文档内容
专题 16 等差数列及其前 n 项和
【考纲要求】
1、理解等差数列的定义，会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.
2、掌握等差中项的概念，深化认识并能运用，掌握等差数列前n项和公式及其获取思路.
3、经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.
4、熟练掌握等差数列的五个量a，d，n，a，S 的关系，能够由其中三个求另外两个．
1 n n
【思维导图】
一、等差数列的概念
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
等差数列{a
n
}的概念可用符号表示为a
n＋1
－a
n
＝d(n∈N*)．
[化解疑难]
1．“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．
2．“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了： ①作差的顺序；
②这两项必须相邻．
3．定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数
列.
2、等差中项
如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是A＝.
[化解疑难]
1．A是a与b的等差中项，则A＝或2A＝a＋b，即两个数的等差中项有且只有一个．
2．当2A＝a＋b时，A是a与b的等差中项.
3、等差数列的通项公式
已知等差数列{a}的首项为a，公差为d
n 1
递推公式 通项公式
a
n
－a
n－1
＝d(n≥2) a
n
＝a
1
＋(n－1)d(n∈N*)
[化解疑难]
由等差数列的通项公式a＝a＋(n－1)d可得a＝dn＋(a－d)，如果设p＝d，q＝a－d，那么a＝pn＋q，
n 1 n 1 1 n
其中p，q是常数．当p≠0时，a 是关于n的一次函数；当p＝0时，a＝q，等差数列为常数列．
n n二、等差数列的前n项和
【考点总结】
1、数列前n项和的概念
把a＋a＋…＋a 叫数列{a}的前n项和，记做S．则 a＋a＋a＋…＋a ＝S (n≥2)．
1 2 n n n 1 2 3 n－1 n－1
思考 由S 与S 的表达式可以得出
n n－1
a＝
n
2、等差数列前n项和公式
1．公式1：若{a}是等差数列，则S 可以用首项a 和末项a 表示为S＝．
n n 1 n n
2．公式2：若首项为a，公差为d，则S 可以表示为S＝na＋n(n－1)d．
1 n n 1
3．推导方法：倒序相加法
过程：S＝a＋a＋…＋a，
n 1 2 n
S＝a＋a ＋…＋a，
n n n－1 1
∵a＋a＝a＋a ＝…＝a＋a，
1 n 2 n－1 n 1
∴2S＝n(a＋a)，
n 1 n
∴S＝.
n
4．从函数角度认识等差数列的前n项和公式
(1)公式的变形
S＝na＋＝n2＋(a－)n.
n 1 1
(2)从函数角度认识公式
①当d≠0时，S 是项数n的二次函数，且不含常数项；
n
②当d＝0时，S＝na，不是项数n的二次函数．
n 1
3、等差数列前n项和的性质
1．若数列{a}是公差为d的等差数列，S 为其前n项和，则数列也是等差数列，且公差为.
n n
2．若S ，S ，S 分别为等差数列{a}的前m项，前2m项，前3m项的和，则S ，S －S ，S －S 也成
m 2m 3m n m 2m m 3m 2m
等差数列，公差为m2d．
3．设两个等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S，T，则＝.
n n n n
4．若等差数列的项数为2n，则S ＝n(a＋a )，
2n n n＋1
S －S ＝nd，＝.
偶 奇
5．若等差数列的项数为2n＋1，则S ＝(2n＋1)a ，
2n＋1 n＋1
S －S ＝－a ，＝.
偶 奇 n＋1
【题型汇编】
题型一：等差数列及其通项公式
题型二：等差数列的性质题型三：等差数列的前n项和
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
【题型讲解】
题型一：等差数列及其通项公式
一、单选题
1．（2022·江西九江·三模（文））等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
2．（2022·四川成都·三模（文））在等差数列 中，已知 ， ，则数列 的公差为
（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．（2022·山西大附中三模（理））已知等差数列 的各项均为正数，其前n项和为 ，且满足 ，
，则 （ ）
A．28 B．30 C．32 D．35
4．（2022·陕西汉中·二模（理））已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则等差数列
的公差是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·广西柳州·三模（文））记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当
取最小值时， 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
7．（2022·山西太原·一模（文））设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
8．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 取最小值
时， 的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
9．（2022·四川成都·二模（理））已知数列 的前 项和为 ．若 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·江苏·金陵中学二模）设 是公差 的等差数列，如果 ，那么
（ ）
A． B． C． D．
题型二：等差数列的性质
一、单选题
1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））已知等差数列 的前n项和为 ， ， ，则
（ ）
A．-110 B．-115 C．110 D．115
2．（2022·北京东城·三模）在公差不为零的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·安徽淮南·二模（理））已知等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．14 D．20
4．（2022·安徽滁州·二模（文））已知 是公差不为零的等差数列，若
，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．105．（2022·四川·成都七中二模（文））已知数列 满足 ， ，
，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
（ ）
A．2020 B．1021 C．1010 D．1002
7．（2022·江西·二模（文））己知等差数列 的前n项和是 ，若公差 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南许昌·三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2022·山西太原·二模（理））等差数列 的前n项和为 ，若 则公差 （ ）
A．1 B．2 C．－1 D．－2
10．（2022·安徽省含山中学三模（文））已知等差数列 的前n项和为 ．若 ，则
（ ）
A．60 B．50 C．30 D．20
二、多选题
1．（2022·重庆·二模）设等差数列 前 项和为 ，公差 ，若 ，则下列结论中正确的有
（ ）
A． B．当 时， 取得最小值
C． D．当 时， 的最小值为292．（2022·江苏南京·二模）已知 是等差数列 的前 项和，且 ，则下列说法正确
的是（ ）
A． 中的最大项为 B．数列 的公差
C． D．当且仅当 时，
题型三：等差数列的前n项和
一、单选题
1．（2022·辽宁沈阳·一模）已知等差数列 的公差为2，且 ， ， 成等比数列，则 的前n项和
（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·一模（文））已知数列 为等差数列，首项 ，公差 ，前n项和 ，则
（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2022·宁夏中卫·三模（理））已知数列 满足点 在直线 上，则数列 的前
项和
A． B． C． D．
4．（2022·湖南省临澧县第一中学二模）设 为等差数列 的前 项和， ， ，则
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
5．（2022·江西师大附中三模（理））等差数列 的前 项和为 ，满足： ，则
（ ）
A．72 B．75 C．60 D．100
6．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知在等差数列 中， ，则 （ ）A．30 B．39 C．42 D．78
7．（2022·安徽合肥·二模（文））设等差数列 的前 项和为 ， ，则 的值为
（ ）
A．10 B．12 C．13 D．14
8．（2022·重庆·二模）等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
9．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，
则 的公差为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·浙江杭州·二模）设等差数列 的前n项和为 ，若 ，则 （ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
二、多选题
1．（2022·河北沧州·二模）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·广东惠州·二模）已知 为等差数列，其前 项和 ，若 ， ，则（ ）
A．公差 B．
C． D．当且仅当 时
题型四：等差数列的前n项和的函数特性
一、单选题1．（2022·宁夏·平罗中学三模（文））设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则当
取最小值时， 的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．9
2．（2022·四川雅安·二模）设等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 取最小值
时， 的值为（ ）
A．19 B．20 C．21 D．20或21
3．（2022·重庆·二模）等差数列 的公差为2，前 项和为 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2022·河南许昌·三模（文））已知 是等差数列 的前n项和，若对任意的 ，均有 ．
成立，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
5．（2022·北京·潞河中学三模）已知 是等差数列， 是其前 项和.则“ ”是“对于任意
且 ， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2022·上海·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则下列说法中正确的是
（ ）
A． 为递增数列
B．当且仅当 时， 有最大值C．不等式 的解集为
D．不等式 的解集为
7．（2022·广东·潮州市瓷都中学三模）已知函数 ，对任意实数m，n都有 ，
已知 ，则 的最大值等于（ ）
A．133 B．135 C．136 D．138
8．（2022·河南·三模（理））在等差数列 中， ，且它的前 项和 有最小值，则当 时，
的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
1．（2022·福建漳州·三模）已知数列{ }的前n项和为 ，则下列说法正确的是（ ）．
A． 是递增数列 B． 是递减数列
C． D．数列 的最大项为 和
