北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模拟》A
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3.2 二次函数与幂函数
考点一 二次函数
(2022北京,14,5分)设函数f(x)={−ax+1,x<a,若f(x)存在最小值,则a的一个取值为
;a的
(x−2) 2,x≥a.
最大值为 .
1
答案 ([0,1]中任意一个实数都可以,答案不唯一);1
2
解析 当a<0时, f(x)=-ax+1在(-∞,a)上为增函数,无最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值为0,所
以f(x)不存在最小值.当a=0时, f(x)={ 1,x<0, 此时f(x)存在最小值,最小值为0.当0<a≤1时,
(x−2) 2,x≥0,
f(x)=-ax+1在(-∞,a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.因为a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而
f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值为0,所以f(x)在R上存在最小值.当a>1时, f(x)=-ax+1在(-∞,
a)上单调递减,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函数f(x)在R
上不存在最小值.综上,a的取值范围为[0,1],a的最大值为1.
考点二 幂函数
4 2 1
(2016课标Ⅲ,6,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则( )
23 45 53
A.b<a<c B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
4 2 1 2 2 2 2
答案 A 因为a= = ,c=2 = ,函数y= 在(0,+∞)上单调递增,所以 < ,即a<c,
23 43 53 53 x3 43 53
又因为函数y=4x在R上单调递增,所以 2 < 2 ,即b<a,
45 43
所以b<a<c,故选A.
2 2
思路分析 利用指数的运算性质得a= ,c= ,利用幂函数的性质可得a<c.再利用指数函数性质比较a,b得
43 53
b<a,从而得结论.
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