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4.2 等比数列（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和等于
（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． B． C．3 D．4
温馨提示
1.等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
1 n n
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，{a}
n n 1 n
的前n项和S＝＝.
n
【一隅三反】
1．（2022·江西·新余四中）已知 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则公比 （ ）
A． B．
C． 或1 D． 或1
2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知 为等比数列 的前n项和，且公比 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列 的前 项和为 ， ， ，则公比 （ ）
A． B． C． D．
5（2022·四川·三模（理））已知 是各项均为正数的等比数列 的前n项和，若 ， ，
则 （ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列 为等比数列，则“ ， 是方程 的两实
根”是” ，或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为
（ ）
A． B．3 C． D．
2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．6 B．9 C．27 D．81
3．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ， 是非零实数，则“ ， ， ， 成等比数列”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2022·广西柳州）在等比数列 中，已知 ， ，则公比 （ ）
A． B． C．2 D．
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S ＝1，S ＝13，S ＝
10 30 40
（ ）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10项中所
有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列 的前 项和 ，若 ， ，
则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之
和为 ，则这个数列的项数为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前n项和为 ，则r的值为
A． B． C． D．
4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， ， ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则
的最小值为( )
A． B． C． D．
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列 B．数列 是公差为2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 是公比为2的等比数列
【一隅三反】
1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列 的前n项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有
（ ）
A． ， ， ，… B． ， ， ，…
C． ， ， ，… D． ， ， ，…2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{ }满足：
(1)求证：数列{ }是等比数列；
(2) ，求数列{ · }的前n项和 .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 项和 ．考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女
子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布
5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A． B．1 C． D．
【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有
典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次
操作；再将剩下的两个区 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，
如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.
操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不
小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.
为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有 的细菌分裂为原来的2倍，
的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍
的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫
力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天，那么感染人数由
1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个
人每人再传染 个人为第二轮传染……参考数据： ）
A．42 B．56 C．63 D．70
3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为
响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷
款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月
底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年
所得收入为（ ）（取 ， ）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
