文档内容
6.4 求和方法（精练）（提升版）
题组一 公式法求和
1．（2022·黑龙江）已知等差数列 满足a+a＝4，a+a+a＝27．
1 2 4 5 6
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前n项和S．
n
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为d，
则 ∴ ，∴ ．
（2） ，∴ ，
∵ ，又 ，∴数列 为等比数列，且首项为2，公比为4，
∴ ．
2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列.
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】（1） ；（2） .【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，由已知得 ，
则 ，
将 代入并化简得 ，解得 或 (舍去).
所以 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，即数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列 的前 项和为 ， ，且 ， ，
成等比数列.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)设等差数列 的公差为 ，
由 ，且 ， ， 成等比数列可得 ，
解得 ， ，
所以 .(2)由 可得 ，
所以 ，
所以
.
题组二 裂项相消求和
1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列 ， ，且 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求证： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)解：因为 ，
所有 ，
当 时， ， ，……， ，
相加得 ，所以 ，
当 时， 也符合上式，所以数列 的通项公式 ；
(2)证明：由（1）得 ，
所以 ，
所以 ，
．
所以 ．
2．（2022·浙江台州·二模）在数列 中， ，且对任意的正整数 ，都有 .
(1)证明数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析， (2)
【解析】(1)解：（1）由 ，得 .
又因为 ，所以数列 是以2为首项， 为公比的等比数列.
故 ，即 .
(2)由 ，
故，
故
．
3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列 满足 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： ．
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)因为数列 满足 ， 所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为2的等比数列，则有 ， .
(2) ，
所以 ，
因为 ，所以 .
4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列 的前 项和 ，且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析；(2) .
【解析】(1)当 时，由 ，得 或 ，
∵ ，∴ ，
由 ，得
当 时，
由 ，得 ，
整理得 ，
∵ ，∴ ≠0，∴ ，
∴数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
(2)由（1）得 ，
，
∴ ．
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列 的前n项和为 ，且 ，数列
满足 ．
(1)证明：数列 为等差数列；(2)记 为数列 的前n项和，证明： ．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】(1)设等比数列 的公比为 ，因为 ，
故 ，解得 或 （舍），故 ， ，
因为 ，故 ，
又 ，
故数列 是公差为 的等差数列.
(2)因为 ，
故 ，
又 是单调增函数，且 ，
又当 时， ，故 ，即证.
6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的前n项和 .
【答案】(1) ， (2)
【解析】(1)解： 时， ，解得 .
当 时， ，故 ，所以 ，
故 .
符合上式
故 的通项公式为 ， .
(2)解：结合（1）得
，
所以
.
题组三 错位相减求和
1．（2022·广东·模拟预测）在① ，② ，③ 这
三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．
问题：已知数列 的前n和为 ，若 ，且 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】选①， ；选②， ；选③， .
【解析】选①：当n≥2时，因为 ，
所以 ，
上面两式相减得 ．
当n＝1时， ，满足上式，所以 ．因为 ，
所以 ，
上面两式相减，得： ，
所以 ．
选②：当 时，因为 ，所以 ，
上面两式相减得 ，即 ，经检验， ，
所以 是公比为－1的等比数列， ．
因为 ，
所以 ．
选③：由 ，
得： ，
由累加法得： ．
又 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，
上面两式相减得 ，
所以 ．
2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列 满足 ， .(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，
故 是以 为首项，以 为公比的等比数列；
(2)解：由（1）得 ，得 ，
所以 ，设 的前n项和为 ，
则 ，①
，②
由①-②，得
，则 ，
故 .
3．（2022·广东韶关·一模）在① ；② ；③ 这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列 的前 项和为 ，__________，数列 是等差数列，
.
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)选①： ， ；选②： ， ；选③： ，
(2)
【解析】(1)解：若选①：由 ，则 ，
可得
将上述 个式子相加，整理的
又因为 ，所以 .
若选②： ，当 时， ，
当 时，
所以 ，所以 .
综上，
若选③： ，当 时， ，
当 时，由 可得 ，所以 ，所以 .经检验当 时 也成立，所以 ；
设等差数列 的公差为 ，
由题有 ，即 ，解得
从而
(2)
解：由（1）可得 ，
令 的前 项和是 ，则 ，
，
两式相减得 ，
，
整理得 ；
4．（2022·广东·模拟预测）已知数列 满足 ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)证明：由 ，得 ，
又 ，所以 ，故 ，
故 是以 为首项，以 为公比的等比数列．(2)由（1）得 ，得 ，
所以 ，设 的前n项和为 ，
则 ，①
，②
由①-②，得
，则 ，
故 ．
5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列 满足 ， ，且对任意 ，都有 ．
(1)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(2)求使得不等式 成立的最大正整数m．
【答案】(1)证明见解析； (2)
【解析】(1)由 ，得 ，
所以 是等比数列.
所以
从而所以， ．
(2)设
即 ，所以， ，
于是， ．
因为 ，且 ，
所以，使 成立的最大正整数 ．
题组四 分组求和
1．（2022·甘肃·一模）已知数列 满足 ， ．数列 满足 ， ， ，
．
(1)求数列 及 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ， ；(2)
【解析】(1)由 得 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故 ，
由 可知数列 是等差数列，首项 ，公差 ，所以 .
(2)
即
2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列 是公差不为零的等差数列， ，若 成等比数列
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)解：设数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，a=1
1
若a，a，a 成等比数列，可得aa=a2，
1 2 5 1 5 2
即有 ，解得 或d=0（舍去）
则 .
(2)解：
可得前 项和
.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列 ，满足 ， 是 与 的等差中项.(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)当n为偶数时， ；当n为奇数时， .
【解析】(1 是正项等比数列，故 ，所以 ，又 ，设公比为q（q>0），
即 ，即 ，解得： ，则数列 的通项公式为
(2)
则
当n为偶数时， ；当n为奇数时， .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式以及前n项和 ；
(2)若 ，求数列 的前2n－1项和 .
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1)依题意， ，则 ，
故 ，解得d＝2，∴ ，
故 ， .(2)依题意，得 ，
故 ，
故
5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，证明：数列 的前n项和 .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】(1)设数列 的公比为q，
由 ，得 ，所以 .
因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
即 ，解得 .
因此 .
(2)因为 ，所以
.
因为 ， ，所以 .
6．（2022·云南·一模（理））已知数列 的前 项和为 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) (2)
【解析】(1)∵ ，∴ .∴ .
∵数列 的前 项和为 ，∴ .
∴ .所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.∴ .
当 时，由 和 得 ，解方程得 .
∴ .∴数列 的通项公式为 .
(2)由（1）知： .
∴ .
∴ .
∴.
7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列 中， ，且 、 、 成等比数列，数
列 中， ， ， .
(1)求 的通项公式及其前 项和 ；
(2)求证： 是等比数列，并求 的通项公式；
(3)设 求数列 的前 项的和 .
【答案】(1) ， (2)证明见解析， (3)
【解析】(1)解：设等差数列 的公差为 ，则 ，
由已知可得 ，即 ，解得 ，故 ，
.
(2)证明：因为 ， ，则 ，
因为 ，故数列 是以 为首项和公比的等比数列，
因此， ，因此， .
(3)解：设数列 的前 项和中，奇数项的和记为 ，偶数项的和记为 .
当 ， ，则 ，
，
上式 下式得
，
故 .
当 时，
，
所以，
，
因此， .
题组五 周期数列
1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列 的通项公式为 ( )，其前 项
和为 ，则 _______.
【答案】
【解析】，
∴ .故答案为：
2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an}的前n项和为Sn，已知 对任意的正整数n满足
则 ______．
【答案】
【解析】由 得 .
又因为 ,故 .故 .
故 , …， .
累加可得 .
故 ,故
故答案为：
题组六 倒序相加法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 满足 ，若数列 满足
，则数列 的前20项和为（ ）
A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D
【解析】因为函数 满足 ，
①，
②，
由① ②可得 ， ，
所以数列 是首项为1，公差为 的等差数列，其前20项和为 .故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 若等比数列 满足 则
（ ）
A． B．1010 C．2019 D．2020
【答案】D
【解析】
等比数列 满足
即 2020
故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）设函数 ，利用课本（苏教版必修 ）中推导等差数列前 项
和的方法，求得 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
，
设 ，
则 ，
两式相加得 ，因此， .故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数 ，给出定义：设 是函数
的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心 设函数 ，则
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】C【解析】函数 ，函数的导数 ， ，
由 得 ，解得 ，而 ，故函数 关于点 对称，
，故设 ，
则 ，
两式相加得 ，则 ，故选C.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，（ 均为常数），
且 .设函数 ，记 ，则数列 的前 项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，
由 ，得 ，
又 也满足上式，所以 ，
则 为常数，所以数列 为等差数列；
所以 ，
.
则数列 的前 项和为 ，
记 ，则 ，
所以 ，因此 .故选：D．
6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很
大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行 的求和运算时，就提出
了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为
高斯算法.已知某数列通项 ，则 （ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【解析】由已知，数列通项 ，所以
，
所以 ，所以 .故选：C.
