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A 版
高 考
数
学
／
７４
７．２ 等差数列
§
Ａ Ｂ是常数 ．
（ ， ）
６．在等差数列 ａ 中 若ａ ｄ 则Ｓ 存在最大值 若ａ
｛ ｎ｝ ， １＞０， ＜０， ｎ ； １
ｄ 则Ｓ 存在最小值．
＜０， ＞０， ｎ
考点一 等差数列及其前ｎ项和
１．等差数列的定义 考点二 等差数列的性质
如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的差是 已知数列 ａ 是等差数列 Ｓ 是 ａ 的前ｎ项和．
（１） ， ｛ ｎ｝ ， ｎ ｛ ｎ｝
①
同一个常数
，
那么这个数列就叫做等差数列
，
这个常数叫做
（１）
若ｍ
＋
ｎ
＝
ｐ
＋
ｑ
（
ｍ
，
ｎ
，
ｐ
，
ｑ
∈
Ｎ∗
），
则有ａ
ｍ＋
ａ
ｎ＝
ａ
ｐ＋
ａ
ｑ
．
等差数列的公差 通常用字母ｄ表示． 等差数列 ａ 的单调性 当ｄ 时 ａ 是递增数列
， （２） ｛ ｎ｝ ： ＞０ ，｛ ｎ｝ ；
（２）
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｄ
（
同一个常数
）（
ｎ
∈
Ｎ∗
）
或ａ
ｎ－
ａ
ｎ －１＝
ｄ
（
同一 当ｄ
＜０
时
，｛
ａ
ｎ｝
是递减数列
；
当ｄ
＝０
时
，｛
ａ
ｎ｝
是常数列．
个常数
）（
ｎ
∈
Ｎ∗
，
ｎ
≥２）
．
（３）
若
｛
ａ
ｎ｝
是等差数列
，
公差为ｄ
，
则ａ
ｋ，
ａ
ｋ ＋ ｍ，
ａ
ｋ ＋２ ｍ，…（
ｋ
，
ｍ
２．等差中项 如果ａ Ａ ｂ成等差数列 那么 Ａ 叫做ａ与ｂ Ｎ∗ 是公差为ｍｄ的等差数列．
： ， ， ， ② ∈ ）
ａ ｂ {Ｓ }
的等差中项且 Ａ ＋ ． 若 ａ 是等差数列 则 ｎ 也是等差数列 其首项与
③ ＝ （４） ｛ ｎ｝ ， ｎ ，
２
３．通项公式
ａ 的首项相同 其公差是 ａ 的公差的 １ ．
如果等差数列 ａ 的首项为ａ 公差为ｄ 那么通项公 ｛ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
（１） ｛ ｎ｝ １， ， ２
式为ａ
ｎ＝④
ａ
１＋
（ｎ
－１
）ｄ，ｎ
∈
Ｎ∗ ．
（５）
若
｛
ａ
ｎ｝
是等差数列
，
Ｓ
ｍ，
Ｓ
２ ｍ，
Ｓ
３ ｍ
分别为
｛
ａ
ｎ｝
的前ｍ项
，
（２）
通项公式的推广
：
ａ
ｎ＝
ａ
ｍ＋（
ｎ
－
ｍ
）
ｄ
（
ｎ
，
ｍ
∈
Ｎ∗
）
． 前
２
ｍ项
，
前
３
ｍ项的和
，
则Ｓ
ｍ，
Ｓ
２ ｍ－
Ｓ
ｍ，
Ｓ
３ ｍ－
Ｓ
２ ｍ
成等差数列
，
公差
４．等差数列的前ｎ项和 为ｍ２ｄ
（
ｄ为数列
｛
ａ
ｎ｝
的公差
）
．
关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
已知条件 前ｎ项和公式 （６）
Ｓ ａ
ｎ ａ ａ 若项数为 ｎ 则Ｓ Ｓ ｎｄ 奇 ｎ ．
ａ １， ａ ｎ， ｎ Ｓ ｎ＝ （ １
２
＋ ｎ） （ｉ）
若项数为
２
ｎ
，
则
偶－
Ｓ
奇＝
ｎ
，Ｓ 偶
ａ
＝ａ
Ｓ
ｎ
＋１
ｎａ Ｓ Ｓ ａ
ｎ ｎ （ｉｉ） ２ －１， 偶＝（ －１） ｎ， 奇＝ ｎ， 奇－ 偶＝ ｎ，
ａ １， ｄ ， ｎ Ｓ ｎ＝ ｎａ １＋ （ －１）ｄ Ｓ 奇 ｎ ．
２ Ｓ ＝ｎ
５．等差数列的前ｎ项和公式与函数的关系 偶 －１
两个等差数列 ａ ｂ 的前ｎ项和Ｓ Ｔ 之间的关系
ｄ ( ｄ ) （７） ｛ ｎ｝、｛ ｎ｝ ｎ、 ｎ
Ｓ
ｎ＝
ｎ２
＋
ａ
１－
ｎ．
为
ａ
ｎ
Ｓ
２ ｎ －１．
２ ２ ｂ ＝Ｔ
非零数列 ａ 是等差数列的充要条件是其前 ｎ 项和 Ｓ ｎ ２ ｎ －１
｛ ｎ｝ ｎ＝
ｆ
（
ｎ
）
是ｎ的二次函数或一次函数且不含常数项
，
即Ｓ
ｎ＝
Ａｎ２
＋
Ｂｎ
ａ
解析 （
１
）因为ａ
ｎ＝
ｎ －１
＋ ｎ
１
－１
（ｎ
≥２
，且ｎ
∈
Ｎ∗），
２ ２
考法一 等差数列的判定与证明 所 所 以 以 数 ２ ｎ 列 ａ ｎ ｛ ＝２ ｎ ｎ ａ －１ ｝ ａ ｎ 是 －１＋ 等 ２ 差 ，即 数 ２ 列 ｎａ ， ｎ 且 －２ 公 ｎ －１ 差 ａ ｎ － ｄ １＝２ ， ， 首项 ａ ，
２ ｎ ＝２ ２ １＝３
ｎ
例１ （２０２０山东淄博二模）已知数列 ａ 满足ａ ３ 所以 ｎａ （ｎ ） ｎ ，解得ａ ２ ＋１．
｛ ｎ｝ １＝ ， ２ ｎ＝３＋ －１ ×２＝２ ＋１ ｎ＝ ｎ
２ ２
公 且 式 ａ ｎ （ ＝ １ ａ ） ２ ｎ 求 －１ ＋ 证 ２ ｎ １ ： － 数 １（ 列 ｎ ≥ ｛ ２ ２ ， ｎａ 且 ｎ｝ ｎ 是 ∈ 等 Ｎ 差 ∗ ） 数 ． 列 ， 并求出数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项 则 （ ２ ） Ｓ ２ ｎ 由 ＝ （ ２ １ ３ ２ ） ＋ 得 ２ ５ ３ Ｓ ＋ ｎ ２ ＝ ７ ４ ２ ３ ＋ … ＋ ２ ＋ ５ ２ ２ ＋ ｎ ２ － ２ ｎ ７ ３ １ ＋ ＋ … ２ ２ ｎ ｎ ＋ ＋ ＋１ ２ １ ２ ｎ ， ｎ － － ② １ １ ＋ ２ ｎ ２ ＋ ｎ １， ①
； Ｓ æ ö ｎ （２） 求数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ ． ①－② ，得 ｎ ＝ ３ ＋２×è ç １ ２ ＋ １ ３ ＋ … ＋ １ ｎø ÷ － ２ ｎ ＋ ＋１ １ ＝ ３ ＋２×
ａ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
解题导引
（１）
将 ａ
ｎ ＝
２
ｎ －１
＋
２
ｎ
１
－１（
ｎ
≥２，
且 ｎ
∈
Ｎ∗
）
化为
１
×
æ
è
ç
１－ ｎ
１
－１
ö
ø
÷
ｎ ｎ ｎ
２ ｎａ ｎ－２ ｎ －１ａ ｎ －１＝２， 从而可证 ， 进而求 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式． ４
１
２ － ２
２
ｎ ＋ ＋１ １ ＝
２
５ － ２
２
ｎ ＋ ＋１ ５，所以Ｓ ｎ＝５－ ２
２
＋ ｎ ５．
用错位相减法求得Ｓ ． １－
（２） ｎ ２
专
题
七
数
列
／
７５
方法总结 判定等差数列的方法 æ ö
因为 ８ ç １ ÷随着ｎ的增大而减小，所以此时Ｓ 的最大
è１＋ ｎø ｎ
方法 解读 适合题型 ３ ２
æ ö æ ö
定义法
对于ｎ
∈
Ｎ∗
，
ａ
ｎ＋１－
ａ
ｎ
为同一常数
⇔｛
ａ
ｎ｝
是 值为Ｓ
１＝４
．当ｎ为偶数时，Ｓ
ｎ＝
８
è
ç
１－
１
ｎø
÷．且 Ｓ
ｎ＝
８
è
ç
１－
１
ｎø
÷
＜
等差数列 解答题中的 ３ ２ ３ ２
等差 ２ ａ ｎ－１＝ ａ ｎ＋ ａ ｎ－２（ ｎ ≥３， ｎ ∈ Ｎ∗ ） 成立 ⇔｛ ａ ｎ｝ 是 证明问题 ８ ＜４ ．综上，Ｓ ｎ 存在最大值，且最大值为 ４ ．
中项法 等差数列 ３
通项 ａ ｐｎ ｑ ｐ ｑ为常数 对任意的正整数ｎ都 方案二：选 ．
ｎ＝ ＋ （ ， ） 选择题 填 ②
前 公 ｎ 式 项 法 和 验 成 证 立 ⇔ Ｓ ｎ ｛ ＝ ａ Ａ ｎ ｎ ｝ ２ 是 ＋ Ｂ 等 ｎ 差 （ Ａ 数 ， Ｂ 列 是常数 ） 对任意的正 空 判 题 定 中 问 、 的 题 因为ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝－ ６ １ ，ａ １＝４ ，所以｛ａ ｎ ｝是首项为 ４ ，公差为 － ６ １
公式法 整数ｎ都成立 ａ 是等差数列 ( )
⇔｛ ｎ｝ 的等差数列，所以ａ （ｎ ） １ １ ｎ ２５，由 １ ｎ ２５
经典例题教师用书 ｎ＝４＋ －１ － ＝－ ＋ － ＋
６ ６ ６ ６ ６
例 设数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 且Ｓ ｎ＝２ ｎ －１ ．数列 ｛ ｂ ｎ｝ 满 ≥０ ，得ｎ ≤２５ ，所以Ｓ ｎ ( 存在 ) 最大值，且最大值为Ｓ ２５ （或Ｓ ２４ ），因
足ｂ １ （ （ ＝ ２ １ ２ ） ） ， 证 求 ｂ ｎ 明 数 ＋１－ 数 列 ２ ｂ 列 ｛ ｎ ａ ＝ { ｎ｝ ８ ２ ｂ ａ 的 ｎ ｎ ｎ } ． 通 为 项 等 公 差 式 数 ； 列 ， 并求 ｛ ｂ ｎ｝ 的通项公式． 为Ｓ ２ 方 因 所 ５＝ 案 为 以 ２５ 三 ａ ａ × ｎ ４ ： ＋ ＋ １ 选 ａ ＝ ２ ③ ５ ａ × ２ ｎ ． ＋ ２ ｎ ４ ， － × ａ ８ ， － 所 ａ ６ １ 以 ＝ ａ ｎ ５ ＋ ， ０ １ … － ， ａ 所 … ｎ 以 ＝ ， ｎ ａ － Ｓ ｎ ８ ａ ， 的最大 ｎ 值 ， 为 ５０ ．
解析 （ ）当ｎ 时，ａ Ｓ １ ； ２－ １＝－７ ３－ ２＝－６ ｎ－ ｎ －１＝ －９
１ ＝１ １＝ １＝２ －１＝１ （ ｎ ）（ｎ ）
因 当 为 ｎ ≥ ａ ２ １＝ 时 １ ， 适 ａ ｎ 合 ＝ Ｓ 上 ｎ－ 式 Ｓ ， ｎ － 所 １＝ 以 （ ２ ａ ｎ ｎ － ＝ １ ） ２ ｎ － － （ １（ ２ ｎ ｎ － ∈ １ － Ｎ １ ∗ ） ） ＝ ． ２ ｎ －１． ｎ２ －１ 则 ７ ｎ ＋ ａ １ ｎ ６ － ， ａ 又 １＝ ａ ａ ２－ ａ ， １ 所 ＋ ａ 以 ３－ ａ ａ ２＋ … ｎ２ － ＋ １ ａ ７ ｎ ｎ － ＋ ａ ２ ｎ ４ －１ ， ＝ －７＋ － ２ ９ －１ ＝
（
２
）因为ｂ
ｎ ＋１－２
ｂ
ｎ＝８
ａ
ｎ
，所以ｂ
ｎ ＋１－２
ｂ
ｎ＝２
ｎ ＋２，即 ｂ ｎ
ｎ
＋
＋
１
１ －
ｂ ｎ
ｎ ＝２
．
当
２
ｎ 时
１
，
＝
ａ
４
，故Ｓ
ｎ
不
＝
存在
２
最大值．
２ ２ ≥１６ ｎ＞０ ｎ
又 ｂ １ ，所以 {ｂ ｎ } 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ｂ ｎ 方法总结 求等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 的前ｎ项和Ｓ ｎ 的最值的方法
１ ＝１ ｎ １ ２ ｎ ＝
２ ２ ２
（ｎ ） ｎ ．所以ｂ （ ｎ ） ｎ．
１＋２ －１ ＝２ －１ ｎ＝ ２ －１ ×２
考法二 等差数列前ｎ项和及性质问题
ａ
例２ （２０２１届湖南９月百校联考，１７）在 ｎ ＋１ １
① ａ ＝－ ，
ｎ ２
ａ ａ １ ａ ａ ｎ 这三个条件中任选一个 补充
② ｎ ＋１－ ｎ＝－ ，③ ｎ ＋１＝ ｎ＋ －８ ，
６
在下面的问题中 若问题中的Ｓ 存在最大值 则求出最大值 若
， ｎ ， ；
问题中的Ｓ 不存在最大值 请说明理由．
ｎ ，
问题 设Ｓ 是数列 ａ 的前ｎ项和 且ａ 求
： ｎ ｛ ｎ｝ ， １＝４， ，
ａ 的通项公式 并判断Ｓ 是否存在最大值．
｛ ｎ｝ ， ｎ
注 如果选择多个条件分别解答 那么按第一个解答计分． 经典例题教师用书
： ，
解析 方案一：选 ① ． 例 （２０１８江西赣中南五校联考，４）在等差数列 ｛ ａ ｎ｝ 中 ，
已知ａ ａ 且Ｓ 则Ｓ Ｓ Ｓ 中最小的是
因为 ａ ａ ｎ ＋ ｎ １ ＝－ ２ １ ，ａ １＝４ ，所以｛ａ ｎ ｝是首项为 ４ ，公比为 － ２ １ 的 Ａ． ３ Ｓ ＋ ５ ８＞０， ９＜ Ｂ ０ ． Ｓ ， ６ １， ２，… Ｃ ， ． Ｓ ９ ７ Ｄ． Ｓ ８ （ ）
等比数列．所以ａ ( １ )ｎ －１ ( １ )ｎ －３ ， 解析 在等差数列｛ａ ｎ ｝中， ∵ ａ ３＋ ａ ８＞０ ，Ｓ ９＜０ ，
ｎ＝４× － ＝ － （ａ ａ ）
２ ２ ａ ａ ａ ａ ，Ｓ ９ １＋ ９ ａ ， ａ ，ａ ，
[ ( )ｎ] ∴ ５＋ ６＝ ３＋ ８＞０ ９＝ ＝９ ５＜０ ∴ ５＜０ ６＞０
１ ２
４ １－ － æ ö Ｓ 、Ｓ 、…、Ｓ 中最小的是Ｓ ，故选 ．
当ｎ为奇数时，Ｓ ｎ＝ ２ ＝ ８ è ç １＋ １ ｎø ÷， ∴ 答案 １ ２ Ａ ９ ５ Ａ
１＋
１ ３ ２
２
