文档内容
§6.3 等比数列
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3.了解等比
数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数
(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，
定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b
的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a q n － 1 .
n 1
(2)前n项和公式：
S＝
n
3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a＝a ·qn－m(m，n∈N*)．
n m
(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q＝2k，则a · a ＝a · a ＝ a .
m n p q
(3)若等比数列前n项和为S ，则S ，S －S ，S －S 仍成等比数列(m为偶数且q＝－1除
n m 2m m 3m 2m
外)．
(4)在等比数列{a}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a ，a ，a ，a
n n n＋k n＋2k n＋
，…为等比数列，公比为 q k.
3k
(5)若或则等比数列{a}递增．
n
若或则等比数列{a}递减．
n
常用结论
1．若数列{a}，{b}(项数相同)是等比数列，则数列{c·a}(c≠0)，{|a|}，{a}，，{a·b}，
n n n n n n
也是等比数列．
2．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
3．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．( × )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )(3)数列{a}的通项公式是a＝an，则其前n项和为S＝.( × )
n n n
(4)数列{a}为等比数列，则S，S－S，S －S 成等比数列．( × )
n 4 8 4 12 8
教材改编题
1．已知{a}是等比数列，a＝2，a＝，则公比q等于( )
n 2 4
A．－ B．－2 C．2 D．±
答案 D
解析 设等比数列的公比为q，
∵{a}是等比数列，a＝2，a＝，
n 2 4
∴a＝aq2，
4 2
∴q2＝＝，
∴q＝±.
2．在各项均为正数的等比数列{a}中，aa ＋2aa＋aa ＝25，则a＋a＝______.
n 1 11 6 8 3 13 6 8
答案 5
解析 ∵{a}是等比数列，
n
且aa ＋2aa＋aa ＝25，
1 11 6 8 3 13
∴a＋2aa＋a＝(a＋a)2＝25.
6 8 6 8
又∵a>0，∴a＋a＝5.
n 6 8
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________．
答案 1,3,9或9,3,1
解析 设这三个数为，a，aq，
则
解得或
∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S 为等比数列{a}的前n项和．若a－a＝12，a－a＝24，则等于
n n 5 3 6 4
( )
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法一 设等比数列{a}的公比为q，
n
则q＝＝＝2.
由a－a＝aq4－aq2＝12a＝12，得a＝1.
5 3 1 1 1 1
所以a＝aqn－1＝2n－1，
n 1S＝＝2n－1，
n
所以＝＝2－21－n.
方法二 设等比数列{a}的公比为q，
n
则
得＝q＝2.
将q＝2代入①，解得a＝4.
3
所以a＝＝1，下同方法一．
1
(2)(2019·全国Ⅰ)记S 为等比数列{a}的前n项和．若a＝，a＝a，则S＝________.
n n 1 6 5
答案
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
因为a＝a，所以(aq3)2＝aq5，
6 1 1
所以aq＝1，又a＝，所以q＝3，
1 1
所以S＝＝＝.
5
教师备选
1．已知数列{a}为等比数列，a＝6,6a＋a＝30，则a＝________.
n 2 1 3 4
答案 54或24
解析 由
解得或
a＝a·q3＝2×33＝54或a＝3×23＝3×8＝24.
4 1 4
2．已知数列{a}为等比数列，其前n项和为S，若aa＝－2a，S＝－6，则a 等于( )
n n 2 6 7 3 6
A．－2或32 B．－2或64
C．2或－32 D．2或－64
答案 B
解析 ∵数列{a}为等比数列，
n
aa＝－2a＝aa，
2 6 7 1 7
解得a＝－2，
1
设数列的公比为q，S＝－6＝－2－2q－2q2，
3
解得q＝－2或q＝1，
当q＝－2时，则a＝(－2)6＝64，
6
当q＝1时，则a＝－2.
6
思维升华 (1)等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程
1 n n
(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S ＝
n n
na；当q≠1时，{a}的前n项和S＝＝.
1 n n跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a}中，a ＝2，a ＝a a ，若a ＋a ＋…＋a ＝215
n 1 m＋n m n k＋1 k＋2 k＋10
－25，则k等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 a＝2，a ＝a a，
1 m＋n m n
令m＝1，则a ＝aa＝2a，
n＋1 1 n n
∴{a}是以a＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，
n 1
∴a＝2×2n－1＝2n.
n
又∵a ＋a ＋…＋a ＝215－25，
k＋1 k＋2 k＋10
∴＝215－25，
即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k＋1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.
(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a}满足a＋a＝20，a＝8.
n 2 4 3
①求{a}的通项公式；
n
②求aa－aa＋…＋(－1)n－1aa .
1 2 2 3 n n＋1
解 ①设{a}的公比为q(q>1)．
n
由题设得
解得或(舍去)．
所以{a}的通项公式为a＝2n，n∈N*.
n n
②由于(－1)n－1aa ＝(－1)n－1×2n×2n＋1
n n＋1
＝(－1)n－122n＋1，
故aa－aa＋…＋(－1)n－1aa
1 2 2 3 n n＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n－1·22n＋1
＝＝－(－1)n.
题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a}满足a＝1，na ＝2(n＋1)a，设b＝.
n 1 n＋1 n n
(1)求b，b，b；
1 2 3
(2)判断数列{b}是否为等比数列，并说明理由；
n
(3)求{a}的通项公式．
n
解 (1)由条件可得a ＝a.
n＋1 n
将n＝1代入得，a＝4a，而a＝1，所以a＝4.
2 1 1 2
将n＝2代入得，a＝3a，所以a＝12.
3 2 3
从而b＝1，b＝2，b＝4.
1 2 3
(2){b}是首项为1，公比为2的等比数列，
n由条件可得＝，即b ＝2b，
n＋1 n
又b＝1，所以{b}是首项为1，公比为2的等比数列．
1 n
(3)由(2)可得＝2n－1，所以a＝n·2n－1.
n
教师备选
已知各项都为正数的数列{a}满足a ＝2a ＋3a.
n n＋2 n＋1 n
(1)证明：数列{a＋a }为等比数列；
n n＋1
(2)若a＝，a＝，求{a}的通项公式．
1 2 n
(1)证明 a ＝2a ＋3a，
n＋2 n＋1 n
所以a ＋a ＝3(a ＋a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n
因为{a}中各项均为正数，
n
所以a ＋a>0，所以＝3，
n＋1 n
所以数列{a＋a }是公比为3的等比数列．
n n＋1
(2)解 由题意知a＋a ＝(a＋a)3n－1
n n＋1 1 2
＝2×3n－1，
因为a ＝2a ＋3a，
n＋2 n＋1 n
所以a －3a ＝－(a －3a)，a＝3a，
n＋2 n＋1 n＋1 n 2 1
所以a－3a＝0，所以a －3a＝0，
2 1 n＋1 n
故a ＝3a，
n＋1 n
所以4a＝2×3n－1，a＝×3n－1.
n n
思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}是
n n n
等比数列．
跟踪训练2 S 为等比数列{a}的前n项和，已知a＝9a，S＝13，且公比q>0.
n n 4 2 3
(1)求a 及S；
n n
(2)是否存在常数λ，使得数列{S ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理
n
由．
解 (1)易知q≠1，
由题意可得
解得a＝1，q＝3，
1
∴a＝3n－1，S＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S＋λ}是等比数列，
n∵S＋λ＝λ＋1，S＋λ＝λ＋4，S＋λ＝λ＋13，
1 2 3
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，
此时S＋＝×3n，
n
则＝＝3，
故存在常数λ＝，使得数列是以为首项，3为公比的等比数列．
题型三 等比数列的性质
例3 (1)若等比数列{a}中的a ，a 是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log a ＋log a ＋
n 5 2 019 3 1 3 2
log a＋…＋log a 等于( )
3 3 3 2 023
A. B．1 011
C. D．1 012
答案 C
解析 由题意得aa ＝3，
5 2 019
根据等比数列性质知，
aa ＝aa ＝…＝a a ＝a a ＝3，
1 2 023 2 2 022 1 011 1 013 1 012 1 012
于是a ＝ ，
1 012
则log a＋log a＋log a＋…＋log a
3 1 3 2 3 3 3 2 023
＝log (aaa…a )
3 1 2 3 2 023
(2)已知数列{a}是等比数列，S 为其前n项和，若a ＋a ＋a ＝4，a ＋a ＋a ＝8，则S 等
n n 1 2 3 4 5 6 12
于( )
A．40 B．60 C．32 D．50
答案 B
解析 数列S，S－S，S－S，S －S 是等比数列，
3 6 3 9 6 12 9
即4,8，S－S，S －S 是等比数列，
9 6 12 9
∴S ＝4＋8＋16＋32＝60.
12
教师备选
1．设等比数列{a}的前n项和为S，若＝3，则＝__________.
n n
答案
解析 设等比数列{a}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S ，S －
n 3 6
S，S－S 仍成等比数列，
3 9 6
∴＝，
又由已知得S＝3S，
6 3∴S－S＝4S，
9 6 3
∴S＝7S，
9 3
∴＝.
2．已知等比数列{a}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比
n
q＝________.
答案 2
解析 由题意，得
解得
所以q＝＝＝2.
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a}的前n项和为S ，若S ＝1，S ＝7，则S 等
n n 10 30 40
于( )
A．5 B．10 C．15 D．－20
答案 C
解析 易知等比数列{a}的前n项和S 满足S ，S －S ，S －S ，S －S ，…成等比数列．
n n 10 20 10 30 20 40 30
设{a}的公比为q，则＝q10>0，故S ，S －S ，S －S ，S －S ，…均大于0.
n 10 20 10 30 20 40 30
故(S －S )2＝S ·(S －S )，
20 10 10 30 20
即(S －1)2＝1·(7－S )⇒S－S －6＝0.
20 20 20
因为S >0，所以S ＝3.
20 20
又(S －S )2＝(S －S )(S －S )，
30 20 20 10 40 30
所以(7－3)2＝(3－1)(S －7)，故S ＝15.
40 40
(2)在等比数列{a}中，a>0，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝4，aa·…·a ＝16，则＋＋…＋的值为(
n n 1 2 3 8 1 2 8
)
A．2 B．4
C．8 D．16
答案 A
解析 ∵aa…a＝16，
1 2 8
∴aa＝aa＝aa＝aa＝2，
1 8 2 7 3 6 4 5
∴＋＋…＋＝＋＋＋
＝(a＋a)＋(a＋a)＋(a＋a)＋(a＋a)
1 8 2 7 3 6 4 5
＝(a＋a＋…＋a)＝2.
1 2 8课时精练
1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a}满足a＋a＝1，a＋a＝8，则a 等于( )
n 1 2 4 5 7
A. B．－
C. D．－
答案 A
解析 设等比数列{a}的公比为q，
n
则＝q3＝8，
所以q＝2，又a＋a＝a(1＋q)＝1，
1 2 1
所以a＝，
1
所以a＝a×q6＝×26＝.
7 1
2．已知等比数列{a}满足a＝1，a·a＝4(a－1)，则a 的值为( )
n 1 3 5 4 7
A．2 B．4 C. D．6
答案 B
解析 根据等比数列的性质得aa＝a，
3 5
∴a＝4(a－1)，即(a－2)2＝0，解得a＝2.
4 4 4
又∵a＝1，aa＝a＝4，∴a＝4.
1 1 7 7
3．(2022·开封模拟)等比数列{a}的前n项和为S＝32n－1＋r，则r的值为( )
n n
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由等比数列前n项和的性质知，
S＝32n－1＋r＝×9n＋r，
n
∴r＝－.
4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十
八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细
算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走
的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )
A．6里 B．12里
C．24里 D．48里
答案 C
解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a}，其中q＝，
n
因为S＝＝378，
6
解得a＝192，
1所以a＝a·q3＝192×＝24.
4 1
5．(多选)设等比数列{a}的公比为q，则下列结论正确的是( )
n
A．数列{aa }是公比为q2的等比数列
n n＋1
B．数列{a＋a }是公比为q的等比数列
n n＋1
C．数列{a－a }是公比为q的等比数列
n n＋1
D．数列是公比为的等比数列
答案 AD
解析 对于A，由＝q2(n≥2)知数列{aa }是公比为q2的等比数列；
n n＋1
对于B，当q＝－1时，数列{a＋a }的项中有0，不是等比数列；
n n＋1
对于C，当q＝1时，数列{a－a }的项中有0，不是等比数列；
n n＋1
对于D，＝＝，
所以数列是公比为的等比数列．
6．(多选)数列{a}的前n项和为S，若a＝1，a ＝2S(n∈N*)，则有( )
n n 1 n＋1 n
A．S＝3n－1 B．{S}为等比数列
n n
C．a＝2·3n－1 D．a＝
n n
答案 ABD
解析 由题意，数列{a}的前n项和满足a ＝2S(n∈N*)，
n n＋1 n
当n≥2时，a＝2S ，
n n－1
两式相减，可得a －a＝2(S－S )＝2a，
n＋1 n n n－1 n
可得a ＝3a，即＝3(n≥2)，
n＋1 n
又a＝1，则a＝2S＝2a＝2，所以＝2，
1 2 1 1
所以数列{a}的通项公式为
n
a＝
n
当n≥2时，S＝＝＝3n－1，
n
又S＝a＝1，适合上式，
1 1
所以数列{a}的前n项和为S＝3n－1，
n n
又＝＝3，
所以数列{S}为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD是正确的．
n
7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a}的前n项和为S，若S＝7，S＝63，则a＝________.
n n 3 6 1
答案 1
解析 由于S＝7，S＝63知公比q≠1，
3 6
又S＝S＋q3S，
6 3 3
得63＝7＋7q3.
∴q3＝8，q＝2.由S＝＝＝7，
3
得a＝1.
1
8．已知{a}是等比数列，且 aaaaa ＝243，则 a ＝________；若公比 q＝，则 a ＝
n 3 5 7 9 11 7 4
________.
答案 3 81
解析 由{a}是等比数列，
n
得aaaaa ＝a＝243，
3 5 7 9 11
故a＝3，a＝＝81.
7 4
9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a}的公差为2，其前n项和S＝pn2＋2n，n∈N*.
n n
(1)求实数p的值及数列{a}的通项公式；
n
(2)在等比数列{b}中，b＝a，b＝a＋4，若{b}的前n项和为T，求证：数列为等比数列．
n 3 1 4 2 n n
(1)解 S＝na＋d＝na＋n(n－1)
n 1 1
＝n2＋(a－1)n，
1
又S＝pn2＋2n，n∈N*，
n
所以p＝1，a－1＝2，即a＝3，
1 1
所以a＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
n
(2)证明 因为b＝a＝3，b＝a＋4＝9，
3 1 4 2
所以q＝3，
所以b＝b·qn－3＝3n－2，
n 3
所以b＝，
1
所以T＝＝，
n
所以T＋＝，
n
又T＋＝，
1
所以＝＝3(n≥2)，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列．
10．(2022·威海模拟)记数列{a}的前n项和为S，已知a＝1，S ＝4a＋1.设b＝a －2a.
n n 1 n＋1 n n n＋1 n
(1)求证：数列{b}为等比数列；
n
(2)设c＝|b－100|，T 为数列{c}的前n项和．求T .
n n n n 10
(1)证明 由S ＝4a＋1，
n＋1 n
得S＝4a ＋1(n≥2，n∈N*)，
n n－1
两式相减得a ＝4a－4a (n≥2)，
n＋1 n n－1
所以a －2a＝2(a－2a )，
n＋1 n n n－1
所以＝
＝＝2(n≥2)，
又a＝1，S＝4a＋1，
1 2 1
故a＝4，a－2a＝2＝b≠0，
2 2 1 1
所以数列{b}为首项与公比均为2的等比数列．
n
(2)解 由(1)可得b＝2·2n－1＝2n，
n
所以c＝|2n－100|＝
n
所以T ＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
10
＝200－＋27＋28＋29＋210
＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.
11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S 是数列{a}的前n项和，且a ＝a ＝1，a ＝a ＋2a
n n 1 2 n n－1 n－
(n≥3)，则下列结论正确的是( )
2
A．数列{a ＋a}为等比数列
n＋1 n
B．数列{a －2a}为等比数列
n＋1 n
C．a＝
n
D．S ＝(410－1)
20
答案 ABD
解析 因为a＝a ＋2a (n≥3)，
n n－1 n－2
所以a＋a ＝2a ＋2a ＝2(a ＋a )，
n n－1 n－1 n－2 n－1 n－2
又a＋a＝2≠0，
1 2
所以{a＋a }是等比数列，A正确；
n n＋1
同理a－2a ＝a ＋2a －2a ＝－a ＋2a ＝－(a －2a )，而a－2a＝－1，
n n－1 n－1 n－2 n－1 n－1 n－2 n－1 n－2 2 1
所以{a －2a}是等比数列，B正确；
n＋1 n
若a＝，则a＝＝3，
n 2
但a＝1≠3，C错误；
2
由A知{a＋a }是等比数列，且公比为2，
n n－1
因此数列a＋a，a＋a，a＋a，…仍然是等比数列，公比为4，
1 2 3 4 5 6
所以S ＝(a＋a)＋(a＋a)＋…＋(a ＋a )＝＝(410－1)，D正确．
20 1 2 3 4 19 20
12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a}的公比为q，其前n项和为S，前n项积为T，并
n n n
且满足条件a>1，a·a>1，<0.则下列结论正确的是( )
1 7 8
A．01
7 9
C．S 的最大值为S D．T 的最大值为T
n 9 n 7答案 AD
解析 ∵a>1，a·a>1，<0，
1 7 8
∴a>1,01,01,01，a ＝2，且a ，a ，a －8成等差数列，数列{ab}的前n
n 1 1 2 3 n n
项和为.
(1)分别求出数列{a}和{b}的通项公式；
n n
(2)设数列的前n项和为S，∀n∈N*，S≤m恒成立，求实数m的最小值．
n n
解 (1)因为a＝2，且a，a，a－8成等差数列，
1 1 2 3
所以2a＝a＋a－8，
2 1 3
即2aq＝a＋aq2－8，所以q2－2q－3＝0，
1 1 1
所以q＝3或q＝－1，又q>1，所以q＝3，
所以a＝2·3n－1(n∈N*)．
n
因为ab＋ab＋…＋ab＝，
1 1 2 2 n n
所以ab＋ab＋…＋a b ＝(n≥2)，
1 1 2 2 n－1 n－1
两式相减，得ab＝2n·3n－1(n≥2)，
n n
因为a＝2·3n－1，
n
所以b＝n(n≥2)，
n
当n＝1时，由ab＝2及a＝2，得b＝1(符合上式)，所以b＝n(n∈N*)．
1 1 1 1 n
(2)因为数列{a}是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
n
所以S＝＝<.
n
因为∀n∈N*，S≤m恒成立，
n
所以m≥，即实数m的最小值为.
