北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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6.3 等比数列
五年高考
考点1 等比数列及其前n项和
1.(2023全国甲理,5,5分,中)设等比数列{a }的各项均为正数,前n项和为S ,若a =1,S =5S -
n n 1 5 3
4,则S =( C )
4
15 65
A. B. C.15 D.40
8 8
2.(2022全国乙,文10,理8,5分,中)已知等比数列{a }的前3项和为168,a -a =42,则a = (
n 2 5 6
D )
A.14 B.12 C.6 D.3
3.(2020课标Ⅱ理,6,5分,中)数列{a }中,a =2,a =a a .若a +a +…+a =215-25,则k= (
n 1 m+n m n k+1 k+2 k+10
C )
A.2 B.3 C.4 D.5
4. (2023全国甲文,13,5分,易)记S 为等比数列{a }的前n项和.若8S =7S ,则{a }的公比为
n n 6 3 n
1
- .
2
5.(2023全国乙理,15,5分,中)已知{a }为等比数列,a a a =a a ,a a =-8,则a = - 2 .
n 2 4 5 3 6 9 10 7
6.(2023北京,14,5分,中)我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似
于砝码的、用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成
项数为9的数列{a },该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且a =1,a =12,a =192,
n 1 5 9
则a = 4 8 ;数列{a }所有项的和为 38 4 .
7 n
7.(2020新高考Ⅱ,18,12分,易)已知公比大于1的等比数列{a }满足a +a =20,a =8.
n 2 4 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)求a a -a a +…+(-1)n-1a a .
1 2 2 3 n n+1
{a q+a q3=20,
解析 (1)设公比为q(q>1),依题意有 1 1
a q2=8,
1
{a =32,
{a =2, 1
解得 1 或 1 (舍去).
q=2 q=
2
所以a =2n,所以数列{a }的通项公式为a =2n.
n n n
(2)由(1)知(-1)n-1a a =(-1)n-1×2n×2n+1=(-1)n-122n+1,
n n+1
所以a a -a a +…+(-1)n-1a a
1 2 2 3 n n+1
=23-25+27-29+…+(-1)n-122n+1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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23 [1−(−22 ) n ] 8 22n+3
= = -(-1)n· .
1−(−22 ) 5 5
8.(2022新高考Ⅱ,17,10分,中)已知{a }是等差数列,{b }是公比为2的等比数列,且a -b =a -
n n 2 2 3
b =b -a .
3 4 4
(1)证明:a =b ;
1 1
(2)求集合{k|b=a +a ,1≤m≤500}中元素的个数.
k m 1
解析 (1)证明:设等差数列{a }的公差为d.
n
由a -b =a -b 得a +d-2b =a +2d-4b ,故d=2b ,①
2 2 3 3 1 1 1 1 1
由a -b =b -a 得a +2d-4b =8b -a -3d,故2a +5d=12b ,②
3 3 4 4 1 1 1 1 1 1
由①②得2a +10b =12b ,即a =b .
1 1 1 1 1
(2)由(1)知d=2b =2a ,
1 1
由b=a +a ,1≤m≤500得b ×2k-1=2a +(m-1)d,
k m 1 1 1
即a ×2k-1=2a +2(m-1)a ,其中a ≠0,
1 1 1 1
∴2k-1=2m,即2k-2=m,∴1≤2k-2≤500,∴0≤k-2≤8,
∴2≤k≤10.
故集合{k|b=a +a ,1≤m≤500}中元素的个数为9.
k m 1
考点2 等比数列的性质及其应用
1.(2021全国甲文,9,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和.若S =4,S =6,则S = (
n n 2 4 6
A )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.(2023新课标Ⅱ,8,5分,中)记S 为等比数列{a }的前n项和,若S =-5,S =21S ,则S = ( C
n n 4 6 2 8
)
A.120 B.85 C.-85 D.-120北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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三年模拟
练速度
1.(2024山东青岛第一次适应性检测,1)等比数列{a }中,a =1,a =8,则a = ( A )
n 2 5 7
A.32 B.24 C.20 D.16
2.(2024广东惠州一模,2)设正项等比数列{a }的公比为q,若a ,3a ,a 成等差数列,则q= (
n 2 1 3
B )
1 1
A. B.2 C. D.3
2 3
3.(2024安徽蚌埠教学质量检查,4)已知各项均为正数的等比数列{a }中,若a =9,则
n 5
log a +log a = ( C )
3 4 3 6
A.2 B.3 C.4 D.9
4.(2024山东新高考联合质量测评,3)已知数列{a }是等比数列,{b }是等差数列,a =1,若
n n 1
b ,2a ,3a ,2b 为常数列,则a b =( C )
1 2 3 3 4 2
8 16
A.0 B.8 C. D.
27 81
5.(2024湖南九校联盟第二次联考,2)已知{a }是等比数列,S 是其前n项和.若a -
n n 3
a =3,S =5S ,则a 的值为 ( C )
1 4 2 2
A.2 B.4 C.±2 D.±4
6.(2024广东江门一模,3)已知{a }是等比数列,a a =8a ,且a ,a 是方程x2-34x+m=0两根,则
n 3 5 4 2 6
m= ( C )
A.8 B.-8 C.64 D.-64
7.(2024山东潍坊一模,4)已知数列{a }满足a =0,a =1.若数列{a +a }是公比为2的等比数
n 1 2 n n+1
列,则a = ( A )
2 024
22023+1 22024+1
A. B.
3 3
C.21 012-1 D.21 011-1
8.(多选)(2024湖南长沙雅礼中学二模,10)在《增删算法统宗》中有这样一则故事:“三百
七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是
( ACD )
A.此人第二天走了九十六里路
1
B.此人第三天走的路程占全程的
8
C.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里
D.此人后三天共走了四十二里路北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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9.(2024山东淄博一模,13)已知等比数列{a }共有2n+1项,a =1,所有奇数项的和为85,所有
n 1
偶数项的和为42,则公比q= 2 .
10.(2024湖北八市联考,13)设等比数列{a }的前n项和为S ,若3S >S >0,则公比q的取值
n n 2 6
范围为 ( - 1 , 0 ) ∪ ( 0 , 1 ) .
11.(2024江苏南京、盐城调研,17)设数列{a }的前n项和为S ,a +S =1.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式;
n
nπ
(2)数列{b }满足a b =cos ,求{b }的前50项和T .
n n n 2 n 50
解析 (1)由a +S =1,得a +S =1(n≥2),
n n n-1 n-1
1
两式相减得a -a +a =0(n≥2),即a = a (n≥2),
n n-1 n n 2 n-1
1 a 1
当n=1时,2S =2a =1,得a = ≠0,所以 n = (n≥2),
1 1 1 2 a 2
n−1
1 1 (1) n
故{a }是首项为 ,公比为 的等比数列,从而a = .
n 2 2 n 2
nπ
(2)由(1)得b =2ncos .
n 2
−4[1−(−4) 25 ] 4
所以T =-22+24-26+28-…-250= =- (1+425).
50 1−(−4) 5
12.(2024河北唐山一模,15)已知数列{a }是正项等比数列,其前n项和为S ,且
n n
a a =16,S =S +24.
2 4 5 3
(1)求{a }的通项公式;
n
(2)记{a +log a }的前n项和为T ,求满足T <2 024的最大整数n.
n 2 n n n
解析 (1)设{a }的公比为q,则a =a qn-1,
n n 1
因为a >0,所以q>0,
n
{ a =4, { a q2=4,
依题意可得 3 即 1
a +a =24, a q3+a q4=24,
4 5 1 1
整理得q2+q-6=0,
解得q=2或q=-3(舍去),
所以a =a qn-3=2n-1.
n 3
(2)由(1)可知a +log a =2n-1+n-1,
n 2 n
故T =(20+21+22+…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)
n
n(n−1)
=2n-1+ ,
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显然,T 随着n的增大而增大,
n
T =210-1+45=1 068<2 024,
10
T =211-1+55=2 102>2 024,
11
所以满足T <2 024的最大整数n=10.
n
13.(2024浙江宁波二模,16)已知等差数列{a }的公差为2,记数列{b }的前n项和为
n n
S ,b =0,b =2且满足b =2S +a .
n 1 2 n+1 n n
(1)证明:数列{b +1}是等比数列;
n
(2)求数列{a b }的前n项和T .
n n n
解析 (1)证明:n≥2时,b -b =2(S -S )+a -a =2b +2,即b =3b +2.
n+1 n n n-1 n n-1 n n+1 n
又b =0,b =2,所以n≥1时,b =3b +2,
1 2 n+1 n
即b +1=3(b +1).又b +1=1≠0,所以b +1≠0,
n+1 n 1 n
b +1
n+1
所以 =3.所以数列{b +1}是等比数列.
b +1 n
n
(2)由(1)易得b =3n-1-1.
n
由b =2b +a 可得a =2,所以a =2n.
2 1 1 1 n
所以a b =2n(3n-1-1)=2n·3n-1-2n,
n n
所T =2(1·30+2·31+3·32+…+n·3n-1)-n(n+1).
n
令M=1·30+2·31+3·32+…+n·3n-1,
则3M=1·31+2·32+3·33+…+n·3n,
1−3n (2n−1)3n+1
所以2M=-(30+31+32+…+3n-1)+n·3n=n·3n- = ,
1−3 2
(2n−1)3n+1
所以T =2M-n(n+1)= -n(n+1).
n
2
练思维
1.(多选)(2024湖南长沙适应性考试,12)设等比数列{a }的公比为q,前n项积为T ,下列说
n n
法正确的是 ( BCD )
A.若T =T ,则a a =1
8 12 10 11
B.若T =T ,则T =1
8 12 20
(1) 10 1
C.若a =1 024,且T 为数列{T }的唯一最大项,则 9<q<
1 10 n 2 2
D.若a >0,且T >T >T ,则使得T >1成立的n的最大值为20
1 10 11 9 n
1 3
2.(2024江西赣州二模,17)已知数列{a }满足a = ,a , a ,2a a 成等差数列.
n 1 4 n 2 n+1 n n+1北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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{1 }
(1)求证:数列 −1 是等比数列,并求出{a }的通项公式;
a n
n
3 (1) n 5
(2)记{a }的前n项和为S ,证明: 1- ≤S < .
n n 8 3 n 12
3
解析 (1)由于a , a ,2a a 成等差数列,
n 2 n+1 n n+1
所以3a =a +2a a , (1分)
n+1 n n n+1
1 3 1 ( 1 )
即 = -2,可得 -1=3 −1 , (3分)
a a a a
n+1 n n+1 n
{1 } 1
所以 −1 是以 -1=3为首项,3为公比的等比数列, (4分)
a a
n 1
1 1
所以 -1=3×3n-1=3n,即a = . (6分)
a n 3n+1
n
1 1
(2)证明:因为 < ,
3n+1 3n
1 1 1
所以S =a +a +a +…+a <a + + +…+
n 1 2 3 n 1 32 33 3n
1( 1 )
1−
1 1 1 1 1 9 3n−1 5 1 1 5
= + + +…+ = + = - · < . (10分)
4 32 33 3n 4 1 12 2 3n 12
1−
3
(1) n
1−
3[ (1) n] 1 3 1 1 1 1 1 1
由于 1− = · = 1+ + +…+ ,且 ≤ ,
8 3 4 1 4 3 32 3n−1 4·3n−1 3n+1
1−
3
1 1 1 1
所以S n =a 1 +a 2 +a 3 +…+a n ≥ 4 30+ 31+…+ 3n−1
1
1−
1 3n 3[ (1) n]
= × = 1− (当n=1时等号成立),(14分)
4 1 8 3
1−
3
3[ (1) n] 5
故 1− ≤S < . (15分)
8 3 n 12
3.(2024黑龙江哈师大附中三模,16)已知数列{a }的前n项和为S ,S =3a -2n(n∈N*).
n n n n
(1)求证:数列{a -2n}是等比数列;
n北京曲一线图书策划有限公司 5年高考3年模拟 B版 数
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(3) n−1
(2)设b =a +λ·2n-(λ+1)· ,若{b }是递增数列,求实数λ的取值范围.
n n 2 n
解析 (1)证明:由S =3a -2n,得S =3a -2n+1,
n n n+1 n+1
两式相减得2a =3a +2n. (2分)
n+1 n
3
2(a -2n+1)=3(a -2n),即a -2n+1= (a -2n), (4分)
n+1 n n+1 2 n
∵S =3a -21,∴a =1,
1 1 1
∴a -21=-1≠0,∴a -2n≠0. (6分)
1 n
a −2n+1 3
n+1
∴ = ,
a −2n 2
n
3
∴{a -2n}是以-1为首项, 为公比的等比数列. (7分)
n 2
(3) n−1 (3) n−1
(2)由(1)可知a -2n=(-1)· ,∴a =2n- ,(8分)
n 2 n 2
(3) n−1
∴b =(1+λ)2n-(λ+2) ,
n
2
(3) n
则b =(1+λ)2n+1-(λ+2) ,
n+1 2
∵{b }是递增数列,∴b >b 对任意的n∈N*恒成立,
n n+1 n
(3) n (3) n−1
∴(1+λ)2n+1-(λ+2) >(1+λ)2n-(λ+2) ,
2 2
(3) n
∴3(1+λ)>(λ+2) , (10分)
4
3(1+λ) (3) n
当λ+2<0,即λ<-2时, < ,
λ+2 4
(3) n (3) n 3(1+λ)
∵ >0,且n→+∞时, →0,∴ ≤0,
4 4 λ+2
∴-2<λ≤-1(舍). (12分)
当λ+2=0,即λ=-2时,-3>0,矛盾,故λ=-2(舍). (13分)
3(1+λ) (3) n
当λ+2>0,即λ>-2时, > ,
λ+2 4
(3) n (3) 1 3 3(1+λ) 3
∵ ≤ = ,∴ > ,
4 4 4 λ+2 4
2 2
∴λ>- ,满足λ>-2,故λ>- . (15分)
3 3
