文档内容
专题04 函数的解析式
考点一 待定系数法
一、单选题
1．已知幂函数f(x)＝xα(α为常数)的图象经过点 ，则f(9)＝（ ）
A． B． C．3 D．
【解析】由题意f(2)＝2α＝ ，所以α＝ ，所以f(x)＝ ，
所以f(9)＝ ＝3.故选：C
2．若二次函数 满足 ，且 ，则 的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】设 ， ，∵ ，则 ，
又∵ ，
令 ，则 ，∴ ，即 ， ，
令 ，则 ， ，即 ， ，
∴ ， ， .故选：D.
3．二次函数 满足 ，且 的最大值是8，此二次函数的解析式为
（ ）
A． B．
C． D．【解析】根据题意,由 得: 的对称轴为 ，
设二次函数为 ，因 的最大值是8,所以 ,当 时, ，
即二次函数 ，由 得: ,解得： ，
则二次函数 ，故选：A.
二、多选题
4．设 都是定义域为 的单调函数，且对于任意 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为 是 上的单调函数，且对于任意 ，
所以 ，其中 为常数，即 ， ；
又因为 ，所以 ，
可得 ，即 ，解得 ，所以 ；
由 可得 ，即 ；
所以 ， ，即 ，所以A错误，B正确；
由 可知， 恒成立；即C正确；
由函数 的值域为 可知， 不一定成立，故D错误.故选：BC
三、填空题
5．已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x） 的解析式为_________
【解析】设 ，则
于是有 解得 或 所以 或 .
6． 恒过定点P，P在幂函数 图象上， ______．
【解析】设点 ，由1的对数恒为0，所以 ，
设函数 ，则 ，所以
四、双空题
7．已知函数 对任意 满足： ，二次函数 满足： 且
．则 ___________， ___________.
【解析】（1） ①，用 代替上式中的 ，得 ②，
联立①②，可得 ；设 ，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ， ，又 ，得 ，所以 .
故答案为： ，
考点二 换元法
一、单选题
1．已知 ，则 的解析式为（ ）A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
又 ，所以 ，则 ，故选：C.
2．若函数 是 上的单调函数，且对任意实数 ，都有 ，则
（ ）
A．1 B． C． D．0
【解析】∵对任意实数 ，都有 ，令 ，则 .
又 ，∴ ，∵函数 是 上的单调函数，解得 .
∴ ，∴ .故选：C.
3．已知 ，若 ，则 （ ）
A． B．1 C．1或 D．1或
【解析】由题意： ，令 ，则 ，
那么 转化为 ，
故得函数 的表达式为 ，令 ，
解方程得 或 故选：D.
4．已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．【解析】令 ，则 ，且 ，则 ，可得 ，
所以 .故选：B.
5．设 是定义域为R的单调函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，因为 是定义域为R的单调函数，
所以t为常数，即 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 .故选：B
6．已知定义在 上的函数 单调递增，且对任意 恒有 ，则函数 的
零点为（ ）
A． B． C．2 D．4
【解析】设 ，则 ，方程等价为 ，
令 ，则 ， 满足方程，∵函数 单调递增，
∴ 值唯一，∴ ，由 得 ，解得 ，
故函数 的零点为 .故选:B.
二、填空题
7．已知 ，则 的解析式为______．
【解析】设 ，则 ， ，∵ ，
∴ ， ，即 ， ．8．已知 ，则 ______．
【解析】由题意得， ，令 ，由 ，得 ，
∴ ．
考点三 配凑法
一、单选题
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由于 ，所以 .故选：B
2．已知函数 满足 ，则 的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，所以 ，故选：A．
3．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】
， ，故选：D
4．已知 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．【解析】因为 ，令 ，所以 ，
所以 ，故选：C.
5．若函数 ，则函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 .
从而 ，当 时， 取得最小值，且最小值为 .故选：D
二、多选题
6．已知 且 ，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【解析】因为 ，∴ ，
∵ ，∴ 或 .故选：AC
三、填空题
7．若 ，则 ______.
【解析】 ， ，则 .
考点四 构造方程组法
一、单选题
1．已知函数 的定义域为 R，对任意 均满足： 则函数 解析式为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，可得 ①，又 ②，①＋②得： ，解得 ，故选：A．
2．已知函数 满足 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【解析】分别令 ， ，则 ，解得 .故选：A
3．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ①，所以 ②，
得 ，即 ，所以 ．故选：C.
4．若函数 的定义域为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由 ①，得 ②，
①得 ③，
②-③得 ，因为 ，所以 ．
当 时， ；
当 时， ；
当 时， （当且仅当 时，等号成立）．
综上所述， 的最大值为 .故选：B5．若定义在 上的函数 满足：当 时， ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，则 ，
令 ，则 ， ，用 换 ，得 ，
联立解得 ， ，所以， ， ，
， 是以 为周期的函数.
.故选：C
二、填空题
6．若对于任意实数x都有 ，则f（x）＝_________
【解析】∵ 对于任意实数x都有 ，
∴ 可得 .
7．已知对任意的实数a均有 成立，则函数 的解析式为________．
【解析】由 ，①
得 ，
即 ，②得： ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 .
考点五 利用奇偶性
一、单选题
1．已知 为偶函数，当 时， ，则当 时， （ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，则 ，
又因为 是偶函数，所以 .故选：B.
2．已知 是定义在R上的奇函数，当 时 则 在R上的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时， ，所以 ，则 ，
结合已知解析式知： .故选：D
3．已知函数 是奇函数， 是偶函数，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ， ．
所以， ，即 ，
因此， .故选：D.二、填空题
4．已知函数 的图象关于原点对称，且当 时， ，则 在 处的切线方程为
______．
【解析】由题可知函数 为奇函数，令 ，则 ，所以 ，
所以，当 时， ，此时 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，化简得 ．
5．已知奇函数 则 __________．
【解析】当 时， ， ，
则 ．
6．若定义在R上的偶函数 和奇函数 满足 ．则 _______．
【解析】由题意 ， ，则由
可得 ，即
由 ，可得
7．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为______．
【解析】①当 时， ， ，即 ，即 ，解得 ；
②当 时， ，不成立；
③当 时， ， ，即 ，即 ，解得 ；
综上所述： .
三、解答题
8．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， .
(1)求 的解析式：
(2)若方程 有3个不同的解，求k的取值范围.
【解析】（1）函数 是 上的奇函数，且 时， ，
则当 时， ， ，
所以 的解析式为 .
（2）由（1）知，当 时， ，函数 在 上递增，函数值集合为 ，
在 上单调递减，函数值集合为 ，
当 时， ，函数 在 上递减，函数值集合为 ，
在 上单调递增，函数值集合为 ，
在同一坐标系内作出直线 和函数 的图象，如图，
观察图象知，方程 有3个不同的解，实数k的取值范围是 .
9．定义在 的奇函数 和偶函数 满足 ．
(1)求 和 的解析式；(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围；
【解析】（1）因为 ，①，所以 ．
因为 是奇函数， 是偶函数，所以 ，②
①-②得 ，①+②得 .
（2）不等式 化为 ，
即 ，令 ，因为 ，所以 ，
故不等式 在 上恒成立，所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 .
