北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
3.2 二次函数与幂函数
基础篇
考点一 二次函数
1.(2023届兰州五十五中开学考,8)函数f(x)=x2-2|x|+5的单调增区间是 ( )
A.(-∞,-1)和(0,1)
B.(-∞,-1)和(1,+∞)
C.[-1,0]和[1,+∞)
D.(-1,0)和(0,1)
答案 C
2.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,5)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,则“a>b>c”是
“函数f(x)=ax2+bx+c有两个零点”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(多选)(2022广东普宁段考,10)已知函数f(x)=x2-3x-4,则 ( )
A.函数f(x)的图象与x轴有两个不同交点
B.函数f(x)有最大值
25
C.对任意x∈R, f(x)≥- 恒成立
4
D. x∈R,使得函数f(x)=π
答案 ACD
∃
4.(2021广东深圳一模,13)已知函数的图象关于y轴对称,且与直线y=x相切,则满足上
述条件的二次函数可以为f(x)= .
1
答案 x2+ (答案不唯一)
4
{-ax+1,x<a,
5.(2022北京,14,5分)设函数f(x)= 若f(x)存在最小值,则a的一个取值
(x-2) 2,x≥a.
为 ;a的最大值为 .
1
答案 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一) 1
2
6.(2023届安徽六安新安中学开学考,22)已知函数f(x)=x2+ax-2,a∈R.
(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;
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(2)若关于x的不等式f(x)≥(2a-1)x-6在(0,2]上恒成立,求a的最大值.
解析 (1)当a=1时,由f(x)<0得x2+x-2<0,
即(x-1)(x+2)<0,解得-2<x<1,
所以不等式的解集为(-2,1).
(2)由f(x)≥(2a-1)x-6得x2+(1-a)x+4≥0,所以问题转化为x2+(1-a)x+4≥0在(0,2]上恒成
4
立,即a≤x+ +1在(0,2]上恒成立,
x
4 √ 4 4 4
因为x∈(0,2],所以x+ +1≥2 x· +1=5,当且仅当x= ,即x=2时取等号,所以x+ +1
x x x x
的最小值为5,所以a≤5,所以a的最大值为5.
考点二 幂函数
考向一 幂函数的图象问题
1.(多选)(2022江苏盐城阜宁中学段测,9)若点A(m,n)在幂函数y=xa(a∈R)的图象上,
则下列结论可能成立的是 ( )
{m>0 {m<0 {m<0 {m>0
A. B. C. D.
n>0 n<0 n>0 n<0
答案 ABC
(1) x
2.(2021河北唐山二模,3)不等式 ≤√x的解集是 ( )
2
[ 1] [1 )
A. 0, B. ,+∞
2 2
[ √2] [√2 )
C. 0, D. ,+∞
2 2
答案 B
3.(2022广东普通高中质检,15)若幂函数y=f(x)的图象过点(8,2√2),则函数f(x-1)-f
2(x)的最大值为 .
3
答案 -
4
4.(2022河北保定重点高中月考,14)若函数f(x)=(m+2)xa是幂函数,且其图象过点
(2,4),则函数g(x)=log (x+m)的单调增区间为 .
a
答案 (1,+∞)
考向二 幂函数性质的应用
1.(2021北京延庆一模,7)已知定义在R上的幂函数f(x)=xm(m为实数)的图象过点
A(2,8),记a=f(log 3),b=f(log 5),c=f(m),则a,b,c的大小关系为 ( )
0.5 2
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A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
答案 A
1 1 1
2.(2022湖南邵阳、郴州二模,4)“ (a+1)2<(2-a)2”是“-2<a<
2
”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
3.(2023届兰州五十五中开学考,15)幂函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)为偶函数,且在区间
(0,+∞)上是减函数,则m= .
答案 1
1 1
,
4.(2018上海,7,5分)已知α∈ -2,-1,-2 2,1,2,3 .若幂函数f(x)=xα为奇函数,且在
(0,+∞)上递减,则α= .
答案 -1
5.(2021新高考Ⅱ,14,5分)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): .
①f(x x )=f(x )f(x );②当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0;③f '(x)是奇函数.
1 2 1 2
答案 f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)
综合篇
考法一 求二次函数在闭区间上的最值(值域)的方法
1.(2023届江西上饶、景德镇六校联考,19)函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点
(3,0)且f(1-x)=f(1+x).
(1)求该函数的解析式;
(2)当x∈[-1,m]时,函数f(x)=ax2+bx-3有最小值2m,求m的值.
解析 (1)因为f(1-x)=f(1+x),所以函数f(x)=ax2+bx-3的图象关于直线x=1对称,所以-
b
=1,即b=-2a,又函数f(x)=ax2+bx-3的图象与x轴交于点(3,0),所以9a+3b-3=0,解得
2a
a=1,b=-2,所以f(x)=x2-2x-3.
(2)f(x)=x2-2x-3图象的对称轴为直线x=1且开口向上.
①若-1<m<1,则当x=m时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即m2-2m-3=2m,解得m=2-√7或
m=2+√7(舍去),
②若m≥1,则当x=1时,函数f(x)=x2-2x-3取得最小值,即2m=-4,解得m=-2(舍去).
综上所述,m的值为2-√7.
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2.(2022河北保定重点高中月考,20)设函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),已知f(x)<0的解集
为(-1,3).
(1)求b,c的值;
(2)若函数g(x)=f(x)-ax在区间[0,2]上的最小值为-4,求实数a的值.
解析 (1)由f(x)<0的解集为(-1,3)可知x=-1和x=3是关于x的一元二次方程
{-1+3=-b,
x2+bx+c=0的解,故 解得b=-2,c=-3.
-1×3=c,
a+2
(2)g(x)=f(x)-ax=x2-(a+2)x-3的图象开口向上,对称轴为直线x= .
2
a+2
(i)当 ≥2,即a≥2时,函数g(x)在[0,2]上单调递减,g(x) =g(2)=-2a-3=-4,解得a=
2 min
1
(舍);
2
a+2
(ii)当 ≤0,即a≤-2时,函数g(x)在[0,2]上单调递增,g(x) =g(0)=-3≠-4(舍);
2 min
a+2
(iii)当0< <2,即-2<a<2时,函数g(x)在[0,2]上先减后增,g(x) =g
2 min
(a+2) (a+2) 2
=-3- =-4,解得a=-4(舍)或a=0.综上,a=0.
2 4
3.(2022山东烟台莱州一中测试,21)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,且满足f(0)=2,
f(x+1)-f(x)=2x+1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)-m=0在x∈[-1,2]上有解,求实数m的取值范围;
(3)当x∈[t,t+2](t∈R)时,求函数f(x)的最小值(用t表示).
解析 (1)∵f(x+1)-f(x)=2x+1,∴a(x+1)2+b(x+1)+c-ax2-bx-c=2ax+a+b=2x+1,∴
{ 2a=2,
解得a=1,b=0,又f(0)=2,∴c=2,∴f(x)=x2+2.
a+b=1,
(2)由f(x)-m=0得,方程x2+2=m在x∈[-1,2]上有解,如图,由图可知2≤m≤6,∴m的取值
范围为[2,6].
(3)∵x∈[t,t+2],∴①t≥0时, f(x)的最小值为f(t)=t2+2;②t<0且t+2>0,即-2<t<0时,
f(x)的最小值为f(0)=2;③t+2≤0,即t≤-2时, f(x)的最小值为f(t+2)=(t+2)2+2=t2+4t+6.综
上,t≥0时, f(x)的最小值为t2+2;-2<t<0时, f(x)的最小值为2;t≤-2时, f(x)的最小值为
t2+4t+6.
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拟》A版
考法二 一元二次方程根的分布
(2022重庆模拟,4)已知二次函数y=x2-4x+a的两个零点都在区间(1,+∞)内,则a的取值
范围是( )
A.(-∞,4) B.(3,+∞)
C.(3,4) D.(-∞,3)
答案 C
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