北京曲一线图书策划有限公司 2023版《5年高考3年模拟》A版
7.2 等差数列
考点一 等差数列及其前n项和
1.(2015课标Ⅱ文,5,5分)设S 是等差数列{a}的前n项和.若a+a+a=3,则S=( )
n n 1 3 5 5
A.5 B.7 C.9 D.11
答案 A ∵{a}为等差数列,∴a+a=2a,
n 1 5 3
得3a=3,则a=1,
3 3
5(a +a )
1 5
∴S= =5a=5,故选A.
5 3
2
2.(2015课标Ⅰ文,7,5分)已知{a}是公差为1的等差数列,S 为{a}的前n项和.若S=4S,则a =( )
n n n 8 4 10
17 19
A. B. C.10 D.12
2 2
答案 B 由S
8
=4S
4
得8a
1
+8×7×1=4×(
4a +
4×3
×1
),解得a
1
=1,∴a
10
=a
1
+9d=19,故选B.
2 1 2 2 2
评析 本题主要考查等差数列的前n项和,计算准确是解题关键,属容易题.
3.(2015浙江理,3,5分)已知{a}是等差数列,公差d不为零,前n项和是S.若a,a,a 成等比数列,则( )
n n 3 4 8
A.ad>0,dS>0 B.ad<0,dS<0
1 4 1 4
C.ad>0,dS<0 D.ad<0,dS>0
1 4 1 4
5 5
答案 B 由a2=aa,得(a+2d)(a+7d)=(a+3d)2,整理得d(5d+3a)=0,又d≠0,∴a=- d,则ad=- d2<0,又
4 3 8 1 1 1 1 1 3 1 3
2 2
∵S=4a+6d=- d,∴dS=- d2<0,故选B.
4 1 4
3 3
4.(2013课标Ⅰ理,7,5分)设等差数列{a}的前n项和为S,若S =-2,S =0,S =3,则m=( )
n n m-1 m m+1
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C 解法一:∵S =-2,S =0,S =3,∴a =S -S =2,a =S -S =3,∴公差d=a -a =1,由S=na+
m-1 m m+1 m m m-1 m+1 m+1 m m+1 m n 1
n(n-1) n(n-1)
d=na+ ,
1
2 2
{
m(m-1)
ma + =0,①
1 2
得
(m-1)(m-2)
(m-1)a + =-2.②
1 2
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1-m
由①得a= ,代入②可得m=5.
1
2
解法二:∵数列{a}为等差数列,且前n项和为S,
n n
∴数列{S
n
}也为等差数列.
n
S S 2S -2 3
m-1 m+1 m
∴ + = ,即 + =0,解得m=5.经检验为原方程的解.故选C.
m-1 m+1 m m-1 m+1
5.(2016课标Ⅰ,3,5分)已知等差数列{a}前9项的和为27,a =8,则a =( )
n 10 100
A.100 B.99 C.98 D.97
{ 9×8
S =9a + d=27,
答案 C 设{a n }的公差为d,由等差数列前n项和公式及通项公式,得 9 1 2 解得
a =a +9d=8,
10 1
{a =-1,a=a+(n-1)d=n-2,∴a =100-2=98.故选C.
1 n 1 100
d=1,
思路分析 用a,d表示S,a ,列方程组求出a,d,从而可求得a .
1 9 10 1 100
6.(2014天津理,11,5分)设{a}是首项为a,公差为-1的等差数列,S 为其前n项和.若S,S,S 成等比数列,则a
n 1 n 1 2 4 1
的值为 .
1
答案 -
2
1
解析 S=a,S=2a-1,S=4a-6.故(2a-1)2=a×(4a-6),解得a=- .
1 1 2 1 4 1 1 1 1 1
2
7.(2013课标Ⅱ理,16,5分)等差数列{a}的前n项和为S.已知S =0,S =25,则nS 的最小值为 .
n n 10 15 n
答案 -49
解析 由S n =na 1 + n(n-1)d得 { 10a 1 +45d=0,
2 15a +105d=25,
1
2
解得a=-3,d= ,
1
3
n(n-1) 2 1
则S=-3n+ · = (n2-10n),
n 2 3 3
1
所以nS= (n3-10n2),
n
3
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1
令f(x)= (x3-10x2),
3
则 f '(x)=x2-20x=x( 20),当x∈( 20)时, f(x)递减,
x- 1,
3 3 3
当x∈(20 )时, f(x)递增,又6<20<7, f(6)=-48,
,+∞
3 3
f(7)=-49,所以nS 的最小值为-49.
n
评析 本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n的取值范围.
8.(2013课标Ⅱ文,17,12分)已知等差数列{a}的公差不为零,a=25,且a,a ,a 成等比数列.
n 1 1 11 13
(1)求{a}的通项公式;
n
(2)求a+a+a+…+a .
1 4 7 3n-2
解析 (1)设{a n }的公差为d.由题意,得 a2 =a 1 a 13 ,
11
即(a+10d)2=a(a+12d).
1 1 1
于是d(2a+25d)=0.
1
又a=25,所以d=0(舍去)或d=-2.
1
故a=-2n+27.
n
(2)令S=a+a+a+…+a .
n 1 4 7 3n-2
由(1)知a =-6n+31,故{a }是首项为25,公差为-6的等差数列.从而
3n-2 3n-2
n
S= (a+a )
n 1 3n-2
2
n
= (-6n+56)
2
=-3n2+28n.
9.(2012湖北,理18,文20,12分)已知等差数列{a}前三项的和为-3,前三项的积为8.
n
(1)求等差数列{a}的通项公式;
n
(2)若a,a,a 成等比数列,求数列{|a|}的前n项和.
2 3 1 n
{ 3a +3d=-3,
解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,则a 2 =a 1 +d,a 3 =a 1 +2d,由题意得 1
a (a +d)(a +2d)=8,
1 1 1
解得{a =2, 或{a =-4,
1 1
d=-3 d=3.
所以由等差数列通项公式可得a=2-3(n-1)=-3n+5或a=-4+3(n-1)=3n-7.
n n
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故a=-3n+5或a=3n-7.
n n
(2)当a=-3n+5时,a,a,a 分别为-1,-4,2,不成等比数列;
n 2 3 1
当a=3n-7时,a,a,a 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
n 2 3 1
{-3n+7,n=1,2,
故|a|=|3n-7|=
n 3n-7,n≥3.
记数列{|a|}的前n项和为S.
n n
当n=1时,S=|a|=4;当n=2时,S=|a|+|a|=5;
1 1 2 1 2
当n≥3时,S=S+|a|+|a|+…+|a|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
n 2 3 4 n
(n-2)[2+(3n-7)] 3 11
=5+ = n2- n+10.
2 2 2
当n=2时,满足此式,
{
4,n=1,
综上,S=
n 3 11
n2- n+10,n>1.
2 2
评析 本题考查等差、等比数列的基础知识,考查运算求解能力.
10.(2014大纲全国文,17,10分)数列{a}满足a=1,a=2,a =2a -a+2.
n 1 2 n+2 n+1 n
(1)设b=a -a,证明{b}是等差数列;
n n+1 n n
(2)求{a}的通项公式.
n
解析 (1)证明:由a =2a -a+2得,
n+2 n+1 n
a -a =a -a+2,即b =b+2.
n+2 n+1 n+1 n n+1 n
又b=a-a=1,
1 2 1
所以{b}是首项为1,公差为2的等差数列.(5分)
n
(2)由(1)得b=1+2(n-1),即a -a=2n-1.(8分)
n n+1 n
n n
于是∑(a -a )= ∑(2k-1),
k+1 k
k=1 k=1
所以a -a=n2,即a =n2+a.
n+1 1 n+1 1
又a=1,所以{a}的通项公式为a=n2-2n+2.(10分)
1 n n
评析 本题着重考查等差数列的定义、前n项和公式及“累加法”求数列的通项等基础知识,同时考查运
算变形的能力.
11.(2014课标Ⅰ理,17,12分)已知数列{a}的前n项和为S,a=1,a≠0,aa =λS-1,其中λ为常数,
n n 1 n n n+1 n
(1)证明:a -a=λ;
n+2 n
(2)是否存在λ,使得{a}为等差数列?并说明理由.
n
解析 (1)证明:由题设aa =λS-1,知a a =λS -1.两式相减得,a (a -a)=λa .
n n+1 n n+1 n+2 n+1 n+1 n+2 n n+1
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由于a ≠0,所以a -a=λ.
n+1 n+2 n
(2)存在.由a=1,aa=λa-1,可得a=λ-1,由(1)知,a=λ+1.令2a=a+a,解得λ=4.
1 1 2 1 2 3 2 1 3
故a -a=4,由此可得,{a }是首项为1,公差为4的等差数列,a =1+(n-1)·4=4n-3;
n+2 n 2n-1 2n-1
{a }是首项为3,公差为4的等差数列,a =3+(n-1)·4=4n-1.
2n 2n
所以a=2n-1,a -a=2.
n n+1 n
因此存在λ=4,使得{a}为等差数列.
n
评析 本题主要考查a 与S 的关系及等差数列的定义,考查学生的逻辑思维能力及分析解决问题的能力.
n n
考点二 等差数列的性质
1.(2015广东理,10,5分)在等差数列{a}中,若a+a+a+a+a=25,则a+a= .
n 3 4 5 6 7 2 8
答案 10
解析 利用等差数列的性质可得a+a=a+a=2a,从而a+a+a+a+a=5a=25,故a=5,所以a+a=2a=10.
3 7 4 6 5 3 4 5 6 7 5 5 2 8 5
2.(2015陕西文,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为 .
答案 5
解析 设该数列的首项为a,根据等差数列的性质可得a+2 015=2×1 010,从而a=5.
1 1 1
3.(2014北京理,12,5分)若等差数列{a}满足a+a+a>0,a+a <0,则当n= 时,{a}的前n项和最大.
n 7 8 9 7 10 n
答案 8
解析 根据题意知a+a+a=3a>0,即a>0.
7 8 9 8 8
又a+a=a+a <0,∴a<0,∴当n=8时,{a}的前n项和最大.
8 9 7 10 9 n
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