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第六章 平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
一、基础巩固
1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）．
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】
因为 与 不共线，其余选项中 、 均共线，所以B选项中的两向量可以作为基底．
2．在 中 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
，
3．如图所示， ， 分别是 的边 ， 上的点，且 ， ，则向量
（ ）．A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
因为 ， ，
所以 .
4．已知平面直角坐标系内的两个向量 ,且平面内的任一向量 都可以唯一表示
成 ( 为实数),则实数m的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意可知,平面内的任一向量 都可以唯一表示成 ,
∴ 是平面内表示所有向量的一个基底,.
∴ 不共线, ∴ .故m的取值范围是 .
5． 中所在的平面上的点 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ，
6．设 ， 是不共线的两个向量，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
因为 ， 是不共线的两个向量,
所以由平面向量基本定理知：若 ，则 ，
7．如图，在平行四边形 中， 为 的中点， 为 的中点，若 ，则 (
)A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为 为 的中点，所以 ，
而 ，
即有 ，又 ，所以 ．
8．在 中，已知 是 延长线上一点，若 ，点 为线段 的中点，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：由题意可得，，
故 ，
∴ .
9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】ACD
【详解】
A，C，D中向量 与 共线，不能作为基底；B中 ， 不共线，所以可作为一组基底．
10．（多选）已知M为△ABC的重心，D为BC的中点，则下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】
M为△ABC的重心， M是三边中线的交点，且在中线三等分点处，
对于A，由于△ABC为任意三角形，故中线不一定相等，则 不一定相等，故A错误；
对于B， D为BC的中点， ， ， ，故B正确；
对于C， ，故C正确；对于D， ，故D错误.
11．（多选）如果 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）
A． (λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量 ，使 的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量 与 共线，则有且只有一个实数λ，使得
D．若实数λ，μ使得 ，则λ=μ=0
【答案】BC
【详解】
由平面向量基本定理可知，A，D是正确的.对于B，由平面向量基本定理可知，
若一个平面的基底确定，则该平面内的任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的，B错误.对于C，当两
个向量均为零向量时，即λ=λ=μ=μ=0时，这样的λ有无数个，
1 2 1 2
或当 为非零向量，而 为零向量(λ=μ=0)，此时λ不存在.
2 2
12．（多选）已知正方形 的边长为 ，向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【详解】
由条件可 ，所以 ，A正确；，与 不垂直，B错误；
，C错误；
，根据正方形的性质有 ，所以 ，D正确.
二、拓展提升
13．如图，设 ， ，又 ，试用 ， 表示 ．
【答案】 .
【详解】
解： ， 由已知 可得： ，
所以 ，
故 ．
14．如图，在任意四边形ABCD中，（1）已知E､F分别是AD､BC的中点求证： .
（2）已知 ，用 ， 表示向量 .
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【详解】
（1）证明：因为E､F分别是AD､BC的中点，所以 ， ，
由题意 ， ，
两式相加得 ，
即 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 .15．已知点G是 的重心,M是 边的中点.若 过 的重心G,且
,求证: .
【答案】见解析
【详解】
因为M是 边的中点,所以 .
因为G是 的重心,所以 .
由P,G,Q三点共线,所以有且只有一个实数 ,使 ，
， ，
又因为 不共线， ，消去 ，
整理得 ,故 .
