文档内容
第 03 讲 等比数列及其前 n 项和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等比数列的基本运算............................................................................................................2
题型二：等比数列的判定与证明........................................................................................................3
题型三：等比数列项的性质应用........................................................................................................4
题型四：等比数列前n项和的性质....................................................................................................5
题型五：奇偶项求和问题的讨论........................................................................................................6
题型六：等差数列与等比数列的综合应用........................................................................................9
题型七：等比数列的范围与最值问题..............................................................................................10
题型八：等比数列的实际应用..........................................................................................................13
题型九：公共项与插项问题..............................................................................................................14
02 重难创新练....................................................................................................................................18
03 真题实战练....................................................................................................................................29题型一：等比数列的基本运算
1．（2024·山东济南·三模）已知 是等比数列，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，所以 ，
得到 ，所以 ，由 ，得到 ，
所以 ，
故选：C.
2．（2024·湖北·模拟预测）已知 是各项均为正数的等比数列， ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由题设易知，公比 ，设 ，
从而由 得， ，
由 得， ，
则 ，
故选：D．
3．（2024·江西·二模）已知等比数列 的前 项和为 ， ，且 ，则 （ ）
A．120 B．40 C．48 D．60
【答案】B
【解析】因为数列 为等比数列，设数列的公比为 ，若 ，则 ，
此时 ，由已知 ，即 ，
解得 ，不成立，所以 ；
因为 ， ，
则有： ，解得 ， ，
所以 .
故选：B
题型二：等比数列的判定与证明
4．（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
令 ，证明：数列 为等比数列；
【解析】 ，则 ，
，
故 是以首项为3，公比为3的等比数列．
5．已知数列 满足 ，
判断数列 是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
【解析】数列 成等比数列.
根据
得 ；
， ， ，
即数列 成等比数列.
6．已知非零向量列 满足： ， ，（ ， ）.证
明：数列 是等比数列.【解析】证明：因为 ，（ ， ），
所以 ，（ ， ），
故
，
故 ，
故 是以 为首项， 为公比的等比数列.
7．已知数列 和 满足： ， ， ， ，其中 ．
证明：数列 是等比数列；
【解析】由数列 满足 ， ，
可得 ，显然 ，即
又由 ， ，可得 ，
所以数列 是以 首项，公比等于 的等比数列.
题型三：等比数列项的性质应用
8．已知数列 是等比数列，且 ，则 的值为 .
【答案】9
【解析】由等比数列的性质知： ， ， ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为：9
9．已知 是正项等比数列，若 则 的最小值等于 .【答案】 /
【解析】由 可得 ，所以
，
当且仅当 时，即 时，取等号，故 的最小值为 ，
故答案为：
10．已知数列 是各项均为正数的等比数列，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】由题意知数列 是各项均为正数的等比数列，设公比为q，
则 （当且仅当 时等号成立），
，又 （当且仅当 时等号成立），
故 的最小值为 ．
故答案为：
11．（2024·河南新乡·二模）已知等比数列 的首项为 ，且 ，则
.
【答案】
【解析】设等比数列 的公比为 ，因为 ，根据等比数列的通项公式的计算得到：
，所以 .由等比数列的性质得到： .
故答案为128.
题型四：等比数列前n项和的性质
12．（2024·上海闵行·三模）设 是等比数列 的前 项和，若 ， ，则
.
【答案】5
【解析】由题意得 ， ，因为 ， ， ， ，成等比数列，
故 ，即 ，解得 ，
则 ，所以 ， ，故 .
故答案为：
13．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，偶数项之和为682，则这个数列的项
数为
【答案】10
【解析】设等比数列项数为 项，公比为 ，由题意可求出 ，结合等比数列的性质和前 项和公式可
知 ，进而可求出项数.设等比数列项数为 项，公比为 ，则 ，
，
由 ，
解得 ，因为 是公比为 的等比数列，则 ，
即 ，解得 ，
故答案为:10.
14．已知数列 的前 项和 ，若此数列为等比数列，则 ．
【答案】
【解析】因为数列 的前 项和 ，
所以 ， ；
又 ，因为数列 为等比数列，则 也满足 ，
即 ，解得 .
故答案为
题型五：奇偶项求和问题的讨论
15．（2024·河北张家口·三模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
记 ，则 ，所以 ，
所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，
所以 ， ，
记 的前n项和为 ，则 .
故选：A
16．数列 满足 ， ， 则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 且 为奇数时 ，
所以所有奇数项构成 为首项， 为公差的等差数列，
又因为 且 为偶数时， ，
即所有偶数项构成 为首项， 为公比的等比数列，
所以
.
故选：D.
17．（2024·高三·河南南阳·期中）已知数列 满足 ， .
(1)记 ，证明数列 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求 的前30项和．
【解析】（1）由题意得 ，即 ，且 ，
所以 是以3为首项，3为公比的等比数列，
故 ；
（2）
．
18．（2024·高三·河北张家口·期末）已知数列 满足 ， .
(1)若 ，证明：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前2n项和 ．
【解析】（1）由题意，得 ， ，
故 ，
所以 ，即 ，
又 ，所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列．
（2）由上知 ，故 ，
所以 ．
设 ，
故
．19．（2024·全国·模拟预测）已知数列 满足 且 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)求数列 的前100项和 ．
【解析】（1）由题意，得当 时， ，①
．②
将①代入②，得 ，所以 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ，而 ， ，
所以 是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ，所以 ．
所以 ．
（2）
．
题型六：等差数列与等比数列的综合应用
20．（2024·山东青岛·三模）已知等差数列 的公差 ，首项 ， 是 与 的等比中项，记
为数列 的前 项和，则
【答案】105
【解析】等差数列 中， ， 是 与 的等比中项，设公差为 ，所以 ，即 ，
解得 或 （不合题意，舍去）；
所以 ．
故答案为： ．
21．（2024·湖北黄冈·二模）已知等差数列 的前 项和为 是等比数列，若 ，且
，则 的最小值为 .
【答案】5
【解析】设等差数列的公差为 ，
因为 ，可知 ，
且 ，则 ，即 ，
所以 ；
又因为 是等比数列，且 ，则 ，
显然 ，可得 ，
则 ，所以最小值为5.
故答案为：5.
22．已知函数 的两个零点分别为 ， ，若 ， ， 三个数适当调整顺
序后可为等差数列，也可为等比数列，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨设 ，
由韦达定理可知， ， ，故 ，
所以调整顺序后 ， ， 或 ， ， 成等差数列， ， ， 成等比数列，
所以 且 ， ， ，
， ，故 ，
故选：D．题型七：等比数列的范围与最值问题
23．（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 前 项积为 并满足条件 ，
，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D．数列 无最大值
【答案】AB
【解析】由 可得 ，
由 可知， ，
当 时，则 ， 不成立，
故 ，且 ，故 ，A正确；
，故B正确；
是数列 中的最大值，C，D错误.
故选：AB
24．（多选题）设公比为 的等比数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，且 ， ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 是数列 中的最大值 D． 是数列 中的最小值
【答案】AB
【解析】当 时，则 ，不合乎题意；
当 时，对任意的 ， ，且有 ，
可得 ，可得 ，此时 ，
与题干不符，不合乎题意；故 ，故A正确；
对任意的 ， ，且有 ，可得 ，
此时，数列 为单调递减数列，则 ，结合 可得 ，
结合数列的单调性可得 ， ，
故 ， ，
∴ ，故B正确；
因为 ，数列 为单调递减数列，
所以 是数列 中的最大值，故CD错误.
故选：AB.
25．（多选题）（2024·高三·江西·期中）在等比数列 中， ， ， ，若 为
的前 项和， 为 的前 项积，则（ ）
A． 为单调递增数列 B．
C． 为 的最大项 D． 无最大项
【答案】BC
【解析】由 ，因此 .
又因为 则 .
当 时， ，则 ， ，则 ，与题意矛盾.
因此 .则 为单调递减数列，故选项A错误.
而 ，故 ，选项B正确.
又因为 为单调递减数列，则 ，
由 可知， ， ，
所以当 时， ，则 .
当 时， ，则 .
因此 的最大项为 ，则选项C正确，选项D错误.
故答案为：BC.
26．（多选题）设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足
， ，则下列选项正确的是（ ）A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最小项 D．当 时， 的最小值为4045
【答案】BC
【解析】因为 ，
所以 ，则 各项为正数，
所以 ，即 为递增数列，A错误；
由A项及 可得 ，
则 ，故B正确；
由上可知 ，故 ，
即C正确；
由 ，显然 的最小值不为4045，
即D错误.
故选：BC.
题型八：等比数列的实际应用
27．（2024·陕西西安·模拟预测）某人从银行贷款100万，贷款月利率为 年还清，约定采用等额本
息按月还款(即每个月还相同数额的款，240个月还清贷款的利息与本金)，则每月大约需还款（ ）(参考
数据：
A．7265元 B．7165元 C．7365元 D．7285元
【答案】B
【解析】设每月需还款 万元，
第一期还款后，还欠银行 万元，
第二期还款后，还欠银行 万元，
设第 期还款后，还欠银行 万元，则 ，且 ，
所以 是公比为1.005的等比数列，所以 .
令 ，解得 ，即每月大约需还款7165元.故选：B.
28．（2024·河南洛阳·模拟预测）折纸是一种用纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，其历史
可追溯到公元583年，民间传统折纸是一项利用不同颜色、不同硬度、不同质地的纸张进行创作的手工艺．
其以纸张为主材，剪刀、刻刀、画笔为辅助工具，经多次折叠造型后再以剪、刻、画手法为辅助手段，创
作出或简练、或复杂的动物、花卉、人物、鸟兽等内容的立体几何造型作品．随着一代代折纸艺人的传承
和发展，现代折纸技术已发展至一个前所未有的境界，有些作品已超越一般人所能想象，其复杂而又栩栩
如生的折纸作品是由一张完全未经裁剪的正方形纸张所创作出来的，是我们中华民族的传统文化，历史悠
久，内涵博大精深，世代传承．在一次数学实践课上某同学将一张腰长为l的等腰直角三角形纸对折，每
次对折后仍成等腰直角三角形，则对折6次后得到的等腰直角三角形斜边长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，对折后的等腰直角三角形的腰长成等比数列，且首项为 ，公比为 ，
故对折6次后，得到腰长为 的等腰直角三角形，
所以斜边长为 .
故选：A．
29．（2024·广东佛山·模拟预测）二手汽车价位受多方因素影响，交易市场常用年限折旧法计算车价位，
即按照同款新车裸车价格，第一年汽车贬值30%，从第二年开始每年贬值10%，刚参加工作的小明打算用
7万元入手一辆3～5年的二手车，根据年限折旧法，设小明可以考虑的同款新车裸车最高价位是
万，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】B
【解析】根据题意可知，列不等式 ，
即 ，
又 ，可得 .
故选：B
30．（2024·高三·四川·期中）剪纸和折纸都是中华民族的传统艺术，在折纸界流传着“折不过8”的说法，
为了验证这一说法，有人进行了实验，用一张边长为 的正方形纸，最多对折了13次.记第一次对折后
的纸张厚度为 ，第2次对折后的纸张厚度为 ，以此类推，设纸张未折之前的厚度为 毫米，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意数列 是等比数列，公比是2，且 ，∴ ，
故选：C．
题型九：公共项与插项问题
31．（2024·吉林长春·模拟预测）设 为数列 的前n项和，且 ，数列 的通项
公式为 ，将数列 与 的公共项按它们在原来数列中的先后顺序排成一个新数列
数列 的通项公式为 ．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，
解得 ，
当 时， ，
即 ，
可得数列 是首项和公比均为3的等比数列，
所以 ，
设 是 的第m项，则 ，
因为 ，
所以 不是 中的项，
因为 ，
所以 是 中的项，
所以
所以 .
故答案为： .
32．（2024·广西·模拟预测）记数列 的前n项和为 ，对任意正整数n，有 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)对所有正整数m，若 ，则在 和 两项中插入 ，由此得到一个新数列 ，求 的前91项和．
【解析】（1）当 时， ．
又 时，得 ，也满足上式，
故 ．
（2）由 ，所以 ，
又 ，所以 前91项中有87项来自 ，
所以
．
33．（2024·高三·天津·期末）已知公差为 的等差数列 和公比 的等比数列 中， ，
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 ；
(3)若在数列 任意相邻两项 之间插入一个实数 ，从而构成一个新的数列 ．若实数 满足
，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）由已知 ，得 ，解得 ，
；
（2）记 ，
所以 ，
，
作差得：
，
；
（3）由（1）得 ，则 ，
所以
.
34．（2024·浙江嘉兴·二模）已知 是首项为2，公差为3的等差数列，数列 满足
.
(1)证明 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)若数列 与 中有公共项，即存在 ，使得 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排
列，得到一个新的数列，记作 ，求 .
【解析】（1）由题意可得： ，
而 ，变形可得： ，
故 是首项为3，公比为3的等比数列.
从而 ，即 .
（2）由题意可得： ， ，令 ，
则 ，此时满足条件，
即 时为公共项，
所以
.
35．（2024·吉林通化·一模）记 为公比不为1的等比数列 的前 项和， ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，若由 与 的公共项从小到大组成数列 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等比数列的公比为 ，
因为 ，即 ，即 ，所以 ，又 ，即 ，解得 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
则数列 为 、 、 、 、 ，偶数组成的数列，
又 ，令 ，则 为正偶数，
所以 ， ， ， ， ，
所以 为以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
1．（2024·北京海淀·二模）设 是公比为 的无穷等比数列， 为其前 项和．若 ，则“
”是“数列 存在最小项”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，因为 ，所以此时数列 递增，存在 是最小项，
当 且 ， ，
当 ， 时，可知数列 递增，存在 是最小项，
当 ， 时，可知数列 还是递增，存在 是最小项，
综上“ ”是“数列 存在最小项”的充分条件；
当 ， ，不妨取： ， ，则
， ,
当 时， ，即此时 是最小项，
即“ ”不是“数列 存在最小项”的必要条件，
综上可知：“ ”是“数列 存在最小项”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2024·天津和平·三模）已知数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
由于 ，则 ，所以 ，
所以数列 是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以 ，
所以 ，
所以
，
故选：D
3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以， 时， ，两式相减得， ，即 ， ，
因为 ，即 ，
所以数列 是以1为首项，以 为公比的等比数列，
则 ．
故选：B．
4．（2024·山东青岛·二模）一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），
例如：从蜂房 只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房……以此类推，用 表示
蜜蜂爬到 号蜂房的方法数，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】依题意， （ ）， ，
当 时，
，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
故选：A.
5．（2024·重庆·模拟预测）在半径为1的圆 中作内接正方形 ，作正方形 的内切圆 ，再作
圆 的内接正方形A B C D ，依此方法一直继续下去．我们定义每作出一个正方形为一次操作，则至少经
1 1 1 1
过（ ）次操作才能使所有正方形的面积之和超过 ．
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【解析】第一个正方形的边长为 ，面积为 ，
第二个正方形的边长为 ，面积为 ，第三个正方形的边长为 ，面积为 ，
……
以此类推，正方形的面积是首项为 ，公比为 的等比数列，
由 ， ，所以 ，
所以至少经过 次操作才能使所有正方形的面积之和超过 ．
故选：C
6．（2024·河南·模拟预测）已知数列 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，又 ，令 ，可得 ，解得 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，整理得 ，故 ．
故选：C．
7．（2024·江西南昌·三模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则 的值不可
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．15
【答案】B
【解析】因为 ，且 ，则 ，
化简可得 ，
若 ，则 ，且 ，
则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，则 ，
所以 ，则 ，排除D；
若 ，则 ，即 ，且 ，
则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则 ，
所以 ，则 ，排除A；
再由 计算 ，
，即 ，解得 或 ，取 ，
，即 ，解得 或 ，取 ，
，即 ，解得 或 ，取 ，
，即 ，解得 或 ，
取 ，此时 ，排除C；故选：B
8．（2024·北京·三模） 为公差不为零的等差数列， 是其前 项和， 是等比数列， 是其前 项
和，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意 ， ，如果 ，那么
B．存在 ， ，满足 ，且
C．对任意 ， ，如果 ，那么
D．存在 ， ，满足 ，且
【答案】C
【解析】对于A： 是首项为 ，公差为 ，则满足 ，
但不满足 ，故A错误；
对于B：若 ，则可得 或 或 或 ，
不妨取 ，由等差数列的前 项和公式可得 ，
所以 ，故B错误；
对于C：若 ，则 或 或 或 ，
显然公比 ，由等比数列前 项和公式可得 ，
故 ，所以 必为偶数，可得 ，所以 ，故C正确；
对于D： ，则等比数列 的公比为 ，则 ，故 ，故D错误.
故选：C.
9．（多选题）（2024·黑龙江·模拟预测）分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70
年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学领域的众多难题提供了全新的思路.下图展示了如何按照
图①的分形规律生长成一个图②的树形图，设图②中第n行白心圈的个数为 ，黑心圈的个数为 ，则下
列说法正确的是（ ）
A．B．
C．数列 为等比数列
D．图②中第2023行的黑心圈的个数是
【答案】ACD
【解析】由题可得 ， ，故A正确，B错误；
， ， ，且有 ， ，
故有
所以 是以 为首项，3为公比的等比数列，
为常数列，且 ，
所以 是以 为首项，1为公比的等比数列，故C正确；
由上可得 故
所以 ，故D正确.
故选：ACD.
10．（多选题）（2024·江西南昌·三模）已知 是单调递减的等比数列，若 ，前3项和 ，则
下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由题意，设等比数列公比为 ，
则 ，解得 或 ，
由因为数列 为单调递减的等比数列，
所以 ，
所以 ，.
故选：AD.
11．（多选题）关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列 为等比数列，且其前 项的和 ，则
B．若数列 为等比数列，且 ，则
C．若数列 为等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…成等比数列
D．若数列 为等差数列， ，则 最小
【答案】CD
【解析】对于A，由 ，得 ，数列 为等比数列，
则 ，解得 ，经验证符合题意，A正确；
对于B，等比数列 中，由 ，得 ，则 ，B正确；
对于C，等比数列 的公比 ， 为偶数时， ， ， ， ，…不成等比数列，C
错误；
对于D，设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
整理得 ，当 时， 没有最小值，D错误.
故选： CD
12．（2024·浙江金华·模拟预测）已知某种细菌培养过程中，每小时1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1
个非正常细菌），1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌.则1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成的
细菌的个数为 （用数字作答）.
【答案】
【解析】设经过 小时，有 个正常细菌， 个非正常细菌，
则 ， .
又 ， ，所以 ， ，
则 ，所以 ，
所以 是首项和公差均为 的等差数列，
所以 ，所以 ，所以 ，
即1个正常细菌经过8小时的培养，可分裂成 个细菌.
故答案为： .
13．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
.
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ， ，且 ，
所以 ，
记 ，则 ，所以 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，则 ，
记 的前 项和为 ，
则
.
故答案为：
14．（2024·河北·模拟预测）下图数阵的每一行最右边数据从上到下形成以1为首项，以2为公比的等比
数列，每行的第 个数从上到下形成以 为首项，以3为公比的等比数列，则该数阵第 行 所有
数据的和 .
【答案】
【解析】因为每行的第n个数从上到下形成以 为首项，以3为公比的等比数列，
所以 ,
所以.
故答案为： .
15．（2024·浙江绍兴·三模）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ，设 ．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） ，即 ，
即 ，则 ，即 ，
即 ，又 ，
故数列 是以 为首项、以 为公比的等比数列.
（2）由（1）易得 ，即 ，则 ，
则 ，
有 ，
则
，
故 .
16．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知数列 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 对于任意 恒成立，求实数
的取值范围.
【解析】（1）由题可知： ，又 ，
故 是首项为2，公比为2的等比数列， ，即 .
（2） ，，且当 趋于 时， 趋近于1，
所以由 恒成立，可知 ，解得 .
17．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
【解析】（1） ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
而 ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ；
若数列 满足 ， （ ， ），
则 ，
从而数列 的通项公式为 ；
（2）令 ，解得 ，这表明 ，
从而只能 ，
所以 ，
所以数列 的通项公式为 .
18．（2024·河北衡水·三模）已知数列 满足： ．
(1)请写出 的值，给出一个你的猜想，并证明；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）因为 ，可得 ，
， ，因此猜想 是以1为首项， 为公比的等比数列；
下面证明：
因为 ，即 ，
又因为 ，故 是以1为首项， 为公比的等比数列，
所以数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）知，当 时， ，
累加得 ，
所以 ，
当 时， 满足题意，所以 对 成立；
故 ，可得
其中 ，
设 ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
综上可得，数列 的前 项和 ．
19．（2024·山西太原·三模）已知等比数列 的前 项和为 ，且 也是等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）设数列 的公比为 ，
由 是等比数列得 ，
或 (舍去)，.
（2）由（1）得 ，所以 ，
，
，
两式相减得 ，
.
1．（多选题）（2021年全国新高考II卷数学试题）设正整数 ，其中
，记 ．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A选项， ， ，
所以， ，A选项正确；
对于B选项，取 ， ， ，
而 ，则 ，即 ，B选项错误；
对于C选项， ，
所以， ，
，
所以， ，因此， ，C选项正确；
对于D选项， ，故 ，D选项正确.
故选：ACD.2．（2024年北京高考数学真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，
其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底
面直径依次为 ，且斛量器的高为 ，则斗量器的高为 ，升量器的高
为 ．
【答案】 23 57.5/
【解析】设升量器的高为 ，斗量器的高为 （单位都是 ），则 ，
故 ， .
故答案为： .
3．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：
方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以.
故答案为：48；384.
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公
比为 ．
【答案】
【解析】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，
解得 .
故答案为：
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 为等比数列， ， ，则
.
【答案】
【解析】设 的公比为 ，则 ，显然 ，
则 ，即 ，则 ，因为 ，则 ，
则 ，则 ，则 ，
故答案为： .
6．（2022年新高考北京数学高考真题）已知数列 各项均为正数，其前n项和 满足
．给出下列四个结论：
① 的第2项小于3； ② 为等比数列；
③ 为递减数列； ④ 中存在小于 的项．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【解析】由题意可知， ， ，当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，两式作差可得 ，
所以， ，则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，①对；
假设数列 为等比数列，设其公比为 ，则 ，即 ，
所以， ，可得 ，解得 ，不合乎题意，
故数列 不是等比数列，②错；
当 时， ，可得 ，所以，数列 为递减数列，③对；
假设对任意的 ， ，则 ，
所以， ，与假设矛盾，假设不成立，④对.
故答案为：①③④.
7．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知等比数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和.
【解析】（1）因为 ,故 ，
所以 即 故等比数列的公比为 ，
故 ，故 ，故 .
（2）由等比数列求和公式得 ，
所以数列 的前n项和.
8．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．
(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．9．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 ．已知
， ， 成等差数列．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 和 分别为 和 的前n项和．证明： ．
【解析】（1）因为 是首项为1的等比数列且 ， ， 成等差数列，
所以 ，所以 ，
即 ，解得 ，所以 ，
所以 .
（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和
，
，
．
设 ， ⑧
则 ． ⑨
由⑧- 得 ．
⑨
所以 ．
因此 ．
故 ．
[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得 ，
，①
，②
① ②得 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
[方法三]：构造裂项法
由（Ⅰ）知 ，令 ，且 ，即
，
通过等式左右两边系数比对易得 ，所以 ．
则 ，下同方法二．
[方法四]：导函数法
设 ，
由于 ，
则 ．
又 ，所以
，下同方法二．
【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数
学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，
关键是要看如何消项化简的更为简洁.
（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；
方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得 ,然后证得结论,为最优解；
方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造 ，使 ，求得 的表达式，
这是错位相减法的一种替代方法，
方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.
10．（2021年浙江省高考数学试题）已知数列 的前n项和为 ， ，且 .
（1）求数列 的通项；
（2）设数列 满足 ，记 的前n项和为 ，若 对任意 恒成立，
求实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
，
当 时，由 ①，
得 ②，① ②得
，
又 是首项为 ，公比为 的等比数列，
；
（2）由 ，得 ，
所以 ，，
两式相减得
，
所以 ，
由 得 恒成立，
即 恒成立，
时不等式恒成立；
时， ，得 ；
时， ，得 ；
所以 .
11．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和
为 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【解析】（1）因为 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
（2）因为 ， ， 成等比数列，
所以 ，，
，
由已知方程 的判别式大于等于0，
所以 ，
所以 对于任意的 恒成立，
所以 对于任意的 恒成立，
当 时， ，
当 时，由 ，可得
当 时， ，
又
所以
12．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知 为等差数列， 是公比为2的等比数列，且
．
(1)证明： ；
(2)求集合 中元素个数．
【解析】（1）设数列 的公差为 ，所以， ，即可解得， ，所以
原命题得证．
（2）由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即
，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合
中的元素个数为 ．
