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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 11 平面向量
向量作为高考一个工具，高考题型一般作为工具处理，单独出题一般是小题部分。常考题型为：
考点01 平面向量概念及线性运算
考点02 平面向量的坐标运算
考点03 平面向量的数量积及夹角问题
考点05 平面向量的综合应用
考点 01：平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1．(2022新高考全国I卷·)在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 (
)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因 点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
为
所以 ． 故选：B．
2. (2021年高考浙江卷·)已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】:若 ，则 ，推不出 ；若 ，则 必成立，故“
”是“ ”的必要不充分条件,故选B．
3．(2020年新高考全国卷Ⅱ数学·)在 中，D是AB边上的中点，则 = ( )
A． B． C． D．
1【答案】C
【解析】 3．
4．(2019·上海·第13题)已知直线方程 的一个方向向量 可以是 ( )
A B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意： 为直线的一个法向量，∴ 方向向量为 ，选D.
5．(2019·全国Ⅰ·)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比为 (
，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美
人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 ．若某人满足上述两个黄金
分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是 ( 头)顶
A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm c
咽喉
【答案】B
a
d
【解析】如图， ，
肚脐
，则 ， ， ，
所以身高 ，
b
又 ，所以 ，身高 ，
故 ，故选B．
二、填空题 足底
1．(2023年天津卷·)在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设
，则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为
_________．
【答案】①． ②．
【解析】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
2两式相加，可得到 ，即 ，则 ；
：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，即 ，即 ．于是
．记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，则 时， 有最大值 ．
故答案 ： ； ．
为
2 (2020北京高考·第13题)已知正方形 的边长为 ，点 满足 ，则
_________； _________．
【答案】(1)． (2)．
【解析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示
的平面直角坐标系，
则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， ．故答案为： ； ．
3考点 02：平面向量的坐标运算
一、选择题
1．(2023年北京卷·)已知向量 满足 ，则 ( )
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】向量 满足 ，
所以 ．故选：B
2．(2023年新课标全国Ⅰ卷·)已知向量 ，若 ，则 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．故选：D．
二、填空题
1．(2023年新课标全国Ⅱ卷·第13题) 已知向量 ， 满足 ， ，则
______．
【答案】
【解析】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 ．
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
4整理得： ，即 故答案为： ．
2 (2021年高考全国乙卷·)已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【解析】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．故答案为： ．
3 ．(2020江苏高考)在 中， 在边 上，延长 到 ，使得
，若 ( 为常数)，则 的长度是________．
【答案】
【 解 析 】 三 点 共 线 ， 可 设 ，
，
，即 ，
若 且 ，则 三点共线， ，即 ，
， ， , , ， ，
设 ， ，则 ， ．
根据余弦定理可得 ， ，
， ，解得 ， 的长度为 ．
当 时， ， 重合，此时 的长度为 ，
当 时， ， 重合，此时 ，不合题意，舍去．故答案为： 或 ．
4 ． (2019· 浙 江 ·) 已 知 正 方 形 的 边 长 为 当 每 个 取 遍 时 ，
，的最小值是 ，最大值是 ．
5【答案】0，
【解析】正方形 的边长为1，可得 ， ， ．
所以
A D
，
由于 ，2，3，4，5， 取遍 ，取 ， ， ， 时
得 ， ，此时所求最小值为0；
B C
由中 ， 中的一个最大值为4，另一个为2，
可取 ， ， ， ， ，此时所求最大值为 ．
考点 03：平面向量的数量积与夹角问题
一、选择题
1 ．(2023 年全国甲卷·第 4 题) 已知向量 满足 ，且 ，则
( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 ．
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,
AB边上的高 ,
所以 , ,
．故选:D．
62 ．(2023年全国乙卷·第12题) 已知 的半径为1，直线PA与 相切
于点A．直线PB与 交于B．C两点，D为BC的中点，若 ，
则 的最大值为 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时，设 ，
则：
，则 当 时， 有最大值 ．
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 ．综上可得， 的最大值为 ．故选：A．
73．(2022年高考全国乙卷数学·第3题) 已知向量 满足 ，则 (
)
A． B． C．1 D．2
【答案】C【解析】∵ ，又∵
∴9 ，∴ 故选：C．
4．(2020年高考课标Ⅲ卷·第6题) 已知向量a，b满足 ， ， ，则 (
)
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ， ， ．
，
因此， ．故选：D．
5．(2019·全国Ⅱ·理·第3题) 已知 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ， ，∴ ,∴ ，解得
，
即 ，则 ．
6．(2019·全国Ⅰ·第7题) 已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 (
)
A． B． C． D．
8【 解 析 】 ， 所 以
，所以 ．
二、填空题
1．(2021年高考浙江卷·) 已知平面向量 满足 ．记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为___________．
【答案】
【解析】:由题意，设 ，则 ，即 ，
又向量 在 方向上 投的影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，所以 的最小值为 ．故答案为 ．
2．(2021年新高考全国Ⅱ卷·) 已知向量 ， ， ， _______．
【答案】
【解析】:由已知可得 ，
因此， ．故答案为： ．
3．(2022年高考全国甲卷数学·) 设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
9【解析】设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，所以
．
故答案为： ．
4．(2020年高考课标Ⅱ卷·) 已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________．
【答案】
【解析】由题意可得： ，由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： ．故答案为： ．
5．(2021高考北京·第13题) 已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边
长为1，则
________； ________．
【答案】①． 0 ②． 3
【解析】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ， ， ，
．故答案为：0；3．
6．(2019·高考试卷天津) 在四边形 中， ，点 在线
段 的延长线上，且 ，则 ．
【答案】答案：
【解析】以 为坐标原点， 所在直线为 轴建立如图所示平面直角坐标系，
则 ，因为 ，所以 ，
10又 ，可得 ，又 ，所以 ，所以 ，
．
6
5
4
3
2 E B C
1
12 10 8 6 4 2 A 2 4 D 6 8 10 12
1
2
3
4
5
6
考点 04：平面向量的综合应用
1．(2019·高考卷江苏·)如图，在 中， 是 的中点， 在边 上， ， 与 交于 ，
若 ，则 的值是______.
【答案】
【解析】法1： ，
设 ，则 ，
因为 三点共线， ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故 ，所以 .
法2：极化恒等式+中线定理：
同解法一知： ，同理可得： ，取 中点 ，
所以， ， ，
因为 ，所以 .
11由中线定理得， ，所以 ，所以 .
法3：不妨设 ，以 为原点， ， 为 轴正方向建系，
设 ， ， ，则 ，
则 ，所以点 ，
，所以 ，所以 .
12
