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专题 21.3 几何动点问题
【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以
1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm/s的速度移动．
（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？
（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．
（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以
2cm/s的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？
【思路点拨】
（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；
（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；
（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB
上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．
【解题过程】
（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2．
根据题意得：AP=xcm,BQ=2xcm，
∴BP=(6−x)cm，
1
∴ (6−x)⋅2x=8，解得x =2，x =4，
2 1 2
故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm2；
（2）解∶ 设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．
1
∵S = ×6×8=24，
△ABC 21 1
∴S = (6−t)⋅2t= ×24，即t2−6t+12=0．
△PBQ 2 2
∵Δ=b2−4ac=(−6) 2−4×12=−12<0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．
（3）解：设y秒后，△PBQ的面积为1cm2；
分三种情况：
①点P在线段AB上，点Q在线段CB上(06)，如图所示，
1
依题意得： (y−6)(2y−8)=1，
2
即y2−10 y+23=0，
解得y =5+❑√2，y =5−❑√2，
1 2
经检验，y =5−❑√2不符合题意，舍去，
2
∴y=5+❑√2，
综上所述，经过(5−❑√2)秒或5秒或(5+❑√2)秒后，△PBQ的面积等于1cm2．
1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝
30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的
速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【思路点拨】
过点Q作QE⊥PB于点E，设时间t，根据面积列方程即可求出答案．【解题过程】
解：如图，过点Q作QE⊥PB于点E，则∠QEB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴2QE=QB，
设经过t秒后ΔPBQ的面积等于4cm2，
则AP=tcm，QB=2t(cm)，QE=t(cm)，
当点P在线段AB上运动时，BP=(6−t)cm(06)，
1
根据题意： ×(t−6)⋅t=4，
2
∴t =3+❑√17，t =3−❑√17（舍)，
1 2
故经过2秒或4秒或3+❑√17秒后，ΔPBQ的面积等于4cm2．
故答案为：2秒或4秒或3+❑√17秒．
2．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点
P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度
移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为4❑√2厘米．
【思路点拨】
3
设经过t秒后，P，Q两点间距离为4❑√2厘米，先根据运动路程和速度求出t的取值范围，再分0 （不符题设，舍去）；
5 2
3
（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即 ≤t<6时，则BQ=BC=3厘米，
2
由BP2+BQ2=PQ2得：(6−t) 2+32=(4❑√2) 2 ，
整理得：t2−12t+13=0，
3
解得t=6+❑√23>6或t=6−❑√23< （均不符题设，舍去）；
2
（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即t=6时，
则PQ=BC=3厘米，不符题意；
2
综上，经过 秒后，P，Q两点间距离为4❑√2厘米，
5
2
故答案为： ．
5
3．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分
别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，当t=________时，以点P、Q、D为顶点的三角
形是等腰三角形．
【思路点拨】
分情况讨论，如图1，当PQ＝DQ时，如图2，当PD＝PQ时，如图3，当PD＝QD时，由等腰三角形的
性质及勾股定理建立方程就可以得出结论．
【解题过程】
解：如图1，当PQ＝DQ时，作QE⊥AB于E，
∴∠PEQ＝90°，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t．
∵AP＝2t，
∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t．DQ＝6﹣t．
∵PQ＝DQ，
∴PQ＝6﹣t．
在Rt△PQE中，由勾股定理，得
（6﹣3t）2+4＝（6﹣t）2，
3±❑√7
解得：t＝ ．
2如图2，当PD＝PQ时，
作PE⊥DQ于E，
1
∴DE＝QE＝ DQ，∠PED＝90°．
2
∵∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCQE是矩形，
∴PE＝BC＝2cm．
∵DQ＝6﹣t，
6−t
∴DE＝ ．
2
6−t
∴2t＝ ，
2
6
解得：t＝ ；
5
如图3，当PD＝QD时，
∵AP＝2t，CQ＝t，
∴DQ＝6﹣t，
∴PD＝6﹣t．
在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2＝（6﹣t）2，
−6+2❑√33 −6−2❑√33
解得t＝ ，t＝ （舍去）．
1 3 2 3
3+❑√7 3−❑√7 6 −6+2❑√33
综上所述：t＝ ， ， ， ．
2 2 5 3
3+❑√7 3−❑√7 6 −6+2❑√33
故答案为： ， ， ， ．
2 2 5 3
4．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一
动点P从点C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm/s的速度运
动，P，Q两点同时出发，运动时间为t(s)．
1
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的 ，求t的值？
4
（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【思路点拨】
1 1
（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为： ×4×8=16，△PCQ的面积为 t(8−2t)，由题
2 2
意列出方程解答即可；
1
（2）由等量关系S PCQ= S ABC列方程求出t的值，但方程无解．
△ 2 △
【解题过程】
1 1
解：（1）∵ S = t(8−2t)，S = ×4×8=16，
△PCQ 2 △ABC 2
1 1
∴ t(8−2t)= ×16，
2 4
∴ t2−4t+4=0，
解得：t=2．
1
答：当t=2s时，△PCQ的面积为△ABC面积的 ．
4（2）△PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．理由如下：
1
当S = S 时，
△PCQ 2 △ABC
1 1
t(8−2t)= ×16，
2 2
整理得：t2−4t+8=0，
∵ Δ=b2−4ac=(−4) 2−4×1×8=−16<0，
∴此方程没有实数根，
∴ △PCQ的面积不可能是△ABC面积的一半．
5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC
边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B
点停止．
（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S QPC＝ cm2；
△
（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S QPC＝4cm2？
△
（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？
【思路点拨】
本题可设P出发xs后，S 符合已知条件：
ΔQPC
1
在（1）中，AP=xm，PC=(6−x)m，QC=2xm，得出S = (6−x)·2x，即可求出经过2秒钟后
ΔQPC 2
的面积；
在（2）中，AP=xm，PC=(6−x)m，QC=2(x−2)m，进而可列出方程，求出答案；
在（3）中，PC=(6−x)m，QC=2xm，BQ=8−2x，利用勾股定理和PQ=BQ列出方程，求出答案．
【解题过程】
1
解：（1）P、Q同时出发，经过x秒钟，S = (6−x)·2x，
ΔQPC 2
当x=2，1 1
S = (6−x)·2x= ×4×4=8，
ΔQPC 2 2
故答案是：8．
（2）设P出发ts时S =4cm2，则Q运动的时间为(x−2)秒，由题意得：
ΔQPC
1
(6−x)·2(x−2)=4，
2
∴x2−8x+16=0，
解得：x =x =4
1 2
因此经4秒点P离A点1×4=4cm，点Q离C点2×(4−2)=4cm，符合题意．
答：P先出发2s，Q再从C出发2s后，S =4cm2 ．
ΔQPC
（3）设经过x秒钟后PQ=BQ，则PC=(6−x)m，QC=2xm，BQ=8−2x，
(6−x) 2+(2x) 2=(8−2x) 2，
解得x =−10+8❑√2，x =−10−8❑√2（不合题意，舍去）
1 2
答：经过−10+8❑√2秒钟后PQ=BQ．
6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开
始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一
点到达终点时，另外一点也随之停止运动．
（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．
（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．
【思路点拨】
（1）根据△PQB的面积等于9cm2，即可得出关于t的一元二次方程，由根的判别式Δ=−11<0，可得所列
方程没有实数根，进而得出△PQB的面积不等等于9cm2；
（2）根据四边形APQC的面积等于16cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，结合当t=4时，C，Q点重合，即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：△PQB的面积不能等于9cm2，理由如下：
∵5÷1=5s，8÷2=4s，
∴运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
根据题意可得：AP=tcm， BP=(5−t)cm，BQ=2tcm，
假设△PQB的面积等于9cm2，
1
则 (5−t)×2t=9，
2
整理得：t2−5t+9=0，
∵Δ=(−5) 2−4×1×9=−11<0，
∴所列方程没有实数根，
∴ △PQB的面积不能等于9cm2；
（2）解：由（1）得：AP=tcm， BP=(5−t)cm，BQ=2tcm，运动时间t的取值范围为：0≤t≤4，
∵四边形APQC的面积等于16cm2，
1 1
∴ ×5×8− (5−t)×2t=16，
2 2
整理得：t2−5t+4=0，
解得t =1，t =4，
1 2
当当t=4时，C，Q点重合，不符合题意，舍去，
∴t=1，
答：1s后，四边形APQC的面积等于16cm2．
7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P
从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速
度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）1
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的 ．若存在，求t的值；若
6
不存在，说明理由．
【思路点拨】
（1）利用勾股定理求出AC=6cm，然后根据AP=2t即可得出答案；
（2）分两种情况：①当点P在线段AC上，即0≤t≤3时，②当点P在线段AC的延长线上，即33时，CQ=OQ−CO=2t−6
1
∴S =S = ×CQ×BC=2t−6
△BQC 2 2
∴S +S =t2+2t−6
1 2
∴当t2+2t−6=30时，解得t =❑√37−1，t =− ❑√37−1（舍）
1 2
∴当t =❑√37−1，S +S =30．
1 1 2
（3）连接PB，PQ，BQ
由（2）得PQ=❑√2t，QC=6−2t∵△BQC是直角三角形，QC2+BC2=BQ2
∴BQ2=4+(6−2t) 2
∵OM=PM=t
∴PH=2− t，BH=6− t
∴在△PDB，PH2+BH2=BP2
∴BP2=(2− t) 2+(6− t) 2
∵△PQB为直角三角形时
∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°或∠QPB=90°
∵△OPQ是等腰直角三角形，则∠QPB+∠BPD=90°
∴∠PQB=90°或∠PBQ=90°
① ∠PQB=90°时，PQ2+BQ2=PB2
∴(❑√2t) 2+4+(6−2t) 2=(2− t) 2+(6− t) 2
整理得：4t2 −8t=0
解得：t =0（舍），t =2
1 2
∴t=2
② ∠PBQ=90°时，PB2+BQ2=PQ2
∴(2− t) 2+(6− t) 2+4+(6−2t) 2=(❑√2t) 2
解得：t =5+❑√5，t =5− ❑√5
1 2
∴t=5+❑√5或t=5− ❑√5
∴综上所述，当t=2或t=5− ❑√5或t=5+❑√5时，△PQB为直角三角形时．
