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专题 01 等差列必备知识点与考点突破
【必备知识点】
◆知识点 1 : 等差数列
1.定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数
列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母 表示.
2.等差数列的判定
(1) (定义法); (2) (中项法);
(3) (通项法, 一次函数); (4) (和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).
3.等差数列通项公式
的几何意义是过 两点的直线的斜率.
例:已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a = 1， － = 1，则an =（ ）
1
A．2n －1 B．n C．2n － 1 D．2n-1
【答案】A
【解析】
∵a = 1， － = 1，
1
∴ 是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴ ，即 ，
∴当 时， ，
当 时， 也适合上式，
所以 .
故选：A.
◆知识点 2 : 等差数列的性质
设 为等差数列,公差为 ,则1.若 ,则 .
特别地,(1)若 ,则 ;
2.若 ,则 ;
3.若 是有穷等差数列,则与首、末两项等距离的两项之和都相等, 且等于首、末两项之和,即
.
4.数列 是常数)是公差为 的等差数列.
5.若 是公差为 的等差数列, 与 的项数一致,则数列 为常数)是公差为
的等差数列.
6.下标成等差数列且公差为 的项 组成公差为 的等差数列.
7.在等差数列 中,若 ,则有 .
例:已知数列 是等差数列，且 ，则 等于（ ）
A．84 B．72 C．60 D．43
【答案】C
【详解】
∵数列 是等差数列，且 ，
∴ ，∴ ，
∴
故选：C．
例: 是等差数列，且 ， ，则 的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 是等差数列，所以 ， ， 也成等差数列，
所以 ．故选：B．
◆知识点 3 : 等差数列前 n 项和
1.等差数列前n项和公式
(1)
(2)
(3) (关于前n项和的最大值与最小值可选择此二次函数形式)
2.等差数列前n项和公式与二次函数的关系
等 差 数 列 的 前 项 和 , 令 , 则
.
(1) 当 (即 )时, 是常数函数, 是各项为0的常数列.
(2) 当 (即 )时, 是关于 的一次函数, 是各项为非零的常数列.
(3) 当 (即 )时, 是关于 的二次函数(常数项为0).
从上面的分析,我们可以看出:
(1)一个数列 是等差数列的条件是其前 项和公式 是关于 的二次函数或一次函数或常数
函数,且 为常数).
(2)若一个数列 前 项和的表达式为 为常数),则当 时,数列 不
是等差数列,但从第2项起为等差数列;
(3)由二次函数图象可知,当 时( 是递增数列), 有最小值;当 时( 是递减数列), 有
最大值.
例:在等差数列 中， ，前n项和为 ，且 若对一切正整数n，均有 成立，则正
整数 _____________．
【答案】12或13
【详解】
等差数列 中， ，则 ，∴ ，即 ，又 ，易得 ，
∴ ，
当 或13时， 取得最大值，
∴存在正整数k，使任意 ，都有 恒成立，且k为12或13．
故答案为：12或13．
◆ 知识点 4 : 等差数列前 n 项和的性质
1.等差数列中依次 项之和 组成公差为 的等差数列
2.若等差数列的项数为 ,则
3.若等差数列的项数为 ,则 ( 是数列的中间项),
4. 为等差数列 为等差数列
5.若 都为等差数列, 分别为它们的前 项和,则
例:设等差数列 的前 项和为 且 则 （ ）
A．2330 B．2130 C．2530 D．2730
【答案】D
【解析】
等差数列 的前 项和为 ，则 构成等差数列，
即 ， 构成等差数列，
则 ，则
故选：D例:设 是等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在等差数列 中，由 ，得 ，
故选：B
【核心考点】
◆考点 1 : 等差中项
1．等差数列 的前三项依次为x， ， ，则x的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：依题意 ，解得 ；
故选：D
2．已知 ， ，则a，b的等差中项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由等差中项的定义得：
则a，b的的等差中项为：，
．
故选：A．
3．正项等比数列 中， ， ， 成等差数列，若 ，则 （ ）
A．4 B．8 C．32 D．64
【答案】D
【解析】
由题意可知， ， ， 成等差数列，
所以 ，即 ，
所以 ， 或 （舍），
所以 ，
，
故选：D.
4．已知 为等比数列，若 ，且 与 的等差中项为 ，则 的值为（ ）．
A．5 B．512
C．1024 D．64
【答案】D
【解析】
解：设等比数列 的公比为q，
因为 ，所以 ，解得 ，
因为 与 的等差中项为 ，则有 ，即 ，解得 ，
所以 ，故 ，
则 ， ， ， ，
所以 ．
故选：D．
◆考点 2 : 等差数列的证明
1．等差数列 的前n项和为 ，若 则公差 （ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【解析】
数列 为等差数，设其公差为 ，
则等差数列 的前 项和 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列；
所以 ，所以 .
故选：D.
2．已知等比数列 满足 ， ，则（ ）
A．数列 是等差等列 B．数列 是等差数列
C．数列 是递减数列 D．数列 是递增数列【答案】B
【解析】
解：因为等比数列 满足 ， ，
则 ， 故数列 是以1为首项，以2为公比的等比等列，故A错误；
则 ， 故数列 是以0为首项，以-1为公差的等差数
列，故B正确；
由A知： 。故数列 是递增数列，故C错误；
由B知： ，故数列 是递减数列，故D错误；
故选：B
3．数列{ }中 ，则该数列中相邻两项乘积为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意 ，
所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，
由 得 ，
所以故选：C
4．设数列 的前 项和为 ， 且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由 得： ，即 ，
，又 ， 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
，则 ， .
故选：B.
◆考点 3 : 等差数列的性质
1．已知数列 满足 ， ， ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【解析】
∵ ，∴ 是等差数列．
由等差数列的性质可得 ， ，
∴ ， ，∴ ．
故选：B．
2．已知数列 是等差数列，且满足 ，则 等于（ ）
A．84 B．72 C．75 D．56
【答案】C【解析】
由等差数列的性质，得
，
所以 .
故选：C.
3．在等差数列 中， ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】B
【解析】
由题意，数列 为等差数列，结合等差数列的性质得， ，
则 ，所以 .
故选：B.
4．设 是等差数列，且 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
是等差数列， ， ， 成等差数列，
， .
故选：D.
5．在等差数列 中， 为其前 项和，若 ，则 （ ）
A．20 B．27 C．36 D．45
【答案】C
【详解】
解：由题意，等差数列 中，满足 ，根据等差数列的性质，可得 ，
所以 .
故选：C.
6．等差数列 满足 ，则其前10项之和为（ ）
A．-9 B．-15 C．15 D．±15
【答案】D
【详解】
由已知得 ，
则 ，
.
故选：D.
7．已知等差数列 且 ，则数列 的前13项之和为（ ）
A．26 B．39 C．104 D．52
【答案】A
【详解】
由等差数列的性质可得： ， ，
所以由 可得： ，
解得： ，
所以数列 的前13项之和为
，
故选：A
◆ 考点 4 : 已知 S n 和 a n 的关系求通项公式1．已知 是数列 的前 项和，且满足 ， .则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
当 时， ；
当 时，由 ，可得 .
两式相减得 ，所以 ，且 .
则数列 从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，则 ，
所以 ，所以 .
故选：D
2．各项均为正数的数列{a}的前n项和为S，且3S＝aa ，则a＋a＋a＋…＋a ＝（ ）
n n n n n＋1 2 4 6 2n
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
当n＝1时，3S＝aa，3a＝aa，∴a＝3.
1 1 2 1 1 2 2
当n≥2时，由3S＝aa ，可得3S ＝a a，
n n n＋1 n－1 n－1 n
两式相减得3a＝a(a －a )，
n n n＋1 n－1
又∵a≠0，∴a －a ＝3，
n n＋1 n－1
∴{a }是以3为首项，3为公差的等差数列，
2n
∴a＋a＋a＋…＋a ＝ ，
2 4 6 2n
故选：C.
3．记数列 的前n项和为 ，若 ，则（ ）A． B． 是等差数列 C． 是等比数列 D．
【答案】C
【详解】
解：当 时， ， ，所以选项A错误；
因为 ，
，
所以 ，
化为
所以数列 是等比数列. 所以选项B错误，选项C正确；
,所以选项D错误.
故选：C
4．记数列 的前n项和为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
依题意 ，
当n=1时，a=2a-1，解得a=1；
1 1 1
当 时，由 得 ，
两式相减，得 ，即 ，所以 ，所以数列 是首项为1，公比为2的等比数列，
所以 ， .
故选：A.
5．已知数列{a}满足a＝1，S＝ .
n 1 n
（1）求数列{a}的通项公式；
n
（2）若b＝(－1)n＋1 ，数列{b}的前n项和为T，求T .
n n n 2 021
【答案】
（1）a＝n
n
（2）
【分析】
（1）由S＝ ，则当n≥2时， ，相减求得(n－1)a＝na ，验证n=1后，从而求得数列
n n n－1
{a}的通项公式；（2）代入后利用裂项求和求得T 的值.
n 2 021
（1）
解：由题设，S＝ ①
n
当n≥2时， ②
①－②，得 ，
则(n－1)a＝na .
n n－1
∴ .
所以a＝n.
n
又a 适合上式，故a＝n.
1 n
（2）
解： ..
◆考点 5 : 等差数列前 n 项和的性质
1．设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．45 B．32 C．47 D．54
【答案】A
【详解】
由题可知： 成等差数列
所以 ，又 ，所以
故选：A
2．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】D
【详解】
由 是等差数列 的前 项和，
.
故选：D.
3．等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则( )
A． B．C． D．
【答案】A
【详解】
设 的公差为d，
∵
∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，
由 知 ，
故 ﹒
故选：A﹒
4．设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， .若对于任意的正整数n都有 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设 ， ， .则 ， ，所以 .
故选：B.
5．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A．11 B．7 C．9 D．12
【答案】C
【详解】
由题意，根据等差数列的性质， ， ，
故 ， .
故选：C.
6．已知等差数列{a}和{b}的前n项和分别为S 和S′，如果 (n∈N*)，则 的值是（ ）
n n n n
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由等差数列前n项和的性质，且 ，
可得 ＝ ＝ ＝ .
故选：C.
◆考点 6 : 含绝对值的等差数列前 n 项和
1．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，
（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项的和 .
【答案】
（1） ；
（2） .
【详解】
（1）解：设等差数列 的公差为 ，由已知可得 ，解得 ，
因此， .
（2）解： .
当 时， ，且 ；
当 时， .
综上所述， .
2．已知在前 项和为 的等差数列 中， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
【答案】
（1）
（2）【详解】（1）
设数列 的的公差为 .
故数列 的通项公式为 ；
（2）由 ，
①当 时， ；
②当 时，
故有
◆考点 7 : 数列的奇数项和偶数项性质
1．已知等差数列 共有 项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则 的值为（ ）．
A．30 B．29 C．28 D．27
【答案】B
【详解】
奇数项共有 项，其和为 ，
∴ ．
偶数项共有n项，其和为 ，∴ ．
故选：B．
2．(多选)下列结论中正确的有（ ）
A．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 也是等差数列
B．若 为等差数列，它的前 项和为 ，则数列 ， ， ， 也是等差数列
C．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
D．若等差数列 的项数为 ，它的偶数项和为 ，奇数项和为 ，则
【答案】AD
【详解】
对于A， ，数列 是等差数列，故正确；
对于B， ， ， 是等差数列，故错误；
对于C， ， ，
所以 ，故错误；
对于D， ， ，
所以 ，故正确；
故选：AD.
3．在等差数列{a}中，S ＝120，且在这10项中， ＝ ，则公差d＝________.
n 10
【答案】2
【分析】由 及 ＝5d即可求解.
【详解】
解:由 ,得 ,
所以 ＝5d＝10，所以d＝2.
故答案为：2.
4．已知等差数列 的前 项和为377，项数 为奇数，且前 项中，奇数项的和与偶数项的和之比为
7:6，则中间项为________．
【答案】29
【详解】
因为 为奇数，所以 ，解得 ．
所以 ，所以 ．故所求的中间项为29．
故答案为：29
5．已知等比数列 共有32项，其公比 ，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列 的所有项之
和是（ ）
A．30 B．60 C．90 D．120
【答案】D
【详解】
设等比数列 的奇数项之和为 ，偶数项之和为
则 ，
又 ，则 ，解得 ，故数列 的所有项之和是 .
故选：D
6．已知项数为奇数的等比数列 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的
项数为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】A
【详解】
根据题意，数列 为等比数列，设 ，
又由数列 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则 ，
故 ；
故选：
7．等比数列的首项为1，项数是偶数，所有得奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数
列的项数为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】
设等比数列项数为2n项,所有奇数项之和为 ,所有偶数项之和为 ，
则 ,所以 ，
结合等比数列求和公式有： ，解得n=4，
即这个等比数列的项数为8.
本题选择C选项.
◆考点 8 : 等差数列前 n 项和的函数特征1．已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意 且 ， ”的（
）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】
由等差数列前n项和公式知： ，
∴要使对于任意 且 ， ，则 ，即 是递增等差数列，
∴“对于任意 且 ， ”必有“ ”，
而 ，可得 ，但不能保证“对于任意 且 ， ”成立，
∴“ ”是“对于任意 且 ， ”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．(多选)已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ， ，则（ ）
A．数列 是递增数列 B．
C．当 时， 最大 D．当 时，n的最大值为14
【答案】BCD
【详解】
等差数列 中， ， ， ，
， 公差 ，数列 是递减数列，A错误
，
，B正确.，数列 是递减数列，
当 时， 最大,C正确.
,
, .
当 时，n的最大值为14,D正确.
故选:BCD.
3．(多选)等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a >0，a <0， 则（ ）
15 16
A．a>0 B．d<0
1
C．前15项和S 最大 D．从第32项开始，Sn<0
15
【答案】ABC
【详解】
依题意等差数列{an}满足a >0，a <0，
15 16
所以前15项为正数，第16项开始为负数，公差d为负数，前15项和S 最大，所以ABC选项正确．
15
， 所以D选项错误．
故选∶ ABC
【过关检测】
一、单选题
1．等差数列 中，若 ， ，则公差 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】
由 ， 得
故选：A
2．设 为等差数列 的前n项和，已知 ， ，则 （ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
由已知可得， ，解可得 ，
故选：C.
3．已知数列 是等差数列，且满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由等差中项的性质可得 ，则 ，因此， .
故选：C.
4．记 为等差数列 的前n项和.若 ， ，则 （ ）
A．-54 B．-18 C．18 D．36
【答案】C
【解析】
解：设公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B．52 C．54 D．55【答案】D
【解析】
设等差数列 的公差为 ，则 ，解得 ，
故 .
又函数 的对称轴为直线 ，
而 ，
故当 时， 取得最大值 .
故选：D.
6．等差数列 中， ，前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1011 B．2022 C． D．
【答案】B
【解析】
数列 公差为 ， ， ，
所以 ，
则 ，
故选：B．
7．等差数列 的前n项和为 ，公差为d，已知 且 ．则使 成立的最小正整数n
的值为（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【解析】
因为 ， ，
所以 ，又 ，由 ，可得 ，即 ，
所以使 成立的最小正整数n的值为9.
故选：D.
8．设 是等差数列 的前 项和， ， ，当 取得最小值时， （ ）
A．1 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】
设数列 的公差为 ，
由已知得 ，解得 ，
，
由于 ， ，即 时 ， 时， ，
所以 时， 递减， 时， 递增，其中 ，
由 的表达式得 ， ， ，
所 时， 最小．
故选：D．
9．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ， ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．数列 是递减数列 D．
【答案】D
【解析】
由 ，则 ，即 ，又 ，故A正确；
， ，
则 ，故 ，B正确；
由 ， ，即 ，
所以 ，数列 是递减数列，故C正确；
，D错误.
故选：D
10．已知数列 中， ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
当 为奇数时， ，即数列 中的奇数项依次构成首项为 ，公差为 的等差数列，
所以， ，
当 为偶数时， ，则 ，两式相减得 ，
所以， ，
故 ，
故选：D.
二、多选题
11．已知 是等差数列，其前n项和为 ，若 ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．【答案】ABC
【解析】
因为 是等差数列， ，所以 ，
即 ，亦即 ，
所以 ，
．
故选：ABC．
12．已知数列 的前 项和 ，则（ ）
A． B． 不是等差数列
C．数列 中 最小 D．
【答案】BD
【解析】
解：因为 ，当 时 ，
当 时 ，
所以 ，显然当 时 不成立，
所以 ，所以 从第二项起以 为公差的等差数列，
故数列 不是等差数列，即A错误，B正确；
从第二项起 为递增的等差数列，又 ，所以 为数列的最小项，故C错误；
因为 ，所以，故D正确；
故选：BD
13．记等差数列 的公差为d，前n项和为 ，已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D． 是 的最小值
【答案】BCD
【解析】
， ，
， ，
故数列 为递增数列，即 ，故A错，B正确；
，且 ， ，
，故C正确；
因为数列 为递增数列，且 ， ，即数列前5项为负，第6项起为正数，
所以 是 的最小值，故D正确.
故选：BCD
14．等差数列 的前n项和为 ，若公差 ， ，则（ ）
A． B．
C． D． ， ， 的大小不确定，
【答案】BC
【解析】
∵公差 ， ，
∴ ，∴ ，∴ ， ，∴ ，A错误，B正确；
， ．
∵ ，∴ ，即 ， ．
∵ ，∴ ，即 ．综上， ，C正确，D错误．
故选：BC.
三、填空题
15．记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差 _______．
【答案】2
【解析】
由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
16．已知数列 都是等差数列， 分别是它们的前 项和，并且 ，则
___________.
【答案】2
【解析】
因为 为等差数列，
所以 ，
又 ，所以 .故答案为：2.
17．已知 ， ，求通项 ________.
【答案】
【解析】
解： ，即 ，
， ， ， ， ，
以上各式相加得 ，
又 ，所以 ，
而 也适合上式， .
故答案为：
18．已知数列 的前 项和为 ，且数列 是首项为1，公差为2的等差数列，若 ，数列
的前 项和为 ，则使得 成立的 的最小值为________．
【答案】5
【解析】
因为数列 是首项为1，公差为2的等差数列，易知 ，即 ①，
当 时， ，
当 时， ②
① ②得：∴ ，∴ 满足 ，所以 ，又因为则 ，∴ ，
∴
易知， 是关于 的递增函数，
当 时， ；
当 时， ，∴
故答案为：5.
四、解答题
19．已知在递增的等差数列 中， ， ．
(1)求 和 ；
(2)求 的通项公式．
【答案】(1) (2)
【解析】
(1)解：因为 ，所以 ，
解得 或 ，
又因为数列 递增数列，所以 .
(2)解：设数列 的公差为 （ ），
由 ，可得 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式为 ．20．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）当 为何值时， 取得最大值．
【答案】（1） （2） 或
【解析】
解：（1）因为 ， ，所以 ．
解得 ， ．
所以 ．
（2） ．
因为 ，所以当 或 时， 取得最大值6．
21．设数列 的前 项和为 ， .
（Ⅰ）当 、 ，且 时，求数列 的通项公式；
（Ⅱ）设 的各项均为负实数，当 时，求实数 的取值范围.
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
解：（Ⅰ）数列 的前 项和为 ，且 ，
若 、 ， 时，可得
∴ ，则 ，
当 时，可得 ；
则 .
（Ⅱ）设 的各项均为负实数，
由（Ⅰ）知，当 时，
∴
∴
∴
∴
若 的各项均为负实数，则 ，
且 在 递减，只须 即可，
∴
故实数 的取值范围为 .
22．已知数列 ， 满足 ， ，且 ， ， 成等比数列，其中 为
正项等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)设 的公差为 ，∵ ，∴ ，∴ ．
又 ， ， ，
由 ， ， 成等比数列，得 ，
∵ ，则 ．
∴ ．
(2)因为 ，所以 ，
令 的前 项和为 ，
，①
则 ．②
①－②，得 ，
∴ ，
故 ．
23．已知 是数列 的前 项， .
(1)设 ，求数列 与 的通项公式.
(2)证明： .【答案】(1) ，
(2)证明见解析
【解析】
(1) 当 时， ，
，即 ，
，
，
由条件知 ，
是以 为首项，以 为公比的等比数列，
所以， ，
，
，
，
是以 为首项，以 为公差的等差数列，
所以， ，即 .
(2)由（1）得 ， ，
，
两式相减得， ，，
解得 ，
所以， .
24．已知数列 的前n项和为
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)解：当 时， ，两式作差，整理得
，故数列 是以1为首项，3为公比的等比数列，
故数列 的通项公式为 .
(2)由（1）得， ，
当 时， ，
当 时，，
综上，
