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第六章 平面向量及其应用
6.3.5平面向量数量积坐标表示
一、基础巩固
1．向量 ， ，则 （ ）
A．1 B． C．7 D．0
【答案】A
【详解】
， ，
.
2．已知向量 ， ， ，若 ，则 （ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】B
【详解】
因为向量 ， ，
所以 .因为 ，
所以 ，所以 ，
解得 ，故 ，则 ，
3．若向量 和向量 平行,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得, ,得 ，
即 ,故 ，
∴ .
4．已知向量 ， ，若 ，且 ，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
因为向量 ， ，
则 ，
又 ，所以 ，解得 .
5．已知向量 ,若 ,则 ( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【详解】
由 ，得 ，
整理得 ，所以 ，
6．已知向量 ， ，且 ，则实数 （ ）
A．3 B． C．-2 D．2
【答案】A
【详解】
由题意，向量 ， ，可得 ，
因为 ，可得 ，
解得 .
7．已知向量 ， ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
与 的夹角为锐角，
，解得 且 ，
即 的取值范围是 .
8．向量 且 ，若 ，且 ，则 的数量积为（
）
A．1 B．0 C．2 D．3
【答案】B
【详解】且 ，则 .
， ， ，则 ， .
.
9．（多选）如果平面向量 ， ，那么下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】
由平面向量 ， 知：
在 中， ， ，∴ ，故 正确；
在 中， ，故 错误；
在 中， ，∴ ，∴ ，故 正确；
在 中，∵ ，∴ 与 不平行，故 错误.
10．（多选）已知向量 ， ，则下列叙述中，正确的是（ ）
A．存在实数x，使 B．存在实数x，m，使
C．存在实数x，使 D．存在实数x，m，使
【答案】CD
【详解】
由 ，得 ，无实数解，故A错误；
因为 ，由 ，得 ，即 ，无实数解，
故B错误；
由 ，得 恒成立，故C正确；
由 ，得 ，即 ，
所以 ， ，故D正确.
11．（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A．若 与 垂直，则 B．若 ，则 的值为
C．若 ，则 D．若 ，则 与 的夹角为
【答案】BC
【详解】
对于选项A：由 ，可得 ，解得 ，故A错误，
对于选项B：由 ，可得 ，解得 ，∴ ，
∴ ，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，则 ，故C正确：
若 ，对于选项D： ：设 与 的夹角为 ，
则 ，故D错误．
12．（多选）如图，已知长方形 中， ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）A．当 时，
B．当 时，
C．对任意 ， 不成立
D． 的最小值为4
【答案】BCD
【详解】
解：如图，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴､ 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，由 ，可得 ，
A项，当 时， ，则 ， ，
设 ，又 ，所以 ，得 ，
故 ，A错误；
B项，当 时， ，则 ， ，故 ，B正确；
C项， ， ，
若 ，则 ，
对于方程 ， ，
故不存在 ，使得 ，C正确；
D项， ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，D正确.
二、拓展提升
13．已知向量 ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求向量 在 方向上的投影．
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）因为向量 ， ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ；
（2）当 时，向量 ， ，
所以向量 在 方向上的投影是 ．
14．已知 ， .
（1）若 为 与 的夹角，求 的值；
（2）若 与 垂直，求 的值.
【答案】（1） ；（2） ；
【详解】
（1） ， ，
， ，
.
.
（2） ，，
与 垂直
，
，
解得： .
15．（1）已知 ， ，当 为何值时， 与 垂直；
（2）已知向量 ， ， .若点 、 、 能构成三角形，求
实数 满足的条件；
（3）已知向量 ，求向量 ，使 ，并且 与 的夹角为 .
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 .
【详解】
（1）因为 ， ，所以 ，
因为 与 垂直，所以 ，解得
（2）因为 ， ，
所以 ，
若点 、 、 能构成三角形，则点 、 、 不共线，即 、 不共线
所以 ，解得
（3）设 ，因为 ，所以所以
因为 与 的夹角为 ，所以
解得 或 ，即 或
