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第六章 平面向量及其应用
6.3.4平面向量数乘运算坐标表示
一、基础巩固
1．向量 =(3，2)可以用下列向量组表示出来的是（ ）
A． =(0，0)， =(1，2) B． =(-1，2)， =(5，-2)
C． =(3，5)， =(6，10) D． =(2，-3)， =(-2，3)
【答案】B
【详解】
由题意知，A选项中 ，C，D选项中两个向量均共线，都不符合基底条件，
2．已知向量 ， ，则 与 （ ）
A．垂直 B．平行且同向 C．平行且反向 D．不垂直也不平行
【答案】C
【详解】
向量 ， ， ，因此， 与 平行且反向.
3．设向量 =(1，4)， =(2，x)， .若 ，则实数x的值是（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【详解】
因为 = =
所以 =(3，4+x)，因为 ，所以4+x=12，得x=8.
4．设向量 ， ， ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【详解】
根据题意，向量 ， ， ，则 ，
若 ，则有 ，
解可得： ，
5．设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且 ，则点P的坐标为（ ）
A．（3，1） B．（1，﹣1）
C．（3，-1）或（-1，1） D．（3，1）或（1，﹣1）
【答案】D
【详解】
解： ， ，∴ ，
点 在直线 上，且 ，∴ ，或 ，
故 ，或 ，故 点坐标为 或 ，
6．若 ， ， 三点共线，则实数 的值是（ ）
A．6 B． C． D．2
【答案】B
【详解】
因为三点 ， ， 共线，
所以 ,若 ， ， 三点共线，则 和 共线
可得： ，
解得 ；
7．若平面向量 与向量 平行，且 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【详解】
由题 .又 且平面向量 与向量 平行.
故 ,即 或 .
8．设点 ，若点P在直线 上，且 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【详解】
， 点 在直线 上，且 ， 或
，故 或 ，故 点坐标为 或 ，
9．（多选）已知向量 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
由题意可得 .因为 ，所以 ，则A正确，B 错误；
对于C，D，因为 ，所以 ，则C错误，D
正确.
10．（多选）已知向量 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ．
11．（多选）已知两点 ，与 平行，且方向相反的向量 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】
，
A选项， ，故满足题意
D选项， ，故满足题意
B、C选项中的 不与 平行
12．（多选）已知向量 ， ，则（ ）A． B．
C． D． 与 的夹角为
【答案】ACD
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，故A正确；
因为 ，所以 与 不平行，故B错误；
又 ，故C正确；
因为 ，所以 与 的夹角为 ，故D正确.
二、拓展提升
13．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b)．
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；
（2）若 ＝2 ，求点C的坐标．
【答案】（1）a＋b＝2；（2）(5，－3)．
【详解】
（1）由已知得 ＝(2，－2)， ＝(a－1，b－1)，
因为A，B，C三点共线，所以 ∥ ．
所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2．
（2）因为 ＝2 ，所以(a－1，b－1)＝2(2，－2)．
所以 解得
所以点C的坐标为(5，－3)．
14．已知平面向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， 与 共线，求实数m的值.
【答案】（1） ；（2）4.
【详解】
(1) ，
所以 ；
(2) ，
因为 与 共线，所以 ，解得m＝4.
15．已知点 及 ，求：
（1）若点 在第二象限，求 的取值范围,
（2）四边形 能否成为平行四边形？若能，求出相应的 值；若不能，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）首先写出向量 的坐标，即点 的坐标，根据点在第二象限，列不等式求 的取值范围；
（2）若是平行四边形，只需满足 ，验证是否存在 .
试题解析：(1) ,…3分由题意得 解得 .
(2)若四边形 要是平行四边形，只要 ,
而 ， ，由此需要 ,但此方程无实数解，
所以四边形 不可能是平行四边形.
