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考向 09 幂函数与二次函数
1．（2021·全国高考真题（理））设 是椭圆 的上顶点，若 上的任意一点
都满足 ，则 的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，由 ，根据两点间的距离公式表示出 ，分类讨论求出 的最大值，再构建齐
次不等式，解出即可．
【详解】
设 ，由 ，因为 ， ，所以
，
因为 ，当 ，即 时， ，即 ，符合题意，由
可得 ，即 ；当 ，即 时， ，即 ，化简得， ，
显然该不等式不成立．
故选：C．
【点睛】
本题解题关键是如何求出 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单
调性从而确定最值．
2．（2020·江苏高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
【答案】
【分析】
先求 ，再根据奇函数求
【详解】
，因为 为奇函数，所以
故答案为：
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.
1、根据图象高低判断幂指数大小的方法
幂函数的幂指数的大小,大都可通过幂函数的图象与直线 的交点纵坐标的大小反映．一般地,
在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大、图低”),在区间(1,＋∞)上,幂
函数中指数越大,图象越远离x轴(不包括幂函数y＝x0)．在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越
靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,＋∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴．
2、对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c,若是二次函数,就隐含a≠0,当题目未说明是二次函数时,就要分a＝0和
a≠0两种情况讨论．②在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a的正负决定抛物线开口的方向(a的大小决定
开口大小),c确定抛物线在y轴上的截距,b与a确定顶点的横坐标(或对称轴的位置)．
3、根据二次函数单调性求参数范围,常转化为二次函数图象的对称轴与单调区间的位置关系,若二次函数在某区间上单调,则该区间在对称轴的一侧,若二次函数在某区间上不单调,则对称轴在该区间内（非端
点）,
4、二次函数在闭区间上的最值
二次函数在闭区间上必有最大值和最小值．它只能在区间的端点或二次函数的顶点处取得,可分别求值再
比较大小,最后确定最值．
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如 y ＝ x α 的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
y＝
图象
定义域 R R R {x |x ≥0 } {x |x ≠0 }
值域 R {y |y ≥0 } R {y |y ≥0 } {y |y ≠0 }
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数
在 ( －∞， 0 ]
性
上单调递 在 ( －∞， 0 )
质 在R上单 在R上单调 在 [ 0 ，＋∞ )上
单调性 减；在 ( 0 ， 和 ( 0 ，＋∞ )
调递增 递增 单调递增
＋∞ )上单调 上单调递减
递增
公共点 (1,1)
2．二次函数的概念
形如 的函数叫做二次函数.
3．表示形式
(1)一般式：f(x)=ax2＋bx＋c(a≠0).
(2)顶点式：f(x)=a(x−h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)为抛物线的顶点坐标.
(3)两根式：f(x)=a(x−x)(x−x)(a≠0)，其中x，x是抛物线与x轴交点的横坐标.
1 2 1 2
4.幂函数y=xα的图象与性质①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一
象限的图象下降，反之也成立．
②幂函数的指数与图象特征的关系
当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下：
α α>1 0<α<1 α<0
图象
特殊点 过(0，0)，(1，1) 过(0，0)，(1，1) 过(1，1)
凹凸性 下凸 上凸 下凸
单调性 递增 递增 递减
举例 y=x2
、
5.二次函数的图象与性质
函数解析式
图象(抛物
线)
定义域 R
值域
对称性 函数图象关于直线 对称顶点坐标
奇偶性 当b=0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在 上是减函数； 在 上是增函数；
单调性
在 上是增函数. 在 上是减函数.
最值
当 时， 当 时，
【知识拓展】
1．幂函数的单调性
当α>0时幂函数 在(0,＋∞)上单调递增；(2)当α<0时,幂函数 在(0,＋∞)上单调递减．
f(x)<0( ).
2．幂函数的奇偶性
形如y＝ 或y＝ (m,n为互质的正整数)类型函数的奇偶性判断
当m,n都为奇数时,幂函数在定义域上为奇函数；当m为奇数,n为偶数时,幂函数在定义域上为非奇非偶函
数；当m为偶数,n为奇数时,幂函数在定义域上为偶函数.
3．对一元二次方程根的问题的研究,主要分三个方面：①根的个数问题,由判别式判断；②正负根问题,由
判别式及韦达定理判断；③根的分布问题,依函数与方程思想,通过考查开口方向、对称轴、判别式、端点
函数值等数形结合求解
4．一元二次方程根的讨论(即二次函数零点的分布)
设x,x是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根,则x,x的分布范围与系数之间的关系如表
1 2 1 2
所示．
根的分布
(m＜n＜p且m, 图象 满足的条件
n,p均为常数)
x＜x＜m ①
1 2m＜x＜x ②
1 2
x＜m＜x ③f(m)<0.
1 2
m＜x＜x＜n ④
1 2
m＜x＜n＜x＜p ⑤
1 2
mb，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
6．（2015·陕西高考真题（理））对二次函数 （ 为非零整数），四位同学分别给
出下列结论，其中有且仅有一个结
论是错误的，则错误的结论是
A． 是 的零点 B．1是 的极值点
C．3是 的极值 D．点 在曲线 上
7．（2015·上海高考真题（理））方程 的解为________．
8．（2017·北京高考真题（文））已知 , ,且 ,则 的取值范围是_____.
9．（2014·上海高考真题（理））若 ，则满足 的 取值范围是_____.10．（2012·山东高考真题（文））若函数 在［－1，2］上的最大值为4，最小值
为m，且函数 在 上是增函数，则a＝______.
1．【答案】ABD
【分析】
结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】
：当 时， ，即 ，
所以 ，所以 是偶函数，故正确；
：当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
综上， 在 上是增函数，故 正确；
：当 时， ，当 时， ，
因为不能确定 的大小，所以最小值 无法判断，故 错误；
：令 ，
当 时， ， 有2个解，故 正确.
故选：ABD
2．【答案】B
【分析】
通过图象，判断选项 ，构造函数 ，判断 ，判断选项 ，
通过比较 与对称轴的距离，比较大小.
【详解】
， ，且 ，函数 是开口向上的抛物线，
如图，
， ，且
是点 对应的函数值，一定大于 ，即 ，故 正确；
设 ，， ，
即 ，即B不正确.
，
对称轴是 ，
与对称轴间的距离是 ， 与对称轴间的距离是 ， 与对称轴间的距离是
，
那么比较 与 ， 的大小，即比较与自变量与对称轴间的距离，离对称轴越远，函数
值越大，即 ， ，故CD正确.
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题考查二次函数的图象与基本不等式结合的综合应用，本题的关键是理解并掌握二次函数
图象的应用.
3．【答案】D
【分析】
条件 表明函数应是上凹函数或者是一次函数，结合幂函数的图
象可作答．
【详解】
只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足.故选：D.
4．【答案】﹣1
【分析】
由幂函数的性质求解即可
【详解】
因为幂函数 为奇函数，且在 上单调递减，
所以 为负数，
因为 ，
所以 ，
故答案为：
1．【答案】D
【分析】
先求出抛物线的对称轴 ，而抛物线的开口向下，且在区间 上单调递增，所
以 ，从而可求出 的取值范围
【详解】
解：函数 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，故选：D
2．【答案】B
【分析】
根据指数函数与幂函数的图象与性质确定 的范围,对于 需要借助中间数据 进行比较，然后
与 比较大小即可.
【详解】
函数 在R上是减函数，
，
又 幂函数 在 上单调递增， ，
，所以 ，
而函数 是R上增函数，
，
故选：B.
3．【答案】C
【分析】
在 的前提条件下，由 的图像经过 ，则 的值为 ，反之当
为奇函数时，则 的值为 ，从而可得答案.
【详解】
由 ，
由 的图像经过 ，则 的值为 ，此时 为奇函数.
又当 为奇函数时，则 的值为 ，此时 的图象经过 .所以“ 的图象经过 ”是“ 为奇函数”的充要条件
故选：C
4．【答案】A
【分析】
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，有线面垂直的性质得 ，
根据线面垂直的判定有 面 ，进而可知 ，故 ，令
，根据线段的平行关系、勾股定理求出 、 ，即可得 ，写出 关于x
的关系式，利用二次函数性质判断图象.
【详解】
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，连接 ，
∵ 平面 ，
∴ 平面 ， 面 ，即 ，
∵ ，则 ，又 ，
∴ 面 ， 面 ，则 ，
令 ，则 ， ，
∴ ，则 ，而 ，则 ，而 ，
∴ ，而 ，
∴ ，由解析式知：
变化类似二次函数曲线，∴根据二次函数的性质知： 关于 对称，在 上单调递减，在 上
单调递增，
故选：A
【点睛】
关键点点睛：利用线面垂直的判定及性质判断 ，根据平行关系及线段垂直关系，应用勾股定理
求 、 、 ，进而写出 关于 的函数式.
5．【答案】D
【分析】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，根据韦达定理，可得 ， 的表
达式，根据 有四个不同的根 ，可得以 对应的根为 ，
对应的根为 ，根据韦达定理，可得 ， ， ， 表达式，根据题
意，计算化简，可得m，n的关系，代入 ，根据二次函数的性质，即可得答案.
【详解】
设 的两个不同零点为m，n，且m>n，
所以 ， ，且 ，又因为 有四个不同的根 ，
所以 对应的根为 ， 对应的根为 ，
所以 ， ，
所以 ，
同理 ，
因为 成等差数列，
所以 ，则
所以 ，解得 ，
因为m>n，所以 ，解得 ，
所以 ，
所以当 时， 有最大值 ，
所以 不可能为3.
故选：D【点睛】
解题的关键是将零点问题，转化为二次函数根与系数的关系，根据韦达定理及题干条件，结合二次函数的
性质，求值即可，考查分析计算，求值化简的能力，属中档题.
6．【答案】A
【分析】
解法一：首先将 代入目标函数 得到 ，接着求解目标函数
的最小值即可.
解法二：首先通过换元 得到直线 ，从而将目标函数 转化成 ，
接着利用数形结合进行解题即可.
【详解】
解法一：由 得到 ，则 ，
所以 ，
令 则 ，
所以两边平方得 在 上有解，
所以 解得： 或 （舍去），时，函数 ，
其中 的对称轴为 ， ，满足在 上有零点，满足题意，
所以 的最小值 .
解法二：设 ，则 ，
如图，作O关于直线 的对称点 ,
设 ，因为 ，解得 ，
如图所以
故选：A.
【点睛】
本题主要考查二元目标函数的最值问题，方法一通过消元得到一元函数，利用函数求最值的方法进行求解
即可；方法二是求点关于直线对称点的求解，但是题目信息隐藏比较深，不容易发现通过目标函数的几何
意义进行解题；方法一是通法，方法二更多的要依靠题目条件，在平时的备考过程中希望同学们多总结.
7．【答案】A
【分析】将两圆的方程相减可得公共弦方程，从而求得定点 ，利用点在直线上可得 ，再代入
消元，转化成一元二次函数的取值范围；
【详解】
解：由圆 ，圆 ，
得圆 与圆 的公共弦所在直线方程为 ，求得定点 ，
又 在直线 上， ，即 .
∴ ，∴ 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查圆的公共弦方程求解、一元二次函数的最值，考查转化与化归思想的运用.
8．【答案】D
【分析】
由幂函数的性质求参数a、b，根据点在直线上得 ，有 且 ，进而可求
的取值范围.
【详解】
由 是幂函数，知： ，又 在 上，
∴ ，即 ，则 且 ，
∴ .
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m、n的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围.
9．【答案】ABD
【分析】
由函数图象过点 可得 的值，根据指数、对数、幂函数图象的特点逐一判断即可.
【详解】
由图可得 ，即 ，
单调递减过点 ，故A正确；
为偶函数，在 上单调递减，在 上单调递增，故B正确；
为偶函数，结合指数函数图象可知C错误；
，根据““上不动、下翻上”可知D正确；
故选：ABD.
10．【答案】0
【分析】
由幂函数在 上的单调性，可得幂指数正负的不等式，求出m的范围即可得解.
【详解】
因幂函数 在区间 上是减函数，则 ，
解得 ，而 ，则 0.
故答案为：0
11．【答案】
【分析】
由题意，分析积函数是否在区间 内单调递增，最后根据古典概型计算概率即可.
【详解】从三个函数中任取两个函数共有3种取法，
若取 ，积函数为 ，所以 ，
因为当 时， ，所以函数 在 单调递增；
若取 和 ，积函数 ，所以 ，
因为当 时， ，所以函数 在 单调递减；
若取 和 ，积函数 ，所以 ，
因为当 时， ，所以函数 在 单调递增；
故满足题意的有2个积函数，所以概率值为 ，
故答案为： .
【点睛】
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总
数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)
注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
12．【答案】（1）证明见解析；（2）当 时， ；当 时， .
【分析】
（1）由解析式判断 的单调性，进而判断k的符号，即可证结论.
（2）由题设整理 ，令 有 ，根据二次函数的性质可求
区间最大值.【详解】
（1）∵ 单调递增， 单调递减，
∴ 在定义域上是单调增函数，而 ，
∴ 恒成立，结论得证.
（2）由题意，有 且 ，
令 ，则 ，开口向上且对称轴为 ，
∴当 ，即 时， ，即 ；
当 ，即 时， ，即 ；
1．【答案】A
【详解】
试题分析：由题意知 ，最小值为 ．
令 ，则 ，
当 时， 的最小值为 ，所以“ ”能推出“ 的最小值与 的最小值相
等”；
当 时， 的最小值为0， 的最小值也为0，所以“ 的最小值与 的最小值相等”不能推出“ ”．故选A．
考点：充分必要条件．
2．【答案】A
【详解】
试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间 上单调递增函数，故选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．
3．【答案】B
【详解】
时，抛物线的对称轴为 .据题意，当 时， 即 .
.由 且 得 .当 时，抛物线开口
向下，据题意得， 即 . .由 且
得 ，故应舍去.要使得 取得最大值，应有 .所以
，所以最大值为18.选B..
考点：函数与不等式的综合应用.
4．【答案】B
【详解】
因为 表示不超过 的最大整数．由 得 ，
由 得 ，
由 得 ，所以 ，所以 ，
由 得 ，
所以 ，
由 得 ，与 矛盾，
故正整数 的最大值是4．
考点：函数的值域，不等式的性质．
5．【答案】C
【分析】
本题也可用直接法，因为 ，所以 ，当 时， ，知A错，因为 是
增函数，所以 ，故B错；因为幂函数 是增函数， ，所以 ，知C正确；取
，满足 ， ，知D错．
【详解】
取 ，满足 ， ，知A错，排除A；因为 ，知B错，排除B；取
，满足 ， ，知D错，排除D，因为幂函数 是增函数， ，所以
，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，
利用特殊值排除即可判断．
6．【答案】A
【详解】
若选项A错误时，选项B、C、D正确， ，因为 是 的极值点， 是 的极值，所以 ，即 ，解得： ，因为点 在曲线 上，所以
，即 ，解得： ，所以 ， ，所以
，因为 ，所以 不是 的零点，所
以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A．
【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值．
7．【答案】
【详解】
设 ，则
考点：解指对数不等式
8．【答案】
【详解】
试题分析： ，所以当 时，取最大值1；当
时，取最小值 .因此 的取值范围为 .
【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以
转化为几何关系求取值范围，即 ， 表示线段，那么 的几何意义就是线段上的
点到原点距离的平方，这样会更加简单.
9．【答案】
【解析】根据幂函数的性质，由于 ，所以当 时 ，当 时， ，因此 的解
集为 .
【考点】幂函数的性质.
10．【答案】
【详解】
当 时，有 ，此时 ，此时 为减函数，
不合题意.若 ，则 ，故 ，检验知符合题意
