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4.2 等比数列（精练）（基础版）
题组一 等比数列基本量的计算
1．（2022·江西）已知正项等比数列 的前n项和为 ，且满足 ，则公比 （ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】 ，∴ ，即 ，
解得 或 （舍）．故选：B
2．（2022·四川）已知等比数列 满足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，即 ，解得 ，因为 ，故 .故选：D.
3．（2022·四川攀枝花）正项等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）．
A．8 B．16 C．27 D．81
【答案】B
【解析】设正项等比数列 的公比为q .由 可得： ，所以 .
所以 ，解得： （ 舍去）所以 .故选：B
4．（2022·河南）在等比数列 中， ， ，则 ( )
A．80 B．242 C． D．244
【答案】B【解析】等比数列 的公比 ，∴ ，∴ ．
故选：B．
5．（2022·广西）设等比数列 的前 项和为 ，且有 ， ，则 的公比为（ ）
A． 或5 B．2或 C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】设公比为 ，由 ， ，得 ，解得 或 ，
故选：C．
6．（2022·甘肃·二模）正项等比数列 满足 ， ，则 的前7项和 ( )
A．256 B．254 C．252 D．126
【答案】B
【解析】设正项等比数列 公比为q，且q＞0，
∵ ， ，∴ ，即 ，即 ，则q＝2，
∴ .故选：B.
7．（2022·贵州·模拟预测（文））已知等比数列 的前n项和为 ，若 ， ，则数列 的
公比为（ ）
A．2或 B． 或 C． 或2 D． 或
【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为q，则 ， ，
两式相除得 ，即 ，解得 或2.故选：A8．（2022·湖南常德·一模）设 为等比数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由已知 ， ，所以 ．故选：A．
9．（2022·北京四中高三开学考试）数列 满足 （ ， ），且 与 的等差中项是
5，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 （ ， ），则 为等比数列，公比为2，又 ，
解得： ，所以 .故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）已知 是首项为2的等比数列， 是其前n项和，且 ，则数列
前20项和为（ ）
A．﹣360 B．﹣380 C．360 D．380
【答案】A
【解析】根据题意 ，所以 ，从而有 ，所以 ，
所以数列 的前20项和等于
故选： .11．（2022·全国·高三专题练习）已知 是等比数列 的前 项和，若存在 ，满足
，则数列 的公比为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】设数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题中条件矛盾，
故
.故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习（文））设 是等比数列，且 ， ，则
（ ）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
因此， .故选：D.
题组二 等比中项
1．（2022·全国·高三专题练习）在等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．6 B． C． D．
【答案】C【解析】根据题意及等比数列中项的性质有，
又 ，所以 或-6，选项C正确.故选：C.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设数列 是公比为 的等比数列，数列 是公差为 的等差数列，
若 ，
则 ， ，
即为 ， ，
即 ， ，
则 ．
故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】B
【解析】由等比数列性质可知 ，所以 或 ，
但 ，可知 ，所以 ，则 ，故选：B4．（2022·北京石景山·高三专题练习）两数1、9的等差中项是 ，等比中项是 ，则曲线 的离
心率为（ ）
A． B． C． D． 与
【答案】C
【解析】 两数1、9的等差中项是 ，等比中项是 ， ， ，
曲线 为椭圆，且 ， ， ，故选：C
5．（2022·江西宜春）在等比数列 中， ， ，则 的值为（ ）
A．48 B．72 C．144 D．192
【答案】D
【解析】由 ，得 ，由 ，得 ，所以 ，
所以 ．故选：D
6．（2022·全国·高三专题练习）方程 的两根的等比中项是（ ）
A． 和2 B．1和4 C．2和4 D．2和1
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系可知方程 的两根之积为4，
又因为 ，故方程 的两根的等比中项是 ．故选：A
7．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则
（ ）
A． B．5 C．10 D．15【答案】B
【解析】因为等比数列 的各项均为正数，且 ，
所以 .
故选：B.
8．（2022·甘肃·高台县第一中学高三阶段练习（文））已知数列 是等差数列，数列 是等比数列，
若 ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等差中项的性质可得 ， ，
由等比中项的性质可得 ， ，
因此， .故选：B.
9．（2022·陕西汉中·二模（理））已知正项等比数列 满足 ，若存在 ， ，使得
，则 的最小值为（ ）.
A． B．16 C． D．
【答案】C
【解析】设等比数列的公比为 ，根据题意， ，
因为数列 是正项等比数列，所以 ， ，故由上式可解得 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
因为 ， 为正整数，所以当 ， 时，可得 的最小值为 .故选：C
题组三 等比数列前n项和的性质
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S ＝10，S ＝130，则S 等
10 30 40
于（ ）
A．－510 B．400
C．400或－510 D．30或40
【答案】B
【解析】∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn，∴S ，S －S ，S －S ，S －S 也成等比数列，
10 20 10 30 20 40 30
∴10×(130－S )＝(S －10)2，解得S ＝40或S ＝－30(舍)，故S －S ＝270，∴S ＝400.选：B
20 20 20 20 40 30 40
2．（2020·全国·高三专题练习）已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则其偶数项
为（ ）
A．15 B．30
C．45 D．60
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 .故选: D
3．（2022·浙江浙江·二模）已知等比数列 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】设等比数列 的公比为 ，
由 ，即 ，又 ，则 ，即
则当 时，由 ，此时
即由“ ”可得到“ ”成立.
由 ，即 ，即 ，即 或
若 时， ， 成立
若 时， ，则 不成立
所以若“ ”则“ ”不成立.
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件故选：A
4．（2022·全国·高三专题练习（理））设等比数列 的公比为q，前n项和为 ，前n项积为 ，并满
足条件 ， ，则下列结论中不正确的有（ ）
A．q>1 B． C． D． 是数列 中的最大项
【答案】A
【解析】因为 ，所以 或 ，而 为等比数列，
，于是 ， ，则A错误；
，则B正确； ，则C正确；因为 ，所以 是数列 中的最大项，则D正确.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 中， 为其前 项之和， ，则
______
【答案】260
【解析】根据等比数列前n项和的性质，可知 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，解得 .故答案为： .
6．（2022·安徽·芜湖一中）等比数列 满足： ， 且 ， ， ， 成等差数列，则
的 最大值为___________.
【答案】
【解析】由题可知， ，
故 ， ，
， ，所以 最大值为 .故答案为： .
7．（2022·山东聊城一中高三期末）已知等比数列 的公比 ，且 ，则
___________.
【答案】120
【解析】因为在等比数列中，若项数为 ，则 ，
所以
.故答案为：1208．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知 为等比数列 的前n项和， ， （c为
实数）．若 ，则当 取最小值时，n＝______．
【答案】11
【解析】由题意 ， ，两式相减得 ，则 ．设等比数列
的公比为q，故 ，故 ，则 ，故 ，令 ，可得
，则 ，即 ，故当 时， ， ；当 时， ，故当
取最小值时， ．故答案为：11
9．（2021·江苏·无锡市第一中学高三阶段练习）已知等比数列 的前n项和 ，则
________．
【答案】2
【解析】由题设， ，
若 时， ，故与 矛盾，
∴ ，即 ，显然成立.
故答案为：2.
10．（2022·江苏）等比数列 的前 项和为 ,则实数 _______.
【答案】1
【解析】
最后代回原式进行检验。11．（2021·北京·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，若此数列为等比数列，则
__________．
【答案】
【解析】因为数列 的前 项和 ，
所以 ， ；
又 ，因为数列 为等比数列，则 也满足 ，
即 ，解得 .故答案为
题组四 等比数列定义及其运用
1．（2022·全国·课时练习）已知数列a， ， ，…是等比数列，则实数a的取值范围是
（ ）．
A． B． 或 C． D． 且
【答案】D
【解析】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以 且 ,
所以 且 .故选：D.
2．（2022·北京·人大附中高三开学考试）若数列 满足 ，则“ ， ， ”是“
为等比数列”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】“ ， ， ”，取 ，则 ， 为等比数列．
反之不成立， 为等比数列，设公比为 ，则 ， ，只有
时才能成立满足 ．数列 满足 ，则“ ， ， ”是“ 为等比数列”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（2022·全国·高三专题练习）若 ， ， 成等比数列且公比为 ，那么 ， ， （ ）
A．不一定是等比数列 B．一定不是等比数列
C．一定是等比数列，且公比为 D．一定是等比数列，且公比为
【答案】C
【解析】因为 ， ， 成等比数列且公比为 ，所以 ， ，可得 ， ，由等比
数列的中项可判断得 ， ， 成等比数列，并且公比为 .故选：C
4．（2022·天津和平）已知数列 中 ， ， .证明：数列 是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为 ，
又 ，所以 为首项是4，公比为2的等比数列.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足： .证明数列 是
等比数列，并求数列 的通项；
【答案】证明见解析， .
【解析】证明：因为 ，所以 ．因为 ，所以 ，所
以 ．又 ，所以 是首项为 ，公比为2的等比数列，所以 ．
6．（2020·湖南·长沙一中高三阶段练习）数列 满足： ， ．记 ，求证：
数列 为等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，∴数列 是以 ，公比为 的等比数列．
7．（2021·江西·赣州市赣县第三中学）已知数列 满足： ，且 .求证：
数列 是等比数列；
【答案】证明见解析
【解析】因为 ， ， ，所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ， ．证明：数
列 是等比数列，并求 通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】 ，即 ，又 ，
所以 是以2为首项，以2为公比的等比数列，此时有 ，当 时， ，
而 也满足 ，所以 ；
9．（2022·天津·耀华中学）已知数列 中， ， .求证：数列 是等比
数列.
【答案】证明见详解；
【解析】设 ，
因为 ，
所以数列 是以 即 为首项，以 为公比的等比数列.
10．（2022·陕西）已知数列 满足 ，且 （ ， 且 ）， 为何值时，
数列 是等比数列；
【答案】2
【解析】若数列 是等比数列，则 （ 为非零常数），
即 ，对于任意 恒成立，
则 ，解得 ，
故当 时，数列 是等比数列；
11．（2022·全国·高二课时练习）设数列{an}满足 ，其中a＝1.证明： 是等比
1数列；
【答案】证明见解析
【解析】 ，
∴ 是首项为 ，公比为2的等比数列；
题组五 等比数列的实际应用
1．（2022·全国·高三专题练习）2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银
行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后
每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为
（ ）
A．2022年12月11日B．2022年11月11日 C．2022年10月11日D．2022年9月11日
【答案】C
【解析】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，
其前n项和为 .
因为 为增函数，且 ，
所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，
即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C
2．（2022·全国·高三专题练习）《庄子·天下》篇中记述了一个著名命题：“一尺之棰，日取其半，万世
不竭．”反映这个命题本质的式子是（ ）
A．1＋ B．
C． D．
【答案】B
【解析】该命题说明每天截取的线段长度构成了以 为首项， 为公比的等比数列，因为 ，所以能反映命题本质的式子是 .
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺，蒲生
日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的
一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是（ ）（结
果精确到0.1．参考数据： ， ．）
A．2.9天 B．3.9天 C．4.9天 D．5.9天
【答案】C
【解析】设蒲的长度组成等比数列{an}，其a＝3，公比为 ，其前n项和为An．
1
莞的长度组成等比数列{bn}，其b＝1，公比为2，
1
其前n项和为Bn．则An ，Bn ，由题意可得： ，
解得2n＝ ，2n＝1（舍去）．∴n ．故选：C．
4．（2022·全国·高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经济”为响应国
家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.某摊主2020年4月初向银行借了免息贷款8000
元，用于进货，因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%，每月底扣除
生活费800元，余款作为资金全部用于下月再进货，如此继续，预计到2021年3月底该摊主的年所得收入
为（ ）
（取 ， ）
A．24000元 B．26000元 C．30000元 D．32000元
【答案】D
【解析】设 ，从4月份起每月底用于下月进借货的资金依次记为 ，
，、同理可得 ，所以 ，而 ，
所以数列 是等比数列，公比为 ，
所以 ， ，
总利润为 ．
故选：D．
5．（2022·全国·高三专题练习）明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中
有一段著述“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一．”注：“倍加增”意为“从塔顶到塔
底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔从塔底数第二层灯的盏数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意，可知从塔顶到塔底，每层的灯盏数构成公比为2的等比数列，设塔顶灯盏数为 ，则
有 ，解得 ，从塔底数第二层灯的盏数为 ，
故选：C.
6．（2022·全国·高三专题练习）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若
干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.”题意是：有两只老鼠从墙的两
边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚，第 天后大老鼠打洞的总进度是小老鼠的4倍，则 的值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】设大老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
则 ，所以 .
设小老鼠每天打洞的长度构成等比数列 ，
则 ，所以 .
所以 ，即 ，化简得
解得： 或 (舍)
故选：C
7．（2022·全国·高三专题练习）在中国现代绘画史上，徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃.《八骏
图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健､剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人
们积极向上.现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异.已知第i（i=1，2，…，7）匹马的最长日行
路程是第i+1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为400里，则这8匹马的最长日行路
程之和为___________里.（取1.18=2.14）
【答案】4560
【解析】第8匹马､第7匹马､……､第1匹马的最长日行路程里数依次成等比数列，
且首项为400，公比为1.1，
故这8匹马的最长日行路程之和为 里.
故答案为：4560.8．（2022·全国·高三专题练习）中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减
半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天
一共行走了700里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为__________．
【答案】
【解析】设第七天走的路程为 ，则第六天的行程为 ，
第五天的行程为 ，依次计算，
那么七天总共走的路程为 .
故答案为： .
9．（2022·浙江浙江·高三阶段练习）梅花1朵花开五瓣，加花蕊部分，抽象后绘成图（1），得端点数
.若再以五片花瓣为蕊作五个缩小版梅花，记为缩小1次.抽象后绘成图（2），得梅花数 ，端点
数 .以此类推，缩小4次后有梅花_________朵，缩小3次后共得端点数________个?
【答案】 781 781
【解析】由已知得 ，
所以 ，
故答案为：781；781.
