文档文本内容
第六章 平面向量及其应用
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
平面向量的概念
新高考 ꎬ 向量的线性运算 数学运算学习 运算求解 基础性 数学运算
２０２２ Ⅰ ３ 及线性运算
数 量 积 的 综 合 由夹角相等求参
新高考 ꎬ 数学原理习得 运算求解 综合性 数学运算
２０２２ Ⅱ ４ 应用 数值
新 高 考 数量积的定义及 利用坐标运算求解
２０２１ 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ 夹角与模问题 向量的模、数量积
Ⅰ １０
新 高 考 数 量 积 的 综 合
２０２１ 平面向量的数量积 数学运算学习 运算求解 基础性 数学运算
ꎬ 应用
Ⅱ １５
全 国 乙 数量积的定义及
２０２１ 由向量垂直求参数 数学原理习得 运算求解 基础性 数学运算
理ꎬ 夹角与模问题
１４
平面向量的概念 逻辑推理
新高考 ꎬ 向量的线性运算 数学原理习得 运算求解 基础性
２０２０ Ⅱ ３ 及线性运算 数学运算
数学运算
数 量 积 的 综 合 求数量积的取值
新高考 ꎬ 数学运算学习 运算求解 综合性 逻辑推理
２０２０ Ⅰ ７ 应用 范围
直观想象
2
命题规律与备考策略
高考对本章内容的考查以平面向量的基础知识 基
、 高考对本章的考查依然是基础与能力并存 在
本运算为主 考查与平面向量基本定理相关的线性运 ꎬ
ꎬ 知识的形成过程 知识的迁移中渗透数学运算 逻辑
算 向量的数量积运算 向量的夹角 向量的模.试题以中 、 、
、 、 、 推理 直观想象的核心素养 重视函数与方程 数形
低档题为主 以选择题或填空题的形式出现 分值为 、 ꎬ 、
ꎬ ꎬ 结合 转化与化归思想.
分. 、
５6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
考点清单
学生用书P43 知识结构化 考点清单化
考点一 平面向量的概念及线性运算 ４.对于平面内任意一点Ｏ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｃ不共线 满足→ＯＡ λＯ→Ｂ μＯ→Ｃ
ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ＋
λ μ Ｒ 若点Ａ Ｂ Ｃ共线 则λ μ 反之也成立.
１.向量的线性运算 ( ꎬ ∈ )ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ＋ ＝１ꎻ
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
１.平面向量基本定理
如果ｅ ｅ 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平
１ꎬ ２ ꎬ
面内的任意向量ａ 有且只有一对实数λ λ 使ａ λ ｅ λ ｅ .
( )交换律: ꎬ １ꎬ ２ꎬ ＝ １ １＋ ２ ２
１ 把 ｅ ｅ 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
ａ
＋
ｂ
＝
ｂ
＋
ａꎻ { １ꎬ ２}
加法 三角形法则 ( )结合律: ２.平面向量的坐标运算
２
(ａ ｂ) ｃ 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ ｘ ｘ ｙ ｙ
＋ ＋ ＝ (１) ＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)ꎬ ± ＝( １± ２ꎬ １± ２)ꎻ
ａ
＋
(ｂ
＋
ｃ)
(２)
若Ａ
(
ｘ
１ꎬ
ｙ
１)ꎬ
Ｂ
(
ｘ
２ꎬ
ｙ
２)ꎬ
则→ＡＢ
＝(
ｘ
２－
ｘ
１ꎬ
ｙ
２－
ｙ
１)ꎻ
若ａ ｘ ｙ λ Ｒ 则λａ λｘ λｙ .
(３) ＝( ꎬ )ꎬ ∈ ꎬ ＝( ꎬ )
平行四边形法则 ３.向量平行的坐标表示
如果ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ ｂ ０ 则ａ ｂ的充要条件为
(１) ＝( １ꎬ １)ꎬ ＝( ２ꎬ ２)( ≠ )ꎬ ∥
ｘ ｙ ｘ ｙ
１ ２－ ２ １＝０ꎻ
减法 Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ Ｃ ｘ ｙ 三点共线的充要条件为 ｘ
(２) ( １ꎬ １)ꎬ ( ２ꎬ ２)ꎬ ( ３ꎬ ３) ( ２
ｘ ｙ ｙ ｘ ｘ ｙ ｙ .
－ １)( ３－ １)－( ３－ １)( ２－ １)＝０
三角形法则 ４.几个重要结论 如图.
:
( ) λａ λ ａ .
１ ｜ ｜＝｜ ｜ ｜ ｜ λ(μａ)＝(λμ)ａꎻ
( )当λ 时ꎬλａ 的方向
２ >０ (λ＋μ)ａ＝λａ＋μａꎻ
数乘 与ａ 的方向相同ꎻ当 λ
<０ λ(ａ＋ｂ)＝λａ＋λｂꎬ
时ꎬλａ 的方向与 ａ 的方向 若ａ ｂ为不共线向量 则ａ ｂ ａ ｂ是以ａ ｂ为邻边的平行
其中λꎬμ为实数 (１) 、 ꎬ ＋ 、 － 、
相反ꎻ当λ 时ꎬλａ ０ 四边形的对角线向量
＝０ ＝ ꎻ
２.共线向量定理
(２)｜
ａ
＋
ｂ
｜
２
＋｜
ａ
－
ｂ
｜
２
＝２(｜
ａ
｜
２
＋｜
ｂ
｜
２
)ꎻ
向量ａ与ｂ ｂ ０ 共线的充要条件是有且只有一个实数λ 使 Ｇ为 ＡＢＣ的重心 →ＧＡ Ｇ→Ｂ Ｇ→Ｃ ０
( ≠ ) ꎬ (３) △ ⇔ ＋ ＋ ＝
得ａ λｂ. æｘ ｘ ｘ ｙ ｙ ｙ ö
＝ Ｇç Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ Ａ＋ Ｂ＋ Ｃ ÷.
⇔ è ꎬ ø
３.若Ｐ为线段ＡＢ的中点Ｏ为平面内任一点则→ＯＰ １ →ＯＡ →ＯＢ . ３ ３
ꎬ ꎬ ＝ ( ＋ )
２
第
六
章
平
面
向
量
及
其
应
用
１ ０１
题型方法
学生用书P44 题型经典 方法实用
一、平面向量线性运算的解题策略
１ ａ １ ｂ ２ ａ ４ ｂ
１.尽可能转化到三角形或平行四边形中 灵活运用三角形法 Ｃ. ＋ Ｄ. ＋
ꎬ ３ ３ ５ ５
则 平行四边形法则 结合图形的几何性质进行运算.
、 ꎬ 解析 由题意得Ａ→Ｎ １→ＡＣ １ ｂ Ａ→Ｍ １→ＡＢ １ ａ 由Ｎ Ｅ
２.复杂的向量问题可建立坐标系 借助向量的坐标运算 也可 ＝ ＝ ꎬ ＝ ＝ ꎬ ꎬ ꎬ
ꎬ ꎬ ３ ３ ２ ２
灵活地选取基底 利用平面向量基本定理及相关的向量知识进
ꎬ Ｂ三点共线可知 存在实数 ｍ 满足→ＡＥ ｍ Ａ→Ｎ ｍ →ＡＢ
行求解. ꎬ ꎬ ＝ ＋(１－ ) ＝
１ ｍｂ ｍ ａ.由Ｃ Ｅ Ｍ三点共线可知 存在实数ｎ 满足→ＡＥ
例1 如图所示 在 ＡＢＣ 中 点 Ｍ 是 ＡＢ 的中点 且Ａ→Ｎ ＋(１－ ) ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
ꎬ △ ꎬ ꎬ ＝ ３
１ Ｎ→Ｃ
ꎬ
ＢＮ与ＣＭ相交于点Ｅ
ꎬ
设→ＡＢ
＝
ａ
ꎬ
→ＡＣ
＝
ｂ
ꎬ
则→ＡＥ等于
＝
ｎＡ→Ｍ
＋(１－
ｎ
)
→ＡＣ
＝
１ ｎａ
＋(１－
ｎ
)
ｂ
ꎬ
所以 １ ｍｂ
＋(１－
ｍ
)
ａ
＝
１ ｎａ
２ ２ ３ ２
ｎ ｂ ( ) ＋(１－ ) ꎬ
ì ì
ï ｍ １ ｎ ïｍ ３
ï１－ ＝ ꎬ ï ＝ ꎬ
因为ａ ｂ不共线 所以í ２ 解得í ５
ꎬ ꎬ ï ï
ï１ ｍ ｎ ïｎ ４ .
î ＝１－ ꎬ î ＝
３ ５
所以→ＡＥ ２ ａ １ ｂ 故选 .
＝ ＋ ꎬ Ａ
２ ａ １ ｂ １ ａ ２ ｂ ５ ５
Ａ. ＋ Ｂ. ＋ 答案 Ａ
５ ５ ５ ５
二、向量共线问题的求解方法
解析 Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ ａ Ｏ→Ｃ ｂ
(１)∵ ＝(１ꎬ－２)ꎬ ＝( ꎬ－１)ꎬ ＝(－ ꎬ０)ꎬ
１.两非零向量共线是指存在实数λ 使两向量可以相互表示
ꎬ ꎬ →ＡＢ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ａ ａ →ＡＣ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ａ ｂ .
在应用时注意待定系数法和方程思想的应用 ∴ ＝ － ＝( －１ꎬ１)ꎬ ＝ － ＝(－ －１ꎬ２)
ꎻ
２.证明三点共线问题 可用向量共线来解决 但应注意向量共 ∵
Ａ
ꎬ
Ｂ
ꎬ
Ｃ三点共线
ꎬ∴
→ＡＢ
＝
λ→ＡＣ
ꎬ
λ
∈
Ｒ
ꎬ
ꎬ ꎬ
即 ａ λ ｂ
线和三点共线的区别与联系 ( －１ꎬ１)＝ (－ －１ꎬ２)ꎬ
ꎻ {ａ λ ｂ
３.对于平面上的任一点Ｏ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｂ不共线 Ｏ→Ｃ λＯ→Ａ μＯ→Ｂ 则 －１＝ (－ －１)ꎬ得 ａ ｂ .又ａ ｂ
ꎬ ꎬ ꎬ ＝ ＋ ꎬ ∴ λ ２ ＋ ＝１ >０ꎬ >０ꎬ
１＝２ ꎬ
Ａ ꎬ Ｂ ꎬ Ｃ共线 ⇔ λ ＋ μ ＝１ꎬ 特别地 ꎬ 当λ ＝ μ ＝ １ 时 ꎬ Ｃ为线段ＡＢ的 １ ２ ( １ ２ ) ａ ｂ ｂ ４ ａ ｂ ４ ａ
２ ∴ ａ ＋ ｂ ＝ ａ ＋ ｂ (２ ＋ )＝２＋２＋ ａ ＋ ｂ ≥４＋２ ａ ｂ ＝
中点.
ｂ ａ
例2
(１)
设向量Ｏ→Ａ
＝(１ꎬ－２)ꎬ
Ｏ→Ｂ
＝(
ａ
ꎬ－１)ꎬ
Ｏ→Ｃ
＝(－
ｂ
ꎬ０)ꎬ
其
８ꎬ
当且仅当
ａ ＝
４
ｂ ꎬ
即ａ
＝
１
ꎬ
ｂ
＝
１ 时
ꎬ
等号成立.
∴
１
ａ ＋
２
ｂ
的
４ ２
中Ｏ为坐标原点 且ａ ｂ 若Ａ Ｂ Ｃ三点共线 则 １ ２ 最小值为 故选 .
ꎬ >０ꎬ >０ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ａ ＋ ｂ ８ꎬ Ａ
的最小值为 由Ａ→Ｍ １ Ｍ→Ｃ可知 Ａ→Ｍ １ →ＡＣ 则有Ｂ→Ｍ →ＢＡ Ａ→Ｍ →ＢＡ
( ) (２) ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ＋ ＝ ＋
２ ３
Ａ.８ Ｂ.９ Ｃ.６ Ｄ.４
１→ＡＣ →ＢＡ １ Ｂ→Ｃ →ＢＡ ２ →ＢＡ １ Ｂ→Ｃ 所以λ ２ μ １ 所
(２)△ ＡＢＣ中 ꎬ 点Ｍ为ＡＣ上的点 ꎬ 且Ａ→Ｍ ＝ １ Ｍ→Ｃ ꎬ 若Ｂ→Ｍ ＝ λ→ＢＡ ＋ ３ ＝ ＋ ３ ( － )＝ ３ ＋ ３ ꎬ ＝ ３ ꎬ ＝ ３ ꎬ
２
以 １ １ ３ 故选
μＢ→Ｃ ꎬ 则 λ １ － μ １ 的值为 ( ) λ－ μ ＝－ ２ ꎬ Ｂ.
ａ ｍ ｂ ａ ｂ ｍ 解得ｍ １ .
(３)∵ ＝( ꎬ３)ꎬ ＝(１ꎬ６)ꎬ ∥ ꎬ∴６ ＝３×１ꎬ ＝
Ａ.０ Ｂ.－ ３ Ｃ.１ Ｄ.－１ ２
２
(３) 已知平面向量 ａ ＝ ( ｍ ꎬ３)ꎬ ｂ ＝ (１ꎬ６)ꎬ 若 ａ ∥ ｂ ꎬ 则 答案 (１) Ａ ( ２) Ｂ (３) １ ２
ｍ .
＝
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ０２
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 平面向量的概念及线性运算 答案 Ｃ
６.(２０１５陕西ꎬ７ꎬ５分ꎬ综合性)对任意向量ａ ｂ 下列关系式中
学生用书P186 ꎬ ꎬ
不恒成立的是
１.(２０２２新高考 ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)在 ＡＢＣ中 点Ｄ在边ＡＢ ( )
Ⅰ △ ꎬ
ａ ｂ ａ ｂ
上 ＢＤ ＤＡ.记→ＣＡ ｍ Ｃ→Ｄ ｎ 则Ｃ→Ｂ Ａ.｜ ｜≤｜ ｜｜ ｜
ꎬ ＝２ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ( )
ａ ｂ ａ ｂ
ｍ ｎ ｍ ｎ Ｂ.｜ － ｜≤｜｜ ｜－｜ ｜｜
Ａ.３ ｍ －２ ｎ Ｂ.－ ｍ ２ ＋ ｎ ３ Ｃ.( ａ ＋ ｂ ) ２ ＝｜ ａ ＋ ｂ ｜ ２
Ｃ.３ ＋２ Ｄ.２ ＋３
答案 Ｂ Ｄ.(
ａ
＋
ｂ
)(
ａ
－
ｂ
)＝
ａ２
－
ｂ２
答案 Ｂ
２.(２０２０新高考 ꎬ３ꎬ５分ꎬ基础性)若Ｄ为 ＡＢＣ的边ＡＢ的
Ⅱ △ ７.(２０１３ 江苏ꎬ１０ꎬ５ 分ꎬ综合性)设 Ｄ Ｅ 分别是 ＡＢＣ 的边
中点 则Ｃ→Ｂ ꎬ △
ꎬ ＝ ( )
ＡＢ ＢＣ上的点 ＡＤ １ ＡＢ ＢＥ ２ ＢＣ.若Ｄ→Ｅ λ →ＡＢ λ →ＡＣ λ
Ａ.２ Ｃ→Ｄ － →ＣＡ Ｂ.２ →ＣＡ － Ｃ→Ｄ ꎬ ꎬ ＝ ２ ꎬ ＝ ３ ＝ １ ＋ ２ ( １ꎬ
Ｃ.２ Ｃ→Ｄ ＋ →ＣＡ Ｄ.２ →ＣＡ ＋ Ｃ→Ｄ λ ２ 为实数 )ꎬ 则λ １＋ λ ２ 的值为 .
答案 Ａ 答案 １
３.(２０１７课标 文ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)设非零向量ａ ｂ满足 ａ ｂ ２
Ⅱ ꎬ ｜ ＋ ｜
ａ ｂ 则 考点二 平面向量基本定理及坐标运算
＝｜ － ｜ꎬ ( )
ａ ｂ ａ ｂ 学生用书P186
Ａ. ⊥ Ｂ.｜ ｜＝｜ ｜
ａ ｂ ａ ｂ １.(２０１４福建ꎬ８ꎬ５分ꎬ基础性)在下列向量组中 可以把向量ａ
Ｃ. ∥ Ｄ.｜ ｜>｜ ｜ ꎬ
答案 Ａ 表示出来的是
＝(３ꎬ２) ( )
４.(２０１２大纲全国ꎬ６ꎬ５ 分ꎬ基础性) ＡＢＣ 中 ＡＢ 边的高为 ｅ ｅ
△ ꎬ Ａ. １＝(０ꎬ０)ꎬ ２＝(１ꎬ２)
ＣＤ.若Ｃ→Ｂ
＝
ａ
ꎬ
→ＣＡ
＝
ｂ
ꎬ
ａ
ｂ
＝０ꎬ｜
ａ
｜＝１ꎬ｜
ｂ
｜＝２ꎬ
则Ａ→Ｄ
＝ ( ) Ｂ.
ｅ
１＝(－１ꎬ２)ꎬ
ｅ
２＝(５ꎬ－２)
ｅ ｅ
１ ａ １ ｂ ２ ａ ２ ｂ ３ ａ ３ ｂ ４ ａ ４ ｂ Ｃ. １＝(３ꎬ５)ꎬ ２＝(６ꎬ１０)
Ａ. － Ｂ. － Ｃ. － Ｄ. － ｅ ｅ
３ ３ ３ ３ ５ ５ ５ ５ Ｄ. １＝(２ꎬ－３)ꎬ ２＝(－２ꎬ３)
答案 Ｄ 答案 Ｂ
５.(２０１２浙江ꎬ５ꎬ５分ꎬ综合性)设ａ ｂ是两个非零向量. ２.(２０１２重庆ꎬ６ꎬ５分ꎬ基础性)设ｘ ｙ Ｒ 向量ａ ｘ ｂ
ꎬ ( ) ꎬ ∈ ꎬ ＝( ꎬ１)ꎬ ＝
若 ａ ｂ ａ ｂ 则ａ ｂ ｙ ｃ 且ａ ｃ ｂ ｃ 则 ａ ｂ Ａ. ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜ꎬ ⊥ (１ꎬ )ꎬ ＝(２ꎬ－４)ꎬ ⊥ ꎬ ∥ ꎬ ｜ ＋ ｜＝ ( )
若ａ ｂ 则 ａ ｂ ａ ｂ
Ｂ. ⊥ ꎬ ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜ Ａ. ５ Ｂ. １０ Ｃ.２ ５ Ｄ.１０
若 ａ ｂ ａ ｂ 则存在实数λ 使得ｂ λａ 答案 Ｂ
Ｃ. ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜ꎬ ꎬ ＝
若存在实数λ 使得ｂ λａ 则 ａ ｂ ａ ｂ ３.(２０１８课标 文ꎬ１３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知向量 ａ ｂ
Ｄ. ꎬ ＝ ꎬ ｜ ＋ ｜＝｜ ｜－｜ ｜ Ⅲ ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝
ｃ λ .若ｃ ａ ｂ 则λ . 答案
(２ꎬ－２)ꎬ ＝(１ꎬ ) ∥(２ ＋ )ꎬ ＝ ３
５.(２０１４湖南ꎬ１６ꎬ５分ꎬ综合性)在平面直角坐标系中 Ｏ为原
答案 １ ꎬ
４.(２０１９ 上 ２ 海ꎬ９ꎬ５分ꎬ综合性)过曲线ｙ２ ｘ的焦点Ｆ并垂直 点 ꎬ Ａ (－１ꎬ０)ꎬ Ｂ (０ꎬ ３)ꎬ Ｃ (３ꎬ０)ꎬ 动点Ｄ满足 ｜ Ｃ→Ｄ ｜＝１ꎬ 则 ｜ Ｏ→Ａ
＝４ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｄ 的最大值是 .
于ｘ轴的直线分别与曲线ｙ２ ｘ交于Ａ Ｂ Ａ在Ｂ上方 Ｍ为 ＋ ＋ ｜
＝４ 、 ꎬ ꎬ 答案
抛物线上一点 Ｏ→Ｍ λＯ→Ａ λ Ｏ→Ｂ 则λ . ７＋１
ꎬ ＝ ＋( －２) ꎬ ＝
第
六
章
平
面
向
量
及
其
应
用
１ ０３
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P187
考点一 平面向量的概念及线性运算
１.(２０２２湖北九师联盟３月质检ꎬ５)古希腊数学家帕普斯通过
在矩形ＡＢＣＤ中构造内接直角三角形ＡＥＦ ＡＥＦ ° 证
(∠ ＝９０ )ꎬ
明了三角公式 α β α β α β 其中 ＤＡＥ
ｃｏｓ( － )＝ｃｏｓ ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ｓｉｎ ( ∠ ＝
α ＥＡＦ β 如图所示.若 ＡＤ α ° β ° →ＡＦ ａ
ꎬ∠ ＝ )ꎬ ＝２ ３ꎬ ＝６０ ꎬ ＝３０ ꎬ ＝ ꎬ
Ｅ→Ｆ ｂ 则Ａ→Ｄ
＝ ꎬ ＝ ( ) Ａ→Ｄ Ｃ→Ｂ
Ａ. ＝２
Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｄ Ｏ→Ｆ ０
Ｂ. ＋ ＋ ＝
Ａ→Ｄ →ＡＦ Ｄ→Ｃ Ｃ→Ｆ
Ｃ. － ＋ ＝
Ｏ→Ａ Ｏ→Ｃ Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｄ
Ｄ. ＝
答案 ＢＤ
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
１ ａ ｂ １ ａ ｂ
Ａ. ＋ Ｂ. － １.(２０２２江苏金陵中学二模ꎬ４)设向量ａ ｂ ｙ
２ ２ ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝(－２ꎬ )ꎬ
若ａ ｂ 则 ａ ｂ
ａ １ ｂ ａ １ ｂ ∥ ꎬ ｜３ ＋ ｜＝ ( )
Ｃ. ＋ Ｄ. －
２ ２ Ａ. ５ Ｂ. ６ Ｃ. １７ Ｄ. ２６
答案 Ａ 答案 Ａ
２.(２０２２重庆巴蜀中学３月适应性月考(八)ꎬ５)如图甲所示
ꎬ ２.(多选)(２０２２ 海南三模ꎬ９)已知向量 ａ ｂ
古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界 画出大小相等 ＝(１ꎬ ３)ꎬ ＝(－１ꎬ
ꎬ 则
的两个阴阳鱼 阳鱼的头部有阴眼 阴鱼的头部有阳眼 表示万 ０)ꎬ ( )
ꎬ ꎬ ꎬ ａ ｂ
物相互转化 互相渗透 阴中有阳 阳中有阴 阴阳相合 相生相 Ａ. －２ ＝(２ꎬ ３)
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ａ ｂ
克 蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图 Ｂ.｜ ｜＝２｜ ｜
ꎬ ａ ｂ ｂ
乙中的正八边形ＡＢＣＤＥＦＧＨ 其中ＯＡ 则以下结论错误的是 Ｃ.( ＋ )⊥
ꎬ ＝２ꎬ
ａ与ｂ的夹角为π
( ) Ｄ.
３
答案 ＢＣ
３.(２０２２河北九师联盟３月质检联考(一模)ꎬ１３)已知向量ａ
＝
ｂ 若ａ ｃ ａ ｂ ｃ 则 ｃ .
(－１ꎬ１)ꎬ ＝(－２ꎬ４)ꎬ ∥ ꎬ ⊥( ＋ )ꎬ ｜ ｜＝
答案
３ ２
４.(２０２２广东名校开学考ꎬ１３)已知向量ａ ｂ λ
＝(１ꎬ１)ꎬ ＝( ꎬ２)ꎬ
若ａ ａ ｂ 则λ .
⊥( ＋ )ꎬ ＝
答案
Ｏ→Ｂ Ｏ→Ｅ Ｏ→Ｇ ０ Ｏ→Ａ Ｏ→Ｄ －４
Ａ. ２ ＋ ＋ ＝ Ｂ. ＝－２ ２ ５.(２０２２湖南常德一模ꎬ１３)已知平面向量ａ ｂ ａ ｂ
∥ ꎬ ＝(１ꎬ２)ꎬ ＝
Ｃ.｜ Ａ→Ｈ ＋ Ｅ→Ｈ ｜＝４ Ｄ.｜ Ａ→Ｈ ＋ Ｇ→Ｈ ｜＝４＋２ ２ ｔ 则 ｂ .
(－３ꎬ)ꎬ ｜ ｜＝ 答案 Ｄ
答案
３.(多选)(２０２２ 河北邯郸一模ꎬ９)如图 Ｏ 是正六边形 ３ ５
ꎬ
ＡＢＣＤＥＦ的中心 则
ꎬ ( )
B组 综合应用题组 学生用书P188
15分钟 25分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) ｂ ｍ 则下列说法正确的是
２)ꎬ ＝( ꎬ－１)ꎬ ( )
１.(２０２２湖南临澧第一中学第七次阶段考ꎬ６)在 ＡＢＣ中 ＡＢ
△ ꎬ 若ａ ｂ 则ｍ １
Ａ. ∥ ꎬ ＝
ＡＣ ＢＡＣ ° Ｐ是 ＡＢＣ的外接圆上的一点 若→ＡＰ ２
＝１ꎬ ＝２ꎬ∠ ＝６０ ꎬ △ ꎬ 若ａ ｂ 则ｍ
ｍ→ＡＢ ｎ→ＡＣ ｍ ｎ Ｒ 则ｍ ｎ的最小值是 Ｂ. ⊥ ꎬ ＝２
＝ ＋ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ ＋ ( ) 若 ａ ｂ 则ｍ
Ｃ. ｜ ｜＝｜ ｜ꎬ ＝２
１ １ １
Ａ.－１ Ｂ.－ Ｃ.－ Ｄ.－ 若ｍ 则ａ ｂ的夹角为３π
２ ３ ６ Ｄ. ＝－３ꎬ ꎬ
答案 Ｂ ４
答案 ＢＤ
２.(２０２２河北衡水中学六调ꎬ８)在矩形 ＡＢＣＤ 中 ＡＢ ＡＤ
ꎬ ＝１ꎬ ＝ 三、填空题(共５分)
动点Ｐ在以点Ｃ为圆心且与ＢＤ相切的圆上 若→ＡＰ λ→ＡＢ ５.(２０２２重庆第七次质检ꎬ１６)如图是由两个有一条公共边的
２ꎬ ꎬ ＝ ＋
μＡ→Ｄ
ꎬ
λ
ꎬ
μ
∈
Ｒ
ꎬ
则λ
＋
μ的最大值为
( )
正六边形构成的平面图形Γ
ꎬ
其中正六边形的边长为
１
.设→ＡＧ
＝
Ａ.３ Ｂ.２ ２ ｘ→ＡＢ ＋ ｙＡ→Ｉ ꎬ ｘ ꎬ ｙ ∈ Ｒ ꎬ 则ｘ ＋ ｙ ＝ ꎻ 若Ｐ是平面图形Γ边上
Ｃ. ５ Ｄ.２ 的动点 则→ＡＣ Ｂ→Ｐ的取值范围是 .
答案 Ａ ꎬ
３.(２０２１百校大联考(六)ꎬ９)已知向量 ａ 若 λａ
＝(３ꎬ１００)ꎬ ＝
λ
λ μ λ μ Ｒ 则
(３ ꎬ２ )( ꎬ ∈ )ꎬ μ ＝ ( )
１ １
Ａ.５０ Ｂ.３ Ｃ. Ｄ.
５０ ３
答案 Ｃ [ ]
答案 ꎻ ꎬ３
二、多项选择题(共５分) １ －３
２
４.(２０２２湖南新高考教学教研联盟第一次联考ꎬ９)已知ａ
＝(１ꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ ０４
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P189
３.(多选)(２０２２ ５３原创题)在边长为 的正方形ＡＢＣＤ中
１.(２０２２ ５３原创题)如图 在平行四边形 ＡＢＣＤ 中 ＡＥ １ １ ꎬ
ꎬ ꎬ ＝
３ →ＡＰ λＡ→Ｄ μ→ＡＢ λ μ 则下列说法正确的是
＝ ＋ ꎬ ∈[０ꎬ１]ꎬ ∈[０ꎬ１]ꎬ
ＡＤ ＢＦ １ ＢＣ ＣＥ与ＤＦ交于点Ｏ.设→ＡＢ ａ Ａ→Ｄ ｂ 若Ａ→Ｏ λａ
ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ꎬ ＝ ( )
４ 当λ μ 时 ＡＢＰ的面积为定值
μｂ λ μ Ｒ 则μ λ Ａ. ＝１ꎬ ≠０ ꎬ△
＋ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ － ＝ ( ) 当μ 时 ＡＢＰ的面积为定值
Ｂ. ＝１ ꎬ△
当→ＡＰ Ｂ→Ｐ取得最小值时 λ １
Ｃ. ꎬ ＝
２
当→ＡＰ Ｂ→Ｐ取得最小值时 μ １
Ｄ. ꎬ ＝
２
答案 ＡＤ
８ １９ ３ １１
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ４.(２０２２ ５３ 原创题)已知 ＡＢＣ 为等边三角形 点 Ｇ 是
１７ １７ １７ １７ △ ꎬ
答案 Ｃ ＡＢＣ的重心.过点Ｇ的直线ｌ与线段ＡＢ交于点Ｄ 与线段ＡＣ
△ ꎬ
２.(２０２２ ５３原创题)已知两个向量ａ ｂ ａ ｂ ａ ｂ
ꎬ ꎬ｜ ｜＝２ꎬ｜ ｜＝３ꎬ － 交于点 Ｅ.设Ａ→Ｄ λ→ＡＢ →ＡＥ μ →ＡＣ λ μ Ｒ 则 １ １
则 ａ λｂ 的值最小时 实数λ的值为 ＝ ꎬ ＝ ꎬ ꎬ ∈ ꎬ λ ＋ μ
＝(２ꎬ ３)ꎬ ｜ ＋ ｜ ꎬ ( )
.
１ ３ １ ３ ＝ Ａ.－ Ｂ－ Ｃ. Ｄ. 答案
３ ４ ３ ４ ３
答案 Ａ
