北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
拟》A版
专题四 导数及其应用
4.1 导数的概念及运算
基础篇
考点 导数的概念及运算
1
1.(多选)(2023届辽宁鞍山质量监测,9)设函数f(x)在x=2处的导数存在,则- f '(2)=
2
( )
lim f(2+Δx)−f(2) lim f(2)−f(2+Δx)
A.Δx→0 B.Δx→0
2Δx 2Δx
lim f(2−Δx)−f(2) lim f(2)−f(2−Δx)
C.Δx→0 D.Δx→0
2Δx 2Δx
答案 BC
2.(2023届长沙长郡中学月考,3)已知函数y=f(x)的图象在点P(3,f(3))处的切线方程是
y=-2x+7,则f(3)-f '(3)= ( )
A.-2 B.2 C.-3 D.3
答案 D
2
3.(2022海南学业水平诊断一,5)已知函数f(x)=2f '(3)x- x2+ln x(f '(x)是f(x)的导函数),
9
则f(1)= ( )
20 11 7 16
A.- B.− C. D.
9 9 9 9
答案 D
4.(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切线方程为 (
)
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1
C.y=2x-3 D.y=2x+1
答案 B
5.(多选)(2022湖北襄阳五中阶段考,9)下列各式正确的是 ( )
( π) π 1
A. sin '=cos B.[ln(-x)]'=
3 3 x
1
C.(e2x)'=2e2x D.(√x)'=-
2√x北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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答案 BC
6.(2022重庆巴蜀中学测试,5)若曲线y=√x的一条切线经过点(8,3),则此切线的斜率为
( )
1 1 1 1 1 1
A. B. C. 或 D. 或
4 2 4 8 2 4
答案 C
ex e
7.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)= .若f '(1)= ,则a= .
x+a 4
答案 1
8.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=ex·ln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为
.
答案 e
9.(2022江苏无锡期初,14)若经过点P(1,2)作曲线f(x)=x3-x+2的切线,则切线方程为
.
1 9
答案 y=2x或y=- x+
4 4
10.(2023届甘肃张掖诊断,15)设函数f(x)=x3+ax2+(a+2)x.若f(x)的图象关于原点(0,0)
对称,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程为 .
答案 5x-y-2=0
综合篇
考法 利用导数的几何意义求曲线的切线方程及参数的方法
考向一 求切线的方程
1.(2018课标Ⅰ理,5,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在
点(0,0)处的切线方程为 ( )
A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x
答案 D
2.(多选)(2023届沈阳四中月考,10)已知y=kx是曲线f(x)=xsin x的一条切线,则实数k
的值可以为 ( )
1
A.0 B.1 C. D.-1
2
答案 ABD
a
3.(2022福建长汀一中月考,6)已知函数f(x)=x+ .若曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的
2x
切线,则a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1)∪(8,+∞)北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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B.(-∞,-1)∪(8,+∞)
C.(-∞,0)∪(8,+∞)
D.(-∞,-8)∪(0,+∞)
答案 D
4.(2019课标Ⅲ,文7,理5,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为
y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,b=-1
答案 D
5.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则 ( )
A.eb<a B.ea<b
C.0<a<eb D.0<b<ea
答案 D
6.(2023届福建泉州质量监测一,14)曲线f(x)=excos x在x=0处的切线方程是 .
答案 y=x+1
7.(2023届福建漳州质检,14)已知直线x+y+a=0是曲线xy-1=0的切线,则a= .
答案 ±2
8.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为 ,
.
1 1
答案 y= x y=− x(不分先后)
e e
9.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)·ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范
围是 .
答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)
2x−1
10.(2021全国甲理,13,5分)曲线y= 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
x+2
答案 y=5x+2
11.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点
A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .
答案 (e,1)
12.(2021新高考Ⅱ,16,5分)已知函数f(x)=|ex-1|,x <0,x >0,函数f(x)的图象在点A(x ,
1 2 1
|AM|
f(x ))和点B(x , f(x ))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则 的
1 2 2 |BN|
取值范围是 .
答案 (0,1)北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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3
13.(2023届山东潍坊五县联考,23)已知函数f(x)=x3+λx2- x(λ∈R)为奇函数.
2
[ 1 ]
(1)若f(x)≤m2+4m对x∈ − ,2 恒成立,求实数m的取值范围;
2
( 1)
(2)过点A 1,− 且与曲线y=f(x)相切的直线为l,l与x轴、y轴分别交于点B,C,O为
2
坐标原点,求△BOC的面积.
3
解析 (1)因为f(x)=x3+λx2- x(λ∈R)为奇函数,
2
3 3
所以f(-x)=-f(x),即-x3+λx2+ x=−x3−λx2+ x,
2 2
3 3 √2 √2
解得λ=0,所以f(x)=x3- x,f '(x)=3x2- ,令f '(x)=0,得x=- 或 ,f(x),f '(x)随x的变
2 2 2 2
化情况如表.
1 ( 1 √2) √2 (√2 )
x - − , ,2 2
2 2 2 2 2
f '(x) - 0 +
5 √2
f(x) ↘ 极小值- ↗ 5
8 2
[ 1 ]
由表知,f(x) =f(2)=5,由f(x)≤m2+4m对x∈ − ,2 恒成立,得m2+4m≥5,解得m≤-5
max 2
或m≥1.
故m的取值范围是(-∞,-5]∪[1,+∞).
1 ( 1)
(2)因为f(1)=- ,所以点A 1,− 在曲线y=f(x)上,
2 2
3 3 (4 )
当A为切点时,k=f '(1)= ,切线l的方程为y= x-2,所以B ,0 ,C(0,-2),则S =
l 2 2 3 △BOC
1 4 4
× ×2= ;
2 3 3
当A不是切点时,设切点坐标为 ( x ,x3− 3 x ) ,
0 0 2 0
3 1
x3− x +
k l =f '(x 0 )=3 x2− 3 = 0 2 0 2,
0 2 x −1
0北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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整理得(x −1) 2(2x +1)=0,解得x =- 1 或x =1(舍去),所以k=f ' ( − 1) =− 3 ,切线l的方
0 0 0 2 0 l 2 4
3 1 (1 ) ( 1) 1 1 1 1
程为y=- x+ ,所以B ,0 ,C 0, ,则S = × × = .
4 4 3 4 △BOC 2 3 4 24
4 1
综上,△BOC的面积为 或 .
3 24
考向二 两曲线的公切线问题
1.(2023届贵州遵义新高考协作体入学质量监测,11)若直线y=kx+b是曲线y=ex+1的切线,
也是y=ex+2的切线,则k= ( )
A.ln 2 B.-ln 2 C.2 D.-2
答案 C
2.(2022广州执信中学月考,6)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与抛物线y=ax2+
(a+2)x+1相切,则a的值为 ( )
A.0 B.0或8 C.8 D.1
答案 C
3.(2022山东滕州一中期中,8)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,则曲线
f(x)与g(x)的公切线条数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
1
4.(2022武汉开学考,5)若函数f(x)=3x+ -3(x>0)的图象与函数g(x)=txex的图象有公切
x
1
线l,且直线l与直线y=- x+2互相垂直,则实数t= ( )
2
1
A. B.e2
e
1 1
C. 或2√eD. 或4√e
e e
答案 D
5.(2022南京外国语学校模拟,6)若两曲线y=x2-1与y=aln x-1存在公切线,则正实数a的
取值范围为 ( )
A.(0,2e] B.(0,e]
C.[2e,+∞) D.(e,2e]
答案 A
6.(2022海南琼海嘉积三中月考,15)若曲线f(x)=aln x(a∈R)与g(x)=√x在公共点处有
共同的切线,则实数a的值为 .北京曲一线图书策划有限公司 2024版《5年高考3年模
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e
答案
2
7.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x , f(x ))
1 1
处的切线也是曲线y=g(x)的切线.
(1)若x =-1,求a;
1
(2)求a的取值范围.
解析 解法一:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )=x3 -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切
1 1 1 1 1
线方程为y-(x3 -x )=(3x2 -1)(x-x ),即y=(3x2 -1)x-2x3①.
1 1 1 1 1 1
因为曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以
1 1
{y=(3x2−1)x−2x3,
1 1 有且仅有一组解,即方程x2-(3x2 -1)x+2x3 +a=0有两个相等的实数
y=x2+a 1 1
根,
从而Δ=(3x2 -1)2-4(2x3 +a)=0 4a=9x4−8x3−6x2 +1.
1 1 1 1 1
(1)若x
1
=-1,则4a=12,a=3.
⇔
(2)4a=9x4−8x3−6x2 +1,
1 1 1
令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,
则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),
1 1 ( 1 )
令h'(x)>0,得- <x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<- 或0<x<1,所以h(x)在 − ,0 和
3 3 3
( 1)
(1,+∞)上单调递增,在 −∞,− 和(0,1)上单调递减,
3
( 1) 20
又h(1)=-4,h − = ,所以h(x)≥-4,
3 27
所以a≥-1.
解法二:由题意可知f '(x)=3x2-1, f(x )=x3 -x ,则曲线y=f(x)在点(x , f(x ))处的切线方程
1 1 1 1 1
为y-(x3 -x )=(3x2 -1)(x-x ),即y=(3x2 -1)x-2x3①,
1 1 1 1 1 1
设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x ,x2 +a),
2 2
又g'(x )=2x ,则切线可表示为y-(x2 +a)=2x (x-x ),即y=2x x-x2 +a②,因为①②表示同一
2 2 2 2 2 2 2
{ 3x2−1=2x ,
1 2
直线方程,所以
−2x3=−x2+a,
1 2
则(3x2 -1)2-8x3
=4a
4a=9x4−8x3−6x2
+1.
1 1 1 1 1
下面同解法一.
⇔
易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.
