文档内容
微专题：等比数列的判定与证明
【考点梳理】
等比数列的四种常用判定方法
定义法 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列
n
中项
若数列{a
n
}中，a
n
≠0且a＝a
n
·a
n＋2
(n∈N*)，则{a
n
}是等比数列
公式法
通项 若数列{a}的通项公式可写成a ＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{a}是等
n n n
公式法 比数列
前n项
若数列{a}的前n项和S＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{a}是等比数列
n n n
和公式法
【典例剖析】
典例1．在数列 中， ， ， ．
（1）证明：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式．
典例2．已知各项都为正数的数列 满足 ， .
(1)若 ，求证： 是等比数列；
(2)求数列 的前 项和 .
典例3．已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)证明： 为等比数列.
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【双基达标】
4．设数列 满足 ，且 ， .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
5．在数列 中， ，且 .
(1)证明： 为等比数列，并求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 .
6．若数列 满足： ， ，对于任意的 ，都有 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)求数列 的通项公式.
7．已知数列 满足 ， ， ．
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
8．已知数列 中， ， ．
（1）求证：数列 为等比数列，并求出 的通项公式 ；
（2）数列 满足 ，设 为数列 的前 项和，求使 恒成立的最小的整数 ．
9．已知数列 满足： ，且 ．设 ．
(1)证明：数列 为等比数列，并求出 的通项公式；
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)求数列 的前2n项和．
10．已知数列{an}和{bn}满足a=1，b=0， ， .
1 1
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
【高分突破】
11．已知数列 的前n项和 满足 .
(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设数列 的前n项和为 ，求证： .
12．已知数列 的前n项和为 ，且 .
(1)证明数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
13．已知数列 的前n项和为 ，且满 ．
(1)求证数列 是等比数列．
(2)若数列 满足 求数列 的前n项和 ．
14．设数列 满足 ，其中 .
（1）证明： 是等比数列；
（2）令 ，设数列 的前 项和为 ，求使 成立的最大自然数 的值.
15．已知数列 的前n项和为 ， ， ， .
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 的前n项和为 ，已知 ，若不等式 对于 恒成立，求实数m的最大
值.
16．以数列的任意相邻两项为点 ， 的坐标，均在一次函数 的图象上，数列 满足 ，
且 ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）设数列 ， 的前 项和分别为 ， ，若 ， ，求 的值．
17．已知数列 的首项为正数，其前 项和 满足 ．
(1)求实数 的值，使得 是等比数列；
(2)设 ，求数列 的前 项和．
18．已知数列 满足： ， .
（Ⅰ）证明：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
（Ⅱ）记 ，求使 成立的最大正整数n的值.（其中，符号 表示不
超过x的最大整数）
19．已知数列 满足 ，且 .
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设 ，记数列 的前 项和为 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的取值范围.
20．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：
每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认
为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠
未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；
若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求 的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药
更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ，
．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．（1）证明见解析 ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）通过计算 来证得数列 是等比数列.
（2）结合（1）的结论求得数列 的通项公式.
【详解】
（1）由题意，知 ．
又 ，所以数列 是首项为1，公比为4的等比数列．
（2）由（1），可知 ，
所以数列 的通项公式为 ．
2．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等比数列的定义,利用 以及 ,即可得到 ,即可证明.（2）根据分组求和和
等比数列求和公式即可求解.
（1）因为 所以 ， 因为 所以
所以 所以 所以 是首项和公比均为 的等比数列.
（2）由（1）易得： 因为 所以 所以
3．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 可求得 的值，令 ，由 可得 ，两式作差可推导出数列 为等比数列；
（2）求出 ，利用裂项相消法可求得 .
(1)
证明：因为 ，所以当 时， ，可得 ；
当 时，由 可得 ，
第 6 页所以 ，所以 .
即 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以， .
(2)
解：由（1）知 ，
所以 .
4．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ,变形为 ，即可证明；（2）由等比数列的通项公式可得
， 于是 ，因此 ，再利用“裂项求和”即可得出．
【详解】
解：（1）因为 ，
所以 ，
所以数列 是首项为3，公比为3的等比数列.
（2）因为 是首项为 ，
公比为3的等比数列.
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 .
5．(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
第 7 页（1）依题意可得 ，即可得到 是以4为首项，2为公比的等比数列，从而求出 的通项公
式；
（2）由（1）可得 ，对 分奇偶，利用等比数列求和公式计算可得；
（1）解：因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以 是以4为首项，2
为公比的等比数列.故 ，即 .
（2）解：由（1）得 ，则 ，①当 时，
②当 时，
，综上所述，
6．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由 ，得 ，即可得证；
（2）由数列 为等比数列，可得数列 的通项公式，再利用构造法求得数列 的通项公式.
(1)
由 ，得 ，
且 ，
所以数列 为等比数列，首项为 ，公比为
(2)
由（1）得 ，
等式左右两边同时除以 可得： ，即 ，
且 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，
第 8 页所以 .
7．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由递推关系式可得 ，由等比数列定义可得结论；
（2）利用等比数列通项公式和累加法可求得 ，由此可得 ，分别在 为偶数和 为
奇数的情况下，利用裂项相消法和 求得结果，综合两种情况可得 .
(1)
由 得： ，又 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
(2)
由（1）得： ，
则 ， ， ，…， ，
各式作和得： ，
又 ， ，
，
当 为偶数时， ；
当 为奇数时， ；
综上所述： .
8．（1）证明见解析， ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将已知条件两边同时取倒数可得 ，利用构造法令 求出 的值，由等比数列的
第 9 页定义即可求证；求出 即可得 ；
（2）求出 的通项公式，由乘公比错位相减求出 ，使得 即可.
【详解】
（1）由 ，得 ，
令 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
由等比数列的定义可知：
数列 是以 为公比，以 为首项的等比数列，
所以 ，即 ，
（2）由题意得 ，
，
，
两式相减得： ，
所以 ，
所以 ，
所以使 恒成立的最小的整数 为 ．
9．(1)
(2)数列 的前2n项和为
【解析】
【分析】
（1）根据数列的递推公式可得 ，由此构造数列，进而证明结论；
（2）根据数列的递推公式可得数列的偶数项与奇数项之间的关系，由（1）可得数列的奇数项的通项公式，利用
等比数列的求和公式，进而求得答案.
(1)
由题意可知： ，
，
第 10 页故 ，即 ，
故 是以 为首项，以 为公比的等比数列，
且 ，
故
(2)
由（1）知， ,即 ，
由题意知： ，故 ，
故数列 的前2n项和
.
10．（1）见解析；（2） ， ．
【解析】
【分析】
(1)可通过题意中的 以及 对两式进行相加和相减即可推导出数列 是等比
数列以及数列 是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列 以及数列 的通项公式，然后利用数列 以及数列
的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知 ， ， ， ，
所以 ，即 ，
所以数列 是首项为 、公比为 的等比数列， ，
因为 ，
所以 ，数列 是首项 、公差为 的等差数列， ．
(2)由(1)可知， ， ，
所以 ， ．
【点睛】
本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列
一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．
11．(1)证明见解析
(2)证明见解析
第 11 页【解析】
【分析】
（1）分 ，与 两种情况分析，当 是，构造 证明即可；
（2）由（1）可得 ，再利用裂项求和求解 ，进而证明即可
（1）证明：当 时， ∴ 当 时， ，
∴ ∴数列 是以2为公比，首项 的等比数列
（2）由（1）知 ， ，代入 得 ∴
由 ， ，
，所以 ∴ 综上所述
12．(1)证明见解析，
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据 求得 ，由由已知 ，可得 ，两式相减可得 ，即可证明结
论，继而求得通项公式；
（2）利用（1）的结论，求出 ，利用错位相减法求得答案.
（1）当 时，由 可得 ,由已知 ，有 ,两式相减得 ,
即 , 因为 ，所以 ,所以 ,所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，所以
；
（2）由（1）可得 ，所以 ， ，则
，所以 ，所以
.
13．(1)答案见解析；’
(2) .
【解析】
【分析】
（1）证明见解析；
（2）先求出 ，利用裂项相消法求和.
第 12 页(1)
对于 ，
当n=1时，由 .
当 ，有 ，此时 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
(2)
由（1）知， ，所以 .
所以当n=1时， ；
当 ，有 ，
经检验， 对n=1也成立.
所以 .
所以 .
所以
.
14．（1）证明见解析；（2）最大自然数 .
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，可得 的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；
（2）由（1）可得 ，则可得 ，根据错位相减求和法，可求得 的表达式，根据 的单调性，
代入数值，分析即可得答案.
【详解】
解：（1）∵ ，
∴
第 13 页即 ，
∴ 是首项为 ，公比为2的等比数列.
（2）由（1）知， ，
即 ，
∴ ，
，①
，②
①减②得
.
∴ .
∴ ，
∴ .单调递增.
∵ ，
.
故使 成立的最大自然数 .
【点睛】
解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，
②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握.
15．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
（1）利用 可得数列 的递推关系， ，然后可证明 是等比数列；
（2）由（1）求出 ，即得 ，利用错位相减法求得 ，不等式 对于 恒成立，转化为
恒成立，求出 的最小值即可得结论．
【详解】
（1）由 ，
第 14 页得 （ ），
两式相减得 ，所以 （ ），
因为 ，所以 ， ， .
所以 是以1为首项，2为公比的等比数列.
（2）由 ，又由（1）可知 ，得 ，
∴ ，则 ，
两式相减得 ，
所以 .
由 恒成立，即 恒成立，
又 ，
故当 时， 单调递减；当 时， ；
当 时， 单调递增；当 时， ；
则 的最小值为 ，所以实数m的最大值是 .
【点睛】
本题考查由 求 ，考查等比数列的证明，等比数列的通项公式，考查错位相减法求和以及数列不等式恒成立问
题．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．
16．（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）可根据题目条件得到 ，易知 为等比数列，即可证得 为等比数列；
（2）分别写出 与 的前 项和表达式，列出方程组，即可求解出 的值．
【详解】
（1）证明：依题意可知 ，
整理可得 ；
；
有 ，即数列 是首项为 ，公比为2的等比数列．
（2）数列 的前 项和 ；
第 15 页数列 的前 项和 ；
， ；
可列方程组 ，解得 ；
．
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
由题可知，数列的代数表达式是很复杂的，需要进行恒等变换；
（1）当 和 同时出现在代数表达式中的时候，往往需要利用 ，把 转换成 ，但是本题是要证明
为等比数列，所以要把 转换成 ，再利用等比数列的定义即可证明；
（2）依题意很显然应该是裂项相消求和.
（1）当 时， ， ，解得 ；当 时，把 代入题设条件得:
，即 ，很显然 是首项为8+1=9，公比为9的等比数列，∴ ；
（2）由（1）知 是首项为 ，公比 的等比数列，所以 ，
．故数列 的前 项和为：
.
18．（Ⅰ）证明见解析， ；（Ⅱ）45.
【解析】
【分析】
（1）等式两边同时除以 即可；
（2）需要对 的整数部分与小数部分进行分析.
【详解】
∵ ，显然
∴ ，
是以 为首项，3为公比的等比数列
即 ，所以 .
第 16 页（2）
.
因为n≥2时， ，
.
所以n≥2时， .
又n=1时， ，
所以 ； 时， ，所以 时，
.
由 ，及 ，得 .
所以使 成立的最大正整数n的值为45.
【点睛】
本题说明n≥2时， 是解决问题的关键.
19．（1）证明见详解；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由题意得 ，化简整理，结合定义即可得证.
（2）由（1）可得 ，代入可得 ，分别讨论 为奇数和偶数时 的表达式，
结合单调性，即可求出 的取值范围.
【详解】
（1）证明：因为 ，所以
即 ，则
从而数列 是以6为首项，2为公比的等比数列
（2）解：由（1）知 ，即
所以
第 17 页，
当 为偶数时，
当 为奇数时，
当 为偶数时， 是递减的，此时当 时， 取最大值 ，则 ；
当 为奇数时， 是递增的，此时 ，则 .
综上， 的取值范围是 .
【点睛】
本题考查了数列构造法，等比数列的定义以及裂项相消求和，还涉及了分类讨论的思想，属于难题
20．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii） .
【解析】
【分析】
（1）首先确定 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出
的取值，可得 ，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列
出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合 和 的值可求得 ；再次利用累加法可求出 .
【详解】
（1）由题意可知 所有可能的取值为： ， ，
； ；
则 的分布列如下：
（2） ，
， ，
（i）
第 18 页即
整理可得：
是以 为首项， 为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
， ，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效
的概率为 ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项
的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能
力要求较高.
第 19 页第 20 页
