北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
专题六 平面向量
6.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及
坐标运算
一、选择题
1.(2022届江西重点中学联考二,5)设e,e 是两个不共线的平面向量,若a=3e-2e,b=e+ke,且a与b共线,则实
1 2 1 2 1 2
数k的值为( )
1 1 2 2
A.- B. C.- D.
2 2 3 3
1 k 2
答案 C 由题意得 = ,解得k=- .故选C.
3 -2 3
2.(2021宁夏吴忠4月模拟,5)如图所示,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若⃗DE=λ
⃗AB+μ⃗AD(λ,μ∈R),则λ+μ等于( )
1 1
A.1 B.-1 C. D.-
2 2
1 1 1 3
答案 D ⃗DE=⃗DA+⃗AE=-⃗AD+ ⃗AC=-⃗AD+ (⃗AB+⃗AD)= ⃗AB- ⃗AD,∵⃗DE=λ⃗AB+μ⃗AD
4 4 4 4
1 3 1
,∴λ= ,μ=- ,∴λ+μ=- .故选D.
4 4 2
3.(2022届山西吕梁11月月考,9)如图,△ABC中,点M是BC的中点,点N满足⃗AN=2⃗NB,AM与CN交于点
D,⃗AD=λ⃗AM,则λ=( )
2 3 4 5
A. B. C. D.
3 4 5 6北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1 3
答案 C 由题意得⃗AM= (⃗AB+⃗AC),⃗AB= ⃗AN,
2 2
3λ λ 3λ λ 4
∴⃗AD= ⃗AN+ ⃗AC,又N,D,C三点共线,∴ + =1,可得λ= .故选C.
4 2 4 2 5
1 1
4.(2022届安徽淮南一中月考,9)已知点M是△ABC所在平面内一点,若⃗AM= ⃗AB+ ⃗AC,则△ABM与
2 3
△BCM的面积之比为( )
8 5 4
A. B. C.2 D.
3 2 3
答案 C 由题知点M在△ABC内,如图,延长AM交BC于G,设⃗AG=λ⃗AB+(1-λ)⃗AC(0<λ<1),⃗AG=t⃗AM
(t>1),即λ
⃗AB
+(1-λ)
⃗AC
=t(1
⃗AB+
1
⃗AC
),所以λ=t ,1-λ=t ,解得λ=3,t=6,所以
⃗AG
=3
⃗AB
+2
⃗AC
,
2 3 2 3 5 5 5 5
3 2
则有⃗AC+⃗CG= (⃗AC+⃗CB)+ ⃗AC,
5 5
3 3 BG 2 6 GM 1 5
即⃗AC+⃗CG=⃗AC+ ⃗CB,故CG= CB,所以 = .又⃗AG= ⃗AM,所以 = ,所以S = S =
5 5 GC 3 5 GA 6
△BCM
2
△BGM
5×1S
△ABM
=1S
△ABM
,所以 S △ABM=2.故选C.
2 5 2 S
△BCM
5.(2022届哈尔滨三中期中,3)已知对任意的平面向量⃗AB=(a,b),把⃗AB绕其起点A沿逆时针方向旋转角φ得
到向量⃗AP=(acos φ-bsin φ,asin φ+bcos φ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角φ得到点P.已知
π
A(1,2),B(1-√2,2+2√2),把点B绕点A沿逆时针方向旋转 得到点P,则点P的坐标为( )
4
A.(-3,1) B.(-2,1) C.(2,3) D.(-2,3)北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
π
答案 D 由已知可得 =(- ,2 ),将点B(1- ,2+2 )绕点A沿逆时针方向旋转 ,得 = -
⃗AB √2 √2 √2 √2 ⃗AP √2
4
π π π π
cos -2 sin ,- sin +2 cos =(-3,1).∵A(1,2),∴P(-2,3).故选D.
√2 √2 √2
4 4 4 4
6.(2021云南统一检测一,7)已知向量a=(3 ),b=( 1 ),则( )
,1 - ,4
2 2
A.a∥(a-b) B.a⊥(a-b)
C.(a-b)∥(a+b) D.(a-b)⊥(a+b)
答案 B ∵a=(3 ),b=( 1 ),∴a-b=(2,-3),a+b=(1,5),∵3×(-3)-2×1≠0,∴a-b与a不平行,故A错误;∵
,1 - ,4
2 2 2
3
×2+(-3)×1=0,∴a-b与a垂直,故B正确;∵5×2-(-3)×1≠0,∴a-b与a+b不平行,故C错误;∵1×2+5×(-3)≠0,∴a-b与
2
a+b不垂直,故D错误,故选B.
7.(2021广西百色重点中学4月模拟,5)已知点P为△ABC所在平面内一点,若⃗PA+⃗PB+⃗PC=0,点Q是线段
BP的中点,则⃗AQ=( )
1 2 2 1
A. ⃗AB+ ⃗AC B. ⃗AB+ ⃗AC
6 3 3 3
1 1 2 1
C. ⃗AB- ⃗AC D. ⃗AB+ ⃗AC
6 6 3 6
答案 D 由⃗PB=⃗PA+⃗AB,⃗PC=⃗PA+⃗AC,⃗PA+⃗PB+⃗PC=0得⃗PA+⃗PB+⃗PC=3⃗PA+⃗AB+⃗AC=0,所以
1 ⃗AB+⃗AP 2 1
⃗AP= (⃗AB+⃗AC),又因为点Q是线段BP的中点,所以⃗AQ= = ⃗AB+ ⃗AC,故选D.
3 2 3 6
8.(2022届河南平顶山月考,10)已知点O为正△ABC所在平面上一点,且满足⃗OA+λ⃗OB+(1+λ)⃗OC=0,若
△OAC的面积与△OAB的面积比为1∶4,则λ的值为( )
1 1
A. B. C.2 D.3
2 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 B ∵⃗OA+λ⃗OB+(1+λ)⃗OC=0,∴⃗OA+⃗OC+λ(⃗OB+⃗OC)=0.如图,取BC,AC边的中点D,E,连接
OD,OE.
1
由平行四边形法则知⃗OA+⃗OC=2⃗OE,λ(⃗OB+⃗OC)=2λ⃗OD,故⃗OE=-λ⃗OD,∴O,D,E三点共线,∴S =
△OAB
2
1 1 1 1 1 3
S .∴S +S = S ,S = S = × S = S ,∴S = S ,
△ABC △OAC △BOC △ABC △OAC △OAB △ABC △ABC △OBC △ABC
2 4 4 2 8 8
1
S
S 1 S 2 △OAC 1 OE 1 1
∴ △OAC= ,∴ △OCE= = ,∴ = ,得λ= .故选B.
S 3 S 1 3 OD 3 3
△OBC △OCD S
2 △OBC
9.(2021山西孝义二模,6)已知⃗AB=(-1,cos α),⃗BC=(2,0),⃗CD=(2,2sin α),若A,B,D三点共线,则tan α=( )
1 1
A.-2 B.- C. D.2
2 2
答案 A 由⃗BC=(2,0),⃗CD=(2,2sin α)可得,⃗BD=(4,2sin α),又知A,B,D三点共线,则有⃗AB∥⃗BD,所以
(-1)×2sin α=4cos α,解得tan α=-2,故选A.
5
10.(2021太原一模,6)已知梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=2DC,点P在线段BC上,若⃗AP= ⃗AB+λ⃗AD,则实
6
数λ=( )
3 2 1 1
A. B. C. D.
4 3 3 2北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
1
答案 C 如图,延长AD,BC交于点E,因为AB∥CD,且AB=2CD,所以点D是AE的中点,所以⃗AD= ⃗AE,
2
→ 5 → → 5 → λ → 5 λ 1
所以AP= AB+λAD= AB+ AE,因为B,P,E三点共线,所以 + =1,解得λ= ,故选C.
6 6 2 6 2 3
11.(2021江西上饶2月联考,10)在三角形ABC中,E、F分别为AC、AB上的点,BE与CF交于点Q,且⃗AE=2
⃗EC,⃗AF=3⃗FB,延长AQ交BC于点D,⃗AQ=λ⃗QD,则λ的值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 由已知可得点E是AC的三等分点,点F是AB的四等分点,由B,Q,E三点共线可设 → =x →
AQ AB
→ → 2 → → → → → 3 →
+(1-x)
AE
=x
AB
+ (1-x)
AC
.由C,Q,F三点共线可设AQ =y
AC
+(1-y)
AF
=y
AC
+ (1-y)
AB
,所以
3 4
3 1
{x= (1- y), {x= ,
4 解得 2 所以 ⃗AQ =1 ⃗AB +1 ⃗AC .又 ⃗AQ =λ ⃗QD ,则 ⃗AQ = λ ⃗AD ,则1 ⃗AB +
2 1 2 3 1+λ 2
y= (1-x), y= .
3 3
1 λ 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ
⃗AC= ⃗AD,所以⃗AD= ⃗AB+ ⃗AC,因为B,D,C三点共线,所以 + =1,解得λ=5.
3 1+λ 2λ 3λ 2λ 3λ
故选C.
方法点拨 若平面内A、B、C三点共线,对平面内任意点O,有⃗OA=t⃗OB+(1-t)⃗OC(t∈R).
12.(2022届安徽名校联盟11月联考,3)四边形ABCD中,⃗AD=⃗BC,(⃗AB+⃗AD)·(⃗AB-⃗AD)=0,则这个四边
形是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.等腰梯形北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
答案 A 由于⃗AD=⃗BC,因此AD∥BC且AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形.连接AC,BD,因为⃗AB
+⃗AD=⃗AC,⃗AB-⃗AD=⃗DB,(⃗AB+⃗AD)·(⃗AB-⃗AD)=0,所以⃗AC·⃗DB=0,得AC⊥DB,所以四边形ABCD是
菱形,故选A.
1
13.(2022届陕西顶级名校10月月考,9)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若⃗AD=3⃗DB,⃗CD= ⃗CA+λ
4
⃗CB,则λ=( )
1 1 3 3
A. B.- C.- D.
4 4 4 4
3 3 1 3 1
答案 D 由题意知⃗CD=⃗CA+⃗AD=⃗CA+ ⃗AB=⃗CA+ (⃗CB-⃗CA)= ⃗CA+ ⃗CB,又知⃗CD= ⃗CA
4 4 4 4 4
3
+λ⃗CB,所以λ= ,故选D.
4
14.(2022届四川绵阳调研(一),4)设D,E为△ABC所在平面内两点,⃗AD=⃗DC,⃗CB=2⃗BE,则( )
3 3
A.⃗DE=⃗AB+ ⃗AC B.⃗DE=- ⃗AB+⃗AC
2 2
3 3
C.⃗DE=⃗AB- ⃗AC D.⃗DE= ⃗AB-⃗AC
2 2
1 3 1 3 3
答案 D 由题意知,⃗DE=⃗DC+⃗CE= ⃗AC+ ⃗CB= ⃗AC+ (⃗AB-⃗AC)= ⃗AB-⃗AC,故选D.
2 2 2 2 2
15. (2022届江苏南通调研,8)如图,在△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,⃗AF =x⃗AB+y⃗AC,则
(x,y)为( )
A.(1 1) B.( 1 1)
, - ,
3 2 3 2
C.( 1 1) D.(1 1)
- , ,
2 3 2 3北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
2 3
答案 A ∵AD=2DB,AE=3EC,∴⃗AD= ⃗AB,⃗AE= ⃗AC.设⃗BF=λ⃗BE,⃗CF=μ⃗CD,∴⃗AF=⃗AB+⃗BF=
3 4
⃗AB
+λ
⃗BE
=
⃗AB
+λ(
⃗AE
-
⃗AB
)=
⃗AB
+λ(3
⃗AC-⃗AB
)=(1-λ)
⃗AB
+3λ
⃗AC
,
⃗AF
=
⃗AC
+
⃗CF
=
⃗AC
+μ
⃗CD
=
4 4
2 2
{1-λ= μ, {λ= ,
⃗AC
+μ(
⃗AD
-
⃗AC
)=
⃗AC
+μ(2
⃗AB-⃗AC
)=2μ
⃗AB
+(1-μ)
⃗AC
,∴ 3 解得 3 所以
⃗AF
=
3 3 3 1
λ=1-μ, μ= ,
4 2
1
⃗AB
+1
⃗AC
,所以x=1,y=1,所以(x,y)为(1
,
1),故选A.
3 2 3 2 3 2
二、填空题
4
16.(2022届皖北联盟10月联考,14)在△ABC中,已知点D满足⃗BC=3⃗CD,若⃗AD=m⃗AB+ ⃗AC,则m=
3
.
1
答案 -
3
1 1 1 4 1
解析 因为⃗AD=⃗AC+⃗CD=⃗AC+ ⃗BC=⃗AC+ (⃗AC-⃗AB)=- ⃗AB+ ⃗AC,所以m=- .
3 3 3 3 3
17.(2022届黑龙江顶级名校联考(二),15)如图,O是△ABC的重心,⃗AB=a,⃗AC=b,D是边
BC上一点,且⃗BD=3⃗DC,⃗OD=λa+μb,则λ+μ= .
1
答案
3
1
解析 如图,延长AO交BC于E,由O为△ABC的重心知E为BC的中点,且⃗AO=2⃗OE,⃗AE= (⃗AB+⃗AC),
2
由⃗BD=3⃗DC,得D是BC的四等分点且靠近点C,则
