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4.1 等差数列（精讲）（基础版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 等差数列基本量的计算
【例 1】（2022·福建三明）已知等差数列{ }的前 n项和为 ，且 ， ，则 ＝
（ ）
A．6 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【解析】因为 ， ，所以解得 ，
所以 ，故选：B
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1.方程思想：等差数列的基本量为首项a 和公差d，通常利用已知条件及通项公式或前n项和公式列方程(组)
1
求解，等差数列中包含a，d，n，a，S 五个量，可“知三求二”．
1 n n
2.整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用a，d表示，寻求两者间的联系，整体代换即可
1
求解．
3.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程．
【一隅三反】
1．（2022·陕西汉中）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则等差数列 的公差是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，由题意可得 ，解得 .故选：D.
2．（2022·内蒙古呼和浩特）已知在等差数列 中， ，则 （ ）
A．30 B．39 C．42 D．78
【答案】B【解析】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，则 ，解得 ，
故 ，故选：B
3．（2022·陕西·西安工业大学附中）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．20 B．23 C．24 D．28
【答案】D
【解析】因为 是等差数列， 所以 ，又 ，所以公差为 ，
，故选：D.
考点二 等差中项
【例2-1】（2022·北京通州·一模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
【答案】B
【解析】在等差数列 中， ，则 ，故 ，选：B
【例2-2】（2022·浙江杭州·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【解析】由等差中项的性质得 ， ，即 ，
，故选：C.
【例2-3】（2022·安徽滁州）已知 是公差不为零的等差数列，若 ，
则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A【解析】由等差数列的性质得， 所以 ,即 故选:A
【一隅三反】
1．（2022·河北石家庄·二模）等差数列 的前n项和记为 ，若 ，则 （ ）
A．3033 B．4044 C．6066 D．8088
【答案】C
【解析】由等差数列 知， ，所以 ，
故选：C
2．（2022·河南平顶山）已知 为正项等差数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．22 B．20 C．16 D．11
【答案】A
【解析】由题意设正项等差数列 的首项为 ，公差为 故由 得： ，
即 ，故 ，故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 满足 且 ，则
（ ）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】 ,∴数列 是以2为公差的等差数列，
，
， ， ，故选：B.
考点三 前n项和的性质
【例3-1】（2022·北京石景山）记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．36 B．45 C．63 D．75
【答案】B【解析】因为 为等差数列 的前 项和，所以 成等差数列，即 成等差数列，
所以 ，解得 ，故选：B.
【例3-2】（1）（2022·江西·临川一中）已知数列 和 都是等差数列，且其前n项和分别为 和 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
（2）（2022·四川师范大学附属中学二模（理））设等差数列 ， 的前n项和分别是 ， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1）对于等差数列的前n项和满足 ，知道 ，故 .
故选：B.
（2）由等差数列的前 项和公式满足 形式，设 ，则
，故 .故选：B.
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）等差数列 的前 项和为 ，若 且 ，则
( )
A． B．
C． D．【答案】A
【解析】设 的公差为d，∵ ∴ ，
即{ }为等差数列，公差为 ，由 知 ，故
故选：A﹒
【例3-4】（1）（2022·内蒙古赤峰）已知等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 取最
大值时正整数n的值为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
（2）（2022·重庆·二模）（多选）设等差数列 前 项和为 ，公差 ，若 ，则下列结论中
正确的有（ ）
A． B．当 时， 取得最小值
C． D．当 时， 的最小值为29
【答案】（1）B（2）ABC
【解析】（1）设公差为 ，有 ，解得 ， ，有 ，当
，可得 ，可知当 时， ，故 取最大值时正整数n的值为10．故选：B
（2）根据题意，由 .故A正确；
因为 ，故当 时， ， ，当 时， ，当 或 时， 取得最小值，
故B正确；由于 ，故C正确；
因为 ， ，所以由 ，可得：，因此n的最小值为 ，故D错误.故选：ABC
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1.等差数列前n项和S 最值的两种方法
n
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S ＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法
n
求解．
(2)邻项变号法：
①当a>0，d<0时，满足的项数m使得S 取得最大值为S ；
1 n m
②当a<0，d>0时，满足的项数m使得S 取得最小值为S .
1 n m
2.在等差数列中，S，S －S，S －S ，…仍成等差数列；也成等差数列
n 2n n 3n 2n
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 等于（ ）
A．-3 B．-12 C．-21 D．-30
【答案】D
【解析】由等差数列的性质知： 成等差数列，
∴ ，则 ，可得 .
同理： ，即 ，得 .故选：D
2．（2022·全国·高三）若等差数列 和 的前n项的和分别是 和 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为等差数列 和 的前n项的和分别是 和 ，且 ，所以 .故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）设等差数列 与等差数列 的前n项和分别为 ， ，若对任意自然
数n都有 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， .故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列 中， ，其前 项和为 ，若 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 数列 为等差数列， 数列 为等差数列，设其公差为 ，
又 ，解得： ，又 ， ， .选：B.
5．（2022·全国·高三专题练习）（多选）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a>0，S ＝S ，则（ ）
1 10 20
A．d<0 B．a <0 C．Sn≤S D．当且仅当n≥32时，Sn<0
16 15
【答案】ABC
【解析】对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S ＝S ，得10a＋ d＝20a＋ d，化简得a
10 20 1 1 1
＝ d.因为a>0，所以d<0，故A正确；
1对于B，因为a ＝a＋15d＝ d＋15d＝ d，又d<0，所以a <0，故B正确；
16 1 16
对于C，因为a ＝a＋14d＝ d＋14d＝－ d>0，a <0，所以S 最大，即Sn≤S ，故C正确；
15 1 16 15 15
对于D， ，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当
n≥31时，Sn<0，故D错误．故选：ABC
6．（2022·浙江省浦江中学高三期末）设等差数列 的公差为d，其前n项和为 ，且 ，
，则使得 的正整数n的最小值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
因为 是等差数列，所以 ， ， ，
， ， ，
所以 ，
使得 的正整数n的最小值为 .故选: D.
考点四 等差数列定义及其运用
【例4-1】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列数列是等差数列的是（ ）
A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，…
C．－5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，…
【答案】AC
【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项起，后一项与前一项
的差不是同一个常数，故选：AC．
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）在数列 中，有 ,证明：数列
为等差数列，并求其通项公式.【答案】证明见解析，
【解析】设数列 的前n项和为 ，则已知转化为
当 时, ，
上述两式相减并整理，得 .
又因为 时， ，适合上式，所以 .
从而得到 ，所以 ，
所以数列 为等差数列，且其通项公式为 .
【例4-3】（2022·四川·泸县五中模拟预测（理））下列选项中，为“数列 是等差数列”的一个充分不
必要条件的是（ ）
A． B．
C．通项公式 D．
【答案】C
【解析】对于A：数列 是等差数列 ，
∴A选项为“数列 是等差数列”的一个充要条件，故A错误；
对于B：易知B选项为“数列 是等差数列”的一个既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：∵ ，∴ ，∴ ，
∴数列 是等差数列，反之若 为等差数列，则 ，
此时 不一定为2，所以必要性不成立，
∴C选项为“数列 是等差数列”的一个充分不必要条件，故C正确；
对于D：若数列 是等差数列，则 ，∴ 成立，
反之当 ， ， ， 时，满足 ，
但 不是等差数列，
∴D选项为“数列 是等差数列”的一个必要不充分条件，故D错误．故选：C．
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知不全相等的实数 ， ， 成等比数列，则一定不可能是等差
数列的为（ ）
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】因为不全相等的实数 ， ， 成等比数列，
所以该等比数列的公比 ，显然有 ， ，
A：若 ， ， 成等差数列，显然 成立，即 ，
化简为 ，解得 ，或 （舍去），所以假设成立，故 ， ， 有可能是等差数列；
B：若 ， ， 成等差数列，显然 成立，即 ，
化简为： ，解得： ，显然 或 ，所以假设成立，故 ，
， 有可能成等差数列；
C：若 ， ， 成等差数列，显然 ，即 ，
化简为： ，解得 ，因为 ，所以 ，因此假设成立，
故 ， ， 有可能 成等差数列；
D：若 ， ， 成等差数列，显然 ，即 ，
化简为： ，解得 ，而 ，因此假设不成立，故 ， ， 一定不可能成等差数列，故选：D
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等差数列的判定与证明的方法
方法 解读 适合题型
定义法 若a
n
－a
n－1
(n≥2，n∈N*)为同一常数⇔{a
n
}是等差数列
解答题中
证明问题
等差中项法 2a
n
＝a
n＋1
＋a
n－1
(n≥2，n∈N*)成立⇔{a
n
}是等差数列
通项公式法 a＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a}是等差数列
n n 选择、填
空题中的
前 n 项和公 验证S n ＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{a n }是等 判定问题
式 差数列
【一隅三反】
1．（2022·全国·课时练习）（多选）若 是等差数列，则下列数列为等差数列的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】设等差数列 的公差为d，当 时， .
对于A， ，为常数，
因此 是等差数列；故A正确
对于B， ，不为常数，
因此 不是等差数列；故B错误
对于C， ，为常数，
因此 是等差数列；故C正确对于D， ，为常数，
因此 是等差数列.故D正确
故选：ACD.
2．（2022·全国·高二课时练习）（多选）在数列 中， ，且对任意大于 的正整数 ，点
在直线 上，则（ ）
A．数列 是等差数列 B．数列 是等差数列
C．数列 的通项公式为 D．数列 的通项公式为
【答案】BD
【解析】 点 在直线 上， ，
数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，B正确；
，D正确； ，C错误；
， 不是等差数列，A错误.
故选：BD.
3．（2022·全国·课时练习）（多选）下列数列中是等差数列的是（ ）
A． ，a， B．2，4，6，8，…， ，
C． ， ， ， D．
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由于 ，故是等差数列，正确；
对于B选项，2，4，6，8，…， ， 中， ，是等差数列，正确；
对于C选项，因为 ， ，又 ，即第3项与第2项的差不等于第2
项与第1项的差，故不是等差数列；对于D选项，由 得 ，满足等差数列定义.
故选：ABD.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列 中， ，当n≥2时， .求证:数列 是
等差数列.
【答案】证明见解析；
【解析】当n≥2时， ，因 ，显然 ，否则 ，由此可得 ，矛盾，
两边同时除以 ，得 ，而 =1，
所以数列 是以1为首项，1为公差的等差数列.
考点五 等差数列的实际应用
【例5】（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）《周髀算经》是中国古代天文学与数学著作，其中有关于
24节气的描述，将一年分为24个节气，如图所示，已知晷长指太阳照射物体影子的长度，相邻两个节气
的晷长变化量相同（即每两个相邻节气晷长增加或减小量相同，其中冬至晷长最长，夏至晷长最短，从夏
至到冬至晷长逐渐变大，从冬至到夏至晷长逐渐变小.周而复始，已知冬至晷长为13.5尺，芒种晷长为2.5
尺，则一年中秋分这个节气的晷长为（ ）
A．6.5尺 B．7.5尺 C．8.5尺 D．95尺
【答案】B
【解析】冬至到夏至晷长记为数列 ，数列 为等差数列，公差 ，冬至晷长 ，若芒种晷长 所以 ，所以夏至晷长
夏至到冬至晷长记为数列{ }，数列{ }为等差数列，公差 ，夏至晷长 秋分这个节气的
晷长 故选：B
【一隅三反】
1.（2022·江苏南通·模拟预测）《张邱建算经》曾有类似记载：“今有女子善织布，逐日织布同数递增（即
每天增加的数量相同）".若该女子第一天织布两尺，前二十日共织布六十尺，则该女子第二十日织布（
）
A．三尺 B．四尺 C．五尺 D．六尺
【答案】B
【解析】用 表示该女子第 天织布尺寸，则 ， ，由 ，得 ，
．故选：B．
2．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是
圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为 ， ， ，…， ，
设数列 为等差数列，它的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．189 B．252
C．324 D．405
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ，解得： ，所以 .故选：D.
3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出
了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差
数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4
为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积
术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为（ ）
A．139 B．160 C．174 D．188
【答案】A
【解析】由题意可知，设该数列为 ，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，
则数列 满足 ， ，
.
所以 .故选：A.
