北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.3 等比数列
考点一 等比数列及其前n项和
2
1.(2013课标Ⅰ文,6,5分)设首项为1,公比为 的等比数列{a}的前n项和为S,则( )
n n
3
A.S=2a-1 B.S=3a-2
n n n n
C.S=4-3a D.S=3-2a
n n n n
答案 D 因为a 1 =1,公比q= 2 ,所以a n =(2) n-1 ,S n = a 1 (1-qn )=3 1-(2) n =3-2(2) n-1 =3-2a n ,故选D.
3 3 1-q 3 3
2.(2013课标Ⅱ理,3,5分)等比数列{a}的前n项和为S,已知S=a+10a,a=9,则a=( )
n n 3 2 1 5 1
1 1 1 1
A. B.- C. D.-
3 3 9 9
答案 C 由已知条件及S=a+a+a 得a=9a,设数列{a}的公比为q,则q2=9.
3 1 2 3 3 1 n
1
所以a=9=a·q4=81a,得a= ,故选C.
5 1 1 1
9
3
3.(2019课标Ⅰ文,14,5分)记S 为等比数列{a}的前n项和.若a=1,S= ,则S= .
n n 1 3 4
4
5
答案
8
解析 本题主要考查等比数列的有关概念;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.
设公比为q(q≠0),
3
则S=a+a+a=1+q+q2= ,
3 1 2 3
4
1
解得q=- ,
2
1
∴a=aq3=- ,
4 1
8
3 1 5
∴S=S+a= - = .
4 3 4
4 8 8
4.(2017课标Ⅲ理,14,5分)设等比数列{a}满足a+a=-1,a-a=-3,则a = .
n 1 2 1 3 4
答案 -8
解析 本题考查等比数列的通项.
设等比数列{a}的公比为q,
n
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{a +a q=-1,
由题意得 1 1
a -a q2=-3,
1 1
解得{a =1,
1
q=-2,
∴a=aq3=-8.
4 1
5.(2015课标Ⅰ文,13,5分)在数列{a}中,a=2,a =2a,S 为{a}的前n项和.若S=126,则n= .
n 1 n+1 n n n n
答案 6
2(1-2n
)
解析 由已知得{a}为等比数列,公比q=2,由首项a=2,S=126得 =126,解得2n+1=128,∴n=6.
n 1 n 1-2
评析 本题主要考查等比数列的定义及前n项和公式,属容易题,注意运算要准确哦!
6.(2015湖南理,14,5分)设S 为等比数列{a}的前n项和.若a=1,且3S,2S,S 成等差数列,则a= .
n n 1 1 2 3 n
答案 3n-1
解析 设等比数列{a}的公比为q(q≠0),依题意得a=a·q=q,a=aq2=q2,S=a=1,S=1+q,S=1+q+q2.又
n 2 1 3 1 1 1 2 3
3S,2S,S 成等差数列,所以4S=3S+S,即4(1+q)=3+1+q+q2,所以q=3(q=0舍去).所以a=aqn-1=3n-1.
1 2 3 2 1 3 n 1
7.(2013辽宁理,14,5分)已知等比数列{a}是递增数列,S 是{a}的前n项和.若a,a 是方程x2-5x+4=0的两个
n n n 1 3
根,则S= .
6
答案 63
解析 a,a 是方程x2-5x+4=0的两个根且{a}是递增数列,故a=4,a=1,故公比q=2,S=a (1-q6 )=63.
1 3 n 3 1 6 1
1-q
评析 本题考查了等比数列的求和公式.数列{a}递增是解题的关键,没考虑到q>0是失分的主因.
n
8.(2012课标文,14,5分)等比数列{a}的前n项和为S,若S+3S=0,则公比q= .
n n 3 2
答案 -2
解析 由S+3S=0得4a+4a+a=0,有4+4q+q2=0,解得q=-2.
3 2 1 2 3
评析 本题考查了等比数列的运算,直接利用定义求解可达到事半功倍的效果.
a
n
9.(2018课标Ⅰ文,17,12分)已知数列{a}满足a=1,na =2(n+1)a.设b= .
n 1 n+1 n n
n
(1)求b,b,b;
1 2 3
(2)判断数列{b}是不是等比数列,并说明理由;
n
(3)求{a}的通项公式.
n
2(n+1)
解析 (1)由条件可得a = a.
n+1 n
n
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将n=1代入得,a=4a,而a=1,所以a=4.
2 1 1 2
将n=2代入得,a=3a,所以a=12.
3 2 3
从而b=1,b=2,b=4.
1 2 3
(2){b}是首项为1,公比为2的等比数列.
n
a 2a
n+1 n
由条件可得 = ,即b =2b,
n+1 n n+1 n
又b=1,所以{b}是首项为1,公比为2的等比数列.
1 n
a
(3)由(2)可得 n =2n-1,所以a=n·2n-1.
n
n
方法规律 等比数列的判定方法:
证明一个数列为等比数列常用定义法或等比中项法,通项公式法及前n项和公式法只用于选择题、填空题
中的判定.若证明某数列不是等比数列,则只需证明存在连续三项不成等比数列即可.
10.(2014课标Ⅱ理,17,12分)已知数列{a}满足a=1,a =3a+1.
n 1 n+1 n
(1)证明{ 1}是等比数列,并求{a}的通项公式;
a + n
n 2
1 1 1 3
(2)证明 + +…+ < .
a a a 2
1 2 n
解析 (1)由a
n+1
=3a
n
+1得a
n+1
+1=3(
a +
1).
2 n 2
又a+1=3,所以{ 1}是首项为3,公比为3的等比数列.
1 a +
2 2 n 2 2
1 3n 3n-1
a+ = ,因此{a}的通项公式为a= .
n 2 2 n n 2
1 2
(2)由(1)知 = .
a 3n-1
n
1 1
因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以 ≤ .
3n-1 2×3n-1
于是 1 + 1 +…+ 1 ≤1+1+…+ 1 = 3( 1- 1 )<3.
a a a 3 3n-1 2 3n 2
1 2 n
1 1 1 3
所以 + +…+ < .
a a a 2
1 2 n
评析 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题,放缩求和是本题的难点.
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1 1
11.(2011课标文,17,12分)已知等比数列{a}中,a= ,公比q= .
n 1
3 3
1-a
n
(1)S 为{a}的前n项和,证明:S= ;
n n n
2
(2)设b=loga+loga+…+loga,求数列{b}的通项公式.
n 3 1 3 2 3 n n
1( 1 )
1- 1
解析 (1)因为a=1×(1) n-1 = 1 ,S=3 3n = 1- ,
n n 3n
3 3 3n 1
1- 2
3
1-a
n
所以S= .
n
2
(2)b=loga+loga+…+loga
n 3 1 3 2 3 n
n(n+1)
=-(1+2+…+n)=- .
2
n(n+1)
所以{b}的通项公式为b=- .
n n
2
评析 本题考查等差数列、等比数列的基础知识,对数运算性质,要求考生有较清晰的推理思路和运算目标,
但难度并不大.属中档题.
12.(2016课标Ⅲ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和S=1+λa,其中λ≠0.
n n n
(1)证明{a}是等比数列,并求其通项公式;
n
31
(2)若S= ,求λ.
5
32
解析 (1)由题意得a=S=1+λa,
1 1 1
1
故λ≠1,a= ,a≠0.(2分)
1 1-λ 1
由S
n
=1+λa
n
,S
n+1
=1+λa
n+1
得a
n+1
=λa
n+1
-λa
n
,即a
n+1
(λ-1)=λa
n
.由a
1
≠0,λ≠0得a
n
≠0,所以 a n+1= λ .
a λ-1
n
因此{a n }是首项为 1 ,公比为 λ 的等比数列,于是a n = 1 ( λ ) n-1 .(6分)
1-λ λ-1 1-λ λ-1
(2)由(1)得S n =1-( λ ) n .
λ-1
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由S 5 =31得1-( λ ) 5 =31,即( λ ) 5 = 1 .
32 λ-1 32 λ-1 32
解得λ=-1.(12分)
思路分析 (1)先由题设利用a =S -S 得到a 与a 的关系式,要证数列是等比数列,关键是看a 与a 之比
n+1 n+1 n n+1 n n+1 n
是否为一常数,其中说明a≠0是非常重要的.(2)利用第(1)问的结论解方程求出λ.
n
考点二 等比数列的性质
1.(2018浙江,10,4分)已知a,a,a,a 成等比数列,且a+a+a+a=ln(a+a+a).若a>1,则( )
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 1
A.a<a,a<a B.a>a,a<a
1 3 2 4 1 3 2 4
C.a<a,a>a D.a>a,a>a
1 3 2 4 1 3 2 4
答案 B 本题考查等比数列的概念和性质,利用导数求函数的单调性和最值,不等式的性质和分类讨论思
想.
1 1-x
设f(x)=ln x-x(x>0),则f '(x)= -1= ,
x x
令f '(x)>0,得0<x<1,令f '(x)<0,得x>1,
∴f(x)在(0,1)上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,
∴f(x)≤f(1)=-1,即有ln x≤x-1.
从而a+a+a+a=ln(a+a+a)≤a+a+a-1,
1 2 3 4 1 2 3 1 2 3
∴a<0,又a>1,∴公比q<0.
4 1
若q=-1,则a+a+a+a=0,ln(a+a+a)=ln a>0,矛盾.
1 2 3 4 1 2 3 1
若q<-1,则a+a+a+a=a(1+q+q2+q3)=a(1+q)(1+q2)<0,而a+a=a(1+q)=aq(1+q)>0,∴ln(a+a+a)>ln a>0,也矛
1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 1 2 3 1
盾.∴-1<q<0.
a
从而 3=q2<1,∵a
1
>0,∴a
1
>a
3
.
a
1
a
同理,∵ 4=q2<1,a
2
<0,∴a
4
>a
2
.选B.
a
2
思路分析 (1)由题中的选项可知要判断0<q2<1,还是q2>1.
(2)由条件可知要利用不等式ln x≤x-1(x>0),得a<0,进而得q<0.
4
(3)直接求q的取值范围较难,转化为判断q=-1和q<-1时,等式a+a+a+a=ln(a+a+a)左、右两边的正负,进
1 2 3 4 1 2 3
而得出矛盾,从而得-1<q<0.
(4)注意a>0,而a<0,利用-1<q<0得结论.
1 2
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1
2.(2015课标Ⅱ文,9,5分)已知等比数列{a}满足a= ,aa=4(a-1),则a=( )
n 1 3 5 4 2
4
1 1
A.2 B.1 C. D.
2 8
答案 C 设{a n }的公比为q,由等比数列的性质可知a 3 a 5 = a2 ,∴ a2 =4(a 4 -1),即(a 4 -2)2=0,得a 4 =2,
4 4
2
a
则q3= 4=1=8,得q=2,
a
1 4
1 1
则a=aq= ×2= ,故选C.
2 1
4 2
3.(2014大纲全国文,8,5分)设等比数列{a}的前n项和为S.若S=3,S=15,则S=( )
n n 2 4 6
A.31 B.32 C.63 D.64
答案 C 由等比数列的性质得(S-S)2=S·(S-S),即122=3×(S-15),解得S=63.故选C.
4 2 2 6 4 6 6
4.(2012课标理,5,5分)已知{a}为等比数列,a+a=2,aa=-8,则a+a =( )
n 4 7 5 6 1 10
A.7 B.5 C.-5 D.-7
1
答案 D 由aa=aa,得aa=-8,又a+a=2,∴a=4,a=-2或a=-2,a=4,∴q3=- 或q3=-2.
5 6 4 7 4 7 4 7 4 7 4 7
2
4
当q3=- 1 时,a+a = a 4+aq6= 1 +4× ( - 1) 2 =-7,当q3=-2时,a+a = a 4+aq6= -2 +(-2)·(-2)2=-7,故选D.
2 1 10 q3 4 - 2 1 10 q3 4 -2
2
评析 本题考查了等比数列的基本运算,运用等比数列的性质可简化计算.
5.(2014江苏理,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a}中,若a=1,a=a+2a,则a 的值是 .
n 2 8 6 4 6
答案 4
解析 由a=a+2a,两边都除以a,得q4=q2+2,即q4-q2-2=0⇔(q2-2)(q2+1)=0,∴q2=2.
8 6 4 4
∵a=1,∴a=aq4=1×22=4.
2 6 2
6.(2014广东文,13,5分)等比数列{a}的各项均为正数,且aa=4,则loga+loga+loga+loga+loga=
n 1 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5
.
答案 5
解析 由等比数列的性质知a 1 a 5 =a 2 a 4 = a2 =4⇒a 3 =2,所以log 2 a 1 +log 2 a 2 +log 2 a 3 +log 2 a 4 +log 2 a 5 =log 2 (a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 )=log 2
3
=5log2=5.
a5 2
3
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