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热点 06 类比法
类比分析法是指将两个(或两类)研究对象进行对比，分析它们的相同或相
似之处、相互的联系或所遵循的规律，然后根据它们在某些方面有相同或相似
的属性，进一步推断它们在其他方面也可能有相同或相似的属性的一种思维方
法，在处理一些物理背景很新颖的题目时，可以尝试着使用这种方法．比如：
恒力作用下，或电场与重力场叠加中的类平抛问题、斜抛问题，可直接类比使
用平抛、斜抛相关结论。
例题1. 类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图1所示，弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，
小球相对平衡位置的位移x随时间t的变化规律可用方程 描述，其中x 为小
m
球相对平衡位置O时的最大位移，m为小球的质量，k为弹簧的劲度系数。请在图2中画
出弹簧的弹力F随位移x变化的示意图，并借助F-x图像证明弹簧的弹性势能 。
（2）情境2：如图3所示，把线圈、电容器、电源和单刀双掷开关连成电路。先把开关置
于电源一侧，为电容器充电，稍后再把开关置于线圈一侧，组成LC振荡电路，同时发现电
容器极板上电荷量q随时间t的变化规律与情境1中小球位移x随时间t的变化规律类似。
已知电源的电动势为E，电容器的电容为C，线圈的自感系数为L。
a、类比情境1，证明电容器的电场能 ；
b、类比情境1和情境2，完成下表。
情境1 情境2
小球的位移线圈的磁场能
（i为线圈中电流的瞬时值）
【答案】（1） ，证明过程见解析；
（2）a、证明过程见解析；b、
情境1 情境2
电容器的电荷量
小球的动能
（v为小球的瞬时速度）
【解析】
（1）弹力取向右为正，由F=k△x可得，弹簧弹力F随位移x变化的示意图如图甲所示。F-
x图中，图线与x轴围成的面积等于弹力做的功。则小球从位移为x处回到平衡位置的过程
中，弹簧弹力做功
设小球的位移为x时，弹簧的弹性势能为E，根据功能关系有
p
所以（2）a.根据电容器的定义式
可作出电容器电压U随电荷量q变化的关系图线，如图乙所示
图线与q轴围成的面积等于充电时电源对电容器做的功，也就等于电容器内储存的电场能，
所以
b.
情境1 情境2
小球的位移
电容器的电荷量
小球的动能 线圈的磁场能 (i为线圈中电流的瞬时值）
（v为小球的瞬时速度）
例题2. 类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：如图甲所示，设质量为 的小球以速度 与静止在光滑水平面上质量为
的小球发生对心碰撞，碰后两小球粘在一起共同运动。求两小球碰后的速度大小v；
（2）情境2：如图乙所示，设电容器 充电后电压为 ，闭合开关K后对不带电的电容
器 放电，达到稳定状态后两者电压均为U；
a．请类比（1）中求得的v的表达式，写出放电稳定后电压U与 、 和 的关系式；
b．在电容器充电过程中，电源做功把能量以电场能的形式储存在电容器中。图丙为电源给
电容器 充电过程中，两极板间电压u随极板所带电量q的变化规律。请根据图像写出电
容器 充电电压达到 时储存的电场能E；并证明从闭合开关K到两电容器电压均为U的
过程中，损失的电场能 ；
（3）类比情境1和情境2过程中的“守恒量”及能量转化情况完成下表。
情境1 情境2
动量守恒
损失的电场能
减少的机械能转化为内能【解析】（1）根据动量定理，有
解得v=
故两小球碰撞后的速度大小为 。
（2）a。根据题意，进行类比，有
解得：
故关系式为
b。根据图像，有
损失的电场能为
代入U的关系式可得
因
则有
（3）对情景1中的第二个空，类比情景2中第二个空，则情景1损失的机械能，有则有
该空填损失的机械能
对情景2中的第一个空类比情景1中第一个空“动量为mv” ，而对于情景2，C与U的乘
积表示电荷，所以该空填电荷守恒。
类比于情景1中第三个空，情景2中第三个空可填：损失的电场能转化为内能，
一、 切割玻璃与小船渡河的类比
二、 速度斜牵引类比斜牵引的加速度或力
三、 弹簧振子类比分子力和分子势能
四、 重力场与电场类比求重力场、重力势
五、 卫星绕地球运动类比电子绕原子核运动求电
子运动周期
六、 流体问题中的直圆柱模型类比求解加速电场
中某段长度的粒子数
七、 类比流体冲击力求解气体分子压强
八、 动量守恒的弹簧类问题类比两电荷在光滑水
平面上的运动
（建议用时：30分钟）
一、单选题
1．氢原子的核外电子由内层轨道转移到外层轨道的过程中（ ）
A．电势能减少而电子动能增加，原子的能量增加
B．电势能减少而电子动能增加，原子的能量减少
C．电势能增加而电子动能减少，原子的能量增加
D．电势能增加而电子动能减少，原子的能量减少
【答案】C【解析】氢原子的核外电子由内层轨道转移到外层轨道的过程中，轨道半径增大，电子的
动能减小，电子和原子核的电势能变大，原子的总能量增加。
故选C。
2．某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，为了能让质子进入癌细胞，首
先要实现质子的高速运动，该过程需要一种该称作“粒子加速器”的装置来实现。质子先
被加速到较高的速度，然后轰击肿瘤并杀死癌细胞。如图所示，来自质子源的质子（初速
度为零），经加速电压为U的加速器加速后，形成细柱形的质子流。已知细柱形的质子流
横截面积为S，其等效电流为I；质子的质量为m，其电量为e。那么这束质子流内单位体
积的质子数n是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】质子在加速电场中加速
根据电流的微观表达式
联立解得
故ABC错误，D正确。
故选D。
3．估算池中睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强，小明在雨天将一圆柱形水杯置于露台，
测得1小时内杯中水上升了45mm。查询得知，当时雨滴竖直下落速度约为12m/s。据此估
算该压强约为（ ）（设雨滴撞击睡莲后无反弹，不计雨滴重力，雨水的密度为
1×103kg/m3）
A．0.15Pa B．0.54Pa C．1.5Pa D．5.1Pa【答案】A
【解析】由于是估算压强，所以不计雨滴的重力。设雨滴受到支持面的平均作用力为F。
设在△t时间内有质量为△m的雨水的速度由v=12m/s减为零。以向上为正方向，对这部分
雨水应用动量定理有
得到
设水杯横截面积为S，对水杯里的雨水，在△t时间内水面上升△h，则有
所以有压强
即睡莲叶面承受雨滴撞击产生的平均压强为0.15Pa。
故A正确，BCD错误。
故选A。
4．如图所示，在光滑绝缘的水平面上有两个电荷量分别为Q和q的滑块，两滑块的质量相
等，两滑块的电性相同，电荷量Q>q．一开始，带电荷量为q的滑块静止，带电荷量为Q
的滑块以某一初速度v从远处向右运动，则
A．两滑块的加速度始终相同
B．两滑块的速度相同时，两滑块间的电势能最大
C．两滑块的总动量先变小，后变大
D．两滑块最终以相同的速度做匀速直线运动
【答案】B
【解析】A、两滑块运动过程中，两滑块所受的合外力都等于库仑力，而库仑力大小相等，
方向相反，它们的质量也相等，则两滑块的加速度大小相等，方向相反，加速度不相同，故A错误。
B、滑块Q向右做减速运动，滑块P向右做加速运动，在速度相等之前，两者间距减小，电
场力对系统做负功，系统的电势能增大，速度相等后，两者间距增大，电场力做正功，电
势能减小，所以两滑块的速度相同时，两滑块间的电势能最大，故B正确。
C、两滑块组成的系统合外力为零，总动量守恒。故C错误。
D、两滑块所受的合力等于库仑力，不等于零，所以最终不可能以相同的速度做匀速直线
运动，故D错误.
故选B。
5．如图所示，甲分子固定在坐标原点O，乙分子位于x轴上，甲分子对乙分子的作用力与
两分子间的距离的关系如图中曲线所示．F＞0为斥力，F＜0为引力．a、b、c、d为x轴
上四个特定的位置．现把乙分子从a处由静止释放，则（ ）
A．乙分子由a到b做加速运动，由b到c做减速运动
B．乙分子由a到d的运动过程中，加速度先减小后增大
C．乙分子由a到b的过程中，两分子间的分子势能一直减小
D．乙分子由b到d的过程中，两分子间的分子势能一直增大
【答案】C
【解析】A．从a到b，分子力为引力，分子力做正功，做加速运动，由b到c为引力做加
速运动，故A错误；
B．乙分子由a到d的运动过程中，先是吸引力先增后减，后来是斥力逐渐变大，则加速度
先是先增后减，后来又逐渐变大，选项B错误；
C．乙分子由a到b的过程中，分子力一直做正功，故分子势能一直减小，故C正确；
D．由b到c为引力做正功，由b到d的过程中，分子力做负功，故两分子间的分子势能先
减小后增大，故D错误。
故选C。
6．如图所示，在竖直平面内，两质量均为m、电荷量均为+q的小球（视为质点）P、Q用
一段绝缘细线连接，整个装置始终处在垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场中．让
小球P固定不动，将细线水平拉直后由静止释放小球2，当绳与水平方向夹角为α（小于90°）时，小球的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】小球Q在运动中与小球P的距离保持不变，所以小球Q所处的电势大小不变，所
以电场力不做功．洛伦兹力时刻指向圆心，与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功．所以
只有重力做功．设当绳与水平方向夹角为α（小于90°）时，小球速度为v，由动能定理可
得： mv2=mgR•sinα…①；对小球Q受力分析，沿绳方向和垂直于绳的方向建立平面直
角坐标系，将重力正交分解，分级为垂直于绳方向的G，和沿绳方向的G．沿绳方向的合
1 2
力充当向心力，所以沿绳方向的合力 …②；沿绳方向的加速度 …③；联
立①②③解得：a=2g•sinα；垂直于绳的方向的力G=mg•cosα，垂直于绳方向加速度a=
1 1 2
=g•cosα；小球Q的加速度 ，故C正确，ABD错误．
二、多选题
7．玻璃生产线上，宽12 m的成型玻璃以8 m/s的速度向前运动，在切割工序处，割刀速
度为10 m/s，为了使割的玻璃板都成规定尺寸的矩形，则下列说法正确的是( )
A．割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度相同
B．割刀与运动方向的夹角为37°
C．切割一次的时间为1.5 s
D．若玻璃板以2 m/s的速度连续不断地向前运动，要将玻璃切割成一角为45°的平行四边
形，可使割刀朝着沿玻璃板运动方向的分速度为8 m/s的方向进行切割
【答案】ABD
【解析】A.玻璃板被切成矩形，说明割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速
度相同，选项A正确；如图甲所示，有
cos α＝ ＝
BC.故割刀实际移动方向与玻璃板移动方向间的夹角为α＝37°，割刀相对玻璃板的速度为
v ＝ ＝6 m/s
相
故切割一次的时间为
t＝ ＝2 s
选项B正确，C错误；
D.切割为平行四边形时，割刀在沿玻璃板运动方向的分速度与玻璃板移动的速度不相同，
又要求平行四边形有一个角为45°，故沿玻璃板运动方向割刀相对玻璃的速度Δvx与垂直玻
璃运动方向的相对速度Δvy相等，即
Δvx＝Δvy，
由于玻璃板只沿一个方向运动，故Δvy就是割刀的另一分速度，如图乙所示，则
(Δvx＋2 m/s)2＋
又
v ＝10 m/s
刀
故
Δvx＝6 m/s(Δvx＝－8 m/s舍去)
故割刀沿玻璃板运动方向的分速度为8 m/s，D正确．
8．电荷周围有电场，具有质量的物体周围有引力场，引力场与电场有很多相似之处。例如点电荷Q的场强公式为 ，质点（或球）m周围的引力场场强也可以用定义电场强度
的方法得到 ；负点电荷Q周围的电势为 ，质点（或球）m周围的引力场的
引力势为 ，同样按照电场线的定义方式引力场周围也可以画出引力线。设地球质
量为M，半径为R，地球表面处的重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（
）
A．两个质量相等的星球周围的引力线分布如图乙所示
B．距地球表面高度R处的引力场强度为
C．距地球表面高度R处的引力场的引力势为
D．如果不计空气阻力，从地球表面发射一颗质量为m，轨道高度为R的人造地球卫星，火
箭需要提供的能量为
【答案】BD
【解析】A．其他星球受到中心天体的引力指向中心天体，所以引力线应该终止于中心天
体，其他星球在该引力场中每一点的场力应该等于两星球单独存在时场力的矢量和，所以
除了两星球连线上其他各处的合力并不指向这两个星球，所以引力线应该是曲线，综合分
析可知，两个质量相等的星球周围的引力线分布如图丙所示，故A项错误；
B．距地球表面R高度处的引力场强度
故B项正确；C．距地球表面R高度处的引力场的引力势能为 ，故C错误；
D．将质量为m的卫星发射到R高度，引力势能的增加量
根据万有引力提供向心力有
解得
根据能守恒定律，卫星机械能增加量等于发动机消耗的最小能量
故D项正确。
故选BD。
三、解答题
9．类比是研究问题的常用方法。
（1）情境1：物体从静止开始下落，除受到重力作用外，还受到一个与运动方向相反的空
气阻力 （ 为常量）的作用。其速度 和速度的变化率 满足方程Ⅰ：
，其中 为物体质量， 为其重力。求物体下落的最大速率 。
（2）情境2：如图所示，电源电动势为 ，导体棒的质量为 ，定值电阻的阻值为 ，
忽略电源内阻及导体棒、轨道的电阻，整个装置处于垂直于导轨向下的匀强磁场中，磁感
应强度大小为 ，间距为 的水平导轨光滑且足够长。闭合开关 ，导体棒开始加速运动，
闭合开关瞬间开始计时。
a.求 时导体棒的加速度；b.推导导体棒的速度 和速度的变化率 满足的方程Ⅱ。
（3）比较方程Ⅰ和方程Ⅱ，发现情境2中导体棒的速度变化规律与情境1中物体的速度变
化规律完全一致。已知情境1中物体速度 随时间 变化的表达式为 ，通
过类比写出情境2中导体棒的速度 随时间 变化的表达式。
【答案】（1） ；（2）a. ，水平向右；b. ；
（3）
【解析】
（1）当物体下落速度达到最大时，速度的变化率为零，则有
解得 。
（2）a.t=0时通过导体棒的电流为
导体棒所受安培力大小为
导体棒的加速度大小为
联立解得
根据左手定则可知加速度方向水平向右。
b.当导体棒速度大小为v时，其切割磁感线产生的感应电动势大小为感应电动势与电源电动势方向相反， 所以此时通过导体棒的电流为
导体棒所受安培力大小为
对导体棒根据牛顿第二定律有
联立⑦⑧⑨⑩可得方程Ⅱ为
（3）类比题给表达式，可得情境2中导体棒的速度 随时间 变化的表达式为
【批注】将 写成 ，解微分方程G-kv= m ，可以得出v= （1- ）。
10．类比是一种重要的科学思想方法。在物理学史上，法拉第通过类比不可压缩流体中的
流速线提出用电场线来描述电场。
（1）静电场的分布可以用电场线来形象描述，已知静电力常量为k。
①真空中有一电荷量为Q的正点电荷，其周围电场的电场线分布如图20所示。距离点
电荷r处有一点P，请根据库仑定律和电场强度的定义，推导出P点场强大小E的表达式；
②如图21所示，若在A、B两点放置的是电荷量分别为+q 和-q 的点电荷，已知A、B
1 2
间的距离为2a，C为A、B连线的中点，求C点的电场强度的大小E 的表达式，并根据电场
C
线的分布情况比较q 和q 的大小关系。
1 2
E
E
P
Q
A C B
图21
图20
（2）有一足够大的静止水域，在水面下足够深的地方放置一大小可以忽略的球形喷头，
其向各方向均匀喷射水流。稳定后水在空间各处流动速度大小和方向是不同的，为了形象
地描述空间中水的速度的分布，可引入水的“流速线”。水不可压缩，该情景下水的“流速线”的形状与图20中的电场线相似，箭头方向为速度方向，“流速线”分布的疏密反映
水流速的大小。
①已知喷头单位时间喷出水的体积为Q ，写出喷头单独存在时，距离喷头为r处水流
1
速大小v 的表达式；
1
②如图22所示，水面下的A点有一大小可以忽略的球形喷头，当喷头单独存在时可以
向空间各方向均匀喷水，单位时间喷出水的体积为Q ；水面下的B点有一大小可以忽略的
1
球形吸收器，当吸收器单独存在时可以均匀吸收空间各方向的水，单位时间吸收水的体积
为Q 。同时开启喷头和吸收器，水的“流速线”的形状与图21中电场线相似。若A、B间
2
的距离为2a，C为A、B连线的中点。喷头和吸收器对水的作用是独立的，空间水的流速和
电场的场强一样都为矢量，遵循矢量叠加原理，类比图21中C处电场强度的计算方法，求
图22中C点处水流速大小v 的表达式。
2
v
喷头 吸收器
A C B
图22
【解析】（1）①在距该正点电荷r处放置试探电荷+q，其所受电场力大小为
电场强度大小E的定义为
联立以上两式得
②根据电场的叠加 C点的电场强度的大小E 的表达式为
C
如图所示，过C作A、B连线的中垂线，交某条电场线于D点，由图可知该点场强E
D斜向上方，因此q >q
1 2
（2）①当喷头单独存在时，喷头向空间各方向均匀喷水，设单位时间喷头喷出水的体
E
E
D D
A C B
积为Q，在距喷头r处水流速度大小为v，考察极短的一段时间 则
因此，在距喷头r处的流速大小为
② 喷头在C点引起的流速为
吸收器在C点引起的流速为
当喷头和吸收器都存在时，类似于电场的叠加，C点处的实际流速为
