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6.2 等比数列（精讲）（提升版）
思维导图考点呈现例题剖析
考点一 基本量的计算
【例1-1】（2022·河南开封）在等比数列 中， 为其前n项和，若 ， ，则 的公比为
______．
【答案】１或 .
【解析】当 时，满足 ， ，此时 ；
当 时，由 ， ，
可得： ，解得 ，此时 .
综上所述：公比 的值为：１或 .
【例1-2】（2022·吉林·洮南市第一中学模拟预测（文））已知 是等差数列， ，公差 ， 为
其前n项和，若 ， ， 成等比数列，则 ________．
【答案】
【解析】因为 ， ， 成等比数列 ，即 解得 或 （舍）
故答案为：
【例1-3】（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））设等比数列 的前n项和为 ，若 ，
且 ，则λ＝________.
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， ，将 代入，可得 .故答案为：
【一隅三反】
1．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）已知等比数列 的前 项和为 ，且公比 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可知 ，因为 ，则 ，
由已知可得 ，可得 ， ，则 ，
因此， .故选：B.
2．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））已知等比数列 的公比 ，则 等于
（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【解析】因为等比数列 的公比 ，所以 ．故选：D
3．（2022·河南省杞县高中）在等比数列 中， ，则 的公比 ______．
【答案】 或
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 或 ．故答案为： 或 ．
4．（2022·河南安阳）已知 为等比数列， ，则 _________．
【答案】
【解析】设公比为 ，由题意知： ，又 ，解得 或 ，
若 ，则 ， ，则 ；
若 ，则 ， ，则 .故答案为： .
考点二 等比中项
【例2-1】（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（文））已知等差数列 中，其前5项的和 ，
等比数列 中， 则 （ ）
A． 或 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ，解得： ，
设等比数列 的公比是 ，因为 ，所以 ，解得： ，
显然 ，所以 ，所以 ，所以 故选：D
【例2-2】（2022·河南省浚县第一中学模拟预测（文））在等比数列 中，若 ，则
（ ）A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ；故选：C.
【例2-3】（2022·江西·二模（文））已知m是1和4的等比中项，则圆锥曲线 的离心率为
（ ）
A． B． 或
C． D． 或
【答案】B
【解析】m是1和4的等比中项,所以 ,解得 ,当 时, 圆锥曲线为 ,离心率为
,当 时, 圆锥曲线 ,离心率为 ,故选:B
【一隅三反】
1．（2022·四川广安）已知数列 为等比数列，若 ， 为函数 的两个零点，则
（ ）
A．10 B．12 C．32 D．33
【答案】B
【解析】因为 ， 为函数 的两个零点，所以 ，所以 或
所以，当 时， ， ，当 时， ， ，所以， .故选：B
2．（2022·江西·模拟预测（理））在正项等比数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题得 ，所以 ，所以 ，所以
，故选：A
3．（2022·全国·高三专题练习（理））已知数列{an}的各项都为正数，对任意的m，n∈N*，a ·a＝a 恒
m n m＋n
成立，且a·a＋a＝72，则log a＋log a＋…＋log a＝________.
3 5 4 2 1 2 2 2 7
【答案】21
【解析】因为对任意的m，n∈N*，a ·a＝a 恒成立，
m n m＋n
令m＝1，则a·an＝a n对任意的n∈N*恒成立，∴数列{an}为等比数列，公比为a，
1 1＋ 1
由等比数列的性质有aa＝ ，因为a·a＋a＝72，则 ＋a＝72，
3 5 3 5 4 4
∵a＞0，∴a＝8，∴log a＋log a＋…＋log a＝log (a·a·…·a)＝log ＝log 87＝21.故答案为：21．
4 4 2 1 2 2 2 7 2 1 2 7 2 2
考点三 前n项和的性质
【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）记等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则
（ ）
A．12 B．18 C．21 D．27
【答案】C
【解析】因为 为等比数列 的前 项和，且 ， ，易知等比数列 的公比 ,
所以 成等比数列所以 ，所以 ，解得 .
故选：C.
【例3-2】（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】因为等比数列 的前 项和为 ，且 ，
所以 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 .故选：B
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习（文））等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】A
【解析】设等比数列的公比为q，当 时， ，不合题意；
当 时，等比数列前 项和公式 ，
依题意 .故选：A
2．（2022·全国·高三专题练习）已知等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为
（ ）
A．12 B．30
C．45 D．81
【答案】C
【解析】显然公比不为-1， 是等比数列，则 也成等比数列，
， ， ，则 ， ，则 .故选：C.
3．（2022·全国·高三专题练习）设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）A．66 B．65 C．64 D．63
【答案】B
【解析】由题知： ， ，
，
所以 ， ， 成等比数列，即5，15， 成等比数列，
所以 ，解得 .故选：B.
考点四 最值问题
【例4-1】（2022·四川绵阳·一模（文））已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差
数列，则 的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 是正项等比数列，所以 ， ， 仍然构成等比数列，所以
.
又 ， ， 成等差数列，所以 ， ，所以
.
又 是正项等比数列，所以 ， ，当且仅当 时取等号.故选：B.
【例4-2】（2022·全国·高三专题练习）（多选）等比数列 中，公比为 ，其前 项积为 ，并且满足
. ， ，下列选项中，正确的结论有（ ）A．
B．
C． 的值是 中最大的
D．使 成立的最大自然数 等于198
【答案】ABD
【解析】对于 ， ， ， .
， .又 ， ，且 . ，故 正确；
对于 ， ， ，即 ，故 正确；
对于 ，由于 ，而 ，故有 ，故 错误；
对于 ， ，
，故 正确. 不正确的是 .故选： .
【一隅三反】
1．（2022·青海西宁）已知等比数列 ， ， 的最小值为（ ）
A．70 B．90 C．135 D．150
【答案】B
【解析】设 的公比为 ，由等比数列的知识可知 ， ，
结合 可得 ， .
由基本不等式及等比数列的性质可得 ，
当且仅当 ， 时等号成立，故 的最小值为 .故选：B2．（2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））已知等差数列 的公差为 ，且 ，且 、 、
成等比数列，若 ， 为数列 的前 项和．则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知可得 ，即 ，可得 ， ，解得 ，
，所以， ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以，数列 中， 最小，故 的最小值为 .故选：D.
3．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）（多选）设等比数列{an}的公比为q，其前和项和为Sn，前n项积为
Tn，且满足条件a＞1，a a ＞1，（a ﹣1）（a ﹣1）＜0，则下列选项正确的是（ ）
1 2020 2021 2020 2021
A．0＜q＜1 B．S +1＜S
2020 2021
C．T 是数列{Tn}中的最大项 D．T ＞1
2020 4041
【答案】AC
【解析】由等比数列{an}公比为q，a＞1，a a ＞1， ，
1 2020 2021
由a＞1可得 ，（a ﹣1）（a ﹣1）＜0，得
1 2020 2021
或 （舍去），故 ，综上 故选项A正确；
，故选项B错误；
由已知， ，可知T 是数列{Tn}中的最大项，故该选项C正确；
2020
由等比数列的性质可知， ，所以
，故该选项D错误.故选：AC.
考点五 等比数列的实际运用
【例5】（2022·辽宁·昌图县第一高级中学高二期末）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：
“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算
相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的
一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（ ）
A．6里 B．5里 C．4里 D．3里
【答案】A
【解析】记每天走的路程里数为 ，可知 是公比 的等比数列，
由 ，得 ，解得： ， .故选：A．
【一隅三反】
1．（2022·全国·高三专题练习）音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：
以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”，频率变为原来的 ，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，
频率变为原来的 ，得到“商”；……．依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶．
据此可推得（ ）
A．“宫、商、角”的频率成等比数列 B．“宫、徵、商”的频率成等比数列
C．“商、羽、角”的频率成等比数列 D．“徵、商、羽”的频率成等比数列
【答案】A【解析】设“宫”的频率为 ，由题意经过一次“损”，可得“徵”的频率是 ；
“徵”经过一次“益”，可得“商”的频率是 ，
“商”经过一次“损”，可得“羽”的频率是 ；
最后“羽”经过一次“益”，可得“角”的频率是 ，
由于 成等比数列，所以“宫、商、角”的频率成等比数列．
故选：A．
2．（2022·广东·高三阶段练习）（多选）中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十
八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”．
其大意为：“有一人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了
6天后到达目的地”．则下列说法正确的是（ ）
A．该人第五天走的路程为12里
B．该人第三天走的路程为42里
C．该人前三天共走的路程为330里
D．该人最后三天共走的路程为42里
【答案】AD
【解析】由题意可得此人每天走了路程构成了一个公比为 的等比数列，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
对于A，因为 ，所以A正确，
对于B，因为 ，所以B错误，对于C， ，所以C错误，
对于D，该人最后三天共走的路程为 ，所以D正确，
故选：AD
3．（2022·全国·高三专题练习）某新学校高一、高二、高三共有学生1900名，为了了解同学们对学校关
于对手机管理的意见，计划采用分层抽样的方法，从这1900名学生中抽取一个样本容量为38的样本，若
从高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以 为公比的等比数列，则此学校高一年级的学生人数为
______人．
【答案】900
【解析】因为高一、高二、高三抽取的人数恰好组成一个以 为公比的等比数列
设从高二年级抽取的学生人数为 人，
则从高二、高三年级抽取的人数分别为 .
由题意可得 ，所以 .
设我校高一年级的学生人数为N，再根据 ，
求得 .
故答案为：
