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4.1 等差数列（精练）（基础版）
题组一 等差数列基本量的计算
1．（2022·安徽·芜湖一中）等差数列 的前 项和为 ，满足： ，则 （ ）
A．72 B．75 C．60 D．100
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，则由 ，得 ，
化简得 ，所以 ，选：B
2．（2022·内蒙古呼和浩特）记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则 的公差
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 可得： ，即 ；
由 可得： ，即 ；解得 .故选：C.
3．（2022·贵州）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 的公差为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【解析】设公差为d，由题意知 ，解得 .故选：A.
4．（2022·全国·高三阶段练习（理））若数列 是等差数列， ， ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A【解析】令 .因为 ， ，所以 ， ，所以 .
所以 .所以 .故选：A.
5．（2022·上海杨浦·二模）数列{ }为等差数列， 且公差 ，若 ， ， 也是等差数列，
则其公差为（ ）
A．1gd B．1g2d C．lg D．1g
【答案】D
【解析】因为 ， ， 是等差数列，所以 ，
所以 ，又因为 且公差 ，所以 ，可得 ，
所以公差 ，故选：D.
6（2022·江西宜春·模拟预测（理））设 为等差数列 的前n项和，若 ，则
（ ）
A． B． C．12 D．4
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，
所以
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a＝25，b＝75，a＋b＝100，那么
1 1 2 2
数列{an＋bn}的第37项为（ ）
A．0 B．37
C．100 D．－37
【答案】C【解析】设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d，d，则(an ＋bn )－(an＋bn)＝(an －an)＋(bn －bn)
1 2 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1
＝d＋d，所以数列{an＋bn}仍然是等差数列，公差为d＋d.
1 2 1 2
又d＋d＝(a＋b)－(a＋b)＝100－(25＋75)＝0，所以数列{an＋bn}为常数列，所以a ＋b ＝a＋b＝
1 2 2 2 1 1 37 37 1 1
100.
故选：C.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列， 是其前 项和， 若
， 则数列 的公差是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为数列 是等差数列，所以 ，解得 ，
则 ，解得 .选：B
9．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则
_____________．
【答案】770
【解析】由题意得 ，解得 故 ．故答案为：770
10．（2022·江苏省昆山中学高三阶段练习）已知等差数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，
若数列 是等差数列，则 ________．
【答案】8
【解析】等差数列的前n项和
若数列 是等差数列，则 故答案为：811．（2022·河南）记等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 ____________．
【答案】0
【解析】设等差数列 的公差为 ，
， ，化为： ，则 ，故答案为：0．
12．（2022·新疆石河子一中）等差数列 的公差为2，前n项和为 ，若 ， ， 构成等比数列，则
___________.
【答案】
【解析】由题设， ，则 ，可得 ，
所以 ，故 .故答案为：
题组二 等差中项
1．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （ ）
A．38 B．50 C．36 D．45
【答案】D
【解析】 ．故选：D
2.已知数列{a}是等差数列，若a＝4，a＋a＋a＝6，则S ＝( )
n 9 5 6 7 14
A．84 B．70 C．49 D．42
【答案】D
【解析】因为a＋a＋a＝3a＝6，所以a＝2，又a＝4，所以S ＝＝7(a＋a)＝42.选D.
5 6 7 6 6 9 14 6 9
3.已知在等差数列{a}中，a＋a＝4，则log (2a·2a·…·2a )＝( )
n 5 6 2 1 2 10
A．10 B．20 C．40 D．2＋log 5
2
【答案】B
【解析】log
2
(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝log
2
2a
1
＋log
2
2a
2
＋…＋log
2
2a
10
＝a
1
＋a
2
＋…＋a
10
＝5(a
5
＋a
6
)＝5×4＝20.
故选B.4.设数列{a}，{b}都是等差数列，且a＝25，b＝75，a＋b＝100，则a ＋b 等于( )
n n 1 1 2 2 37 37
A．0 B．37 C．100 D．－37
【答案】C
【解析】设{a}，{b}的公差分别为d，d，则(a ＋b )－(a＋b)＝(a －a)＋(b －b)＝d＋d，所以
n n 1 2 n＋1 n＋1 n n n＋1 n n＋1 n 1 2
{a＋b}为等差数列．又a＋b＝a＋b＝100，所以{a＋b}为常数列，所以a ＋b ＝100.
n n 1 1 2 2 n n 37 37
5．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知等差数列 的前n项和为 ，且
，则 （ ）
A．74 B．81 C．162 D．148
【答案】B
【解析】因为 是等差数列，所以 ，即 ，
所以 .故选：B
6．（2022·安徽合肥·二模）设等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，由已知有 ，解得
，故选：C
题组三 前n项和的性质
1．（2022·浙江）等差数列 的前 项和为30，前 项和为100，则它的前 项和为（ ）.
A．70 B．130 C．140 D．210
【答案】D
【解析】设等差数列 的前 项和为 ，则 成等差数列，
故 ，解得 ，故选：D.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列 的前 项和性质，得： ， ， 也成等差数列，即
，
又因 ， ，则解得 ，因此 .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）设数列 ， 都是正项等比数列， ， 分别为数列 与
的前n项和，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设正项等比数列 的公比为q，正项等比数列 的公比为p，
数列 为等差数列，公差为 ， 为等差数列，公差为 ，
， ，
， ，故选D．
4．（2022·四川省成都市郫都区第一中学高三阶段练习（文））若等差数列 的公差为 ，前 项和为
，则“ ”是“ 有最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A【解析】由等差数列前n项和： ，
当 时，由 对应的二次函数性质：开口向下，即 有最大值；
若等差数列 是各项为0的常数列， 最大值也为0，此时 ；
所以“ ”是“ 有最大值”的充分不必要条件.故选：A
5．（2022·重庆·二模）等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】因为 ，且 ，所以 ，解得 ，
则 ，即 取最大值为9.故选：C.
6．（2022·黑龙江·哈九中高三开学考试（文））在数列 中， ， （ ， ），
则数列 的前n项和取最大值时，n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】由 得 ，又因为 ，所以数列 是以20为首项，以-3为公差的等差
数列，所以 ，
令 ，解得： ，又 ，所以数列 的前n项和取最大值时，n的值是7，
故选：A.
7．（2022·江西·二模）已知等差数列 中， ， ，则 等于
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C【解析】在等差数列 中，由等差中项的定义可得： ， ，
所以 ．故选：C
8．（2022·云南师大附中）已知 是等差数列， 是 的前n项和，则“对任意的 且 ，
”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．充要条件
【答案】B
【解析】因为对任意的 且 ， ，当 时， ，当 时，
，所以 成立；充分性成立
当 成立时，可推出等差数列 的公差大于零，但“对任意的 且 ， ”未必恒成立，
例如， ，当 时， 不成立，必要性不成立故选：B．
9．（2022·全国·高三专题练习）在各项均为正数的等比数列 中，公比 ，若 ，
，数列 的前n项和为Sn，则 取最大值时，n的值为（ ）
A．8 B．8或9 C．9 D．17
【答案】B
【解析】依题意 ，所以
所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
由 ，所以 取最大值时，n的值为 或 .故选：B10．（2022·四川南充）设等差数列 的前 项和为 ，满足 ，则（ ）
A． B． 的最小值为
C． D．满足 的最大自然数 的值为25
【答案】C
【解析】由于 ， ，
∴上式中等差中项 ， ，即 ，故A错误；
由等差数列的性质可知 ， ，即 ，故B错误；
由以上分析可知C正确，D错误；故选：C.
11．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， 为 的前n项和， ， ，则无法判
断正负的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设公差为 ，因为 ， ，可知： ，且 ， ，所以 ，从而
， 不确定正负， ，
故选：B
12．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，前n项和为Sn，满足
a+5a＝S，下列选项正确的有（ ）
1 3 8
A． B． C． 最小 D．
【答案】AB
【解析】因为{an}是等差数列，设公差为 ，由 ，
可得 ，即 ，即选项A正确，又 ，即选项B正确，
当 时，则 或 最小，当 时，则 或 最大，即选项C错误，
又 ， ，所以 ，即选项D错误，故选AB.
13．（2022·全国·高三专题练习）（多选）设等差数列 的前 项和为 ，公差为 .已知 ，
， ，则（ ）
A．数列 的最小项为第 项 B．
C． D． 时， 的最大值为
【答案】ABC
【解析】对于C选项，由 且 ，可知 ，故C正确；
对于B选项，由 ，可得 ，故B正确；
对于D选项，因为 ， ，所以，满足 的 的最大值为 ，故D错误；
对于A选项，由上述分析可知，当 且 时， ；
当 且 时， ，所以，当 且 时， ，
当 且 时， ，当 且 时， .
由题意可知 单调递减，所以当 且 时， ，
由题意可知 单调递减，即有 ， 所以 ，由不等式的性质可得 ，从而可得 ，
因此，数列 的最小项为第 项，故A正确.故选：ABC.
14．（2022·全国·高三专题练习）（多选）等差数列 与 的前 项和分别为 与 ，且 ，
则（ ）
A． B．当 时，
C． D． ，
【答案】AB
【解析】由 ，知： ，即 ，故A正确.
同理可得： ，故C错误.
当 ，有 ，则 ，易得 ，故B正确.
当 ，有 ，则 ，则不存在 ，使 ，故D错误.故选：AB
15．（2022·全国·高三专题练习）（多选设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D． 与 均为 的最大值
【答案】BD
【解析】根据题意，设等差数列 的公差为 ，依次分析选项：是等差数列，若 ，则 ，故B正确；
又由 得 ，则有 ，故A错误；
而C选项， ，即 ，可得 ，
又由 且 ，则 ，必有 ，显然C选项是错误的.
∵ ， ，∴ 与 均为 的最大值，故D正确；故选：BD.
16．（2022·云南昭通）等差数列 的前n项和分别为 ，则 的公差为
____.
【答案】8
【解析】 可得 ，
又 ， ， ， ，
，所以 ， ，即 的公差为8.故答案为：8.
17．（2022·全国·高三专题练习）已知两个等差数列 和 的前n项和分别为 ， ，且 ，
则 _________.
【答案】 设等差数列 的首项为 ，公差为 ，等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ， 故又已知 不妨令 且 解得 且 故
故答案为： .
18．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ，则
______．
【答案】
【解析】因为等差数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且 ，
所以 ， ，又 ， ，
所以 ， ，
所以 ．故答案为：
19．（2022·全国·高三专题练习（文））在等差数列 中， ， ，求 ____
【答案】
【解析】由等差数列片段和的性质有 ，
∴ .故答案为：
20．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且有 ，
，则 的值为__________．【答案】
【解析】因为 为等差数列，则有 ， ． ，
所以 ．故答案为：
21．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））在数列 中， 为
的前n项和，则 的最小值为______．
【答案】
【解析】因为 ，所以 是以 为首项，2为公差的等差数列， 是以 为首
项，2为公差的等差数列.
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以 ，
当 为偶数时，
，故当 时， 的最小值为 ；
当 为奇数时， ，
故当 或 时， 取最小值 .综上， 的最小值为 .故答案为： .
22．（2022·浙江台州·二模）已知等差数列 的各项均为正数，且数列 的前 项和为 ，则数列
的最大项为___________.（用数字作答）
【答案】1
【解析】由题，等差数列 的各项均为正数，所以 ， ，且 ，所以数列 是递增数列，
又 ，所以 ，即 是递减数列，
所以当 时，得到数列 的最大项为 ，故答案为：1
23．（2022·辽宁丹东·一模）在等差数列 中，已知 ，则 ___________.
【答案】
【解析】由题意在等差数列 中，设公差为d,则 所以 ，于是
，故答案为：10
24．（2022·安徽蚌埠·三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，已知 ， ，则
___________.
【答案】48
【解析】因为等差数列 的前 项和为 ，所以 成等差数列，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，解得 ，故答案为：48
题组四 等差数列定义及其运用
1．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的通项公式为 ，则（ ）
A．数列 为等差数列，公差 B．数列 为等差数列，公差
C．数列 为等比数列，公比 D．数列 为等比数列，公比
【答案】B【解析】∵数列 的通项公式为 ，
∴ ，故数列 为等差数列，且公差 .故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是
①若a，b，c成等差数列，则 一定成等差数列；
②若a，b，c成等差数列，则 可能成等差数列；
③若a，b，c成等差数列，则 一定成等差数列；
④若a，b，c成等差数列，则 可能成等差数列
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】对于选项①：取 ，
由等差数列的定义可知，选项①错误；
对于选项②：例如 ，即 与a，b，c都是公差为 的等差数列，故选项②正确；
对于选项③： ，b，c成等差数列， ，即
一定成等差数列，故选项③正确；
对于选项④： ，即 是公差为 等差数列，故选项④正确.故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的（ ）
A．充分非必要条件； B．必要非充分条件；
C．充要条件； D．既非充分又非必要条件.
【答案】C
【解析】若数列 的通项公式为 ，则 ( 为常数)，由等差数
列的定义可得数列 为等差数列；
若数列 为等差数列，设首项为 ，公差为 ，则通项公式为 ，令 ，则数列 的通项公式可写为 ， 为常数， .
所以对于数列 ，“ ”是“数列 为等差数列”的充要条件.故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和 ，则下列结论正确的是
（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是递增数列
C． ， ， 成等差数列 D． ， ， 成等差数列
【答案】D
【解析】 ，
∴ 时，
时， ． 时，不满足 ∴数列 不是等差数列；
，因此数列 不是单调递增数列；
，因此 ， ， 不成等差数列．
． ．
∴ 成等差数列．故选：D
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知 ， ， 成等差数列，则（ ）
A． ， ， 一定成等差数列
B． ， ， 可能成等差数列
C． ， ， （ 为常数）一定成等差数列
D． ， ， 可能成等差数列
【答案】BCD【解析】对于A，取 ， ， ，则 ， ， ，
此时 ， ， 不成等差数列，故A错误；
对于B，令 ，则 ，
此时 ， ， 是公差为0的等差数列，故B正确；
对于C，∵ ， ， 成等差数列，∴ （ 为常数）．
又 ， ，
∴ （ 为常数），
∴ ， ， （ 为常数）为等差数列，故C正确；
对于D，令 ，则 ，
此时 ， ， 是公差为0的等差数列，故D正确．故选：BCD
6．（2022·黑龙江·哈九中二模）已知数列 满足 ， ．证明：数列 是等差
数列，并求数列 的通项公式；
【答案】证明见解析，
【解析】当 时， ，得 ，
当 时，有 ， ，相除得
整理为： ，即 ，
∴ 为等差数列，公差 ，首项为 ；所以 ，整理为： .
7．（2022·辽宁丹东·高三期末）记 为数列 的前n项和，已知 ，且数列 是等差数
列.
证明： 是等差数列.
【答案】证明见解析；
【解析】设数列 的公差为 （ 为常数）. 是等差数列，当 时，
，
①， 当 时， ②，由①②得
③，经检验，当 时也满足③， ，当
时， ， 是等差数列.
8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．求证： 是等差数
列；
【答案】证明见解析；
【解析】由 ，又 ，
∴ ，故 ，且 ，
∴ 是首项、公差均为 的等差数列.9．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足， ， ，设数列
(1)求证数列 为等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】(1)因为 ，所以 ，所以
又因为 ，所以 ， ， ，
（为常数）所以数列 是公差为 的等差数列；
(2)由（1）知： ， 所以 ，所以 ， .
10．（2022·福建泉州·高三开学考试）已知数列 的通项公式为 ，数列 的首项为 .
(1)若 是公差为3的等差数列，求证： 也是等差数列；
(2)若 是公比为2的等比数列，求数列 的前 项和.
【答案】(1)证明见解析.(2) .
【解析】(1)因为数列 的首项为 ， 是公差为3的等差数列，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以数列 是以6为公差的等差数列；
(2)因为 是公比为2的等比数列，又数列 的首项为 ， ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，解得 ，
所以
，所以数列 的前 项和为 .
12．（2022·全国·高二单元测试）记数列 的前 项和为 ， ， ，
.
证明数列 为等差数列，并求通项公式 ；
【答案】证明见解析，
【解析】证明： ， ， ，则 ，即 ，解得 ，
所以， ，即 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，故
.
题组五 等差数列的实际应用
1．（2022·四川省广汉中学高一阶段练习（理））新广中上月开展植树活动以来，学校环境愈发美丽.尤其
是黄花风铃木，金黄的花朵挂满枝头，好不烂漫，俨然成了师生的热门打卡景点.书院数学兴趣小组的同学
们通过调查发现：我校的黄花风铃树主要分布在孔子行教像旁（ 处）、一食堂旁（ 处）、高二教学楼
旁（C处），如果把 处的5株移到 处，则A，B，C三处的株数刚好构成等差数列，已知 处现有11株，
那么这三处共有黄花风铃树（ ）
A．36株 B．41株 C．48株 D．51株
【答案】C
【解析】设A，B，C三处的株数刚好构成等差数列为 ，则由题意可知， ，由等差中项，知 ， .
所以三处共有黄花风铃树为 株.故选：C.
2．（2022·陕西西安·二模（理））《九章算术》中有一道“良马、驽马行程问题”．若齐国到长安的路程
为 里，良马从长安出发往齐国去，驽马从齐国出发往长安去，同一天相向而行．良马第一天行 里，
之后每天比前一天多行 里，驽马第一天行 里，之后每天比前一天少行 里，若良马和驽马第 天相
遇，则 的最小整数值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设驽马、良马第 天分别行 、 里，则数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，
由题意可得 ，
整理可得 ，解得 （舍）或 ，
而 ，故 的最小整数值为 .故选：D.
3．（2022·江西）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫，倒计时依次
为：大寒､小寒､冬至､大雪､小雪､立冬､霜降､寒露､秋分､白露､处暑､立秋､大暑､小暑､夏至､芒种､小满､立
夏､谷雨､清明､春分､惊蛰､雨水､立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至､立冬､秋分三个节气
的日影长之和为31.5寸，冬至到处暑等九个节气的日影长之和为85.5寸，问夏至的日影长为（ ）
A．4.5寸 B．3.5寸 C．2.5寸 D．1.5寸
【答案】D
【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，所以构成等差数列 ，
由题意得： ，则 ， ，则 ，
所以公差为 ，所以 ，故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习（理））某公园有一块等腰梯形状的空地，现准备在空地上铺上大理石，使
它成为一个运动场地，若第一排需要大理石8片，从第二排开始后面每一排比前一排多2片，共需铺10排，
则这块空地共需大理石（ ）A．160片 B．170片 C．180片 D．190片
【答案】B
【解析】因为这10排大理石片数构成一个首项为8，公差为2的等差数列，所以
．
故选：B．
5．（2022·广东·梅州市梅江区梅州中学高三开学考试）对于一个给定的数列，从第二项开始，每一项减去
前一项得出第二个数列，又将第二个数列从第二项开始，每一项减去前一项得出第三个数列，这样一直做
下去，假如减了 次之后，得到了一个非零常数列，那么我们就称第一个数列为 阶等差数
列，即为高阶等差数列．南宋数学家杨辉在《详解九章算术》和《算法通变本末》中研究了高阶等差数列，
对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，5，
11，21，37，61，95，则该数列的第8项为（ ）
A．99 B．131 C．139 D．141
【答案】D
【解析】由题意知，如图，
可得： ，解得 ， ，解得 ，故选：D．
6．（2022·全国·高三专题练习）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论.主要用于
解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总
和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前 项依次是 ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､ ､
､ ､…，则下列说法正确的是（ ）
A．此数列的第 项是 B．此数列的第 项是
C．此数列偶数项的通项公式为 D．此数列的前 项和为
【答案】B
【解析】观察此数列，偶数项通项公式为 ，奇数项是后一项减去后一项的项数，即 ，
由此可得 ， ，
∴A错误，B正确，C错误，
是一个等差数列的前 项，而题中数列不是等差数列，
不可能有 ，D错误，故选：B.
