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3.2 二次函数与幂函数
基础篇
考点 一 二次函数 函数 ｆ ｘ 有最大值
Ｂ. ( )
１.( 届兰州五十五中开学考ꎬ )函数 ｆ ｘ 对任意 ｘ Ｒ ｆ ｘ ２５恒成立
２０２３ ８ ( ) Ｃ. ∈ ꎬ ( )≥－
４
ｘ２ ｘ 的单调增区间是
＝ －２｜ ｜＋５ ( ) ｘ Ｒ 使得函数 ｆ ｘ
Ｄ.∃ ∈ ꎬ ( )＝ π
和
Ａ.(－∞ꎬ－１) (０ꎬ１) 答案 ＡＣＤ 函数 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 对应的
和 ( )＝ －３ －４
Ｂ.(－∞ꎬ－１) (１ꎬ＋∞) 方程为 ｘ２ ｘ Δ ２
和
－３ －４＝０ꎬ∵ ＝(－３) －４×１×(－
Ｃ.[－１ꎬ０] [１ꎬ＋∞) ｆ ｘ 的图象与 ｘ 轴有两个不同
和 ４)＝ ２５>０ꎬ∴ ( )
Ｄ.(－１ꎬ０) (０ꎬ１) æ ö２
答案 Ｃ 易知ｆ ｘ 的定义域为Ｒ.由ｆ ｘ 的交点 正确.ｆ ｘ ｘ２ ｘ çｘ ３÷
( ) (－ ) ꎬ∴ Ａ ( )＝ －３ －４＝è － ø －
２
ｘ ２ ｘ ｘ２ ｘ ｆ ｘ 得 ｆ
＝ (－ ) －２｜－ ｜＋５＝ －２｜ ｜＋５＝ ( )ꎬ
２５ 故易得 错误 正确.
ｘ 为偶函数 则 ｆ ｘ 的图象关于 ｙ 轴对称. ꎬ Ｂ ꎬＣ、Ｄ
( ) ꎬ ( ) ４
当 ｘ 时 ｆ ｘ ｘ２ ｘ 图象的对称轴为 ４.( 广东深圳一模ꎬ )已知函数的图象关
≥０ ꎬ ( )＝ －２ ＋５ꎬ
２０２１ １３
直线 ｘ 所以ｆ ｘ 在 上单调递增
＝１ꎬ ( ) [１ꎬ＋∞) ꎬ 于 ｙ 轴对称 且与直线 ｙ ｘ 相切 则满足上
ꎬ ＝ ꎬ
在 上单调递减 则当 ｘ 时 ｆ ｘ 在
[０ꎬ１] ꎻ ≤０ ꎬ ( ) 述条件的二次函数可以为 ｆ ｘ .
( )＝
上单调递增 在 上单调递
[－１ꎬ０] ꎬ (－∞ꎬ－１]
答案 ｘ２ １ 答案不唯一
减 则 ｆ ｘ 的单调增区间为 ＋ ( )
ꎬ ( ) [－１ꎬ０]ꎬ[１ꎬ＋ ４
.故选 解析 因为二次函数 ｆ ｘ 的图象关于 ｙ 轴
∞) Ｃ. ( )
２.( 湖南三湘名校、五市十校联考ꎬ )已知 对称 所以可设 ｆ ｘ ａｘ２ ｃ ａ 由
２０２２ ５ ꎬ ( )＝ ＋ ( ≠０)ꎬ
实数 ａ ｂ ｃ 满足 ａ ｂ ｃ 则 ａ ｂ ｃ 是 函 {ｙ ａｘ２ ｃ
ꎬ ꎬ ＋ ＋ ＝０ꎬ “ > > ” “ ＝ ＋ ꎬ得 ａｘ２ ｘ ｃ 所以 Δ ａｃ
数 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 有两个零点 的 ｙ ｘ － ＋ ＝０ꎬ ＝１－４ ＝
( )＝ ＋ ＋ ” ( ) ＝
充分不必要条件
Ａ. 即ａｃ １.可取ａ ｃ １ 则ｆ ｘ ｘ２ １.
必要不充分条件 ０ꎬ ＝ ＝１ꎬ ＝ ꎬ ( )＝ ＋
Ｂ. ４ ４ ４
充要条件 答案不唯一
Ｃ. ( )
既不充分也不必要条件 ５.( 北 京ꎬ ꎬ 分) 设 函 数 ｆ ｘ
Ｄ. ２０２２ １４ ５ ( ) ＝
答案 Ａ 一方面 若 ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 则 ａ { ａｘ ｘ ａ
ꎬ ＋ ＋ ＝０ꎬ > > ꎬ － ＋１ꎬ < ꎬ 若ｆ ｘ 存在最小值 则ａ 的一个
>０ꎬ ｃ <０ . ∴ ｂ２ －４ ａｃ >０ꎬ∴ 函数 ｆ ( ｘ )＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ( ｘ －２) ２ ꎬ ｘ ≥ ａ. ( ) ꎬ
有两个零点 ａ ｂ ｃ 是 函数 ｆ ｘ ａｘ２ 取值为 ａ 的最大值为 .
ꎬ∴ “ > > ” “ ( )＝ ＋ ꎻ
ｂｘ ｃ 有两个零点 的充分条件.另一方面 若
＋ ” ꎬ 答案 １ 中任意一个实数都可以 答
ａ ｂ ｃ 则函数 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 有 ([０ꎬ１] ꎬ 专
＝－１ꎬ ＝０ꎬ ＝１ꎬ ( )＝ ＋ ＋ ２ 题
三
两个零点 但不满足 ａ ｂ ｃ 即 ａ ｂ ｃ 不是 案不唯一
ꎬ > > ꎬ “ > > ” ) １
函
函数 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 有两个零点 的必要 解析 当 ａ 时 ｆ ｘ ａｘ 在 ａ 数
“ ( )＝ ＋ ＋ ” <０ ꎬ ( )＝ － ＋１ (－∞ꎬ ) 的
条件.故选 . 上为增函数 无最小值.而 ｆ ｘ ｘ ２ 在 概
Ａ ꎬ ( )＝ ( －２) 念
与
３.(多选)( 广东普宁段考ꎬ )已知函数 ａ 上的最小值为 所以ｆ ｘ 不存在 基
２０２２ １０ [ ꎬ＋∞) ０ꎬ ( ) 本
ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－３
ｘ
－４ꎬ
则
( ) 最小值.当 ａ 时 ｆ ｘ
{
１ꎬ
ｘ
<０ꎬ 此
初
等
函数 ｆ ｘ 的图象与 ｘ 轴有两个不同交点 ＝０ ꎬ ( )＝ ｘ ２ ｘ 函 数
Ａ. ( ) ( －２) ꎬ ≥０ꎬ
６３
时ｆ ｘ 存在最小值 最小值为 .当 ａ {ｍ {ｍ {ｍ {ｍ
( ) ꎬ ０ ０< ≤１ >０ <０ <０ >０
时 ｆ ｘ ａｘ 在 ａ 上单调递减 所 Ａ. ｎ Ｂ. ｎ Ｃ. ｎ Ｄ. ｎ
ꎬ ( )＝ － ＋１ (－∞ꎬ ) ꎬ >０ <０ >０ <０
以ｆ ｘ ａ２.因为 ａ 所以 ａ２ 答案 ＡＢＣ Ａ ｍ ｎ 在幂函数 ｙ ｘａ ａ
( )>１－ ∈(０ꎬ１]ꎬ １－ ∈ ∵ ( ꎬ ) ＝ (
所以ｆ ｘ .而 ｆ ｘ ｘ ２ 在 ａ Ｒ 的图象上
[０ꎬ１)ꎬ ( )>０ ( )＝ ( －２) [ ꎬ ∈ ) ꎬ
上存在最小值 最小值为 所以 ｆ ｘ ｍａ ｎ 当 ｍ 时 ｎ 当 ｍ 时 ｎ 或
＋∞) ꎬ ０ꎬ ( ) ∴ ＝ ꎬ >０ ꎬ >０ꎬ <０ ꎬ >０
在Ｒ 上存在最小值.当ａ 时 ｆ ｘ ａｘ ｎ 则不可能存在 ｍ ｎ 的情况 故
>１ ꎬ ( )＝ － ＋１ <０ꎬ >０ꎬ <０ ꎬ
在 ａ 上单调递减 所以 ｆ ｘ ａ２. 选 .
(－∞ꎬ ) ꎬ ( )>１－ ＡＢＣ
ｆ ｘ ｘ ２ 在 ａ 上的最小值大于 æ öｘ
( )＝ ( －２) [ ꎬ＋∞) ２.( 河北唐山二模ꎬ )不等式ç１ ÷ ｘ的
或等于 而 ａ２ 所以函数 ｆ ｘ 在 Ｒ 上 ２０２１ ３ è
２
ø ≤
０ꎬ １－ <０ꎬ ( )
解集是
不存在最小值.综上 ａ 的取值范围为
( )
ꎬ [０ꎬ１]ꎬ
é ù é ö
ａ 的最大值为 . ê ú ê
１ １ ÷
１ ê ú ê
Ａ.ë０ꎬ û Ｂ.ë ꎬ＋∞ø
６.( 届安徽六安新安中学开学考ꎬ )已知 ２ ２
２０２３ ２２
é ù é ö
ê ú ê
函数 ｆ ｘ ｘ２ ａｘ ａ Ｒ. ２ ２ ÷÷
( )＝ ＋ －２ꎬ ∈ Ｃ.ë êê ０ꎬ û úú Ｄ.ë êê ꎬ＋∞ø
当 ａ 时 求不等式 ｆ ｘ 的解集 ２ ２
(１) ＝１ ꎬ ( )<０ ꎻ 答案 Ｂ 在同一平面直
若关于ｘ 的不等式ｆ ｘ ａ ｘ 在
(２) ( )≥(２ －１) －６ 角坐标系中作出函数 ｙ
上恒成立 求 ａ 的最大值. ＝
(０ꎬ２] ꎬ æ öｘ
解析
(１)
当 ａ
＝１
时
ꎬ
由 ｆ
(
ｘ
)<０
得 ｘ２
＋
ｘ
－２ è
ç １
ø
÷ 与 ｙ
＝
ｘ的图象
ꎬ
如图
２
<０ꎬ æ öｘ æ öｘ
所示 当ç１ ÷ ｘ时 ｘ １ 由图象知ç１ ÷
即 ｘ ｘ 解得 ｘ ꎬ è ø ＝ ꎬ ＝ ꎬ è ø
( －１)( ＋２)<０ꎬ －２< <１ꎬ ２ ２ ２
所以不等式的解集为 . é ö
(－２ꎬ１) ｘ的解集是ê １ ÷ 故选 .
ê
由 ｆ ｘ ａ ｘ 得 ｘ２ ａ ｘ ≤ ë ꎬ＋∞øꎬ Ｂ
(２) ( )≥(２ －１) －６ ＋(１－ ) ＋４ ２
所以问题转化为 ｘ２ ａ ｘ 在 ３.( 广东普通高中质检ꎬ )若幂函数 ｙ
≥０ꎬ ＋(１－ ) ＋４≥０ ２０２２ １５ ＝
ｆ ｘ 的图象过点 则函数ｆ ｘ
上恒成立 即ａ ｘ ４ 在 上恒 ( ) (８ꎬ２ ２)ꎬ ( －１)－
(０ꎬ２] ꎬ ≤ ＋ｘ ＋１ (０ꎬ２]
ｆ ２ ｘ 的最大值为 .
( )
成立
ꎬ
答案 ３
－
因为 ｘ 所以 ｘ ４ ｘ ４ ４
∈(０ꎬ２]ꎬ ＋ ｘ ＋１≥２ ｘ ＋１ 解析 设幂函数的解析式为 ｆ ｘ ｘα 则
( )＝ ꎬ ２
当且仅当 ｘ ４ 即 ｘ 时取等号 所以 α 解得 α １ 则 ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ
＝５ꎬ ＝ ｘꎬ ＝２ ꎬ ２ ＝８ ꎬ ＝ ꎬ ( )＝ ꎬ ( －１)－
２
ｘ ４ 的最小值为 所以 ａ 所以 ａ 的 ２ ｘ ｘ ｘ 令 ｘ ｔ ｔ 则 ｙ ｔ
＋ｘ ＋１ ５ꎬ ≤５ꎬ ( )＝ －１－ ꎬ －１ ＝ ꎬ ≥０ꎬ ＝ －(１
5
年 最大值为 . ｔ２ ｔ ｔ １时 ｙ ３ 即所求函数
高 ５ ＋ )ꎬ ≥０ꎬ∴ ＝ ꎬ ｍａｘ ＝－ ꎬ
２ ４
考
3
考点 二 幂函数 的最大值为 ３.
年
－
模
４
拟
考向一 幂函数的图象问题
４.( 河北保定重点高中月考ꎬ )若函数
A ２０２２ １４
版 １.(多选)( 江苏盐城阜宁中学段测ꎬ )若 ｆ ｘ ｍ ｘａ是幂函数 且其图象过点
２０２２ ９ ( )＝ ( ＋２) ꎬ (２ꎬ
高 点 Ａ ｍ ｎ 在幂函数ｙ ｘａ ａ Ｒ 的图象上 则函数 ｇ ｘ ｘ ｍ 的单调增区间
考 ( ꎬ ) ＝ ( ∈ ) ꎬ ４)ꎬ ( )＝ ｌｏｇａ( ＋ )
数
学 则下列结论可能成立的是 为 .
( )
６４
答案
(１ꎬ＋∞) ａ １ ２ 是 ａ １ 的充分不必要条件.
解析 函数 ｆ ｘ ｍ ｘａ是幂函数 且 (２－ ) ” “－２< < ”
２
∵ ( )＝ ( ＋２) ꎬ
其图象过点 ｍ ａ 解得 ｍ 故选 .
Ａ
(２ꎬ４)ꎬ∴ ＋２＝１ꎬ２ ＝４ꎬ
ａ 则函数 ｇ ｘ ｘ ｍ ｘ ３.( 届兰州五十五中开学考ꎬ )幂函数
＝－１ꎬ ＝２ꎬ ( )＝ ｌｏｇａ( ＋ )＝ ｌｏｇ２( ２０２３ １５
的单调增区间为 . ｆ ｘ ｘｍ２－２ ｍ －３ ｍ Ｚ 为偶函数 且在区间
－１) (１ꎬ＋∞) ( )＝ ( ∈ ) ꎬ
上是减函数 则 ｍ .
考向二 幂函数性质的应用
(０ꎬ＋∞) ꎬ ＝
答案
１.( 北京延庆一模ꎬ )已知定义在 Ｒ 上的
１
２０２１ ７
幂函数 ｆ ｘ ｘｍ ｍ 为实数 的图象过点 Ａ 解析 因为幂函数 ｆ ( ｘ )＝ ｘｍ２－２ ｍ －３ ( ｍ ∈ Ｚ ) 为
( )＝ ( )
偶函数 所以 ｍ２ ｍ 为偶数.又 ｆ ｘ
记 ａ ｆ ｂ ｆ ｃ ꎬ －２ －３ ( )＝
(２ꎬ８)ꎬ ＝ (ｌｏｇ０ . ５３)ꎬ ＝ (ｌｏｇ２５)ꎬ ＝
ｘｍ２－２ ｍ －３ ｍ Ｚ 在区间 上是减函数
ｆ ｍ 则 ａ ｂ ｃ 的大小关系为 ( ∈ ) (０ꎬ＋∞) ꎬ
( )ꎬ ꎬ ꎬ ( )
所以 ｍ２ ｍ 解得 ｍ 因为 ｍ
ａ ｂ ｃ ａ ｃ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ ｂ ａ －２ －３<０ꎬ －１< <３ꎬ ∈
Ａ. < < Ｂ. < < Ｃ. < < Ｄ. < <
答案 Ａ ｆ ｘ ｘｍ 的图象过点 Ａ
Ｚ
ꎬ
且 ｍ２
－２
ｍ
－３
为偶数
ꎬ
所以 ｍ
＝１
.
∵ ( )＝ (２ꎬ８)ꎬ
{
ｆ ｍ ｍ .从而 ｆ ｘ ｘ３. ４.( 上海ꎬ ꎬ 分)已知 α １
∴ (２)＝ ２ ＝８ꎬ∴ ＝３ ( )＝ ２０１８ ７ ５ ∈ －２ꎬ－１ꎬ－ ꎬ
２
ｌｏｇ０ . ５３＝ｌｏｇ１ ２３＝－ｌｏｇ２３＝ｌｏｇ２ １ ꎬ １ } .若幂函数 ｆ ｘ ｘα 为奇函数 且
３ ꎬ１ꎬ２ꎬ３ ( )＝ ꎬ
２
１ ３ 在 上递减 则 α .
∵ ｌｏｇ２ <ｌｏｇ２５<ｌｏｇ２２ ＝ ３ꎬ∴ ｌｏｇ０ . ５３<ｌｏｇ２５ (０ꎬ＋∞) ꎬ ＝
３
答案
ｍ －１
< ꎬ
解析 幂函数 ｆ ｘ ｘα 为奇函数 α 可
又 ｆ ｘ ｘ３ 在 Ｒ 上单调递增 ∵ ( )＝ ꎬ∴
( )＝ ꎬ
取 又 ｆ ｘ ｘα 在 上递减
ｆ ｆ ｆ ｍ .故 ａ ｂ ｃ 故 －１ꎬ１ꎬ３ꎬ ( )＝ (０ꎬ＋∞) ꎬ
∴ (ｌｏｇ０ . ５３)< (ｌｏｇ２５)< ( ) < < ꎬ
α 故 α .
选 . ∴ <０ꎬ ＝－１
Ａ
５.( 新高考 ꎬ ꎬ 分)写出一个同时具
２.( 湖南邵阳、郴州二模ꎬ ) ａ １ ２ ２０２１ Ⅱ １４ ５
２０２２ ４ “( ＋１) <
有下列性质 的函数 ｆ ｘ .
①②③ ( ):
(２－ ａ ) １ ２ ” 是 “－２< ａ < １ ” 的 ( ) ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 当 ｘ
２ ① ( １ ２)＝ ( １) ( ２)ꎻ② ∈(０ꎬ＋∞)
充分不必要条件 时 ｆ ′ ｘ ｆ ′ ｘ 是奇函数.
Ａ. ꎬ ( )>０ꎻ③ ( )
必要不充分条件 答案 ｆ ｘ ｘ４ ｘ Ｒ 答案不唯一
Ｂ. ( )＝ ( ∈ )( )
充要条件 解析 因为ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 所以ｆ ｘ 是
Ｃ. ( １ ２)＝ ( １) ( ２)ꎬ ( )
既不充分也不必要条件 幂函数 当ｘ 时 ｆ ′ ｘ 所以函数
Ｄ. ꎻ ∈(０ꎬ＋∞) ꎬ ( )>０ꎬ
答案 Ａ 因为 ｙ ＝ ｘ１ ２ 是定义在 [０ꎬ＋∞) 上 ｆ ( ｘ ) 在 (０ꎬ＋∞) 上是单调增函数 ꎻ 因为ｆ ′ ( ｘ ) 是
的 增 函 数 ꎬ 又 ( ａ ＋１) １ ２ < (２－ ａ ) １ ２ ꎬ 所 以 奇函数 ꎬ 所以ｆ ( ｘ ) 是偶函数.因此函数ｆ ( ｘ ) 可以
ìａ 是ｆ ｘ ｘ４ ｘ Ｒ 答案不唯一 .
ï ＋１≥０ꎬ ( )＝ ( ∈ )( )
ï 专
í ａ 解得 ａ １ 故 ａ １ ２ 题
ï２－ ≥０ꎬ －１≤ < ꎬ “( ＋１) < 三
ï ２
îａ ａ
＋１<２－ ꎬ 函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
６５
综合篇
考法 一 求二次函数在闭区间上的最值（值 ａ
开口向上 对称轴为直线 ｘ ＋２.
ꎬ ＝
域）的方法 ２
ａ
当 ＋２ 即 ａ 时 函数 ｇ ｘ 在
１.( 届江西上饶、景德镇六校联考ꎬ )函
(ｉ) ≥２ꎬ ≥２ ꎬ ( ) [０ꎬ
２０２３ １９ ２
数 ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ 的图象与 ｘ 轴交于点 上单调递减 ｇ ｘ ｇ ａ
( )＝ ＋ －３ (３ꎬ ２] ꎬ ( )ｍｉｎ ＝ (２)＝ －２ －３＝－４ꎬ
且ｆ ｘ ｆ ｘ .
０) (１－ )＝ (１＋ ) 解得 ａ １ 舍
求该函数的解析式 ＝ ( )ꎻ
(１) ꎻ ２
(２)
当 ｘ
∈[－１ꎬ
ｍ
]
时
ꎬ
函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ａｘ２
＋
ｂｘ
－３ 当
ａ
＋２ 即 ａ 时 函数 ｇ ｘ 在
(ｉｉ) ≤０ꎬ ≤－２ ꎬ ( )
有最小值 ｍ 求 ｍ 的值. ２
２ ꎬ
上单调递增 ｇ ｘ ｇ
解析
(１)
因为 ｆ
(１－
ｘ
)＝
ｆ
(１＋
ｘ
)ꎬ
所以函数 ｆ [０ꎬ２] ꎬ ( )ｍｉｎ ＝ (０)＝ －３≠－４
舍
ｘ ａｘ２ ｂｘ 的图象关于直线 ｘ 对称 ( )ꎻ
( )＝ ＋ －３ ＝１ ꎬ
ａ
ｂ 当 ＋２ 即 ａ 时 函数 ｇ ｘ
所以 即ｂ ａ 又函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ (ｉｉｉ) ０< <２ꎬ －２< <２ ꎬ ( )
－ ａ＝１ꎬ ＝－２ ꎬ ( )＝ ＋ ２
２
æａ ö
的图象与ｘ 轴交于点 所以 ａ ｂ 在 上先减后增 ｇ ｘ ｇç ＋２÷
－３ (３ꎬ０)ꎬ ９ ＋３ － [０ꎬ２] ꎬ ( )ｍｉｎ ＝ è ø ＝－３－
解得 ａ ｂ 所以ｆ ｘ ｘ２ ｘ . ２
３＝０ꎬ ＝１ꎬ ＝－２ꎬ ( )＝ －２ －３ ａ ２
ｆ ｘ ｘ２ ｘ 图象的对称轴为直线 ｘ ( ＋２) 解得ａ 舍 或ａ .综上 ａ
(２) ( )＝ －２ －３ ＝ ＝－４ꎬ ＝－４( ) ＝０ ꎬ
４
且开口向上.
１ .
＝０
若 ｍ 则当 ｘ ｍ 时 函数 ｆ ｘ ｘ２
① －１< <１ꎬ ＝ ꎬ ( )＝ － ３.( 山东烟台莱州一中测试ꎬ )已知二次
２０２２ ２１
ｘ 取得最小值 即 ｍ２ ｍ ｍ 解得 ｍ
２ －３ ꎬ －２ －３＝２ ꎬ 函数ｆ ｘ ａｘ２ ｂｘ ｃ 且满足ｆ ｆ ｘ
( )＝ ＋ ＋ ꎬ (０)＝ ２ꎬ ( ＋１)
或 ｍ 舍去
＝２－ ７ ＝２＋ ７( )ꎬ ｆ ｘ ｘ .
－ ( )＝ ２ ＋１
②
若 ｍ
≥１ꎬ
则当 ｘ
＝１
时
ꎬ
函数 ｆ
(
ｘ
)＝
ｘ２
－２
ｘ
－ 求函数 ｆ ｘ 的解析式
(１) ( ) ꎻ
取得最小值 即 ｍ 解得 ｍ 舍
３ ꎬ ２ ＝－４ꎬ ＝－２( 若关于 ｘ 的方程 ｆ ｘ ｍ 在 ｘ
(２) ( )－ ＝０ ∈[－１ꎬ
去 .
) 上有解 求实数 ｍ 的取值范围
２] ꎬ ꎻ
综上所述 ｍ 的值为 . 当 ｘ ｔ ｔ ｔ Ｒ 时 求函数 ｆ ｘ 的
ꎬ ２－ ７ (３) ∈[ ꎬ ＋２]( ∈ ) ꎬ ( )
２.( 河北保定重点高中月考ꎬ )设函数 最小值 用 ｔ 表示 .
２０２２ ２０ ( )
ｆ ｘ ｘ２ ｂｘ ｃ ｂ ｃ Ｒ 已知 ｆ ｘ 的解 解析 ｆ ｘ ｆ ｘ ｘ ａ ｘ
( )＝ ＋ ＋ ( ꎬ ∈ )ꎬ ( )<０ (１)∵ ( ＋１)－ ( )＝ ２ ＋１ꎬ∴ ( ＋
集为 . ２ ｂ ｘ ｃ ａｘ２ ｂｘ ｃ ａｘ ａ ｂ ｘ
(－１ꎬ３) １) ＋ ( ＋１)＋ － － － ＝２ ＋ ＋ ＝２ ＋１ꎬ
求 ｂ ｃ 的值 { ａ
(１) ꎬ ꎻ ２ ＝２ꎬ 解得 ａ ｂ 又 ｆ ｃ
若函数 ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ 在区间 上 ∴ ａ ｂ ＝１ꎬ ＝０ꎬ (０)＝ ２ꎬ∴
5 (２) ( )＝ ( )－ [０ꎬ２] ＋ ＝１ꎬ
年 的最小值为 求实数 ａ 的值. ｆ ｘ ｘ２ .
高 －４ꎬ ＝２ꎬ∴ ( )＝ ＋２
考 解析 由 ｆ ｘ 的解集为 可知 由 ｆ ｘ ｍ 得 方程 ｘ２
3 (１) ( )<０ (－１ꎬ３) (２) ( )－ ＝０ ꎬ ＋２
年 ｘ 和 ｘ 是关于 ｘ 的一元二次方程 ｘ２ ｍ 在 ｘ 上有解 如图
模 ＝－１ ＝３ ＋ ＝ ∈[－１ꎬ２] ꎬ ꎬ
拟 { ｂ 由图可知 ｍ ｍ 的取值
A ｂｘ ｃ 的解 故 －１＋３＝－ ꎬ解得 ｂ ｃ ２≤ ≤６ꎬ∴
版 ＋ ＝０ ꎬ ｃ ＝－２ꎬ ＝ 范围为 .
－１×３＝ ꎬ [２ꎬ６]
高 . ｘ ｔ ｔ ｔ 时 ｆ ｘ 的最小
考 －３ (３)∵ ∈[ ꎬ ＋２]ꎬ∴ ① ≥０ ꎬ ( )
数
学
ｇ ｘ ｆ ｘ ａｘ ｘ２ ａ ｘ 的图象 值为 ｆ ｔ ｔ２ ｔ 且 ｔ 即 ｔ
(２) ( )＝ ( )－ ＝ －( ＋２) －３ ( )＝ ＋２ꎻ② <０ ＋２>０ꎬ －２< <０
６６
时 ｆ ｘ 的最小值为 ｆ ｔ 即 ｔ
ꎬ ( ) (０)＝ ２ꎻ③ ＋２≤０ꎬ Ａ.(－∞ꎬ４) Ｂ.(３ꎬ＋∞)
时 ｆ ｘ 的最小值为 ｆ ｔ ｔ ２
≤－２ ꎬ ( ) ( ＋２)＝ ( ＋２) ＋ Ｃ.(３ꎬ４) Ｄ.(－∞ꎬ３)
ｔ２ ｔ .综上 ｔ 时 ｆ ｘ 的最小值为 答案 Ｃ 二次函数 ｙ ｘ２ ｘ ａ 图象的对
２＝ ＋４ ＋６ ꎬ ≥０ ꎬ ( ) ＝ －４ ＋
ｔ２ ｔ 时 ｆ ｘ 的最小值为 ｔ 称轴为直线 ｘ 开口向上 在 上单
＋２ꎻ－２< <０ ꎬ ( ) ２ꎻ ≤－２ ＝２ꎬ ꎬ (－∞ꎬ２)
时 ｆ ｘ 的最小值为 ｔ２ ｔ . 调递减 在 上单调递增.要使二次函
ꎬ ( ) ＋４ ＋６ ꎬ (２ꎬ＋∞)
数 ｙ ｘ２ ｘ ａ 的两个零点都在区间
＝ －４ ＋ (１ꎬ
考法 二 一元二次方程根的分布
{ ａ
内 需 １－４＋ >０ꎬ解得 ａ .故实数 ａ
( 重庆模拟ꎬ )已知二次函数 ｙ ｘ２ ｘ ａ ＋∞) ꎬ ａ ３< <４
２０２２ ４ ＝ －４ ＋ ４－８＋ <０ꎬ
的两个零点都在区间 内 则 ａ 的取值 的取值范围是 故选 .
(１ꎬ＋∞) ꎬ (３ꎬ４)ꎬ Ｃ
范围是
( )
专
题
三
函
数
的
概
念
与
基
本
初
等
函
数
６７
