北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及
坐标表示
应用创新题组
1.(实际生活)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动.如果一帆船所受的风力方向
为北偏东30°,速度大小为20 km/h,此时水的流向是正东,流速大小为20 km/h.若不考虑其他因素,则帆船的
速度大小为 km/h,行驶的方向为 .
答案 20√3;北偏东60°
解析 建立如图所示的平面直角坐标系,风的方向为北偏东30°,速度大小为|v|=20 km/h,水流的方向为正东,
1
速度大小为|v|=20 km/h,设帆船行驶的速度大小为|v|km/h,则v=v+v,由题意可得v=(20cos 60°,20sin
2 1 2 1
60°)=(10,10 ),v=(20,0),则v=v+v=(10,10 )+(20,0)=(30,10 ),所以|v|= =20 (km/
√3 2 1 2 √3 √3 √302+(10√3)2 √3
10√3 √3
h),因为tan α= = (α为v与v 的夹角,α为锐角),所以α=30°,所以帆船向北偏东60°的方向行驶,速度
2
30 3
大小为20√3 km/h.
2.(探索创新情境)已知e=(1,0),e=(0,1),今有动点P从P(-1,2)开始沿着与向量e+e 相同的方向做匀速直线运
1 2 0 1 2
动,速度为e+e;另一动点Q从Q(-2,-1)开始,沿着与向量3e+2e 相同的方向做匀速直线运动,速度为3e+2e,
1 2 0 1 2 1 2
设P,Q在t=0时分别在P,Q 处,则当 ⊥ 时所需的时间为 秒.
0 0 ⃗PQ ⃗P Q
0 0
答案 2
解析 由已知得e+e=(1,1),则|e+e|=√2,
1 2 1 2
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故与e+e 方向相同的单位向量为(√2 √2);同理,3e+2e=(3,2),则|3e+2e|
1 2 , 1 2 1 2
2 2
=√13,
故与3e
1
+2e
2
方向相同的单位向量为( 3
,
2 ),如图,依题意得,|
⃗P P
|=
√13 √13 0
t,| |= t,∴ =| |·(√2 √2)=(t,t), =| |·( 3 2 )=(3t,2t).
√2 ⃗Q Q √13 ⃗P P ⃗P P , ⃗Q Q ⃗Q Q ,
0 0 0 2 2 0 0 √13 √13
由P(-1,2),Q(-2,-1)得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1), =(-1,-3),∴ =(2t-1,t-3),由 ⊥ ,得 ·
0 0 ⃗P Q ⃗PQ ⃗PQ ⃗P Q ⃗PQ ⃗P Q
0 0 0 0 0 0
=0,∴-(2t-1)-3(t-3)=0,解得t=2,即当 ⊥ 时,所需的时间为2秒.
⃗PQ ⃗P Q
0 0
3.(实际生活)某人在静水中游泳,速度大小为4√3 km/h.
(1)如果他径直游向河对岸,水的流速大小为4 km/h,他实际沿什么方向前进?速度大小为多少?
(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?
解析 (1)如图甲所示,设人游泳的速度为⃗OB,水流的速度为⃗OA,则OA⊥OB,以OA,OB为邻边作平行四边
形OACB,则此人的实际速度为⃗OA+⃗OB=⃗OC,由已知得|⃗OA|=4,|⃗OB|=4√3,所以由勾股定理得|⃗OC|=8,在
Rt△ACO中,可知∠COA=60°,故此人实际沿与河岸夹角为60°顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.
(2)如图乙所示,设此人的实际前进速度为⃗OB,水流速度为⃗OA,由已知得⃗OA⊥⃗OB,连接AB,过O作
OC∥AB且OC=AB,连接BC,则⃗OC即为游速,由作图知⃗OC=⃗AB=⃗OB-⃗OA,在Rt△AOB中,|⃗AB|=4√3,|
|=4,所以| |= =4
,cos∠BAO=|⃗OA|=√3,故此人应沿与河岸夹角余弦值为
⃗OA ⃗OB √|⃗AB|2-|⃗OA|2 √2
|⃗AB| 3
√3
,逆着水流的方向前进,实际前进速度大小为4√2 km/h.
3
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