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考
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学
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６６
专题六 平面向量
６．１ 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理及坐标表示
§
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
１．共线向量定理
考点一 平面向量的概念及线性运算 判定定理 ａ是一个非零向量 若存在一个实数λ使得
（１） ： ，
１．向量的有关概念及表示法 ｂ λａ 则向量ｂ与ａ共线．
⑤ ＝ ，
性质定理 若向量ｂ与非零向量ａ共线 则存在唯一一
名称 定义 表示法 （２） ： ，
个实数λ 使得ｂ λａ．
既有大小又有方向的量叫向 ， ＝
向量 →ＡＢ Ａ Ｂ Ｃ是平面上三点 且Ａ与Ｂ不重合 Ｐ是平面内任
向量 量 向量的大小叫做向量的长 ： ； （３） ， ， ， ，
；
度 （ 或模 ） 模 ：① ｜ →ＡＢ ｜ 意一点 ， 若点Ｃ在直线ＡＢ上 ， 则存在实数λ ， 使得Ｐ→Ｃ ＝（１－ λ ） →ＰＡ
零向量 长度为 ０ 的向量叫零向量 ， 其 记作０ ＋ λＰ→Ｂ ， 如图．
方向是任意的
单位向量 长度等于 个单位的向量 常用ｅ表示
１
平行向量 方向相同或相反的非零向量 ａ 与 ｂ 共 线 可 记
为 ａ ｂ
② ∥ ；
共线向量 平行向量又叫做共线向量 ０与任一向量共线
相等向量 长度相等且方向相同的向量 ａ ｂ
２．平面向量基本定理
＝
如果ｅ ｅ 是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平
ａ与ｂ互为相反向量 ， 则 １、 ２ ，
相反向量 长度相等且方向相反的向量 ａ ＝ － ｂ ； ０ 的相反向量 面内的任意向量ａ ， 有且只有一对实数λ １、 λ ２， 使ａ ＝ λ １ ｅ １＋ λ ２ ｅ ２ ．
其中 不共线 的向量ｅ ｅ 叫做表示这一平面内所有向
为０
，⑥ １、 ２
量的一组基底．
２．平面向量的线性运算
温馨提示 构成基底的两向量不共线
向量 （１） ；
运算
定义 法则（或几何意义） 运算律
基底给定 同一向量的分解形式唯一
（２） ， ；
若λ ｅ λ ｅ ０ 则λ λ ．
（３） １ １＋ ２ ２＝ ， １＝ ２＝０
３．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中 分别取与ｘ轴 ｙ轴方向相同的两
（１） ， 、
交换律
（１） ： 个单位向量ｉ ｊ作为基底．对于平面内的一个向量ａ 由平面向
求两个向量和 ａ ｂ ｂ ａ 、 ，
加法 ＋ ＝③ ＋ ； 量基本定理知 有且只有一对实数ｘ ｙ 使得ａ ｘｉ ｙｊ 这样 平面
的运算 结合律 ， 、 ， ＝ ＋ ， ，
（２） ： 内的任一向量 ａ 都可由 ｘ ｙ 唯一确定 我们把有序数对
ａ ｂ ｃ ａ ｂ ｃ 、 ，
（ ＋ ）＋ ＝ ＋（ ＋ ） （ｘ，ｙ） 叫做向量ａ的坐标 记作ａ ｘ ｙ 其中ｘ叫做ａ在ｘ
⑦ ， ＝（ ， ），
轴上的坐标 ｙ叫做ａ在ｙ轴上的坐标 显然０ ｉ
， ， ＝（０，０）， ＝（１，
ｊ （ ， ） ．
０）， ＝⑧ ０ １
设Ｏ→Ａ ｘｉ ｙｊ 则向量Ｏ→Ａ的坐标 ｘ ｙ 就是终点Ａ的坐
求 ａ 与 ｂ 的相 （２） ＝ ＋ ， （ ， ）
减法 反向量 － ｂ的和 标 ， 即若Ｏ→Ａ ＝（ ｘ ， ｙ ）， 则Ａ点坐标为 ⑨ （ｘ，ｙ） ， 反之亦成立 （ Ｏ是
的运算 坐标原点 ．
）
４．向量的坐标运算
平面向量运算的坐标表示
λａ λ ａ （１）
（１）｜ ｜＝｜ ｜｜ ｜；
当λ 时 λａ与ａ λ μａ λμ ａ 坐标表示
求实数 λ 与向 （２） ＞０ ， （ ）＝（ ） ；
数乘 量 ａ 的 积 的 的 当 方 λ 向相 时 同 ； λａ与ａ的 （ λ λ ＋ μ ） ａ ａ ＝ λａ ＋ μ ｂ ａ ； 加法 已知ａ ＝（ ｘ １， ｙ １）， ｂ ＝（ ｘ ２， ｙ ２）， 则ａ ＋ ｂ ＝⑩ （ｘ １＋ ｘ ２ ，ｙ １＋ ｙ ２ ）
运算 ＜０ ， （ ＋ ） 减法 已知ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
方向相反 λａ λｂ ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， － ＝ １－ ２ １－ ２
； ＝④ ＋
当λ ＝０ 时 ， λａ ＝ ０ 数乘 已知ａ ＝（ ｘ １， ｙ １）， 则λａ ＝ （λｘ １ ，λｙ １ ） ， 其中λ是实数
任一向量
已知Ａ ｘ ｙ Ｂ ｘ ｙ 则→ＡＢ （ｘ ｘ ，ｙ ｙ ）
的坐标 （ １， １）， （ ２， ２）， ＝ ２－ １ ２－ １
温馨提示 向量相等 则坐标相同 向量的坐标与表示
ａ． ， ；ｂ．
专
题
六
平
面
向
量
／
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该向量的有向线段的始点 终点的具体位置无关 只与其相对位 ｘ ｙ ｘ ｙ ．同时 ａ ｂ的充要条件也不能错记为ｘ ｘ ｙ ｙ
、 ， １ ２－ ２ １＝０ ， ∥ １ ２－ １ ２＝
置有关． ｘ ｙ ｘ ｙ 等．
０， １ １－ ２ ２＝０
平面向量共线的坐标表示 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ的充要条件是ａ λｂ
（２） ： ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ｂ． ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ∥ ＝
则ａ ｂ ｘ ｙ ｘ ｙ ． ． ｂ ０ 这与ｘ ｙ ｘ ｙ 在本质上是没有差异的 只是形式上
∥ ⇔ １ ２－ ２ １＝０ （ ≠ ）， １ ２－ ２ １＝０ ，
温馨提示 若ａ ｘ ｙ ｂ ｘ ｙ 则ａ ｂ的充要条 不同．
ａ． ＝（ １， １）， ＝（ ２， ２）， ∥
ｘ ｙ
件不能表示成 １ １．因为ｘ ｙ 有可能等于 所以应表示为
ｘ ＝ ｙ ２， ２ ０，
２ ２
ì ｘ ｙ
ï３ ， ì
ïï ｘ ＋１ ＋ｘ ＋１ ＝１ ï ï ｘ ＝ １ ，
所以í 解得í ８
ï ４ ｙ ï
考法一 与平面向量线性运算有关的解题策略 ｘ ïｙ ３ ．
ïï ３ ， î ＝
例１ （２０２０浙江金华十校期末，１４）在 ＡＢＣ 中 Ｍ Ｎ îｘ ＋１ ＋ｘ ＋１ ＝１ ４
△ ， ，
分别在ＡＢ
，
ＢＣ上
，
且Ａ→Ｍ
＝２
Ｍ→Ｂ
，
Ｂ→Ｎ
＝３
Ｎ→Ｃ
，
ＡＮ交ＣＭ于点Ｐ
，
若 答案 １ ；３
８ ４
Ｂ→Ｐ
＝
ｘ→ＰＡ
＋
ｙＢ→Ｃ
，
则ｘ
＝ ，
ｙ
＝
． 方法总结 １．若Ａ
，
Ｂ
，
Ｐ三点共线
，
则可设成→ＡＢ
＝
λ→ＡＰ的形
式 也可以设成Ｏ→Ｐ ｔＯ→Ａ ｔ Ｏ→Ｂ的形式 两种设法因题而异
， ＝ ＋（１－ ） ， ，
如例 的解法一就用到了第二种设法 ２．用几个基本向量表示某
１ ；
个向量问题的基本技巧 观察各向量的位置 寻找相应
：（１） ；（２）
的三角形或多边形 运用法则找关系 化简结果．
；（３） ；（４）
解析 解法一：由已知Ａ→Ｍ Ｍ→Ｂ，Ｂ→Ｎ Ｎ→Ｃ可得， 考法二 与平面向量坐标运算有关的解题策略
＝２ ＝３
例２ （２０２０浙江台州期末）如图 已知正方形ＡＢＣＤ 点
Ｂ→Ｍ １→ＢＡ，Ｂ→Ｎ ３ Ｂ→Ｃ． ， ，
＝ ＝
３ ４ Ｅ Ｆ分别为ＢＣ ＣＤ 上的动点 且 ＢＥ ＣＦ 设→ＡＣ ｘ →ＡＥ
由Ｍ，Ｐ，Ｃ三点共线可得，存在实数 ｍ，使Ｂ→Ｐ ｍ Ｂ→Ｍ （ ， ， ， ｜ ｜ ＝２｜ ｜， ＝ ＋
＝ ＋ １－ ｙ→ＡＦ ｘ ｙ Ｒ 则ｘ ｙ的最大值为 ．
ｍ （ ， ∈ ）， ＋
ｍ）Ｂ→Ｃ →ＢＡ （ ｍ）Ｂ→Ｃ．由Ａ，Ｐ，Ｎ三点共线可得，存在实数ｎ，
＝ ＋ １－
３
使得Ｂ→Ｐ ｎ→ＢＡ （ ｎ）Ｂ→Ｎ ｎ→ＢＡ ３ （ ｎ）Ｂ→Ｃ．
＝ ＋ １－ ＝ ＋ １－
４
ｍ
则有 →ＢＡ （ ｍ）Ｂ→Ｃ ｎ→ＢＡ ３ （ ｎ）Ｂ→Ｃ．
＋ １－ ＝ ＋ １－
３ ４
ìｍ ì
ï ｎ， ïｍ １ ，
ï ＝ ï ＝ 解题导引 分别以ＡＢ ＡＤ所在直线为ｘ ｙ轴建立平面直
í３ í ３ Ｂ→Ｐ １→ＢＡ ２ Ｂ→Ｃ． ， ，
∴ ï ∴ ï ∴ ＝ ＋
ï ｍ ３ （ ｎ）， ïｎ １ ． ９ ３ 角坐标系 设正方形的边长为 ＢＥ ｍ ｍ １ 然后写
î１－ ＝ １－ î ＝ ， １，｜ ｜＝２ ，０≤ ≤ ，
４ ９ ２
再由已知Ｂ→Ｐ ｘ→ＰＡ ｙＢ→Ｃ及→ＰＡ →ＢＡ Ｂ→Ｐ，得Ｂ→Ｐ ｘ（→ＢＡ Ｂ→Ｐ） 出Ａ Ｅ Ｆ Ｃ的坐标 求出向量→ＡＣ →ＡＥ →ＡＦ的坐标 再由→ＡＣ ｘ→ＡＥ
＝ ＋ ＝ － ＝ － ＋ ， ， ， ， ， ， ， ＝ ＋
ì ｘ ì
ï １ ， ïｘ １ ， ｙ→ＡＦ 将ｘ ｙ分别用ｍ表示出来 将ｘ ｙ表示成关于ｍ的函数
ｘ ｙ ïｘ ＝ ï ＝ ， ， ， ＋ ，
ｙＢ→Ｃ， Ｂ→Ｐ →ＢＡ Ｂ→Ｃ， í ＋１ ９ í ８ 求出其最大值．
∴ ＝ｘ ＋ｘ ∴ ï ｙ ∴ ï
＋１ ＋１ ï ２ ， ïｙ ３ ． 解析 不妨设正方形的边长为 ， ＢＥ ＣＦ ｍ，其中
îｘ ＝ î ＝ １ ｜ ｜＝２｜ ｜＝２ ０
＋１ ３ ４
解法二：Ｂ→Ｐ ｘ→ＰＡ ｙＢ→Ｃ ｘ（→ＢＡ Ｂ→Ｐ） ｙＢ→Ｃ，即（ ｘ）Ｂ→Ｐ ｍ １ ．分别以ＡＢ，ＡＤ所在直线为ｘ轴和ｙ轴建立平面直角坐
＝ ＋ ＝ － ＋ １＋ ＝ ≤ ≤
ｘ ｙ ２
ｘ→ＢＡ ｙＢ→Ｃ，所以Ｂ→Ｐ →ＢＡ Ｂ→Ｃ． 标系，
＋ ＝ｘ ＋ｘ
＋１ ＋１ 则Ａ（ ， ），Ｂ（ ， ），Ｅ（ ， ｍ），Ｆ（ ｍ， ），Ｃ（ ， ）．
０ ０ １ ０ １ ２ １－ １ １ １
由已知得→ＢＡ ＝３ Ｂ→Ｍ，Ｂ→Ｎ ＝ ３ Ｂ→Ｃ， 因为→ＡＣ ＝ ｘ→ＡＥ ＋ ｙ→ＡＦ，即（ １ ， １ ） ＝ ｘ（ １ ， ２ ｍ） ＋ ｙ（ １－ ｍ， １ ），
４
ì ｍ
ïｘ ，
ｘ ｙ ｘ ４ ｙ { ｘ ｙ（ ｍ）， ï ＝ ｍ２ ｍ 则Ｂ→Ｐ ３ Ｂ→Ｍ Ｂ→Ｃ →ＢＡ ３ Ｂ→Ｎ． 所以有 １＝ ＋ １－ 解得í ２ －２ ＋１
＝ｘ ＋ｘ ＝ｘ ＋ｘ ｍｘ ｙ， ï ｍ
＋１ ＋１ ＋１ ＋１ １＝２ ＋ ïｙ １－２ ，
因为Ｍ，Ｐ，Ｃ共线，Ｎ，Ｐ，Ａ共线， î ＝ ｍ２ ｍ
２ －２ ＋１
ｍ
因而ｘ ｙ １－ １ ．
＋ ＝ ｍ２ ｍ ＝
２ －２ ＋１ （ ｍ） １
２ １－ ＋ ｍ－２
１－
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设ｔ ｍ，ｔ １ ， ，则ｘ ｙ １ １ ２＋１，
＝１－ ∈ １ ＋ ＝ ≤ ＝
２ ｔ １ ２ ２－２ ２
２ ＋ ｔ －２
当且仅当 ｔ ２，即 ｍ ２时取等号，故 ｘ ｙ 的最大值
＝ ＝１－ ＋
２ ２
是 ２＋１．
２
答案 ２＋１
２
例３ 给定两个长度为 的平面向量Ｏ→Ａ和Ｏ→Ｂ 它们的夹
１ ，
角为 ２ 点Ｃ在以Ｏ为圆心的圆弧ＡＢ上运动 若Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ
π， ， ＝ ＋
３
ｙＯ→Ｂ 则ｘ ｙ的最大值是
， ＋ （ ）
１ ３
Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．２
２ ２
解题导引 由于点 Ｃ 在ＡＢ (
解析 如图，以Ａ为原点，ＡＢ 所在直
线为ｘ轴，ＡＣ所在直线为ｙ轴建立平面直
角坐标系，则Ｂ点的坐标为（ ， ），Ｃ点的
１ ０
坐标为（ ， ）．
０ ２
因为 ＤＡＢ °，所以设Ｄ点的坐标
∠ ＝６０
为（ｍ， ｍ）（ｍ ）．
３ ≠０
Ａ→Ｄ （ｍ， ｍ） λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ（ ， ）
＝ ３ ＝ ＋ ＝ １ ０
μ（ ， ） （λ， μ） λ ｍ，μ ３ｍ，
＋ ０ ２ ＝ ２ ⇒ ＝ ＝
２
λ
则 ２ ３．故选
μ ＝ Ａ．
３
答案 Ａ
技巧归纳 解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图
形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打开
思路．
上运动 故可设 ＡＯＣ θ 例 平面内给定三个向量ａ ｂ ｃ ．
， ∠ ＝ ＝（３，２）， ＝（－１，２）， ＝（４，１）
( ) 求满足ａ ｍｂ ｎｃ的实数ｍ ｎ
０≤
θ
≤
２π
，
再通过建系
，
求点Ａ
，
Ｂ
，
Ｃ的坐标
，
结合Ｏ→Ｃ
＝
ｘＯ→Ａ
＋
（１）
若 ａ ｋｃ
＝ ＋
ｂ ａ 求实数
、
ｋ
；
３ （２） （ ＋ ）∥（２ － ）， ；
设ｄ ｘ ｙ 满足 ｄ ｃ ａ ｂ 且 ｄ ｃ 求ｄ．
ｙＯ→Ｂ 将ｘ ｙ用θ表示出来 进而求出ｘ ｙ的最大值． （３） ＝（ ， ）， （ － ）∥（ ＋ ） ｜ － ｜＝１，
， ， ， ＋ 解析 （ ）由题意得（ ， ） ｍ（ ， ） ｎ（ ， ），所以
解析 以Ｏ为原点，ＯＡ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标 １ ３ ２ ＝ －１ ２ ＋ ４ １
ì
系，如图所示， ïｍ ５ ，
{ ｍ ｎ ， ï ＝
－ ＋４ ＝３ 解得í ９
ｍ ｎ ， ï
２ ＋ ＝２ ïｎ ８ ．
î ＝
９
（ ）由题意知ａ ｋｃ （ ｋ， ｋ）， ｂ ａ （ ， ），
２ ＋ ＝ ３＋４ ２＋ ２ － ＝ －５ ２
（ａ ｋｃ） （ ｂ ａ），
∵ ＋ ∥ ２ －
（ ｋ） （ ） （ ｋ） ， ｋ １６．
∴２× ３＋４ － －５ × ２＋ ＝０ ∴ ＝－
１３
( ) （ ）由题意知ｄ ｃ （ｘ ，ｙ ），ａ ｂ （ ， ），因为（ｄ ｃ）
设 ＡＯＣ θ θ ２ ， ３ － ＝ －４ －１ ＋ ＝ ２ ４ － ∥
∠ ＝ ０≤ ≤ π { （ｘ ） （ｙ ） ，
３ （ａ ｂ） 且 ｄ ｃ ， ４ －４ －２ －１ ＝０ 解 得
æ ö ( ) ＋ ｜ － ｜ ＝ １ ∴ （ｘ ）２ （ｙ ）２ ，
易知，Ａ（ ， ），Ｂç １ ， ３÷，Ｃ（ θ， θ） θ ２π ． －４ ＋ －１ ＝１
１ ０ è－ ø ｃｏｓ ｓｉｎ ０≤ ≤ { {
２ ２ ３ ｘ ５，ｙ ２ ５ 或 ｘ ５，ｙ ２ ５， ｄ
ì ï θ ｘ １ ｙ， ì ïｘ １ θ θ， ＝４＋ ５ ＝１＋ ５ ＝４－ ５ ＝１－ ５ ∴ ＝
ïｃｏｓ ＝ － ï ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ æ ö æ ö
Ｏ→Ｃ ｘＯ→Ａ ｙＯ→Ｂ， í ２ í ３ ç２０＋ ５，５＋２ ５÷或ç２０－ ５，５－２ ５÷．
∵ ＝ ＋ ∴ ï ∴ ï è ø è ø
ï θ ３ｙ， ïｙ ２ θ， ５ ５ ５ ５
îｓｉｎ ＝ î ＝ ｓｉｎ
２ ３
ｘ ｙ １ θ θ ２ θ θ θ
∴ ＋ ＝ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ＝ ３ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝
３ ３
( ) ( ) [ ]
θ π ．又 θ ２π， θ π １ ， ， 当θ π
２ｓｉｎ ＋ ０≤ ≤ ∴ ｓｉｎ ＋ ∈ １ ∴ ＝
６ ３ ６ ２ ３
时，ｘ ｙ取最大值 ，故选 ．
＋ ２ Ｄ
答案 Ｄ
方法总结 在解决圆 直角三角形 矩形等特殊图形中的向
、 、
量问题时 建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路．
，
经典例题教师用书
例 （２０１８ 河北武邑中学期中，８）已知在 ＡＢＣ 中
Ｒｔ△ ，
ＢＡＣ ° ＡＢ ＡＣ Ｄ是 ＡＢＣ内一点 且 ＤＡＢ °
∠ ＝９０ ， ＝１， ＝２， △ ， ∠ ＝６０ ，
λ
设Ａ→Ｄ λ→ＡＢ μ→ＡＣ λ μ Ｒ 则
＝ ＋ （ ， ∈ ）， μ ＝ （ ）
２ ３ ３
Ａ． Ｂ． Ｃ．３ Ｄ．２ ３
３ ３
