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第六章 平面向量及其应用
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
一、基础巩固
1．向量 ， ， ， 在正方形网格中的位置如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
根据减法运算法则，求得 ，如下图：
在 ， 的方向上进行分解，容易知：
2．下列可作为正交分解的基底的是（ ）A．等边三角形 中的 和
B．锐角三角形 中的 和
C．以角A为直角的直角三角形 中的 和
D．钝角三角形 中的 和
【答案】C
【详解】
选项A中， 与 的夹角为60°；
选项B中， 与 的夹角为锐角；
选项D中， 与 的夹角为锐角或钝角.故选项 都不符合题意.
选项C中， 与 的夹角为90°，故选项C符合题意.
3．已知 ， ，则与向量 共线的单位向量为（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【答案】B
【详解】
因为 ， ，
所以向量 ，
所以与向量 共线的单位向量为 或 .
4．已知A(3，7)，B(5，2)，把向量 按向量 =(1，2)平移后，所得向量 的坐标是（ ）A．(2，－5) B．(1，－7) C．(0，4) D．(3，－3)
【答案】A
【详解】
由题意 ，∴ ．
5．已知ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1，2)，则顶点D的坐标为（ ）
A．(－7，0) B．(7，6)
C．(6，7) D．(7，－6)
【答案】D
【详解】
因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 .
设D(x，y)，则有(－1－5,7＋1)＝(1－x,2－y)，
即 解得 ，
因此D点坐标为(7，－6)．
6．在平面直角坐标系 中，点 ，将向量 绕点 按逆时针方向旋转 后得到向量 ，
则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，得 ，
将向量 绕点 按逆时针方向旋转 后得到向量 ，，
又 ， ，
.
7．已知线性相关的变量 ， ，设其样本点为 （ ），回归直线方程为 ，
若 （ 为坐标原点），则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为样本点为 （ ）且 ，
所以
所以 ，
；
又回归直线方程为 过 ，
∴ ，解得 ．
8． 的最小值为( )
A． B． C．4 D．8
【答案】B【详解】
它表示动点 到定点 与到定点 的距离和，
关于 轴的对称点为 ，故
，
9．（多选）已知点 ， ，与向量 平行的向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．(7，9)
【答案】ABC
【详解】
由点 ， ，则
选项A . ,所以A选项正确.
选项B. ,所以B选项正确.
选项C . ,所以C选项正确.
选项D. ,所以选项D不正确
10．（多选）已知向量 ， ，对平面内的任一向量 ，下列结论中错误的是（ ）
A．存在唯一的一对实数x，y，使得B．若 ， ，则 ，且
C．若 ， ，且 ，则 的起点是原点O
D．若 ， ，且 的终点坐标是 ，则
【答案】BCD
【详解】
由平面向量基本定理，可知A中结论正确；
， ， ，故B中结论错误；
因为向量可以平移，所以 与 的起点是不是原点无关，故C中结论错误；
当 的终点坐标是 时， 是以 的起点是原点为前提的，故D中结论错误．
11（多选）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是 ．则第四个顶点的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】
第四个顶点为 ，
当 时， ，
解得 ，此时第四个顶点的坐标为 ；
当 时， ，
解得 ，此时第四个顶点的坐标为 ；
当 时， ，
解得 ，此时第四个项点的坐标为 ．∴第四个顶点的坐标为 或 或 ．
12．（多选）已知 是边长为2的等边三角形， ， 分别是 、 上的两点，且 ，
， 与 交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D． 在 方向上的投影为
【答案】BCD
【详解】
由题E为AB中点，则 ，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以， ，
设 ， ∥ ，
所以 ，解得： ，
即O是CE中点， ，所以选项B正确；，所以选项C正确；
因为 ， ，所以选项A错误；
， ，
在 方向上的投影为 ，所以选项D正确.
二、拓展提升
13．已知 是直线l上的一个单位向量，向量 与 都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出 与 的
坐标：
（1） ， ；
（2） ， .
【答案】（1） 的坐标为 的坐标为 （2） 的坐标为 ， 的坐标为2
【详解】
解：（1） ， ，
∴ 的坐标为 的坐标为 .
（2） 的坐标为 ， 的坐标为2.
14．已知 是平面内两个相互垂直的单位向量，且 ， ， ，求
的坐标.【答案】 ， ，
【详解】
解： ，又 是（标准）正交基底， ，
即 的坐标为 ，同理 的坐标为 ， 的坐标为 .
15．已知向量 ， ．
（1）若 ，求实数x的值；
（2）若 ，求实数x的值．
【答案】(1) ．(2) ．
【详解】
解：（1）因为 ， ， ．
，
解得 ．
（2） ， ．
，
，
，
解得 ．
