曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
第六章 平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及
坐标表示
三年模拟
一、选择题
1.(2022江西宜春4月联考,7)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,且
3
⃗AE= ⃗AC,则⃗BE=( )
8
5 3 3 5
A. ⃗AB- ⃗ADB. ⃗AB- ⃗AD
8 8 8 8
5 3 5 3
C.- ⃗AB+ ⃗ADD. ⃗AB+ ⃗AD
8 8 8 8
3 3 5 3
答案 C 由题意知,⃗AE= ⃗AC= (⃗AB+⃗AD),故⃗BE=⃗AE-⃗AB=- ⃗AB+ ⃗AD,故选C.
8 8 8 8
2.(2022山西吕梁一模,9)在△ABC中,D为BC的中点,⃗EB=2⃗AE,⃗AF=2⃗FC,EF与AD交于
G,⃗AG=λ⃗AD,则λ=( )
1 4 3 2
A. B. C. D.
2 9 5 3
1
答案 B 在△ABC中,D为BC的中点,∴⃗AD= (⃗AB+⃗AC),又⃗EB=2⃗AE,⃗AF=2⃗FC,∴
2
3 λ
⃗AB=3⃗AE,⃗AC= ⃗AF,∴⃗AG=λ⃗AD= (⃗AB+
2 2
3λ 3λ 3λ 3λ 4
⃗AC)= ⃗AE+ ⃗AF,由点E、G、F三点共线,得 + =1,解得λ= ,故选
2 4 2 4 9
B.
3.(2022甘肃平凉3月联考,9)在四边形ABCD中,AB∥CD,设⃗AC=λ⃗AB+μ⃗AD(λ,μ∈R).若
λ+μ=4 |⃗CD|=( )
,则
3 |⃗AB|
2 1
A. B.
3 2
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1 1
C. D.
3 4
答案 C ∵AB∥CD,∴设|⃗CD|=k,则 =k ,k>0,
⃗DC ⃗AB
|⃗AB|
∵⃗AC=⃗AD+⃗DC=k⃗AB+⃗AD=λ⃗AB+μ⃗AD,∴λ=k,μ=1,
∵λ+μ=4 4 1 |⃗CD| 1,故选C.
,∴1+k= ,∴k= ,即 =
3 3 3 |⃗AB| 3
1
4.(2022江西九大名校3月联考,9)在△ABC中,点D在线段AC上,且满足|AD|= |AC|,点Q
3
1 1
为线段BD上任意一点,若实数x,y满足⃗AQ=x⃗AB+y⃗AC,则 + 的最小值为( )
x y
A.4 B.4√3C.8D.4+2√3
1
答案 D 由题意得⃗AD= ⃗AC,
3
设⃗BQ=λ⃗BD,λ∈[0,1].
1
则⃗AQ=⃗AB+⃗BQ=⃗AB+λ⃗BD=⃗AB+λ(⃗AD-⃗AB)=(1-λ)⃗AB+ λ⃗AC,因为⃗AQ=x⃗AB+y
3
1
⃗AC,所以x=1-λ,y= λ,所以x+3y=1,x>0,y>0,
3
1 1 x+3 y x+3 y 3 y x
所以 + = + =4+ + ≥4+2
x y x y x y
3 y x √3-1 3-√3
√3,当且仅当 = 且x+3 y=1,即x= ,y= 时取等号.
x y 2 6
故选D.
5.(2022安徽蚌埠三模,11)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC且AB=2DC,点E为线段BC的
靠近点C的一个四等分点,点F为线段AD的中点,AE与BF交于点O,且⃗AO=x⃗AB+y⃗BC
,则x+y的值为( )
5 14 5
A.1 B. C. D.
7 17 6
答案 C 根据向量的线性运算,
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⃗AO =x ⃗AB -y ⃗AB +y ⃗AC =(x-y) ⃗AB +y( ⃗AD + ⃗DC )=(x-y) ⃗AB+ y ( 2⃗AF+ 1 ⃗AB )=(x-y) ⃗AB +2y
2
⃗AF+ 1y ⃗AB= ( x- y)⃗AB +2y ⃗AF ,
2 2
由于B、O、F三点共线,
y
所以x- +2y=1,整理得2x+3y-2=0.
2
4 4 y
⃗BO=⃗BA+⃗AO=⃗BA+x⃗AB+y⃗BC=⃗BA-x⃗BA+y· ⃗BE=(1-x)⃗BA+ ⃗BE,
3 3
4 y
由于A、O、E三点共线,所以1-x+ =1,整理得3x-4y=0.
3
8
{x= ,
联立{2x+3 y-2=0, 17 14.故选C.
解得 所以x+ y=
3x-4 y=0, 6 17
y= ,
17
6.(2022银川一中一模,12)在直角△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,以BC为直径的半圆上有
一点M(包括端点),若⃗AM=λ⃗AB+μ⃗AC,则λ+μ的最大值为( )
A.4 B.√3C.2D.√2
答案 C 以A为原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则C(0,2),B(2,0),设D是BC的中点,则D(1,1).
BC=2√2,设M(x,y),则有(x-1)2+(y-1)2=(√2)2,
设{x=1+√2cosα,( π 3π),
α为参数,- ≤α≤
y=1+√2sinα 4 4
依题意⃗AM=λ⃗AB+μ⃗AC,
即(1+√2cos α,1+√2sin α)=λ(2,0)+μ(0,2),(1+√2cos α,1+√2sin α)=(2λ,2μ),
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∴
{ λ=
1+√2cosα
,
2 1+√2cosα 1+√2sinα ( π) π π π
则λ+μ= + =sin α+ +1,所以当α+ = ,即α=
1+√2sinα 2 2 4 4 2 4
μ= ,
2
时,λ+μ取得最大值2.故选C.
7.(2022黑龙江齐齐哈尔第一中学一模,3)已知向量a=(3,-2),b=(m,1),若a⊥b,则a-3b= (
)
A.(0,5) B.(5,1) C.(1,-5) D.(15 )
,-5
2
答案 C 因为a⊥b,所以3m-2=0,解得m=2
,所以a-3b=(3,-2)-3
(2
,1
)=(1,-5).故
3 3
选C.
8.(2022云南第一次质检,12)在△ABC中,D是直线AB上的点.若2⃗BD=⃗CB+λ⃗CA,记△ACB
的面积为S
1
,△ACD的面积为S
2
,则 S
1
=( )
S
2
λ λ 1 2
A. B. C. D.
6 2 3 3
答案 D 设⃗BD=μ(⃗CA-⃗CB)=-μ⃗CB+μ⃗CA,
∵2⃗BD=⃗CB+λ⃗CA,
1 λ 1
∴μ=- , =μ=- ,
2 2 2
1
∴⃗BD=- ⃗BA,
2
3
∴点D在AB的延长线上,并且AD= AB,如图.
2
∴S AB 2.
1= =
S AD 3
2
9.(2022东城期末,9)已知点A,B,C不共线,λ,μ为实数,⃗AP=λ⃗AB+μ⃗AC,则“0<λ+μ<1”是
“点P在△ABC内(不含边界)”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案 B 设线段BC上任意一点D(不含端点B,C),则⃗AD=x⃗AB+y⃗AC
(0<x<1,0<y<1,x+y=1),则点P在△ABC内部(不含边界)的充要条件是⃗AP=t
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{
0<λ<1,
{λ=tx,
⃗AD(0<t<1),则 所以 0<μ<1, 所以“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内
μ=ty,
0<t=λ+μ<1,
(不含边界)”的必要不充分条件.
10.(多选)(2021辽宁铁岭一模,10)下列说法中错误的为( )
A.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( 5 )
- ,+∞
3
B.向量e
1
=(2,-3),e
2
=(1
,-
3),则{e
1
,e
2
}不能作为平面内所有向量的一个基底
2 4
C.非零向量a和b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b
D.非零向量a和b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
答案 AC 对于A,∵a=(1,2),b=(1,1),a与a+λb的夹角为锐角,
∴a·(a+λb)=(1,2)·(1+λ,2+λ)=1+λ+4+2λ=3λ+5>0,且λ≠0(λ=0时,a与a+λb的夹角为0°),所以
5
λ>- 且λ≠0,故A中说法错误;对于B,向量e =4e ,即e 与e 共线,故{e ,e }不能作为平面内
1 2 1 2 1 2
3
所有向量的一个基底,B中说法正确;对于C,向量是有方向的量,不能比较大小,故C中说
法错误;对于D,|b|=|a-b|两边平方整理得|a|2=2a·b,则a·(a+b)=|a|2+a·b=
3
|a|2
3 a·(a+b) 2 √3
|a|2,又|a+b|=√(a+b)2=√|a|2+2a·b+|b|2=√3|a|,故cos<a,a+b>= = =
2 |a||a+b| |a|·√3|a| 2
,结合向量的夹角范围得a与a+b的夹角为30°,故D中说法正确.故选AC.
二、填空题
11.(2022丰台二模,11)已知向量a=(-2,3),b=(6,m).若a⊥b,则m= .
答案 4
解析 由题意可知a·b=(-2,3)·(6,m)=-2×6+3m=0,解得m=4.
12.(2022丰台一模,12)已知向量a=(-2,3),b=(x,-6).若a∥b,则x= .
答案 4
解析 ∵a=(-2,3),b=(x,-6),且a∥b,∴-2×(-6)=3x,解得x=4.
13.(2022宁夏六盘山二模,13)已知向量a=(-3,1),b=(2,x),且a∥(a+b),则x= .
2
答案 -
3
2
解析 ∵a+b=(-1,1+x),∴3(1+x)=1,解得x=- .
3
14.(2022合肥二模,13)已知向量⃗AB=(-1,2),⃗BC=(2t,t+5),若A,B,C三点共线,则t= .
答案 -1
解析 向量⃗AB=(-1,2),⃗BC=(2t,t+5),
∵A,B,C三点共线,∴⃗AB∥ ⃗BC,即-1×(t+5)-2×2t=0,解得t=-1.
π
15.(2022天津三中一模,15)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC= ,AD为BC边上的高,E为
3
AD的中点,⃗CE=λ⃗AB+μ⃗BC,则λ+μ的值为 .
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4
答案 -
3
解析 由题得,BD=AB·cos∠ABC=1,∴CD=BC-BD=2,
2
∴⃗CD=- ⃗BC.
3
∴ ⃗CE= 1 ⃗CA+ 1 ⃗CD= 1(- ⃗AB - ⃗BC)+ 1 × ( - 2 ⃗BC )
2 2 2 2 3
1 5
=- ⃗AB- ⃗BC,
2 6
1 5
又⃗CE=λ⃗AB+μ⃗BC,∴λ=- ,μ=- ,
2 6
4
∴λ+μ=- .
3
16.(2022天津市实验中学统练(1),15) 如图,在△ABC中,⃗AB=a,⃗AC=b,D,F分别为BC,AC
的中点,P为AD与BF的交点,且⃗AE=2⃗EB.若⃗BP=xa+yb,则x+y= ;若
π
AB=3,AC=4,∠BAC= ,则⃗BP·⃗ED= .
3
1 4
答案 - ;
3 3
解析 由题意知,点P为△ABC的重心,
1 1 2 1
∴⃗BP= (⃗BA+⃗BC)= (⃗BA+⃗AC-⃗AB)=- a+ b.
3 3 3 3
1
∴x+y=- .
3
1
由题意得|a|=3,|b|=4,∴a·b=|a||b|cos∠BAC=3×4× =6,
2
1 1 1 1
∵⃗ED=⃗EB+⃗BD= a+ (b-a)=- a+ b,
3 2 6 2
∴ · ( 2 1 )( 1 1 ) 1 1 7 a·b=
⃗BP ⃗ED= - a+ b - a+ b = a2+ b2-
3 3 6 2 9 6 18
1 1 7 4
×32+ ×42- ×6= .
9 6 18 3
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17.(2022天津南开中学4月月考,15)如图,在菱形ABCD中,AB=3,∠BAD=60°,E,F分别为
5
线段BC,CD上的点,⃗CE=2⃗EB,⃗CF=2⃗FD,点M在线段EF上,且满足⃗AM=x⃗AB+ ⃗AD
6
(x∈R),则x= ;若点N为线段BD上一动点,则⃗AN·⃗MN的取值范围为 .
答案 1 [ 37 3]
; - ,
2 16 4
解析 设⃗EM=t⃗EF,t∈[0,1],
1 1
由题可得⃗AM=⃗AB+⃗BE+⃗EM=⃗AB+ ⃗BC+t⃗EF=⃗AB+ ⃗BC+t(⃗EC+⃗CF)=
3 3
⃗AB+ 1 ⃗BC+t( 2 ⃗BC- 2 ⃗DC)= ( 1- 2 t )⃗AB+ (1 + 2 t )⃗AD,∴ 1 + 2 t= 5 ,解得t= 3 ,∴x=1- 2 t= 1
3 3 3 3 3 3 3 3 6 4 3 2
.
设⃗DN=λ⃗DB ,λ∈[0,1],
∴⃗AN=⃗AD+λ(⃗AB-⃗AD)=λ⃗AB+(1-λ)⃗AD,
⃗MN = ⃗AN - ⃗AM= ( λ- 1)⃗AB+ (1 -λ )⃗AD ,
2 6
9
∵四边形ABCD为菱形,AB=3,∠BAD=60°,∴⃗AB· ⃗AD= ,
2
∴ ⃗AN ·⃗MN=λ ( λ- 1)⃗AB2+ [ λ (1 -λ ) +(1-λ)· ( λ- 1)] ·⃗AB ·
2 6 2
⃗AD+(1-λ) (1 -λ )⃗AD2=9λ2- 15 λ- 3,
6 2 4
5 37
又λ=[0,1],∴当λ= 时,⃗AN· ⃗MN取最小值,为- ;当λ=1时,⃗AN·
12 16
3
⃗MN取最大值,为 .
4
∴ · [ 37 3].
⃗AN ⃗MN的取值范围为 - ,
16 4
一年创新
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1.(2022顺义一模,9)如图,△OB
1
A
1
,△A
1
B
2
A
2
是全等的等腰直角三角形,B
1
,B
2
为直角顶
点,O,A ,A 三点共线.若点P ,P 分别是边A B ,A B 上的动点(不包含端点).记m= ·
1 2 1 2 1 1 2 2 ⃗OB
1
,n= · ,则( )
⃗OP ⃗OB ⃗OP
2 2 1
A.m>n B.m<n
C.m=n D.m,n大小不能确定
答案 B 建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设两等腰三角形的腰长为1,则
O(0,0),A (
1
(√2 √2) (3√2 √2)
√2,0),A2(2√2,0),B1 , ,B2 , ,直线A1B1的方程为y=√2-x,所以设P1(x1,√2
2 2 2 2
-x
1
),其中x 1∈(√2
,√2
)
,直线A2B2的方程为y=2√2-x,所以设P2(x2,2√2
-x
2
),
2
其中x 2∈(3√2
,2√2
),则m=
⃗OB
·⃗OP
=
(√2
,
√2)·(x
2
,2
√2-x2)=
√2
x2+2-
√2
2 1 2 2 2 2 2
x
2
=2,n=
⃗OB
·
⃗OP =
(3√2
,
√2)·(x
1
,
√2-x1)=
3√2
x1+1-
√2
x1=1+√2
x 1∈(2,3),∴m
2 1 2 2 2 2
<n.
2.(2022天津塘沽一中一模,15)如图是由两个有一条公共边的正六边形构成的平面图形
Γ,其中正六边形的边长为1.设⃗AG=x⃗AB+y⃗AI,则x+y= ;P是平面图形Γ边上的
动点,则⃗AC·⃗BP的取值范围是 .
答案 1;[ 3]
-3,
2
解析 连接BG.由题可知,G,I,B三点共线,
∵⃗AG=x⃗AB+y⃗AI,∴x+y=1.
∵⃗AC·⃗BP=|⃗AC|·|⃗BP|·cos<⃗AC,⃗BP>
=√3·|⃗BP|·cos<⃗AC,⃗BP>,
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过点B作MN∥AC,交DC的延长线于M,交GH的延长线于N.由正六边形的性质知
CD⊥AC,GH⊥AC,
∴CD⊥MN,GH⊥MN,
√3
当点P在线段CD上时,|⃗BP|·cos<⃗AC,⃗BP>=|⃗BM|= ,为最大值;当点P在线段GH上
2
时,|⃗BP|·cos<⃗AC,⃗BP>=-|⃗BN|=-√3,为最小值;
∴
⃗AC
·
⃗BP
∈[
-3,
3].
2
3.(2022滨海新区模拟,15)在2022年2月4日举行的北京冬奥会开幕式上,贯穿全场的雪
花元素为观众带来了一场视觉盛宴,象征各国、各地区代表团的“小雪花”汇聚成一朵
代表全人类“一起走向未来”的“大雪花”的意境惊艳了全世界(如图①),顺次连接图
中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(如图②).已知正六边形的边长为1,点M满足
1
⃗AM= (⃗AB+⃗AF),则|AM|= ;若点P是线段EC上的动点(包括端点),则⃗AP·⃗DP
2
的最小值是 .
1 3
答案 ;-
2 4
1
解析 连接BF.由题意可知,M为线段BF中点,故由正六边形的性质得|⃗AM|= |
2
1
⃗AF|= .
2
易得CE⊥EF,建立如图所示的平面直角坐标系,则A(√3
,-
3)
,D
(√3
,
1),
2 2 2 2
设P(x ,0),0≤x ≤√3,
0 0
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∴ ( √3 3), ( √3 1),
⃗AP= x - , ⃗DP= x - ,-
0 2 2 0 2 2
2
∴ · =( √3) 3,
⃗AP ⃗DP x - -
0 2 4
√3 3
∴x = 时,⃗AP· ⃗DP取得最小值,为- .
0 2 4
4.(2022天津一中4月月考,15)在等腰直角三角形ABC中,∠CAB=90°,BC=√2,点D满足
=2 ,点E为线段BD上的动点,点F为线段BC上的动点.如果 =x +y ,则
⃗DA ⃗AC ⃗CE ⃗CA ⃗CB
x+3y= ;当x=1时,⃗CF·⃗EF的最小值为 .
49
答案 3;-
72
解析 由题意可得AC=AB=1,DA=2,
1
⃗CE=x⃗CA+y⃗CB= x⃗CD+y⃗CB,
3
1
∵E、D、B三点共线,∴ x+y=1,即x+3y=3.
3
2 2
当x=1时,y= ,此时⃗CE=⃗CA+ ⃗CB,
3 3
设⃗CF=λ⃗CB(0≤λ≤1),
∴ ⃗EF = ⃗CF - ⃗CE =λ ⃗CB - ⃗CA- 2 ⃗CB= ( λ- 2)⃗CB - ⃗CA ,
3 3
∴
⃗CF
·
⃗EF=λ
(
λ-
2)⃗CB2 -λ
⃗CB
·⃗CA=2λ2- 7λ,
3 3
7 49
当λ= 时,⃗CF· ⃗EF有最小值,为- .
12 72
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页
