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第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考三模）英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量
音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音
分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成
一个公比为 的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若 ，
则 =（ ）
A．400 B．500 C．600 D．800
【答案】C
【解析】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为 的等比数列，
设第一个音为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 .
故选：C
2．（2023·湖南长沙·周南中学校考二模）设等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 .
所以 ，
解得 .
， ，解得 .
故选：D
3．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）在各项均为正数的等比数列 中， ，
，则使得 成立的n的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C【解析】由 得 ，所以 ，或 （舍去），
由 ，得 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ，即n的最小值为9；
故选：C.
4．（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）在等比数列 中， ， ，则
（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以 ，解得 ，则
．
故选：B
5．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知公比不为1的等比数列 满足 ，则
（ ）
A．40 B．81 C．121 D．156
【答案】C
【解析】设公比为 ，
由 可得， ，
因为 ，所以 ，因为 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
6．（2023·广东东莞·统考模拟预测）数列{an}满足 ， ，数列 的前 项积为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为数列 满足a＝ ，an ＝2an，易知 ，
1 +1所以 为常数，又 ，
所以数列 是以2为首项，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
故选：C．
7．（2023·安徽安庆·安庆一中校考三模）在等比数列 中， ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】由 可得 ，又 ，
故 ，则 ，解得 ，即 .
故选：D
8．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列 ，满足 ，若存在两
项 ， ，使得 ，则 最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为正项等比数列 满足 ，设其公比为 ，则 ， ，
所以 ，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
9．（多选题）（2023·山西大同·统考模拟预测）《庄子·天下》中有：“一尺之棰，日取其半，万世不
竭”，其大意为：一根一尺长的木棰每天截取一半，永远都取不完，设第一天这根木棰截取一半后剩下
尺，第二天截取剩下的一半后剩下 尺，…，第五天截取剩下的一半后剩下 尺，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】根据题意可得 是首项为 ，公比为 的等差数列，则 ，
，故A错误； ，故B正确；
， ，则 ，故C正确；
，故D正确．
故选：BCD．
10．（多选题）（2023·湖北武汉·统考三模）已知实数数列 的前n项和为 ，下列说法正确的是
（ ）．
A．若数列 为等差数列，则 恒成立
B．若数列 为等差数列，则 ， ， ，…为等差数列
C．若数列 为等比数列，且 ， ，则
D．若数列 为等比数列，则 ， ， ，…为等比数列
【答案】BD
【解析】若数列 为等差数列，不妨设其公差为d,则 ,
显然当 才相等，故A错误，
而 ，作差可得
成立，故B正确；
若数列 为等比数列，且 ， ，设其公比为q，则 ，作商可得 或 所以 或 ，故C错误；
由题意得 各项均不为0，而实数范围内， ，
即 且 ，结合选项B的计算可得
，故D正确.
故选：BD.
11．（多选题）（2023·全国·校联考模拟预测）《尘劫记》是元代一部经典的古典数学著作，里面记载了
一个有趣的数学问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了
12只小老鼠，一共14只；2个月后，每对老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此类推.记每个月新
生的老鼠数量为 ，每个月老鼠的总数量为 ，数列 ， 的前n项和分别为 ，可知
，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意可得： ，
即 ，且 ，
所以数列 是以首项 ，公比 的等比数列，则 ，
可得 ，
当 时， ，且 满足上式，
故 ，
可得 ，即数列 是以首项 ，公比 的等比数列，
可得 ，
综上可得： ， ， ， .
故B、C正确，A、D错误.
故选：BC.
12．（多选题）（2023·全国·模拟预测）已知等比数列 满足 ，公比 ，且 ，
，则（ ）A． B．当 时， 最小
C．当 时， 最小 D．存在 ，使得
【答案】AC
【解析】对于A，∵ ， ，∴ ，又 ， ，
∴ ，故A正确；
对于B，C，等比数列 满足 ，公比 ， ，
， ， ， 为递增数列，
由等比数列的性质， ，
又 ， ，
， ，
∵ ， ，
，∴ ，
∵ ， ， ，∴ ， ，
，即 ，
为递增数列，故当 时， 最小，故B错误，C正确；
对于D，当 时， ， 为递增数列， ，
故D错误.
故选：AC
13．（2023·河北·校联考三模）若数列 为等比数列，则 _______．
【答案】4
【解析】由题意得 ， ，解得 ， ，
故 .
故答案为：4
14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）设等比数列 的前 项和为 ，则使
成立的 的最小值为__________.
【答案】7【解析】由 的公比为 ，所以 ，令 ，由于
，所以 成立的 的最小值为7，
故答案为：7
15．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）数列满足下列条件： ，且 ，恒有
，则 ______．
【答案】
【解析】 ，
，
故答案为： ．
16．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知 ，当 时， 是线段 的中
点，点 在所有的线段 上，则 _________.
【答案】
【解析】不妨设点 、 ，设点 ，
则数列 满足 ， ， ，
所以， ，
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以， ，当 时，
，
也满足 ，故对任意的 ， .
所以， .
故答案为： .
17．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）在① ，② 这两个条
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．已知数列 的前 项和为 ， ，且满足
________．
(1)求 ；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【解析】（1）若选①，因为 ，
当 时， ，两式相减得 ，
当 时， ，即 ，
又 ，所以 ，
故 也满足 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ；
若选②，因为 ，
所以
，故 .
（2）由（1）知 ，
则 ，①
，②
两式相减得，
故 .
18．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知公差为正数的等差数列 的前 项和为 ，
且 成等比数列.
(1)求 和 .
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ， 成等比数列，
所以 ，即 ，
得 ，
解得 或 （舍），
所以 ，
所以 ，
.
（2）由（1）得， ，
所以 .
19．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知数列 和 满足： ， ，
（ 为常数，且 ）．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，求 的表达式．
【解析】（1）因为 ，即 ，
所以 ，而 ，
所以 ，即 ，即数列 是以 为首项，2为公比的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ．因为当 和 时，数列 的前n项和 取得最大值，所以 ，
即 ，解得 ．
所以 ．
经检验，当 时， ，当 时， ，所以 先增后减，
在 和 时取得最大值，符合题意．
此时 ．
20．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依
次作为等比数列{ }的 ， ， ；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列
的 ， ， ．
第一列 第二列 第三列
第一行 1 4 7
第二行 3 6 9
第三行 2 5 8
(1)请写出数列{ }，{ }的一个通项公式；
(2)若数列{ }单调递增，设 ，数列{ }的前n项和为 ．求证： ．
【解析】（1）由题意，取 ，可得公比 ，则 ，
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 ；
取 ，可得公差 ，则 .
（2）由{ }单调递增，
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则 ，所以 ，而 ，故 ；
若 时， ，则 ，
所以 ，
两式相减，则 ，
所以 ，而 ，故 .
综上， .
21．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差
数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数
列 ，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
【解析】（1）因为数列 满足 ①，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，②
②-①得 ，即
因 ，所以 ，从而 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
因为等差数列 满足 .所以 .
设 公差为 ，则 ，解得 .
所以 .
所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式为 ；
（2）若选① ，则有 .
所以 取出的项就是原数列的偶数项，所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以 ；
若选② ，则有 ，
因为
所以当 时，对应的 ，
由二项展开式可知
能被3 整除，
此时 为整数，满足题意；
当 时，对应的 ，
由二项展开式可知
所以 除以3 的余数是1，不能整除，即此时 不是整数，不满足题意；
所以 取出的项就是原数列的偶数项，
所以 是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以 .
22．（2023·广东·校联考模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 的等差中项为 .
(1)求证 为等比数列；
(2)数列 的前 项和为 ，是否存在整数 满足 ？若存在求 ，否则说明理由.
【解析】（1）因为 的等差中项为 ，所以 ，
因为 时， ，则 ，所以 ，
由 得 ，
又 ，两式相减得 ，即 ，
所以有 ，所以 ，所以 是等比数列，其首项为 ，公比为2.
（2）由（1）知 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
1．（2022•乙卷（文））已知等比数列 的前3项和为168， ，则
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ， ，由题意， ．
前3项和为 ， ，
， ，
则 ，
故选： ．
2．（2021•甲卷（文））记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】
【解析】 为等比数列 的前 项和， ， ，
由等比数列的性质，可知 ， ， 成等比数列，
，2， 成等比数列，
，解得 ．
故选： ．
3．（2021•甲卷（理））等比数列 的公比为 ，前 项和为 ．设甲： ，乙： 是递增数列，
则
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】
【解析】若 ， ，则 ，则 是递减数列，不满足充分性；
，
则 ，
，
若 是递增数列，
，
则 ， ，
满足必要性，
故甲是乙的必要条件但不是充分条件，
故选： ．
4．（2020•新课标Ⅰ）设 是等比数列，且 ， ，则
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】
【解析】 是等比数列，且 ，
则 ，即 ，
，
故选： ．
5．（2020•新课标Ⅱ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为 ，
，
，
，
，
，，
， ，
，
故选： ．
6．（2019•新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列 的前4项和为15，且 ，则
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，
则由前4项和为15，且 ，有
， ，
．
故选： ．
7．（2023•乙卷（理））已知 为等比数列， ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】 等比数列 ，
，解得 ，
而 ，可得 ，
即 ，
．
故答案为： ．
8．（2023•上海）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前 项和为 ，则 ．
【答案】189．
【解析】 等比数列的首项为3，公比为2，
．
故答案为：189．
9．（2023•甲卷（理））记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为 ．
【答案】 ．【解析】等比数列 中， ，
则 ，
所以 ，
解得 ．
故答案为： ．
10．（2019•新课标Ⅰ）记 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】在等比数列中，由 ，得 ，
即 ， ，
则 ，
故答案为：
11．（2019•新课标Ⅰ）设 为等比数列 的前 项和．若 ， ，则 ．
【答案】 ．
【解析】 等比数列 的前 项和， ， ，
， ，
整理可得， ，
解可得， ，
则 ．
故答案为：
12．（2020•北京）已知 是无穷数列．给出两个性质：①对于 中任意两项 ， ，在 中都存在一项 ，使得 ；
②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项 ， ，使得 ．
（Ⅰ）若 ，2， ，判断数列 是否满足性质①，说明理由；
（Ⅱ）若 ，2， ，判断数列 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： 为等比数列．
【解析】（Ⅰ）不满足，理由： ，不存在一项 使得 ．
（Ⅱ）数列 同时满足性质①和性质②，
理由：对于任意的 和 ，满足 ，因为 ， 且 ，所以 ，则必存在
，此时， 且满足 ，性质①成立，
对于任意的 ，欲满足 ，满足 即可，因为 ， ，且 ，
所以 可表示所有正整数，所以必有一组 ， 使 ，即满足 ，性质②成立．
（Ⅲ）首先，先证明数列恒正或恒负，
反证法：假设这个递增数列先负后正，
那么必有一项 绝对值最小或者有 与 同时取得绝对值最小，
如仅有一项 绝对值最小，此时必有一项 ，此时
与前提矛盾，
如有两项 与 同时取得绝对值最小值，那么必有 ，
此时 ，与前提条件矛盾，
所以数列必然恒正或恒负，
在数列恒正的情况下，由②知，存在 ， 且 ，
因为是递增数列， ，使得 ，
即 ，所以 ，此时 ， ， 成等比数列，
数学归纳法：（1）已证 时，满足 是等比数列，公比 ，
（2）假设 时，也满足 是等比数列，公比 ，
那么由①知 等于数列的某一项 ，证明这一项为 即可，
反证法：
假设这一项不是 ，因为是递增数列，所以该项 ，
那么 ，由等比数列 得 ，
由性质②得 ，同时 ， 所以 ，
所以 ， 分别是等比数列 中两项，即 ， ，
原式变为 ，
所以 ，又因为 ， ， ，不存在这组解，所以矛盾，
所以知 ， 为等比数列，
由数学归纳法知， 是等比数列得证，
同理，数列恒负， 也是等比数列．
