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4.2 等比数列（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 等比数列基本量的计算
【例1】（1）（2022·北京丰台·一模）若数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和等于
（ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·重庆·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则
（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】(1)C（2）B
【解析】（1）因为 ，且 ，所以数列 是以2为公比的等比数列，又 ，得
，所以 .故选：C
（2）设等比数列公比为 ，由 ， ， 成等差数列可得， ，化简得
，解得 ， .故选：B.温馨提示
1.等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
1 n n
2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{a}的前n项和S＝na；当q≠1时，{a}
n n 1 n
的前n项和S＝＝.
n
【一隅三反】
1．（2022·江西·新余四中）已知 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则公比 （ ）
A． B．
C． 或1 D． 或1
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为q.因为 ， ，所以 ， ，即 ，
，所以 ，解得 或 .故选：C.
2．（2022·河北廊坊·高三阶段练习）已知 为等比数列 的前n项和，且公比 ，则“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由 ，得 ，因为 ，所以 ，即 .故必要性满足；
.因为 ， ，所以 ．故充分性满足.所以“ ”是“ ”的充要
条件.故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 为等比数列， 为其前 项和，若 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，则 ，所以， ，
因为 ，即 ， ，解得 ，因此， .故选：C.
4．（2022·河北石家庄·高三期末）等比数列 的前 项和为 ， ， ，则公比 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，等比数列 满足， ， ，则 ， ，
两式相除得 ， .故选：D
5（2022·四川·三模（理））已知 是各项均为正数的等比数列 的前n项和，若 ， ，
则 （ ）．
A．21 B．81 C．243 D．729
【答案】C
【解析】 ，因为 ，所以 ， ，又 ，故 ，设公比是 ，则
，两式相除得： ，解得： 或 （舍去），故 .故选：
C
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·江西·上饶市第一中学二模）等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．9【答案】C
【解析】根据等比中项得 ，所以 .故选：
C.
【例2-2】（2022·福建·模拟预测）已知数列 为等比数列，则“ ， 是方程 的两实
根”是” ，或 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】在等比数列中，若 ， 是方程 的两实根，
， ，则 ， ，则 ，则 或 ，即充分性成立，
当 ，或 时，能推出 ，但无法推出 ，即必要性不成立，
即“ ， 是方程 的两实根”是“ ，或 ”的充分不必要条件，故选：A．
【一隅三反】
1．（2022·安徽黄山·一模）在等比数列 中， ， 是方程 的两根，则 的值为
（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】因为 ､ 是方程 的两根，所以 ， ，
所以 ， ，又 为等比数列，则 ，
所以 ，所以 或 （舍去），所以 .故选：B.
2．（2022·吉林吉林）已知各项均为正数的等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．6 B．9 C．27 D．81【答案】B
【解析】 ， .故选：B
3．（2022·全国·高三专题练习）设 ， ， ， 是非零实数，则“ ， ， ， 成等比数列”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由 成等比数列可得 ，但当 时， 不是等比数列，所以
“a，b，c，d成等比数列”是“ad=bc”的充分而不必要条件，故选：A.
4．（2022·广西柳州）在等比数列 中，已知 ， ，则公比 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由等比数列 ，解得 ，所以 ，所以 ，故选：D.
考点三 等比数列前n项和的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S ＝1，S ＝13，S ＝
10 30 40
（ ）
A．﹣51 B．﹣20 C．27 D．40
【答案】D
【解析】由{an}是等比数列，且S ＝1＞0，S ＝13＞0，得S ＞0，S ＞0，且1＜S ＜13，S ＞13
10 30 20 40 20 40
所以S ，S ﹣S ，S ﹣S ，S ﹣S 成等比数列，
10 20 10 30 20 40 30
即1，S ﹣1，13﹣S ，S ﹣13构成等比数列，
20 20 40
∴（S ﹣1）2＝1×（13﹣S ），解得S ＝4或S ＝﹣3（舍去），
20 20 20 20
∴（13﹣S ）2＝（S ﹣1）（S ﹣13），即92＝3×（S ﹣13），解得S ＝40．故选：D．
20 20 40 40 40
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A【解析】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；
当 时，等比数列前 项和公式 ，
依题意 .故选：A
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则数列 的前10项中所
有奇数项之和与所有偶数项之和的比为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，又 ，即前10项分别为 ，
所以数列 的前10项中 ， ，所以 ，
故选：C．
【例3-4】（2022·全国·高三专题练习）数列 中， ，对任意 ，若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .故选：C.【例3-5】（2022·全国·高三专题练习）各项均为正数的等比数列 的前 项和 ，若 ， ，
则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【解析】因为 ，且等比数列 各项均为正数，所以 ，公比 首项 ，
所以 ，通项 ，所以 ，
当且仅当 ，所以当 时， 的最小值为8.故选：C.
【一隅三反】
1．（2022·湖南·长沙一中）一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）
A．180 B．108
C．75 D．63
【答案】D
【解析】由题意得S，S －S，S －S 组成等比数列48，12，3，即S －S ＝3，∴S ＝63.
7 14 7 21 14 21 14 21
故选：D
2．（2022·全国·高三专题练习）已知一个等比数列首项为 ，项数是偶数，其奇数项之和为 ，偶数项之
和为 ，则这个数列的项数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设这个等比数列 共有 项，公比为 ，
则奇数项之和为 ，
偶数项之和为 ， ，等比数列 的所有项之和为 ，则 ，
解得 ，因此，这个等比数列的项数为 .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）等比数列 的前n项和为 ，则r的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时, ,
当 时，
所以 ，故选B.
4．（2021·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， ， ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，
即 ，
因为 ，所以 ，则 ，
即 ，解得 ，故选：B.
5．（2022·四川绵阳·一模）已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则
的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B【解析】因为 是正项等比数列，所以 ， ， 仍然构成等比数列，所以
.
又 ， ， 成等差数列，所以 ， ，所以
.
又 是正项等比数列，所以 ， ，当且仅当 时取等号.故选：B.
考点四 等比数列定义及其运用
【例4】（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是公差为 的等差数列 B．数列 是公差为2的等差数列
C．数列 是公比为 的等比数列 D．数列 是公比为2的等比数列
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ， 既不是等比数列也不是等差数列；
∴ ，∴数列 是公比为 的等比数列．故选：C
【一隅三反】
1．（2021·江苏盐城）（多选）设等比数列 的前n项和为 ，则下列数列一定是等比数列的有
（ ）A． ， ， ，… B． ， ， ，…
C． ， ， ，… D． ， ， ，…
【答案】BD
【解析】设数列 的公比为 ， ，
对于A和C，都有首项 ，当 时， ，不满足等比数列，故AC错误；
对于B， ，且 ，
同理 ，故数列 ， ， ，…为等比数列，B正确；
对于D， ，且 ， ，
故数列 ， ， ，…为等比数列，D正确；故选：BD
2．（2022·广东·佛山一中）已知数列{ }满足：
(1)求证：数列{ }是等比数列；
(2) ，求数列{ · }的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 ，所以 .
而 ，所以数列{ }是以 为首项，以3为公比的等比数列，所以 ，即 .
(2)由（1）可得 ∴
记 ……①所以 ……②①-②得：
∴ ∴ .
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，且 ， ．
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析； ；(2) .
【解析】(1)因为 ，所以 ，
又因为 ，所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，从而 ，故
.
(2)由(1)中结论可知， ①，
所以 ②，
由① ②得，
化简整理得， ，所以 ，
故 ，所以 ，故 .
考点五 等比数列的实际应用
【例5-1】（2022·浙江省义乌中学模拟预测）我国古代的数学名著《九章算术》中有“衰分问题”：今有女
子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何?其意为：一女子每天织布的尺数是前一天的2倍，5天共织布
5尺，问第五天织布的尺数是多少?你的答案是( )
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知该女子每天织布的尺数成等比数列，设该等比数列为 ，公比q＝2，
则第1天织布的尺数为 ，第5天织布的尺数为 ，前5天共织布为 ，
则 ，∴ .故选：D.
【例5-2】（2022·江苏·沭阳如东中学模拟预测）著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有
典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次
操作；再将剩下的两个区 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，
如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.
操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不
小于 ，则需要操作的次数n的最小值为（ ）
参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】第一次操作去掉 ，设为 ；第二次操作去掉 ，设为 ；
第三次操作去掉 ，设为 ，
依次类推， .
故
，
整理，得 ，
，
，
故n的最小值为7.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2022·全国·模拟预测）在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.
为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有 的细菌分裂为原来的2倍，
的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍
的记录时间为第（ ）
A．6小时末 B．7小时末 C．8小时末 D．9小时末
【答案】A【解析】设 表示第n小时末的细菌数，依题意有 ，
，则 是等比数列，首项为 ，公比 ，
所以 .依题意， ，即 ，所以 ,
由于 ，
又 ，所以 ，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,
故选:A.
2．（2022·湖南湖南·二模）在流行病学中，基本传染数 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫
力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接
触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数 ，平均感染周期为7天，那么感染人数由
1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（ ）（初始感染者传染 个人为第一轮传染，这 个
人每人再传染 个人为第二轮传染……参考数据： ）
A．42 B．56 C．63 D．70
【答案】C
【解析】设第n轮感染的人数为 ，则数列 是 ，公比 的等比数列，
由 ，可得 ，解得 ，两边取对数得 ，
则 ，所以 ，
故需要的天数约为 .
故选：C
3．（2022·云南·高三阶段练习（理））为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”．老王2020年6月1日向银行借了免息贷
款10000元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月
底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年
所得收入为（ ）（取 ， ）
A．32500元 B．40000元 C．42500元 D．50000元
【答案】B
【解析】设 ，从6月份起每月底用于下月进货的资金依次记为 ， ，…， ，
，同理可得 ，
所以 ，
而 ，所以数列 是等比数列，公比为1.2，
所以 ， ，
∴总利润为 ，故选:B．
