文档文本内容
A
版
高 考
数
学 ／
７６
７．３ 等比数列
§
（２）
若
｛
ａ
ｎ｝
为等比数列
，
且ｋ
＋
ｌ
＝
ｍ
＋
ｎ
（
ｋ
，
ｌ
，
ｍ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则
ａ ·ａ ａ ·ａ ．
④ ｋ ｌ＝ ｍ ｎ
若 ａ ｂ 项数相同 是等比数列 则 λａ λ
（３） ｛ ｎ｝，｛ ｎ｝（ ） ， ｛ ｎ｝（ ≠
考点一 等比数列的有关概念及运算 { } {ａ }
１．等比数列的定义 ０）， ａ
１
，｛
ａ２ｎ｝，｛ ａ
ｎ·
ｂ
ｎ｝， ｂ
ｎ 仍是等比数列．
ｎ ｎ
一般地 如果一个数列从第二项起 每一项与它的前一项的 ２．等比数列的前ｎ项和的性质
， ，
比等于同一常数 那么这个数列就叫做等比数列 这个常数叫做 当ｑ 或ｑ 且ｋ为奇数 时 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ
， ， （１） ≠－１（ ＝－１ ） ， ｋ， ２ ｋ－ ｋ， ３ ｋ－ ２ ｋ，
等比数列的 公比 公比通常用字母ｑ ｑ 表示． 是等比数列．
① ， （ ≠０） …
２．等比数列的通项公式 注意 当ｑ 且ｋ为偶数时 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 不是等
＝－１ ， ｋ， ２ ｋ－ ｋ， ３ ｋ－ ２ ｋ，…
如果等比数列 ａ 的首项为ａ 公比为ｑ 则 ａ 的通项公 比数列．
｛ ｎ｝ １， ， ｛ ｎ｝
式为 ａ
ｎ ＝
ａ
１
ｑｎ －１． 既是等差数列又是等比数列的数列是
若ａ ａ ａ Ｔ 则Ｔ
Ｔ
２ ｎ
Ｔ
３ ｎ 成等比数列．
②
非零常数列 ． （２） １· ２·…· ｎ＝ ｎ， ｎ，Ｔ
ｎ
，Ｔ
２ ｎ
，…
３．等比中项 若数列 ａ 的项数为 ｎ Ｓ 与Ｓ 分别为偶数项与奇
（３） ｛ ｎ｝ ２ ， 偶 奇
如果在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ 使ａ Ｇ ｂ成等比数列 那么称 Ｓ Ｓ ａ
， ， ， ， 数项的和 则 偶 ｑ 若项数为 ｎ 则 奇－ １ ｑ．
这个数Ｇ为ａ与ｂ的等比中项 即 Ｇ ａｂ ａ ｂ同号 ． ， Ｓ 奇 ＝ ； ２ ＋１， Ｓ 偶 ＝
， ③ ＝± （ ， ）
ａ Ｇ ｂ成等比数列 Ｇ２ ａｂ ａｂ ． ３．等比数列的单调性
（１） ， ， ⇔ ＝ （ ＞０）
（２） 同号的两个数才有等比中项． 等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 的通项公式为ａ ｎ＝ ａ １· ｑｎ －１ （ ａ １· ｑ ≠０）， 它的
４．等比数列｛ａ ｝的前ｎ项和公式 ａ
ｎ 图象是分布在ｙ １ｑｘ 曲线 ｑ 上的一群 孤立 的点．
等比数列 ａ 的公比为ｑ ｑ 其前ｎ项和为Ｓ ． ＝ ｑ （ ＞０） ⑤
｛ ｎ｝ （ ≠０）， ｎ
（１） 当ｑ ＝１ 时 ， Ｓ ｎ＝ ｎａ １ ． 当ａ １＞０， ｑ ＞１ 时 ， 等比数列 ｛ ａ ｎ｝ 是递增数列 ；
（２） 当ｑ ≠１ 时 ， Ｓ ｎ＝ ａ １（ １ １ － － ｑ ｑｎ ） ＝ ａ １ １ － － ｑ ｑ ａ ｎ． 当 当 ａ ａ １ １ ＞ ＜ ０ ０ ， ， ０ ０ ＜ ＜ ｑ ｑ ＜ ＜ １ １ 时 时 ， ， 等 等 比 比 数 数 列 列 ｛ ｛ ａ ａ ｎ ｎ ｝ ｝ 是 是 递 递 减 增 数 数 列 列 ； ；
当ａ ｑ 时 等比数列 ａ 是递减数列
１＜０， ＞１ ， ｛ ｎ｝ ；
考点二 等比数列的性质 当ｑ 时 等比数列 ａ 是摆动数列
＜０ ， ｛ ｎ｝ ；
１．等比数列的常用性质 当ｑ 时 等比数列 ａ 是常数列．
＝１ ， ｛ ｎ｝
（１） 通项公式的推广 ： ａ ｎ＝ ａ ｍ· ｑｎ － ｍ （ ｎ ， ｍ ∈ Ｎ∗ ） ．
{ａ ａ ａ ，
１＋ ２＋ ３＝７
（ ）由已知得 （ａ ） （ａ ） 解得 ａ ．设数列
２ １＋３ ＋ ３＋４ ａ ． ２ ＝２
＝３ ２
考法一 等比数列基本量运算的解题技巧 ２
｛ａ ｝的公比为ｑ，由ａ ，可得ａ ２ ，ａ ｑ．又Ｓ ，所以 ２
例１
（１）
已知等比数列
｛
ａ
ｎ｝
满足ａ
１＝３，
ａ
１＋
ａ
３＋
ａ
５＝２１，
ｎ ２＝２ １＝ ｑ ３＝２ ３＝７ ｑ
则ａ ａ ａ
３＋ ５＋ ７＝ （ ） ｑ ，即 ｑ２ ｑ ，解得ｑ ，ｑ １ ．又ｑ ，所以ｑ
＋２＋２ ＝７ ２ －５ ＋２＝０ １＝２ ２＝ ＞１ ＝
Ａ．２１ Ｂ．４２ Ｃ．６３ Ｄ．８４ ２
（２）
设
｛
ａ
ｎ｝
是公比大于
１
的等比数列
，
Ｓ
ｎ
为数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ
２
，所以ａ
１＝１
，所以ａ
ｎ＝２
ｎ －１．
项和．已知 Ｓ 且 ａ ａ ａ 构成等差数列 则 ａ （ ） 因为Ｓ ａ ，且数列｛Ｓ ｝是以 为公比的等比数
３ ＝７， １＋３，３ ２， ３＋４ ， ｎ ＝ ３ ① １＝ １＝１ ｎ ２
． 列，所以Ｓ
ｎ＝２
ｎ －１，又当ｎ
≥２
时，ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１＝２
ｎ －２（
２－１
）
＝２
ｎ －２，所
设数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ ａ 且数列 Ｓ 是以 { ，ｎ ，
（３） ｛ ｎ｝ ｎ， １＝１， ｛ ｎ｝ ２ 以ａ １ ＝１
为公比的等比数列． ｎ＝ ｎ －２，ｎ ．
２ ≥２
① ② 求 求 数 ａ １ 列 ＋ ａ ｛ ３ ａ ＋ ｎ … ｝ 的 ＋ ａ 通 ２ ｎ ＋ 项 １ ． 公式 ； 所 ② 以 ａ ３ ， ａ ａ ５ ， ａ …， … ａ ２ ｎ ＋１ ａ 是以 ２ ２ （ 为 １ 首 －４ 项 ｎ） ， ４ ２ 为 （ ４ 公 ｎ － 比 １ ） 的 ． 等比数列，
解析 （ １ ）设｛ａ ｎ ｝的公比为ｑ，由ａ １＝３ ，ａ １＋ ａ ３＋ ａ ５＝２１ 得 １＋ ３＋ ５＋ ＋ ２ ｎ ＋１＝ １－４ ＝ ３
ｑ２ ｑ４ ，解得ｑ２ （负值舍去）． ａ ａ ａ ａ ｑ２ ａ ｑ２ ａ ｑ２ （ ｎ ） ２ ｎ ＋１ （ａ ＋ １＋ ａ ＝ ３＋ ７ ａ ５ ）ｑ２ ＝２１ ＝ × ２ ２＝４２ ． ∴ ３＋ ５＋ ７＝ １ ＋ ３ ＋ ５ ＝ 所以ａ １＋ ａ ３＋ … ＋ ａ ２ ｎ ＋１＝１＋ ２ ４ ３ －１ ＝ ２ ３ ＋１．
答案 （ ）Ｂ （ ） ｎ －１
１ ２ ２
专
题
七
数 列
／
７７
方法总结 １．等比数列可以由首项ａ
１
和公比ｑ确定
，
所有 ４．前ｎ项和公式法
：
若数列
｛
ａ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝
ｋ
·
ｑｎ
－
ｋ
（
ｋ
关于等比数列的计算和证明都可围绕ａ 和ｑ进行． 为常数且ｋ ≠０， ｑ ≠０，１）， 则 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列．
１ 其中前两种方法是证明等比数列的常用方法 而后两种方
２．对于等比数列问题 一般给出两个条件 就可以通过列方
，
， ，
程 组 求出ａ ｑ．如果再给出第三个条件就可以完成ａ ａ ｑ
法常用于选择题 填空题中的判定．
（ ） １， ｎ， １， ，
经典例题教师用书
、
ｎ Ｓ 的 知三求二 问题．
， ｎ “ ”
３
若
．等
ｍ
比
＋ ｎ
数
＝
列
ｐ ＋
性
ｑ （
质
ｍ ，
的
ｎ ，
应
ｐ ，
用
ｑ ∈ Ｎ∗ ）， 则ａ ｍ· ａ ｎ＝ ａ ｐ· ａ ｑ ．
例 已知数列
｛ {
ａ
ｎ｝
的首
}
项ａ
１＝１，
ａ
ｎ ＋１＝ａ
４
ｎ
ａ
＋
ｎ
２ （
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
（１） 特别地 ， 当ｍ ＋ ｎ ＝２ ｋ （ ｍ ， ｎ ， ｋ ∈ Ｎ∗ ） 时 ， ａ ｍ· ａ ｎ＝ ａ２ｋ ． （１） 证明 ： 数列 ａ １ － １ 是等比数列 ；
对有穷等比数列 与首末两项 等距离 的两项之积等于首 ｎ ２
（２） ， “ ” ｎ
末两项之积
，
即ａ
１·
ａ
ｎ＝
ａ
２·
ａ
ｎ －１＝…＝
ａ
ｋ·
ａ
ｎ － ｋ ＋１＝…（
ｋ
，
ｎ
∈
Ｎ∗
）
．
（２）
设ｂ
ｎ＝ａ ，
求数列
｛
ｂ
ｎ｝
的前ｎ项和Ｓ
ｎ
．
注意 等比数列求和要讨论ｑ 和ｑ 两种情况． ｎ
（１） ＝１ ≠１ ａ ａ
计算过程中 出现方程ｑｎ ｔ时 要看ｑｎ 中的ｎ是奇数 解析 （ ）证明： ａ ４ ｎ ， １ ｎ＋２ １ １ ，
还是偶
（２
数
）
．若ｎ是奇数
，
则ｑ ｎ ｔ 若
＝
ｎ是偶
，
数 则ｔ 时 ｑ ｎ ｔ ｔ
１ ∵ ｎ ＋１ ＝ａ
ｎ＋２
∴ ａ
ｎ ＋１
＝
４
ａ
ｎ
＝
４
＋
２
ａ
ｎ
， ＝ ； ， ＞０ ， ＝± ， ( )
时 无解． １ １ １ １ １ ，又 ａ ， １ １ １ ， 数列
经 ＜０ 典例 ， 题教师用书 { ∴ ａ ｎ ＋１ － } ２ ＝ ２ ａ ｎ － ２ １ ＝ １ ∴ ａ １ － ２ ＝ ２ ∴
例 （２０１９浙江金丽衢十二校联考，３）已知等比数列 ｛ ａ ｎ｝ ａ １ ｎ － ２ １ 是以 １ ２ 为首项，１ ２ 为公比的等比数列．
的前ｎ项和为Ｓ ｎ， 若Ｓ ２＝３， Ｓ ４＝１５， 则Ｓ ３＝ （ ） （ ）由（ ）知 １ １ １ · ( １ )ｎ －１ １ ，即 １ １ １ ，
２ １ ａ － ＝ ＝ ｎ ａ ＝ ｎ ＋
Ａ．７ Ｂ．－９ Ｃ．７ 或 －９ Ｄ． ６３ ｎ ２ ２ ２ ２ ｎ ２ ２
８ ｎ ｎ ｎ ｎ
ｂ ，设Ｔ １ ２ ３ … ，则 １ Ｔ １
解析 设等比数列｛ａ ｎ ｝的公比为ｑ，当ｑ ＝１ 时，Ｓ ２＝２ ａ １＝３ ， ∴ ｎ＝ａ ｎ ＝ ２ ｎ＋ ２ ｎ＝ ２ ＋ ２ ２ ＋ ２ ３ ＋ ＋ ２ ｎ① ２ ｎ＝ ２ ２ ＋
ａ（ ｑ２） ｎ ｎ
Ｓ ａ ，矛盾，所以 ｑ ，由已知得 １ １－ ， ２ … －１ ，
４＝４ １ ＝１５ ≠１ ３＝ ｑ １５＝ ３ ＋ ＋ ｎ ＋ ｎ ＋１②
１－ ２ ２ ２
ａ（ ｑ４） {ｑ ， {ｑ ， æ ö
１ １－ ，解得 ＝２ 或 ＝－２ 所以Ｓ 或 ． １ ç １ ÷
ｑ ａ ａ ， ３＝７ －９ ｎ è１－ ｎø ｎ
１－
答案 Ｃ
１＝１ １＝－３ 由
①－②
得，１ Ｔ
ｎ＝
１
＋
１
２ ＋
…
＋
１
ｎ－ ｎ ＋１ ＝
２ ２
－ ｎ ＋１ ＝
２ ２ ２ ２ ２
１－
１ ２
２
考法二 等比数列的判定与证明 ｎ ｎ ｎ（ｎ ）
１ ， Ｔ １ ．又 １ （ … ｎ） ＋１ ，
１－ ｎ－ ｎ ＋１ ∴ ｎ＝２－ ｎ －１ － ｎ × １＋２＋３＋ ＋ ＝
例２ （２０２１ 届百校联盟普通高中教育教学质量监测， ２ ２ ２ ２ ２ ４
ｎ ｎ（ｎ ）
１８）已知数列 ａ 满足ａ ａ 且ａ ｂ ａ 数列 ｂ 是 数列｛ｂ ｝的前ｎ项和Ｓ ２＋ ＋１ ．
｛ ｎ｝ ２＝２ １＝４， ｎ ＋１－ ｎ＝２ ｎ， ｛ ｎ｝ ∴ ｎ ｎ＝２－ ｎ ＋
公差为 的等差数列． ２ ４
－１ 例 （２０１９浙江台州期末，２０）在数列 ａ 中 ａ ａ
证明 ａ ｎ 是等比数列 ｛ ｎ｝ ， １＝１， ２＝
（１）
求使
：
得
｛
ａ
ｎ－
ａ
｝
ａ
；
成立的最小正整数ｎ的值． ３，
且对任意的ｎ
∈
Ｎ∗
，
都有ａ
ｎ ＋２＝３
ａ
ｎ ＋１－２
ａ
ｎ
．
（２） １＋ ２＋…＋ ｎ＞２２００ 证明数列 ａ ａ 是等比数列 并求数列 ａ 的通项
解析 （ ）证明：依题意，ａ ａ ｂ ， （１） ｛ ｎ ＋１－ ｎ｝ ， ｛ ｎ｝
１ ｎ ＋１＝２ ｎ＋ ｎ 公式
；
当ｎ 时，ａ ａ ｂ ，即 ｂ ，故ｂ ， ｎ
＝１ ２＝２ １＋ １ ４＝４＋ １ １＝０ 设ｂ ２ 记数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｓ 若对任意的
则ｂ ｎ＝０＋ （ｎ －１ ）·（ －１ ） ＝－ ｎ ＋１ ，故ａ ｎ ＋１＝２ ａ ｎ－ ｎ ＋１ ， （２） ｎ＝ａ ｎ ａ ｎ
＋１
， ｛ ｎ｝ ｎ，
ａ （ｎ ） ａ ｎ （ｎ ） （ａ ｎ）
故 ｎ ＋１
ａ
－
ｎ
＋１
＝
２ ｎ－
ａ
＋１－
ｎ
＋１
＝
２
ａ
ｎ－
ｎ ＝２
， ｎ
∈
Ｎ∗都有Ｓ
ｎ≥ａ
１
＋
ｍ
，
求实数ｍ的取值范围．
ｎ－ ｎ－ ｎ－ ｎ
＝ Ｓ ｎ ， （ 而 故 ２ ） ａ Ｓ 由 １ ｎ － ＝ （ １ （ １ ＝ １ ） １ ＋ 可 ， ２ 故 知 ＋ … ｛ ， ａ ａ ＋ ｎ ｎ ｎ － － ） ｎ ｎ ＋ ｝ ＝ （ 是 ２ ２ 以 ｎ ０ － ＋ １， ２ １ 故 １ 为 ＋２ ａ 首 ２ ｎ ＋ ＝ 项 … ｎ ， ＋ ＋ ２ ２ ２ 为 ｎ ｎ － － １ １ 公 ， ） 记 ＝ 比 ｎ ａ 的 （ １ １ ＋ 等 ＋ ａ ｎ 比 ２ ） ＋ 数 ＋ … １ 列 ＋ －２ ａ ． ｎ ｎ 又 为 ２ ａ １ 的 解 ＝ 等 １ 析 ， 比 ａ ２ 数 （ ＝ １ ３ 列 ） ， 由 所 ．所 以 ａ 以 ｎ ＋ ａ ２ ａ ２ ＝ ｎ － ＋ ３ ａ １ ａ － １ ｎ ａ ＝ ＋１ ｎ ２ － ＝ ， ２ ２ 所 ａ ｎ ｎ ． 以 所 可 ｛ 以 得 ａ ｎ ａ ＋ ａ １ ｎ － ｎ ＝ ＋ ａ ２ ａ ｎ － １ ｝ ＋ ａ 是 （ ｎ ＋ ａ １ 首 ２ ＝ － 项 ２ ａ （ １ 为 ） ａ ＋ ｎ ＋ … ２ １ ， － ＋ 公 ａ （ ｎ 比 ａ ） ｎ ．
＝
ｎ２
２
＋
ｎ
＋２ ｎ －１ ，因为Ｓ １１＝２ １１３＜２ ２００ ，Ｓ １２＝４ １７３＞２ ２０
２
０ ，而｛
１
ａ
－
ｎ
２
｝
－ ａ ｎ －１
（
）
２
＝
）
１
因
＋２
为
＋２
ｂ
２
ｎ
＋
＝
…
（
＋２
ｎ
ｎ －１
）
＝
２
（
２
ｎ
ｎ
ｎ
－
＋
１
１
．
）＝
（
（
２ ｎ ＋
ｎ
１ －１
）
）
（
－ （
ｎ ＋
２
１
ｎ －１
）
）
＝ ｎ
１
－
是递增数列，故满足ａ ａ … ａ 的最小正整数ｎ的值 ２ －１ ２ －１ ２ －１ ２ －１ ２ －１
１＋ ２＋ ＋ ｎ＞２ ２００ æ ö æ ö
为 ． １ ，所以Ｓ ｂ ｂ … ｂ ç １ １ ÷ ç １ １ ÷ …
１２ 方法总结 判断等比数列的方法 ２ ｎ ＋１ －１ ｎ＝ １＋ ２＋ ＋ ｎ＝è ２－１ － ２ ２ －１ ø＋è ２ ２ －１ － ２ ３ －１ ø＋
æ ö
１．定义法 若 ａ ｎ ＋１ ｑ ｑ为非零常数 或 ａ ｎ ｑ ｑ为非零常数 ＋è ç ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ＋ １ １ －１ ø ÷ ＝１－ ２ ｎ ＋ １ １ －１ ．又因为对任意的ｎ ∈ Ｎ∗都有Ｓ ｎ≥
： ａ ＝ （ ） ａ ＝ （
ｎ ｎ －１ １ ｍ， 所 以 ｍ １ １ 恒 成 立， 即 ｍ
且ｎ ≥２）， 则 ｛ ａ ｎ｝ 是等比数列． ａ ｎ ＋ ≤ １ － ２ ｎ －１ － ２ ｎ ＋１ －１ ≤
则 ｛ ａ ３ ２ ｎ｝ ． ． 通 中 是 项 项 等 公 法 比 式 ： 数 若 法 列 数 ． 若 列 数 ｛ ａ 列 ｎ｝ 的 中 通 ， ａ 项 ｎ≠ 公 ０ 式 且 可 ａ２ｎ 写 ＋１＝ 成 ａ ｎ ａ · ａ ｎ ｃ ＋２（ ｑ ｎ ｎ ∈ ｃ Ｎ∗ ｑ ） 均 ， æ è ç １－ ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ＋ １ １ －１ ö ø ÷ ｍｉｎ ，当ｎ ＝１ 时， １－ ２ ｎ １ －１ － ２ ｎ ＋ １ １ －１ 有最小值 － ３ １ ，
： ｎ＝ · （ ， 故ｍ １ ．
是不为
０
的常数
，
ｎ
∈
Ｎ∗
），
则
｛
ａ
ｎ｝
是等比数列． ≤－
３
