第六章平面向量及其应用知识总结_32849041(1)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_备战2023年高考数学抢分秘籍（新高考专用）

第六章 平面向量及其应用 知识点一：向量的有关概念 1.向量： 既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法： (1)字母表示法：如 等. (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如 ， 等. (3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量 的起点 为在坐标原点，终点A坐标为 ，则 称为 的坐标，记为 = . 3.相等向量： 长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量 与 相等，记为 . 4.零向量： 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量： 长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量： 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定： 与任一向量 共线. 注：共线向量又称为平行向量. 7.相反向量： 长度相等且方向相反的向量. 知识点二、向量的运算1.运算定义 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 + = 记 =(x ，y)， =(x ，y) 1 1 2 2 = 则 =(x 1 +x 2 ，y 1 +y 2 ) =(x -x，y-y) 2 1 2 1 + = 实数与向量的乘积 记 =(x，y) 则 两个向量的数量积 记 则 =xx+yy 1 2 1 2 2.运算律 加法： ① (交换律)； ② (结合律) 实数与向量的乘积： ① ； ② ；③ 两个向量的数量积： ① · = · ； ②( )· = ·( )= ( · )；③( + )· = · + · 3.运算性质及重要结论 (1)平面向量基本定理：如果 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量 ， 有且只有一对实数 ，使 ，称 为 的线性组合. ①其中 叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.③当基底 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际 上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标， −−→ −−→ OA AB 即若A(x，y)，则 =(x，y)；当向量起点不在原点时，向量 坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 −−→ AB A(x ，y)，B(x ，y)，则 =(x -x，y-y) 1 1 2 2 2 1 2 1 (2)两个向量平行的充要条件 → → → → → → a//b⇔a=λb(b≠0) 符号语言： 坐标语言为：设非零向量 ，则 ∥ ⇔(x，y)= (x，y)，或xy-xy=0. 1 1 2 2 1 2 2 1 (3)两个向量垂直的充要条件     a  b  ab 0 符号语言： → → a⊥b⇔ x x +y y =0 坐标语言：设非零向量 ，则 1 2 1 2 (4)两个向量数量积的重要性质： → → → √→ a 2 =|a| 2 |a|= a 2 ① 即 (求线段的长度)；     a  b  ab 0 ② (垂直的判断)； ③ (求角度). 要点诠释： 1. 向量的线性运算 (1)在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能 利用向量运算完成简单的几何证明； (2)向量的加法表示两个向量可以合成，利用它可以解决有关平面几何中的问题，减法的三角形法则应 记住：连接两端(两向量的终点)，指向被减(箭头指向被减数).记清法则是灵活运用的前提. 2. 共线向量与三点共线问题 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线平 行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.(1)用向量证明几何问题的一般思路： 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向 量的运算来证明. (2)向量在几何中的应用： ①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件 → → → → → → a//b⇔a=λb(b≠0) ⇔(x，y)= (x，y) 1 1 2 2 ②证明垂直问题，常用垂直的充要条件  a   b   a  b 0 x x +y y =0 ⇔ 1 2 1 2 x x  y y  1 2 1 2 x 2  y 2 x 2  y 2 ③求夹角问题，利用 1 1 2 2 → √→ 2 |a|= a ④求线段的长度，可以利用 或 知识点三：向量的应用 1：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即： 要点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形，且 （ 为 的外接圆半径）； （2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它． （3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中 大边对大角”定理及几何作图来帮助理解. 2：余弦定理 在△ABC中， a2 =b2 +c2 −2bccosA ， b2 =a2 +c2 −2accosB ， c2 =a2 +b2 −2abcosC 变形为： b2 +c2 −a2 a2 +c2 −b2 a2 +b2 −c2 cosA= cosB= cosC= 2bc 2ac 2ab ， ，要点诠释： （1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边 和夹角，求其它； （2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只 是方便程度有别； （3）正、余弦定理可以结合使用. 3：三角形的面积公式 (1) ，其中 为 边上的高 1 1 1 S= absinC= bcsinA= acsinB 2 2 2 (2) （3） ，其中 4：三角形形状的判定方法 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C， 解斜三角形的主要依据是： （1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC； A+B C A+B C sin =cos ,cos =sin 2 2 2 2 ； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）边与角关系：正弦定理、余弦定理 常用两种途径： （1）由正余弦定理将边转化为角； （2）由正余弦定理将角转化为边. 要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等 综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°； △ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列. 5：解三角形应用的分类（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达； （2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）； （3）角度问题； （4）面积问题. 类型一：平面向量的概念 例1.给出下列命题： ①若| |=| |，则 = ； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③若 = ， = ，则 = ； ④ = 的充要条件是| |=| |且 // ； ⑤ 若 // ， // ，则 // ； 其中正确的序号是 .      a   a a  a a (2)设 0 为单位向量，(1)若 a 为平面内的某个向量，则 ；(2)若 a 与 0 平行，则 0   a a (3)若 与 0 平行且 ，则 .上述命题中，假命题个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。 【解析】(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同； ②正确；∵ ，∴ 且 ，又 A，B，C，D是不共线的四点，∴ 四边 形 ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则 且 ，因此， .③正确；∵ = ，∴ ， 的长度相等且方向相同；又 = ，∴ ， 的长度相等且方向相同， ∴ ， 的长度相等且方向相同，故 = . ④不正确；当 // 且方向相反时，即使| |=| |，也不能得到 = ，故| |=| |且 // 不是 = 的充 要条件，而是必要不充分条件； ⑤不正确；考虑 = 这种特殊情况； 综上所述，正确命题的序号是②③.    a a a (2)向量是既有大小又有方向的量， 与 模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若 与 0   a a 平行，则 与 0 方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 ，故(2)、(3)也是假命题.综上 所述，答案选D. 【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方面 要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，且容 易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念. 类型二：平面向量的运算法则 例2.如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若 = ， = ，试用 ， 将向量 ， ， ， 表示出来. A F a 【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则， B E O 用向量 ， 来表示其他向量，只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形 b C D 的边即可. 【解析】因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心 O及顶点A，B，C四点构成平行四边形 ABCO， 所以 ， = ＋ ， = = + ，由于A，B，O，F四点也构成平行四边形ABOF，所以 = ＋ = + = + + =2 + ， 同样在平行四边形BCDO中， = = = ＋( ＋ )= ＋2 ， = = - . 【总结升华】其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用 ， 表示， 且可用规定其中任两个向量为 ， ，另外任取两点为起点和终点，也可用 ， 表示. 类型三：平面向量的坐标及运算 例3.已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) ，试用向量方法求直线 AC 和 OB ( 为坐标原点)交点P的坐标. 【解析】设 ，则 因为 是 与 的交点，所以 在直线 上，也在直线 上. A(4,0),B(4,4),C(2,6) 即得 ，由点 得， . 得方程组 ，解之得 . 故直线 与 的交点 的坐标为 . λ 例4.已知 ， ， ，按下列条件求实数 的值.(1) ； (2) ； . 【解析】 52 ⇒λ=− ⇒(4+λ)×7+(3−2λ)×8=0 9 (1) ；1 ⇒λ=− ⇒(4+λ)×8−(3−2λ)×7=0 2 (2) ； ⇒ √ (4+λ) 2 +(3−2λ) 2 = √72 +82 ⇒5λ2 −4λ−88=0 2±2√11 ⇒λ= 5 . 【总结升华】此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算. a=(1,0),b=(2,1). 例5.已知 |a+3b| (1)求 ； (2)当 为何实数时， a− b 与 a+3b 平行， 平行时它们是同向还是反向？ a=(1,0),b=(2,1). 【解析】(1)因为 所以 ，则 (2) a− b ， a+3b 因为 a− b 与 a+3b 平行，所以 即得 . 此 时 a− b ， a+3b ， 则 a+3b ， 即 此 时 向 量 a+3b 与 方向相反. 【总结升华】上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现，重点掌握平面向量的共 线的判定以及平面向量模的计算方法. 类型四：平面向量的夹角问题 例 6.（2015 重庆）已知非零向量 ， 满足 ，且 ，则 与 的夹角为 （ ） A． B． C． D．【思路点拨】由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量 ， 的模与夹角的关系，求出夹 角的余弦值． 【答案】C 【解析】由已知非零向量 ， 满足 ，且 ，设两个非零向量 ， 的夹角为 ， 所以 ，即 ，所以 ，θ∈[0，π]，所以 ； 故选C．  例7.设向量 与 的夹角为 ，且 ，则 =_____. 【思路点拨】本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积，以及用平面向量的数量积处理 有关角度的问题. 【解析】设 ，由 2x3 1 x 1     b 1，2 2y31 y  2 得 ，故填 . 1200 例8.已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角. 1200 【解析】由题意， ，且 与 的夹角为 ， 所以， ， ， ， 同理可得 . 而 ，θ 设 为 与 的夹角， 17 17√91 cosθ= =− 2√7√13 182 则 . 例9.已知 、 都是非零向量，且 +3 与 垂直， 与 垂直，求 与 的夹角 θ。 【思路点拨】把向量垂直转化为数量积为0 联立求 与 的关系 应用夹角公式求结果。 【解析】 例10.已知向量 ，（1）求证： ;（2）若存 在不等于0的实数k和t，使 满足 试求此时 的最小值。 【思路点拨】（1）可通过求 证明 ; （2）由 得 ，即求出关于k，t的一个方程，从而求出 的代数表达式，消去一个 量k，得出关于t的函数，从而求出最小值。 【解析】（1）（2）由 得 ，即 类型五：平面向量综合问题   v  f(u) 例11.已知向量 与 的对应关系用 表示.     f(manb)mf(a)nf(b) (1)证明：对于任意向量 及常数m，n恒有 成立； (2)设 ，求向量 及 的坐标； (3)求使 ，(p，q为常数)的向量 的坐标.     a (a ,a ),b (b,b ) manb (ma nb,ma nb ) 【解析】(1)设 1 2 1 2 ，则 1 1 2 2 ，   f(manb)(ma nb ,2ma 2nb ma nb)  m(a ,2a a )n(b ,2b b ) 故 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 ，     f(manb)mf(a)nf(b) ∴  f(b) (2)由已知得 =(1，1)， =(0，-1) (3)设 =(x，y)，则 ，∴y=p，x=2p-q，即 =(2p-q，p). 例12.求证：起点相同的三个非零向量 ， ，3 -2 的终点在同一条直线上. 证明：设起点为O， = ， = ， =3 -2 ， 则 =2( - )， = - ， ， ∵ 共线且有公共点A，因此，A，B，C三点共线， 即向量 ， ，3 -2 的终点在同一直线上. 【总结升华】 (1)利用向量平行证明三点共线，需分两步完成：① 证明向量平行；② 说明两个向量有公共点； (2)用向量平行证明两线段平行也需分两步完成：①证明向量平行；②说明两向量无公共点. 例13.已知 . 【思路点拨】 ，可以看作向量 的模的平方，而 则是 、 的数量积，从而运用数量积的性质证出该不等式. 【证明】设 则 .     | xy|| x|| y|，  |acbd | a2 b2  c2 d2 1 【总结升华】在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如 等. 类型六：正、余弦定理的基本应用 例14.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C＝2B． (1)求cos B的值；(2)若b2＝ac，求sin A sin C的值． 【思路点拨】由题设“A+C＝2B”易知B＝60°，又由边之间的关系“b2＝ac”，如何求“sin A sin C”的值？ 正、余弦定理的运用都可以求出值. 【解析】(1)由已知2B＝A+C，A+B+C＝180°，解得B＝60°，所以 ． (2)解法一：由已知 ，及 ， 根据正弦定理得 ， 所以 ． 解法二：由已知 ，及 ，根据余弦定理得 ， 解得a＝c，所以A＝C＝B＝60°，故 ． 【总结升华】利用正弦定理和余弦定理求解三角形中的边、角等基本量是考试的重点，注意灵活利用 三角形中的内角和定理，实现角的互化，灵活利用正、余弦定理的变形. 类型七：正、余弦定理的综合应用 → → BA·BC 例15. (2014 辽宁高考)在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知 ＝2， 1 3 cosB＝ ，b＝3，求：(Ⅰ)a和c的值；(Ⅱ)cos(B－C)的值． 23 27 【答案】(Ⅰ) a＝3，c＝2，(Ⅱ) ． 【思路点拨】（1）由平面向量的数量积，易求出ac=6,然后利用余弦定理求出即可；（2）画出简易图， 将已知条件在图上标出来，运用正弦定理求得角 的正弦值. 1 → → BA·BC 3 【解析】(Ⅰ)∵ ＝2，cosB＝ ，∴c•acosB＝2，即ac＝6①， ∵b＝3， ∴由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋c2－4， ∴a2＋c2＝13②， 联立①②得：a＝3，c＝2； √ 1 2√2 √1−cos2B= 1−( ) 2 = 3 3 (Ⅱ)在△ABC中，sinB＝ ， b c c 2 2√2 4√2 = × = sinB sinC b 3 3 9 由正弦定理 得：sinC＝ sinB＝ ， ∵a＝b＞c，∴C为锐角， √ 4√2 7 √1−sin2C= 1−( ) 2 = 9 9 ∴cosC＝ ， 1 7 2√2 4√2 23 × = 3 9 3 9 27 则cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝ × ＋ ． 【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形 的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化. 类型八：利用正、余弦定理解决实际问题 例16.如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原 地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的 方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值． 【思路点拨】首先根据题意利用已知条件确定相关的角度，将问题转化到三角形中，利用余弦定理求 出BC的长度之后，注意到所求角与∠ABC是互余的关系，将所求cosθ转化为求sin∠ABC. 【解析】如图所示，在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°， 由余弦定理得：BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120° ＝402＋202－2×40×20× ＝2 800，所以BC＝ . 由正弦定理得： ， 故 【总结升华】本题的难点在于确定已知角度和所求角度之间的关系，这也是解三角形问题在实际应用中的 一个易错点，破解此类问题的关键在于结合图形正确理解“南偏西”、“北偏东”等概念，把相关条件转 化为三角形中的内角和边长，然后利用正弦定理、余弦定理以及两角和与差的三角函数公式进行求解．