值域为
ｘ 在 ｘ 上单调递增.故选 . Ｃ. ( ) (－∞ꎬ１)
－２ －８) ∈(４ꎬ＋∞) Ｄ 不等式 ｆ ｘ ｆ ｘ 的解集
Ｄ. (１ ＋ ２ ) ＋ ( ) > １
易错警示
æ ö
为ç １÷
本题易忽略定义域而错选 . è－∞ꎬ－ ø
Ｃ
３
考向二 由单调性解不等式及比较大小
答案 ＡＢＤ ｆ １ １ １
１.( 课标 理ꎬ ꎬ 分) 函数 ｆ ｘ 在
(ｌｏｇ２３)＝
１＋２ ｌｏｇ２３
＝
１＋３
＝
４
ꎬＡ
２０１７ Ⅰ ５ ５ ( )
正确
单调递减 且为奇函数.若ｆ ꎻ
(－∞ꎬ＋∞) ꎬ (１)＝ －１ꎬ
则满足 ｆ ｘ 的ｘ的取值范围是 ｙ ｘ 恒正且在 Ｒ 上递增 故 ｙ １ 是 Ｒ
－１≤( －２)≤１ ＝１＋２ ꎬ ＝ ｘ
１＋２
( ) 上的减函数 正确 ｙ ｘ 的值域是
ꎬＢ ꎻ ＝１＋２ (１ꎬ＋
Ａ.[－２ꎬ２] Ｂ.[－１ꎬ１]
故 ｆ ｘ １ 的值域是 错误
∞)ꎬ ( )＝ ｘ (０ꎬ１)ꎬＣ ꎻ
Ｃ.[０ꎬ４] Ｄ.[１ꎬ３] １＋２
答案 Ｄ 已知函数 ｆ ｘ 在 上为 ｘ
( ) (－∞ꎬ＋∞) ｆ ｘ ｆ ｘ １ １ １ ２
单调递减函数 且为奇函数 则 ｆ ｆ ( )＋ (－ )＝ ｘ＋ － ｘ ＝ ｘ＋ ｘ ＝１ꎬ
ꎬ ꎬ (－１)＝ － １＋２ １＋２ １＋２ １＋２
所以原不等式可化为ｆ ｆ ｘ 故不等式ｆ ｘ ｆ ｘ 等价于 ｆ ｘ
(１)＝ １ꎬ (１)≤ ( －２) (１＋２ )＋ ( )>１ (１＋２ )
ｆ 则 ｘ 即 ｘ 故 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ 又 ｆ
≤ (－１)ꎬ －１≤ －２≤１ꎬ １≤ ≤３ꎬ ＋ ( )> ( )＋ (－ )ꎬ (１＋２ )> (－ )ꎬ
选 . ｘ 是 Ｒ 上的减函数 故 ｘ ｘ 解得 ｘ
Ｄ ( ) ꎬ １＋２ <－ ꎬ <－
æ ö
２.( 福建龙岩一中月考ꎬ )正实数 ａ ｂ ｃ １ 故原不等式的解集为ç １÷ 正确.
２０２２ ７ ꎬ ꎬ ꎬ è－∞ꎬ－ ø.Ｄ
满足 ａ ａ ｂ ｂ ｃ ｃ 则实数 ３ ３
＋ｓｉｎ ＝２ꎬ ＋３ ＝３ꎬ ＋ｌｏｇ４ ＝４ꎬ 故选 .
ＡＢＤ
ａ ｂ ｃ 之间的大小关系为
ꎬ ꎬ ( )
ｂ ａ ｃ ａ ｂ ｃ 考法 五 函数奇偶性的判断及应用
Ａ. < < Ｂ. < <
ａ ｃ ｂ ｂ ｃ ａ
考向一 函数的单调性与奇偶性综合
Ｃ. < < Ｄ. < <
答案 Ａ 由 ａ ａ 得 ａ ａ 因
１.( 届长春六中月考ꎬ )下列函数中 既是奇
＋ｓｉｎ ＝２ꎬ ｓｉｎ ＝２－ ꎬ
２０２３ ４ ꎬ
为 ａ 所以 ａ 可得
函数 又在 上单调递增的是
－１≤ｓｉｎ ≤１ꎬ －１≤２－ ≤１ꎬ １≤
ꎬ (０ꎬ＋∞) ( )
ａ .设函数 ｆ ｘ ｘ ｘ 则ｆ ｘ ｘ ｘ 在
≤３ ( )＝ ＋３ ꎬ ( )＝ ＋３
ｙ ｘ ｙ ｘ １
上是增函数 且 ｆ ｆ Ａ. ＝ｌｎ｜ －１｜ Ｂ. ＝ －ｘ
(０ꎬ＋∞) ꎬ (０)＝ １ꎬ (１)＝ ４ꎬ
5 由 ｂ ｂ 即 ｆ ｂ 得 ｂ . ｘ
年 ＋３ ＝３ꎬ ( )＝ ３ꎬ ０< <１ ｙ ｃｏｓ ｙ ｘ３ ｘ
高 Ｃ. ＝ ｘ Ｄ. ＝ －３
考 设函数 ｇ ｘ ｘ ｘ 则 ｇ ｘ ｘ ｘ 在
3 ( )＝ ＋ｌｏｇ４ ꎬ ( )＝ ＋ｌｏｇ４ 答案 Ｂ 对于 由 ｙ ｘ 可知 ｘ
年 上是增函数 且 ｇ ｇ Ａꎬ ＝ｌｎ｜ －１｜ ｜ －１｜
模 (０ꎬ＋∞) ꎬ (３)＝ ３＋ｌｏｇ４３<４ꎬ 即 ｘ 则定义域为
拟 ≠０ꎬ ≠１ꎬ (－∞ꎬ１)∪(１ꎬ＋
A
(４)＝ ４＋ｌｏｇ４４＝５ꎬ 不关于原点对称 函数不是奇函数 故
版 由 ｃ ｃ 即 ｇ ｃ 得 ｃ 所以 ｂ
∞)ꎬ ꎬ ꎬ
＋ｌｏｇ４ ＝４ꎬ ( )＝ ４ꎬ ３< <４ꎬ < 不符合题意
Ａ ꎻ
高 ａ ｃ.故选
考 < Ａ.
数 对于 由 ｙ ｘ １知定义域为 ｘ ｘ 关
学 ３.(多选)( 广东南山蛇口育才中学月考) Ｂꎬ ＝ － ｘ { ｜ ≠０}ꎬ
２０２２
５６
ｘｆ ｘ .
于原点对称 令 ｆ ｘ ｙ ｘ １ ｆ ｘ ｘ １)≥０ꎬ∴ ( －１)≥０
ꎬ ( )＝ ＝ － ｘꎬ (－ )＝ － ＋
综上 满足 ｘｆ ｘ 的 ｘ 的取值范围是
ꎬ ( －１)≥０
æ ö
.故选 .
１ çｘ １÷ ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ ｘ １ 是奇 [－１ꎬ０]∪[１ꎬ３] Ｄ
ｘ ＝－è －ｘ ø ＝ － ( )ꎬ ( )＝ － ｘ
３.( 广东深圳六校联考二ꎬ )下列函数中
２０２２ ６
函数 因为 ｙ ｘ 在 上单调递增 ｙ
ꎬ ＝ (０ꎬ＋∞) ꎬ ＝－ 既是奇函数 又是定义域上的增函数的是
ꎬ
１在 上单调递增 所以 ｙ ｘ １ 在
ｘ (０ꎬ＋∞) ꎬ ＝ － ｘ ( )
ｘ － ｘ ｘ
上单调递增 故 符合题意 ｆ ｘ ｅ －ｅ ｆ ｘ １－
(０ꎬ＋∞) ꎬ Ｂ ꎻ Ａ. ( )＝ ｘ － ｘ Ｂ. ( )＝ ｌｎ ｘ
ｅ ＋ｅ １＋
ｘ
对于 由 ｙ ｃｏｓ 知定义域为 ｘ ｘ 关
Ｃꎬ ＝ ｘ { ｜ ≠０}ꎬ ｆ ｘ ｘ １ｘ ｆ ｘ ｘ
Ｃ. ( )＝ ｌｎ(ｅ ＋１)－ Ｄ. ( )＝ ｃｏｓ(ｓｉｎ ２ )
２
ｘ
于原点对称 令 ｆ ｘ ｙ ｃｏｓ ｆ ｘ 答案 Ａ .易知 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ ｆ
ꎬ ( )＝ ＝ ｘ ꎬ (－ )＝ Ａ ( ) ꎬ (－
ｘ ｘ
－
ｘ ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ 为奇函数.ｆ ｘ ｅ －ｅ
ｃｏｓ(－ ) ｃｏｓ ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ ｃｏｓ )＝ － ( )ꎬ ( ) ( )＝ ｘ － ｘ ＝
ｘ ＝－ ｘ ＝ － ( )ꎬ ( )＝ ｘ ｅ ＋ｅ
－ ｘ ｘ
２ ２
æ ö æ ö ｅ －１ ２ ｆ ′ ｘ ４ｅ 所以 ｆ
是奇函数 因为 ｆçπ÷ ｆç３π÷
２
ｘ ＝１－
２
ｘ ꎬ ( )＝
２
ｘ
２
>０ꎬ
ꎬ è ø ＝ è ø ＝０ꎬ ｅ ＋１ ｅ ＋１ (ｅ ＋１)
２ ２
ｘ 为增函数 .ｆ ｘ 的定义域为 ｆ
ｘ ( ) ꎻＢ ( ) (－１ꎬ１)ꎬ
故 ｆ ｘ ｃｏｓ 在 上不单调 故 不
ｘ æ ö
( )＝ ｘ (０ꎬ＋∞) ꎬ Ｃ
ｘ １－ ç ２ ÷ ｙ ２ 在
( )＝ ｌｎ ｘ＝ｌｎè ｘ－１øꎬ ＝ ｘ－１ (－１ꎬ
符合题意 １＋ １＋ １＋
ꎻ
为减函数 则 ｆ ｘ 为减函数 .ｆ ｘ 的定
对于 ｙ′ ｘ２ 当 ｘ 时 ｙ′ 当ｘ １) ꎬ ( ) ꎻＣ ( )
Ｄꎬ ＝３ －３ꎬ ０< <１ ꎬ <０ꎬ >１
时 ｙ′ 所以函数在 上单调递减 在 义域为 Ｒ ｆ ｘ ｘ １ｘ ｆ ｘ 为
ꎬ >０ꎬ (０ꎬ１) ꎬ ꎬ ( )＝ ｌｎ(ｅ ＋１)－ ＝ (－ )ꎬ
２
上单调递增 故 不符合题意.故
(１ꎬ＋∞) ꎬ Ｄ 偶函数 .ｆ ｘ ｘ 为周期函数 在
ꎻＤ ( )＝ ｃｏｓ(ｓｉｎ ２ ) ꎬ
选
Ｂ. Ｒ 上不单调.
２.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)若定义在 Ｒ 的奇函
２０２０ Ⅰ ８ ５ ４.( 课标 理ꎬ ꎬ 分) 设函数 ｆ ｘ
２０２０ Ⅱ ９ ５ ( )＝
数 ｆ ｘ 在 单调递减 且 ｆ 则
( ) (－∞ꎬ０) ꎬ (２)＝ ０ꎬ ｘ ｘ 则 ｆ ｘ
ｌｎ｜２ ＋１｜－ｌｎ｜２ －１｜ꎬ ( ) ( )
满足 ｘｆ ｘ 的 ｘ 的取值范围是
( －１)≥０ ( ) æ ö
是偶函数 且在ç１ ÷单调递增
Ａ. ꎬ è ꎬ＋∞ø
Ａ.[－１ꎬ１]∪[３ꎬ＋∞) Ｂ.[－３ꎬ－１]∪[０ꎬ１]
２
æ ö
Ｃ.[－１ꎬ０]∪[１ꎬ＋∞) Ｄ.[－１ꎬ０]∪[１ꎬ３] 是奇函数 且在ç １ １ ÷单调递减
答案 Ｄ ｆ ｘ 是定义在 Ｒ 上的奇函数 Ｂ. ꎬ è－ ꎬ ø
∵ ( ) ꎬ ２ ２
ｆ ｘ 的图象关于点 中心对称 又 æ ö
∴ ( －１) (１ꎬ０) ꎬ 是偶函数 且在ç １÷单调递增
Ｃ. ꎬ è－∞ꎬ－ ø
ｆ ｘ 在 上单调递减 ｆ ｘ 在 ２
∵ ( ) (－∞ꎬ０) ꎬ∴ ( －１)
æ ö
上单调递减 在 上也单调 是奇函数 且在ç １÷单调递减
(－∞ꎬ１) ꎬ (１ꎬ＋∞) Ｄ. ꎬ è－∞ꎬ－ ø
递减 且过 和 ｆ ｘ 的大致 ２ 专
ꎬ (－１ꎬ０) (３ꎬ０)ꎬ ( －１) 答 案 Ｄ 函 数 ｆ ｘ 的 定 义 域 为 题
( ) 三
图象如图.
{ }
函
当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ １ 关于原点对称 又 ｆ ｘ 数
－１≤ ≤０ ꎬ ( － ≠± ꎬ ꎬ ∵ (－ )＝ ｌｎ｜ 的
２
概
ｘｆ ｘ
ｘ ｘ ｘ ｘ 念
１) ≤０ꎬ∴ ( － １)
－２ ＋１｜－ｌｎ｜－２ －１｜ ＝ｌｎ｜２ －１｜－ｌｎ｜２ ＋１｜ ＝ 与
ｆ ｘ ｆ ｘ 是奇函数 排除 基
≥０ꎻ － ( )ꎬ∴ ( ) ꎬ Ａ、Ｃꎻ 本
当 ｘ 时 ｆ ｘ 初
１≤ ≤３ ꎬ ( － 当 ｘ æ ç １ １ ö ÷时 ｆ ｘ ｘ 等 函
∈è－ ꎬ ø ꎬ ( )＝ ｌｎ(２ ＋１)－ｌｎ(１－ 数
２ ２
５７
ｔ ｋ ｔ２ 对 ｔ 恒成立 所以 ｋ ｔ２ ｔ
２ｘ 则 ｆ ′ ｘ ２ －２ ４ ２ > －２ ∈[１ꎬ２] ꎬ <３ －２
)ꎬ ( ) ＝ ｘ － ｘ ＝ ｘ２ > ０ꎬ 对 ｔ 恒成立
２ ＋１ １－２ １－４
∈[１ꎬ２] ꎬ
ｆ ｘ 在
æ
ç １ １
ö
÷上单调递增 排除 当 ｘ
令ｇ
(
ｔ
)＝ ３
ｔ２
－２
ｔ
ꎬ
ｔ
∈[１ꎬ２]ꎬ
则ｇ
(
ｔ
)
图象的对
∴ ( ) è－ ꎬ ø ꎬ Ｂꎻ
２ ２
称轴为直线 ｔ １ 所以 ｇ ｔ 在 上单调
æ ö ＝ ꎬ ( ) [１ꎬ２]
ç １÷时 ｆ ｘ ｘ ３
∈è－∞ꎬ－ ø ꎬ ( )＝ ｌｎ(－２ －１)－ｌｎ(１－
２ 递增 所以 ｇ ｔ ｇ 所以 ｋ
ꎬ ( )ｍｉｎ ＝ (１)＝ ３－２＝１ꎬ <
ｘ 则 ｆ ′ ｘ －２ －２ ４ ｆ 即 ｋ .
２ )ꎬ ( )＝ ｘ － ｘ＝ ｘ２ <０ꎬ∴ １ꎬ ∈(－∞ꎬ１)
－２ －１ １－２ １－４
名师点睛
æ ö
ｘ 在ç １÷上单调递减 正确. .利用定义证明函数单调性的方法
( ) è－∞ꎬ－ ø ꎬ∴ Ｄ １
２
( )取值:在区间内任意取两个值 ｘ ꎬｘ ꎬ且
５.( 安徽淮南检测ꎬ )已知定义域为 Ｒ １ １ ２
２０２１ １９
ｘ ｘ .
ｘ ａ １< ２
的函数 ｆ ｘ －２ ＋ 是奇函数.
( )＝ ｘ ( )作差变形:作差ꎬ即 ｆ(ｘ ) ｆ(ｘ )ꎬ并通过
２ ＋１ ２ １ － ２
求实数 ａ 的值
因式分解、配方、有理化等方法ꎬ向有利于判
(１) ꎻ
用定义证明函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上为减函数
断符号的方向变形.
(２) ( ) ꎻ
(３)
若对任意的 ｔ
∈[１ꎬ２]ꎬ
不等式 ｆ
(
ｔ２
－２
ｔ
)＋
(
３
)定号:确定ｆ(ｘ
１
)
－
ｆ(ｘ
２
)与
０
的大小关系.
ｆ
(２
ｔ２
－
ｋ
)<０
恒成立
ꎬ
求实数 ｋ 的取值范围. (
４
)下结论:判断ꎬ根据定义作出结论.
解析 因为 ｆ ｘ 为奇函数且定义域为 .根据函数的奇偶性和单调性求解参数范围
(１) ( ) ２
的思路:
ａ
Ｒ 所以ｆ －１ 所以ａ 当ａ 时
ꎬ (０)＝ ＝０ꎬ ＝１ꎬ ＝１ ꎬ ( )根据函数奇偶性将关于函数值的不等式
２ １
ｘ － ｘ ｘ 转化为ｆ(ａ) ｆ(ｂ)(或 ｆ(ａ) ｆ(ｂ))的形式.
ｆ ｘ １－２ ｆ ｘ １－２ ２ －１ ｆ ｘ 所 > <
( )＝ ｘꎬ (－ )＝ ｘ＝ ｘ ＝－ ( )ꎬ
－ ( )根据函数单调性将关于函数值的不等关
１＋２ １＋２ ２ ＋１
２
以 ｆ ｘ 为奇函数 所以 ａ 符合条件.
系转化为关于自变量的大小关系.
( ) ꎬ ＝１
任取 ｘ ｘ Ｒ 且 ｘ ｘ 所以 ｆ ｘ ｆ
( )采用分类讨论法或参变分离法求解出参
(２) １ꎬ ２∈ １< ２ꎬ ( １)－
３
ｘ ｘ
１ ２ 数范围.
ｘ １－２ １－２
( ２ ) ＝ ｘ １ － ｘ ２ ＝
１＋２ １＋２ 考向二 函数的奇偶性与对称性相结合
ｘ ｘ ｘ ｘ
１ ２ ２ １
(１－２ )(１＋２ )－(１－２ )(１＋２ ) １.( 届广东六校联考ꎬ )定义在 Ｒ 上的函
ｘ ｘ ＝ ２０２３ ８
１ ２
(１＋２ )(１＋２ )
数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
ｘ ｘ
２(２ ２ －２ １ ) 因为 ｘ ｘ 所以 ｘ ｘ ( ) (－ )＋ ( )＝ ０ꎬ ( )＝ (２－ )ꎬ
(１＋２
ｘ
１ )(１＋２
ｘ
２ )
ꎬ １< ２ꎬ ２ ２ －２ １ >０ꎬ 且当 ｘ
∈[０ꎬ１]
时
ꎬ
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ３
－
ｘ２
＋
ｘ
ꎬ
则方程
又 ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ 所有根之和为
(１＋２ １ )(１＋２ ２ )>０ꎬ ７ ( )－ ＋２＝０ ( )
ｘ ｘ
5 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ ２(２ ２ －２ １ ) Ａ.１４ Ｂ.１２ Ｃ.１０ Ｄ.８
年 ( １)－ ( ２)＝ ｘ
１
ｘ
２
>０ꎬ 答案 Ａ 由 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
高 (１＋２ )(１＋２ ) (－ )＋ ( )＝ ０ꎬ ( )＝ (２－ )
考
所以ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上为 可得 ｆ ｘ 为奇函数 且图象关于直线 ｘ
3 ( １)> ( ２)ꎬ ( ) ( ) ꎬ ＝１
年
减函数. 对称.因为 ｆ ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ ｆ
模
(－ )＋ ( )＝ ０ꎬ (－ )＝ －
拟
因为 ｆ ｔ２ ｔ ｆ ｔ２ ｋ 且 ｆ ｘ 为奇 ｘ 又 ｆ ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ ｆ
A (３) ( －２ )＋ (２ － )<０ ( ) ( )ꎬ ( )＝ (２－ )ꎬ (－ )＝ － (２－
版 函数 ｘ 即 ｆ ｘ ｆ ｘ
ꎬ )ꎬ ( )＝ － (２＋ )ꎬ
高
考
所以ｆ
(
ｔ２
－２
ｔ
)<
ｆ
(
ｋ
－２
ｔ２
)ꎬ
所以ｆ
(
ｘ
)
的图象关于
(２ꎬ０)
对称
ꎬ
且ｆ
(
ｘ
)＝ －
数
学 又因为函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上为减函数 所以 ｔ２ ｆ ｘ ｆ ｘ 故 ｆ ｘ 的周期为 .
( ) ꎬ － (２＋ )＝ (４＋ )ꎬ ( ) ４
５８
又当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ３ ｘ２ ｘ 求导得 ｆ ′ æ ö
∈[０ꎬ１] ꎬ ( )＝ － ＋ ꎬ ｆ ç １÷ ｆ
ｘ ｘ２ ｘ æ çｘ １ ö ÷ ２ ２ 故 ｆ ｘ Ａ. è－ ２ ø ＝０ Ｂ. (－１)＝ ０
( )＝ ３ －２ ＋１＝３è － ø ＋ >０ꎬ ( )＝ ｆ ｆ
３ ３ Ｃ. (２)＝ ０ Ｄ. (４)＝ ０
ｘ３ ｘ２ ｘ 在 上为增函数.综上 可画出 答案 Ｂ 函数 ｆ ｘ 的定义域为 Ｒ 且 ｆ
－ ＋ [０ꎬ１] ꎬ ∵ ( ) ꎬ
函数 ｙ ｆ ｘ 的部分图象 如图. ｘ 为奇函数
＝ ( ) ꎬ (２ ＋１) ꎬ
ｆ 即 ｆ 且 ｆ ｘ
∴ (２×０＋１)＝ ０ꎬ (１)＝ ０ꎬ (－２ ＋１)＝
ｆ ｘ .
－ (２ ＋１)
设 ｘ ｔ 则 ｘ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ .
－２ ＋１＝ ꎬ ２ ＝１－ ꎬ∴ ( )＝ － (２－ ) ①
方程 ｆ ｘ ｘ 的根 即 ｙ ｆ ｘ 与 ｙ １ 又 ｆ ｘ 为偶函数 ｆ ｘ ｆ ｘ
７ ( )－ ＋２＝０ ꎬ ＝ ( ) ＝ ∵ ( ＋２) ꎬ∴ (－ ＋２)＝ ( ＋
７ .
ｘ 的图象交点的横坐标 易得在区间 ２) ②
( －２) ꎬ [－ 结合 得 ｆ ｔ ｆ ｔ ｆ ｔ
上两函数图象均有 个交点 且 ①②ꎬ ( )＝ － (２－ )＝ － ( ＋２)ꎬ
５ꎬ２)ꎬ(２ꎬ９] ３ ꎬ ｆ ｆ .故选 .
关于点 对称 加上 共 个交点 ∴ (－１)＝ － (１)＝ ０ Ｂ
(２ꎬ０) ꎬ (２ꎬ０) ７ ꎬ ４.( 海南海口二模ꎬ )已知函数 ｆ ｘ 是定
则所求所有根之和为 .故选 ２０２２ ７ ( )
３×２×２＋２＝１４ Ａ.
义在 Ｒ 上的奇函数 函数 ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ
２.( 湖南天壹名校联盟摸底ꎬ )已知ｆ ｘ ꎬ ( )＝ ｜ －２｜ ( )
２０２２ ５ ( )
的图象关于直线 ｘ 对称 若 ｆ
是定义在 Ｒ 上的偶函数 则以下函数中图象 ＝２ ꎬ (－１)＝ －１ꎬ
ꎬ
则 ｇ
一定关于点 成中心对称的是 (３)＝ ( )
(－１ꎬ０) ( )
ｙ ｘ ｆ ｘ ｙ ｘ ｆ ｘ Ａ.５ Ｂ.１ Ｃ.－１ Ｄ.－５
Ａ. ＝( －１) ( －１) Ｂ. ＝( ＋１) ( ＋１)
答案 Ｂ 因为 ｇ ｘ 的图象关于直线 ｘ
ｙ ｘｆ ｘ ｙ ｘｆ ｘ ( ) ＝２
Ｃ. ＝ ( )＋１ Ｄ. ＝ ( )－１
对称
答案 Ｂ 构造函数 ｇ ｘ ｘｆ ｘ 该函数的 ꎬ
( )＝ ( )ꎬ
所以 ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ 是偶函数.
定义域为 Ｒ 因为 ｇ ｘ ｘｆ ｘ ｘｆ ｘ ( ＋２)＝ ｜ ｜ ( ＋２)
ꎬ (－ )＝ － (－ )＝ － ( )
ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ 所以 ｘ ｆ
ｇ ｘ 所以函数 ｇ ｘ 为奇函数 故函数 ｇ (２－ )＝ ｜－ ｜ (２－ )＝ ｜ ｜ (２－ )ꎬ ｜ ｜
＝ － ( )ꎬ ( ) ꎬ
ｘ ｘ ｆ ｘ 对任意的 ｘ Ｒ 恒成
ｘ 的图象的对称中心为原点.对于 函数 (２－ )＝ ｜ ｜ (２＋ ) ∈
( ) Ａꎬ
立 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ
ｙ ｘ ｆ ｘ 的图象可由函数 ｇ ｘ 的图 ꎬ (２－ )＝ (２＋ )ꎬ
＝( －１) ( －１) ( )
因为ｆ 且ｆ ｘ 为奇函数 所以ｆ
象向右平移 个单位得到 故函数 ｙ ｘ (－１)＝ －１ ( ) ꎬ (３)
１ ꎬ ＝( －１)
ｆ ｆ ｆ 因此 ｇ
ｆ ｘ 图象的对称中心为 对于 函 ＝ (２＋１)＝ (２－１)＝ － (－１)＝ １ꎬ (３)
( －１) (１ꎬ０)ꎻ Ｂꎬ
ｆ ｆ .故选
数 ｙ ｘ ｆ ｘ 的图象可由函数 ｇ ｘ 的 ＝ ｜３－２｜ (３)＝ (１)＝ １ Ｂ.
＝( ＋１) ( ＋１) ( )
图象向左平移 个单位得到 故函数 ｙ ｘ
５.( 山东东营胜利一中考前模拟ꎬ )已知
１ ꎬ ＝( ＋ ２０２２ １４
ｆ ｘ 图象的对称中心为 对于 函数 ｆ ｘ 对任意 ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ
１) ( ＋１) (－１ꎬ０)ꎻ ( )ꎬ ∈ ꎬ ( ＋３)＝ (１－ )＋
函数 ｙ ｘｆ ｘ 的图象可由函数 ｇ ｘ 的 ｆ 恒成立 又函数 ｆ ｘ 的图象关于点
Ｃꎬ ＝ ( )＋１ ( ) ９ (２) ꎬ ( ＋９)
图象向上平移 个单位得到 故函数 ｙ ｘｆ 对称 且 ｆ 则 ｆ
１ ꎬ ＝ (－９ꎬ０) ꎬ (１)＝ ２ ０２２ꎬ (４５) ＝
ｘ 图象的对称中心为 对于 函 . 专
( )＋１ (０ꎬ１)ꎻ Ｄꎬ 题
三
数 ｙ ｘｆ ｘ 的图象可由函数 ｇ ｘ 的图象 答案
＝ ( )－１ ( ) －２ ０２２
函
向下平移 个单位得到 故函数 ｙ ｘｆ ｘ 解析 因为对任意 ｘ Ｒ ｆ ｘ ｆ ｘ 数
１ ꎬ ＝ ( )－１ ∈ ꎬ ( ＋３)＝ (１－ )＋ 的
图象的对称中心为 .故选 . ｆ 恒成立 概
(０ꎬ－１) Ｂ ９ (２) ꎬ 念
与
３.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)设函数 ｆ ｘ 的定义 所以令 ｘ 则 ｆ ｆ ｆ 解得 ｆ 基
２０２１ Ⅱ ８ ５ ( ) ＝－１ꎬ (２)＝ (２)＋９ (２)ꎬ 本
域为 Ｒ 且 ｆ ｘ 为偶函数 ｆ ｘ 为奇 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ 对任意 ｘ Ｒ 初
ꎬ ( ＋２) ꎬ (２ ＋１) (２)＝ ０ꎬ ( ＋３)＝ (１－ ) ∈ 等
函
函数 则 恒成立 又函数 ｆ ｘ 的图象关于点 数
ꎬ ( ) ꎬ ( ＋９) (－９ꎬ
５９
对称 将函数ｆ ｘ 的图象向右平移 个 ２.( 全国甲文ꎬ ꎬ 分)设 ｆ ｘ 是定义域
０) ꎬ ( ＋９) ９ ２０２１ １２ ５ ( )
单位得到ｆ ｘ 的图象 所以ｆ ｘ 的图象关于 为 Ｒ 的奇函数 且 ｆ ｘ ｆ ｘ . 若
( ) ꎬ ( ) ꎬ (１＋ ) ＝ (－ )
点 对称 即 ｆ ｘ 为 Ｒ 上的奇函数 所 æ ö æ ö
(０ꎬ０) ꎬ ( ) ꎬ ｆç １÷ １ 则 ｆç５ ÷
以 ｆ ｘ ｆ ｘ 又 ｆ ｘ ｆ ｘ 对任意 è－ ø ＝ ꎬ è ø ＝ ( )
( )＝ － (－ )ꎬ ( ＋３)＝ (１－ ) ３ ３ ３
ｘ Ｒ 恒成立 所以令 ｘ ｘ 得 ｆ ｘ ｆ
∈ ꎬ ＝－ －３ꎬ (－ )＝ ５ １ １ ５
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ. Ｄ.
ｘ 即 ｆ ｘ ｆ ｘ 令 ｘ ｘ 得 ｆ ｘ ３ ３ ３ ３
( ＋４)ꎬ － ( )＝ ( ＋４)ꎬ ＝ ＋４ꎬ － (
答案 Ｃ 由 ｆ ｘ ｆ ｘ 且 ｆ ｘ 是定
ｆ ｘ 则 ｆ ｘ ｆ ｘ 所以函数 (１＋ )＝ (－ )ꎬ ( )
＋４)＝ ( ＋８)ꎬ ( )＝ ( ＋８)ꎬ
义在 Ｒ 上的奇函数 可得 ｆ ｘ ｆ ｘ
ｆ ｘ 的周期为 因为 ｆ 所以在 ｆ ꎬ (１＋ )＝ (－ )＝ －
( ) ８ꎬ (１)＝ ２ ０２２ꎬ
ｆ ｘ 所以ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所以
ｘ ｆ ｘ 中 令 ｘ 得 ｆ ｆ ( )ꎬ (２＋ )＝ － (１＋ )＝ ( )ꎬ
( ＋３)＝ (１－ ) ꎬ ＝０ꎬ (３)＝ (１)＝
æ ö æ ö æ ö
所以 ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ 的周期为 则 ｆç５ ÷ ｆç５ ÷ ｆç １÷
２ ０２２ꎬ (４５)＝ (６×８－３)＝ (－３)＝ － ( ) ２ꎬ è ø ＝ è －２ø ＝ è－ ø
. ３ ３ ３
(３)＝ －２ ０２２
１ 故选 .
＝ ꎬ Ｃ
考法 六 函数周期性的判断及应用 ３
３.(多选)( 新高考 ꎬ ꎬ 分)已知函数
考向一 由奇偶性、对称性确定函数周期 ２０２２ Ⅰ １２ ５
ｆ ｘ 及其导函数 ｆ ′ ｘ 的定义域均为 Ｒ 记
１.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )已知定义在 Ｒ ( ) ( ) ꎬ
２０２３ ８ æ ö
ｇ ｘ ｆ ′ ｘ .若ｆç３ ｘ÷ ｇ ｘ 均为偶函
上的函数ｆ ｘ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ( )＝ ( ) è －２ øꎬ (２＋ )
( ) (－ )＋ ( )＝ ０ꎬ (２－ )＝
２
ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ 则 数 则
( )ꎬ ０ ≤ ≤１ ꎬ ( ) ＝ ２ － １ꎬ ꎬ ( )
ｆ æ ö
(ｌｏｇ２２ ０２３)＝ ( ) ｆ ｇç １÷
Ａ. (０)＝ ０ Ｂ. è－ ø ＝０
２５ ９９９ １０２４ ５１２ ２
Ａ.－ Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.－ ｆ ｆ ｇ ｇ
２ ０４８ １ ０２４ ２ ０２３ ９９９ Ｃ. (－１)＝ (４) Ｄ. (－１)＝ (２)
答案 Ｂ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 为奇函 答案 ＢＣ 若设 ｆ ｘ 则 ｇ ｘ 易知
∵ (－ )＋ ( )＝ ０ꎬ∴ ( ) ( )＝ １ꎬ ( )＝ ０ꎬ
数 即图象关于原点对称 ｆ ｘ ｆ ｘ 所设ｆ ｘ 符合题意 此时 ｆ 故选项
ꎬ ꎬ∵ (２－ )＝ ( )ꎬ ( ) ꎬ (０)＝ １ꎬ Ａ
ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ 对称 错误.
∴ ( ) ＝１ ꎬ
则函数 ｆ ｘ 的周期 Ｔ .由 设 ｆ ｘ ｘ 则 ｇ ｘ ｆ ′ ｘ
( ) ＝４×(１－０)＝ ４ １０< ( )＝ ｓｉｎ(π )ꎬ ( )＝ ( )＝ πｃｏｓ
得 即 ｘ
ｌｏｇ２２ ０２３<１１ꎬ ０<ｌｏｇ２２ ０２３－１０<１ꎬ ０< (π )ꎬ
æ ö é æ ö ù
２ ０２３ 由于 ｆ ç３ ｘ÷ ê ê ç３ ｘ÷ ú ú
ｌｏｇ２ <１ꎬ è －２ ø ＝ ｓｉｎ ë π è －２ ø û ＝ ｓｉｎ
１ ０２４ ２ ２
æ ö æ ö
则 ｆ ｆ ç ２ ０２３ ÷ ç３π ｘ÷ ｘ
( ｌｏｇ２２ ０２３ ) ＝ èｌｏｇ２ ＋１０ø ＝ è －２π ø ＝－ｃｏｓ(２π )ꎬ
１ ０２４ ２
æ ö ｇ ｘ ｘ ｘ
ｆç ２ ０２３ ÷ (２＋ )＝ πｃｏｓ[π(２＋ )] ＝πｃｏｓ(２π＋π )＝
5 èｌｏｇ２ ＋２øꎬ ｘ
年 １ ０２４ πｃｏｓ(π )ꎬ
高 因为 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所以 ｆ æ ö
考 (－ )＋ ( )＝ ０ꎬ (２－ )＝ ( )ꎬ 所以 ｆç ３ ｘ÷ ｇ ｘ 均为偶函数 则所设 ｆ
3 ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ è －２ øꎬ (２＋ ) ꎬ
年 (－ )＋ (２－ )＝ ０ꎬ ( )＋ ( ＋２)＝ ０ꎬ ( ＋２) ２
模 ｆ ｘ ｘ 符合题意.
拟 ＝ － ( )ꎬ ( )
于是 ｇ ｇ 故选
A æ ö æ ö
版 即 ｆç ２ ０２３ ÷ ｆç ２ ０２３÷ ｌｏｇ２ ２ １ ０ ０ ２ ２ ３ ４ (－１)＝ πｃｏｓ(－π)＝ －π≠ (２)ꎬ
èｌｏｇ２ ＋２ø ＝－ èｌｏｇ２ ø ＝－(２ 项 错误.
１ ０２４ １ ０２４ Ｄ
高
考 æ ö æ ö æ ö
数 ç２ ０２３ ÷ ９９９ 故选 由于 ｆç３ ｘ÷是偶函数 所以 ｆ ′ç３ ｘ÷是
学 －１)＝ －è －１ø ＝－ ꎬ Ｂ. è －２ ø ꎬ è －２ ø
１ ０２４ １ ０２４ ２ ２
６０
奇函数 对于 令 ｘ 得 ｇ ｆ
ꎬ ①ꎬ ＝－１ꎬ (１)－ (－３)＝ ７ꎬ
æ ö æ ö 则 ｇ ｆ
即ｇç３ ｘ÷是奇函数 则ｇç３ ÷ 注意到ｇ (１)－ (１)＝ ７⑦ꎬ
è －２ ø ꎬ è ø ＝０ꎬ 对于 令 ｘ 得 ｆ ｇ
２ ２
②ꎬ ＝１ꎬ (１)＋ (１)＝ ５⑧ꎬ
æ ö æ ö
由 得 ｆ .
ｘ 是偶函数 于是 ｇç １÷ ｇç３ ÷ ⑦⑧ꎬ (１)＝ －１
(２＋ ) ꎬ è－ ø ＝ è －２ø ＝－
２ ２ 对于 令 ｘ 得 ｆ ｇ
②ꎬ ＝０ꎬ (０)＋ (２)＝ ５ꎬ
æ ö
ｇç３ ÷ 又 ｇ 所以 ｆ .
è ＋２ø (２)＝ ４ꎬ (０)＝ １
２
对于 令 ｘ 得 ｆ ｆ 所以 ｆ
æ ö æ ö æ ö ③ꎬ ＝２ꎬ (２)＋ (０)＝ －２ꎬ
ｇç ３ ÷ ｇç１ ÷ ｇç３ １÷ .
＝－ è－ ＋２ø ＝－ è ø ＝－ è －２× ø (２)＝ －３
２ ２ ２ ２
æ ö æ ö æ ö ２２
则 ｆ ｋ ｆ ｆ
＝ ｇ è ç３ ＋２× １ ø ÷ ＝ ｇ è ç ２＋ １ ø ÷ ＝ ｇ è ç ２－ １ ø ÷ ＝ ｇ ∑ ｋ＝ ( ) ＝ ５×(－４)＋ (１)＋ (２)＝ －２０＋(－
１
２ ２ ２ ２
.故选 .
æ ö １)＋(－３)＝ －２４ Ｄ
ç３ ÷
è ø ＝０ꎬ 考向二 周期性与单调性、奇偶性综合问题
２
故选项 正确. １.( 届福建龙岩一中月考ꎬ )设定义在 Ｒ
Ｂ ２０２３ ５
æ ö æ ö 上的奇函数 ｆ ｘ 在 上单调递增 且
由ｆç３ ｘ÷ ｆç３ ｘ÷ 取ｘ ５ 则ｆ ｆ ( ) (０ꎬ＋∞) ꎬ
è －２ ø ＝ è ＋２ øꎬ ＝ ꎬ (－１)＝
ｆ 则不等式 ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的解
２ ２ ４
(１)＝ ０ꎬ [ ( )－ (－ )]<０
故选项 正确.故选 .
集为
(４)ꎬ Ｃ ＢＣ
( )
小题巧解
ｘ ｘ 或 ｘ
Ａ.{ ｜－１< <０ >１}
æ ö
令ｆ(ｘ) ｘꎬ则ｆç３ ｘ÷ ｘꎬ ｘ ｘ 或 ｘ
＝ １－ｓｉｎ π è －２ ø ＝１＋ｃｏｓ ２π Ｂ.{ ｜ <－１ ０< <１}
２ ｘ ｘ 或 ｘ
ｇ(ｘ) ｆ ′(ｘ) ｘꎬｇ(ｘ ) Ｃ.{ ｜ <－１ >１}
＝ ＝ －πｃｏｓ π ＋２ ＝ －πｃｏｓ ｘ ｘ 或 ｘ
( ｘ) ｘꎬ可知选项 正确. Ｄ.{ ｜－１< <０ ０< <１}
２π＋π ＝ －πｃｏｓ π ＢＣ 答案 Ｄ 由奇函数 ｆ ｘ 在 上是增
４.( 全国乙理ꎬ ꎬ 分)已知函数 ｆ ｘ ( ) (０ꎬ＋∞)
２０２２ １２ ５ ( )ꎬ 函数 得该函数在 上也是增函数 且
ꎬ (－∞ꎬ０) ꎬ
ｇ ｘ 的定义域均为 Ｒ 且 ｆ ｘ ｇ ｘ
( ) ꎬ ( )＋ (２－ )＝ ５ꎬ ｆ ｘ ｆ ｘ
(－ )＝ － ( )ꎬ
ｇ ｘ ｆ ｘ .若 ｙ ｇ ｘ 的图象关于直
( )－ ( －４)＝ ７ ＝ ( ) ｆ ｆ ｆ 由 ｘ ｆ ｘ ｆ
∵ (１)＝ ０ꎬ∴ (－１)＝ － (１)＝ ０ꎬ [ ( )－
２２
线 ｘ 对称 ｇ 则 ｆ ｋ ｘ 可得 ｘｆ ｘ 即 ｘｆ ｘ .
＝２ ꎬ (２)＝ ４ꎬ ∑ ｋ＝ ( )＝ ( ) (－ )]<０ ２ ( )<０ꎬ ( )<０
１ 当 ｘ 时 得 ｆ ｘ ｆ 解得 ｘ
<０ ꎬ ( )>０＝ (－１)ꎬ －１< <０ꎻ
Ａ.－２１ Ｂ.－２２ Ｃ.－２３ Ｄ.－２４
当 ｘ 时 得 ｆ ｘ ｆ 解得 ｘ .
答案 Ｄ 由 ｙ ｇ ｘ 的图象关于直线 ｘ
>０ ꎬ ( )<０＝ (１)ꎬ ０< <１
＝ ( ) ＝２
因此 原不等式的解集为 ｘ ｘ 或 ｘ
对称 得 ｇ ｘ ｇ ｘ 故 ｇ ｘ ｇ
ꎬ { ｜－１< <０ ０<
ꎬ (２＋ )＝ (２－ )ꎬ ( )＝ (４－
.故选
ｘ 由 ｇ ｘ ｆ ｘ 得ｇ ｘ ｆ ｘ
<１} Ｄ.
)ꎬ ( )－ ( －４)＝ ７ꎬ (２＋ )－ ( －２)
又 ｆ ｘ ｇ ｘ 所以由 ２.( 重庆八中模拟预测)定义域为 Ｒ 的偶
＝ ７①ꎬ ( )＋ (２－ )＝ ５②ꎬ ②－①ꎬ ２０２２
得ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｆ ｘ ｆ ｘ 函数 ｆ ｘ 满足 ｆ .设 ｇ ｘ ｘ 专
( )＋ ( －２)＝ －２③ꎬ ( ＋２)＋ ( )＝ －２ ( )ꎬ (０)＝ －１ ( )＝ ( －１) 题
三
所以由 得ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ ｆ ｘ 若 ｇ ｘ 是偶函数 则 ｇ
④ꎬ ④－③ꎬ ( ＋２)＝ ( －２)ꎬ ( ( )ꎬ ( ＋１) ꎬ (２ ０２２)＝
函
ｆ ｘ 所以函数 ｆ ｘ 是以 为周期的 数
＋４)＝ ( )ꎬ ( ) ４ ( ) 的
概
周期函数.
Ａ.－２ ０２２ Ｂ.－２ ０２１ Ｃ.２ ０２１ Ｄ.２ ０２２ 念
与
对于 分别令ｘ 得ｆ ｆ ｆ 答案 Ｃ ｇ ｘ ｘ ｆ ｘ ｇ ｘ ｘｆ 基
④ꎬ ＝１ꎬ２ꎬ (１)＋ (３)＝ －２ꎬ ∵ ( )＝( －１) ( )ꎬ∴ ( ＋１)＝ 本
ｆ 则 ｆ ｆ ｆ ｆ ｘ 又ｇ ｘ 为偶函数 ｘｆ ｘ ｘｆ 初
(２)＋ (４)＝ －２ꎬ (１)＋ (２)＋ (３)＋ (４)＝ ( ＋１)ꎬ ( ＋１) ꎬ∴ － (－ ＋１)＝ 等
函
. ｘ 即 ｆ ｘ ｆ ｘ 数
－４ ( ＋ １)ꎬ － ( － ＋ １) ＝ ( ＋１)ꎬ
６１
ｆ ｘ ｆ ｘ 又ｆ ｘ 是定义域为Ｒ 的 线 ｘ 对称 ｆ ｆ 且 ｆ ｘ 在区
∴ ( ＋２)＝ － (－ )ꎬ ( ) ＝１ ꎬ∴ (２)＝ (０)＝ ０ꎬ ( )
偶函数 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 间 上是减函数.又ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ
ꎬ∴ ( ＋２)＝ － ( )ꎬ ( ＋４)＝ － ( ＋ [１ꎬ３] ( )＝ － (－ )＝ － [１
ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
２)＝ ( )ꎬ －(１＋ )] ＝ － [１＋(１＋ )] ＝ － (２＋ )ꎬ
ｆ ｘ 的周期为 又 ｆ ｆ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 即
∴ ( ) ４ꎬ (０)＝ －１ꎬ∴ (２ ０２２) ∴ (４＋ )＝ [２＋(２＋ )]＝－ (２＋ )＝ ( )ꎬ
ｆ ｆ ｇ ｆ 函数 ｆ ｘ 的周期为 . ｆ ｘ 在区间
＝ (２)＝ － (０)＝ １ꎬ∴ (２ ０２２)＝ ２ ０２１ (２ ( ) ４ ∴ ( ) [－３ꎬ－
.故选 上是减函数 且ｆ .综上所述 不等
０２２)＝ ２ ０２１ Ｃ. １] ꎬ (－２)＝ ０ ꎬ
３.(多选)( 江苏盐城三模ꎬ )已知函数 式 ｘｆ ｘ 的解集为 .
２０２２ １０ ( )>０ (－２ꎬ０)∪(０ꎬ１]
ｆ ｘ 为 Ｒ 上的奇函数 ｇ ｘ ｆ ｘ 为偶函 ５.( 湖南衡阳三模ꎬ )定义在 Ｒ 上的奇函
( ) ꎬ ( )＝ ( ＋１) ２０２２ ６
数 下列说法正确的有 数 ｆ ｘ 满足 ｆ ｘ 为偶函数 且当 ｘ
ꎬ ( ) ( ) ( ＋１) ꎬ ∈[０ꎬ
ｆ ｘ 的图象关于直线 ｘ 对称 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 则下列结论正确的是
Ａ. ( ) ＝－１ １] ꎬ ( )＝ ４ －ｃｏｓ ꎬ
ｇ
Ｂ. (２ ０２３)＝ ０ ( )
ｇ ｘ 的最小正周期为 æ ö æ ö
Ｃ. ( ) ４ ｆ ç４ ０４３÷ ｆ ｆ ç４ ０３９÷
对任意 ｘ Ｒ 都有 ｆ ｘ ｆ ｘ Ａ. è ø> (２ ０２２)> è ø
２ ２
Ｄ. ∈ ꎬ (２－ )＝ ( )
答案 ＡＢＤ 由题意得 ｆ ｘ 图象的对称中 æ ö æ ö
ｆ ｆ ç４ ０３９÷ ｆ ç４ ０４３÷
( )
Ｂ. (２ ０２２)> è ø> è ø
心为 对称轴为ｘ 则ｆ ｘ 的图象也 ２ ２
(０ꎬ０)ꎬ ＝１ꎬ ( )
æ ö æ ö
关于直线 ｘ 对称且 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ç４ ０４３÷ ｆ ç４ ０３９÷ ｆ
＝－１ ( )＝ (２－ )ꎬＡ、Ｄ Ｃ. è ø> è ø> (２ ０２２)
正确 由 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ ｘ ２ ２
ꎬ ( )＝ (２－ )＝ － (－ )ꎬ (２＋ ) æ ö æ ö
ｆ ｘ 所以 ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ç４ ０３９÷ ｆ ｆ ç４ ０４３÷
＝ － ( )ꎬ (４＋ )＝ － (２＋ )＝ ( )ꎬ Ｄ. è ø> (２ ０２２)> è ø
２ ２
所以 ｆ ｘ 的周期为 则 ｇ ｆ
( ) ４ꎬ (２ ０２３)＝ (２ 答案 Ａ 因为 ｆ ｘ 为偶函数 所以 ｆ ｘ
( ＋１) ꎬ ( ＋
ｆ 正确 不能说明 ｇ ｘ 的最
０２４)＝ (０)＝ ０ꎬＢ ꎬ ( ) ｆ ｘ 又因为 ｆ ｘ 是奇函数 所以 ｆ
１)＝ (－ ＋１)ꎬ ( ) ꎬ
小正周期为 错误 故选 .
ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
４ꎬＣ . ＡＢＤ
(－ ＋１)＝ － ( －１)ꎬ ( ＋１)＝ － ( －１)ꎬ (
４.( 湖南三湘名校、五市十校大联考ꎬ )已
ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ
２０２２ ６
＋２)＝ － ( )ꎬ ( ＋４)＝ － ( ＋２)ꎬ
知ｆ ｘ 是Ｒ上的奇函数 ｆ ｘ ｆ ｘ 当 因此 ｆ ｘ ｆ ｘ 即 ｆ ｘ 是以 为周期的
( ) ꎬ (１＋ )＝ (１－ )ꎬ ( )＝ ( ＋４)ꎬ ( ) ４
ｆ ｘ ｆ ｘ 周期函数.
ｘ ｘ 且 ｘ ｘ 时 ( １)－ ( ２) 则
１ꎬ ２∈[０ꎬ１]ꎬ １≠ ２ ꎬ ｘ － ｘ >０ꎬ æ ö æ ö æ ö æ ö
１ ２ ｆç４ ０４３÷ ｆç４ ０４３ ÷ ｆç３ ÷ ｆç１ ÷ ｆ
当 ｘ 时 不等式ｘｆ ｘ 的解集为 è ø ＝ è －４×５０５ø ＝ è ø ＝ è øꎬ
－３≤ ≤１ ꎬ ( )>０ ２ ２ ２ ２
æ ö
( ) ｆ ｆ ｆ ç４ ０３９÷ ｆ
( ２ ０２２ ) ＝ (２)＝ (０)ꎬ è ø ＝
Ａ.[－１ꎬ０)∪(０ꎬ１] Ｂ.[－３ꎬ－２)∪(０ꎬ１] ２
æ ö æ ö æ ö
Ｃ.(－２ꎬ－１)∪(０ꎬ１] Ｄ.(－２ꎬ０)∪(０ꎬ１] ç４ ０３９ ÷ ｆç １÷ ｆç１ ÷.
è －４×５０５ø ＝ è－ ø ＝－ è ø
答案 Ｄ 当ｘ ｘ 且ｘ ｘ 时 ２ ２ ２
∵ １ꎬ ２∈[０ꎬ１]ꎬ １≠ ２ ꎬ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｙ ｘ 在 ｘ
5 ｆ ｘ ｆ ｘ ∈[０ꎬ１] ꎬ ( )＝ ４ －ｃｏｓ ꎬ ＝４ ∈
年 高 考 ( １ ｘ ) － － ｘ ( ２) >０ꎬ∴ ｆ ( ｘ ) 在区间 [０ꎬ１] 上是增 [０ꎬ１] 上单调递增 ꎬ ｙ ＝ｃｏｓ ｘ 在 ｘ ∈[０ꎬ１] 上
１ ２
3 单调递减 故 ｆ ｘ ｘ ｘ 在 ｘ 上
年 函数. ∵ ｆ ( ｘ ) 是 Ｒ 上的奇函数 ꎬ∴ ｆ (０)＝ ０ꎬ 且 ꎬ ( )＝ ４ －ｃｏｓ ∈[０ꎬ１]
模 æ ö æ ö
ｆ ｘ 在区间 上是增函数. 当
拟 单调递增.所以 ｆç１ ÷ ｆ ｆç１ ÷ 即
( ) [－ １ꎬ０] ∴ è ø> (０)＝ ０>－ è øꎬ
A ｘ 时 ｆ ｘ 当 ｘ 时 ｆ ｘ ２ ２
版 －１≤ <０ ꎬ ( )<０ꎬ ０< ≤１ ꎬ ( )> æ ö æ ö
. ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的图象关于直 ｆç４ ０４３÷ ｆ ｆç４ ０３９÷.故选
高 ０ ∵ (１＋ )＝ (１－ )ꎬ∴ ( ) è ø> (２ ０２２)> è ø Ａ.
考 ２ ２
数
学
６２
