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7.2 等比数列
考点清单
学生用书P52 知识结构化 考点清单化
考点一 等比数列及其前ｎ项和 ａ ｍ ａ ｎ＝ ａ ｐ ａ ｑ .特殊地 ꎬ 若ｍ ＋ ｎ ＝２ ｐ ꎬ 则ａ ｍ ａ ｎ＝ ａ２ｐ .
２.公比为ｑ ｑ 的等比数列 ａ 中依次每ｍ项的和 非
１.等比数列的通项公式 ( ≠－１) { ｎ} (
零 仍成等比数列 即Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 仍成等比数列
设 ａ 是首项为 ａ 公比为 ｑ 的等比数列 则通项公式 ａ ) ꎬ ｍꎬ ２ ｍ－ ｍꎬ ３ ｍ－ ２ ｍꎬ ꎬ
{ ｎ} １ꎬ ꎬ ｎ＝ 其公比为ｑｍ. 其中Ｓ
ａ １ ｑｎ －１.推广 : ａ ｎ＝ ａ ｍ ｑｎ － ｍ ꎬ 其中 ꎬ ｎ ꎬ ｍ ∈ Ｎ . ( ｍ≠０) { }
２.等比中项 ３.若
{
ａ
ｎ}ꎬ{
ｂ
ｎ}(
项数相同
)
是等比数列
ꎬ
则
{
λａ
ｎ}ꎬ ａ
１
ꎬ
ｎ
若ａ Ｇ ｂ成等比数列 则Ｇ为ａ和ｂ的等比中项且Ｇ ａｂ. {ａ }
３.等
ꎬ
比数
ꎬ
列的前ｎ项和
ꎬ
公式
＝±
{
ａ２ｎ}ꎬ{ ａ
ｎ
ｂ
ｎ}ꎬ ｂ
ｎ
(
λ
≠０)
仍是等比数列.
ｎ
( ( １ ２ ) ) 当 当 ｑ ｑ ≠ ＝１ １ 时 时 ꎬ ꎬ Ｓ Ｓ ｎ ｎ ＝ ＝ ｎ ａ ａ １( １ １ . １ － － ｑ ｑｎ ) ＝ ａ １ １ － － ａ ｑ ｎ ｑ . ４ { . ａ 单 １> 调 ０ꎬ或 性 { : ａ 当 １< { ０ꎬ ａ ｑ 时 > １> １ ０ꎬ ａ 或 { 是 ０ ａ < １ 递 < ｑ ０ < 减 ꎬ １ 数 时 列 ꎬ{ 当 ａ ｎ} ｑ 是递 时 增 ａ 数列 是 ꎻ 当 非
ｑ ｑ ꎬ{ ｎ} ꎻ ＝１ ꎬ{ ｎ} (
考点二 等比数列的性质及应用 ０< <１ >１
零 常数列.
)
１.等比数列
{
ａ
ｎ}
中
ꎬ
对任意的ｍ
ꎬ
ｎ
ꎬ
ｐ
ꎬ
ｑ
∈
Ｎ
ꎬ
若ｍ
＋
ｎ
＝
ｐ
＋
ｑ
ꎬ
则
第
七
章
数
列
１ １９
题型方法
学生用书P52 题型经典 方法实用
一、等比数列的判定方法 所以ａ
ｎ＝
ｎ
２
ｎ －１.
等比数列的判定方法主要有 种 二、等比数列的基本运算
４ :
ａ ａ 等比数列的基本运算方法
１.定义法
:
若
ａ
ｎ ＋１
＝
ｑ
(
ｑ为非零常数
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
)
或
ａ
ｎ
＝
ｑ
(
ｑ为非
１ .等 比数列可以由首项ａ 和公
:
比ｑ确定 所有关于等比数列
ｎ ｎ －１ １ ꎬ
零常数且ｎ
≥２ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
则
{
ａ
ｎ}
是等比数列. 的计算和证明
ꎬ
都可围绕ａ
１
和ｑ进行.
２.中项公式法
:
若数列
{
ａ
ｎ}
中
ꎬ
ａ
ｎ≠０
且 ａ２ｎ
＋１＝
ａ
ｎ
ａ
ｎ ＋２(
ｎ
∈
２.对于等比数列问题
ꎬ
一般给出两个条件
ꎬ
就可以通过列方程
Ｎ
)ꎬ
则数列
{
ａ
ｎ}
是等比数列.
(
组
)
求出ａ
１ꎬ
ｑ.如果再给出第三个条件就可以完成 ａ
ｎꎬ
ａ
１ꎬ
ｑ
ꎬ
３.通项公式法 : 若数列的通项公式可写成ａ ｎ＝ ｃ ｑｎ －１ ( ｃ ꎬ ｑ均是 ｎ ꎬ Ｓ ｎ 的 “ 知三求二 ” 问题.
不为
０
的常数
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
则
{
ａ
ｎ}
是等比数列. 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略
４.前ｎ项和公式法 : 若数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和Ｓ ｎ＝ ｋ ｑｎ － ｋ ( ｋ为 (１) 求通项.求出等比数列的两个基本量ａ １ 和ｑ后 ꎬ 通项便可求出.
常数且ｋ ≠０ꎬ ｑ ≠０ꎬ１)ꎬ 则 { ａ ｎ} 是等比数列. (２)
求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.
例1 (２０１８课标 Ⅰ 文ꎬ１７ꎬ１２ 分)已知数列 { ａ ｎ} 满足 ａ １＝１ꎬ (３)
求
求
前
公比
ｎ
.
项
利
和
用
.
等
直
比
接
数
将
列
基
的
本
定
量
义
代
和
入
性
等
质
比
建
数
立
列
方
的
程
前
( 组
ｎ项
) 求
和
解
公
.
式
ｎａ ｎ ＋１＝２( ｎ ＋１) ａ ｎ .设ｂ ｎ＝ ａ ｎ ｎ. ( 求 ４ 解 ) 或利用等比数列的性质求解.
例2 (２０１８课标 ꎬ文１７ꎬ理１７ꎬ１２分)等比数列 ａ 中 ａ
( ( １ ２ ) )
求
判断
ｂ
１ 数 ꎬ
ｂ
列 ２ꎬ {
ｂ
ｂ ３ ｎ ꎻ } 是不是等比数列 ꎬ 并说明理由 ꎻ １ꎬ ａ ５＝４ ａ ３ .
Ⅲ { ｎ} ꎬ １＝
(３) 求 { ａ ｎ} 的通项公式. (１) 求 { ａ ｎ} 的通项公式 ꎻ
记Ｓ 为 ａ 的前ｎ项和.若Ｓ 求ｍ.
解析 由条件可得ａ ２( ｎ ＋１)ａ . (２) ｎ { ｎ} ｍ＝６３ꎬ
(１) ｎ ＋１＝ ｎ ｎ 解析
(１)
设
{
ａ
ｎ}
的公比为ｑ
ꎬ
由题设得ａ
ｎ＝
ｑｎ －１.
将ｎ 代入得 ａ ａ 而ａ 所以ａ . 由已知得ｑ４ ｑ２ 解得ｑ 舍去 或ｑ 或ｑ .
＝１ ꎬ ２＝４ １ꎬ １＝１ꎬ ２＝４ ＝４ ꎬ ＝０( ) ＝－２ ＝２
将ｎ
＝２
代入得
ꎬ
ａ
３＝３
ａ
２ꎬ
故ａ
ｎ＝(－２)
ｎ －１或ａ
ｎ＝２
ｎ －１.
所以ａ . ｎ
从而ｂ ３＝１２ ｂ ｂ . (２) 若ａ ｎ＝(－２) ｎ －１ ꎬ 则Ｓ ｎ＝ １－(－２) .
ｂ １＝ 是 １ꎬ 首 ２ 项 ＝２ 为 ꎬ ３＝ 公 ４ 比为 的等比数列. 由Ｓ 得 ｍ .此方 ３ 程没有正整数解.
(２){ ｎ} １ꎬ ２ ｍ＝６３ (－２) ＝－１８８
理由 由条件可得 ａ ｎ ＋１ ２ ａ ｎ 即ｂ ｂ 若ａ ｎ＝２ ｎ －１ ꎬ 则Ｓ ｎ＝２ ｎ －１ .
: ｎ ＝ ｎ ꎬ ｎ ＋１＝２ ｎꎬ 由Ｓ 得 ｍ 解得ｍ .
＋１ ｍ＝６３ ２ ＝６４ꎬ ＝６
又ｂ 所以 ｂ 是首项为 公比为 的等比数列. 综上 ｍ .
１＝１ꎬ { ｎ} １ꎬ ２ ꎬ ＝６
ａ
由 可得 ｎ ｎ －１
(３) (２) ｎ ＝２ ꎬ
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 等比数列及其前 ｎ 项和 求 ａ 的通项公式
学生用书P199 (１) { ｎ} ꎻ
１.(２０２２全国乙ꎬ理８ꎬ文１０ꎬ５分ꎬ基础性)已知等比数列 { ａ ｎ} (２) (新高考 Ⅰ )记ｂ ｍ 为 { ａ ｎ} 在区间 (０ꎬ ｍ ]( ｍ ∈ Ｎ ) 中的项
的 Ａ.１ 前 ４ ３ 项和为 １６ Ｂ ８ . ꎬ １ ａ ２ ２－ ａ ５＝４２ꎬ 则 Ｃ ａ . ６ ６ ＝ Ｄ.３ ( ) 的 (新 个 高 数 考 ꎬ 求 Ⅱ 数 )求 列 ａ { １ ｂ ａ ｍ ２ } － 的 ａ ２ 前 ａ ３＋ １ ００ ＋ 项 (－ 和 １) Ｓ ｎ １ － ０ １ ０ ａ . ｎ ａ ｎ ＋１ .
答案 Ｄ 解析 ( １ )设{ａ ｎ }的公比为ｑ.由题设得ａ １ ｑ ＋ ａ １ ｑ３ ＝２０ ꎬａ １ ｑ２ ＝
２.(
ａ
２０１
ａ
５课
ａ
标 Ⅱ ꎬ４
则
ꎬ５
ａ
分ꎬ
ａ
基础
ａ
性)已知等比数列 { ａ ｎ} 满足ａ １＝
８
.解得ｑ
１＝
２
１ (舍去)ꎬｑ
２＝２
.由题设得ａ
１＝２
.
３ꎬ １＋ ３＋ ５＝２１ꎬ ３＋ ５＋ ７＝ ( ) 所以{ａ }的通项公式为ａ ｎ.
ｎ ｎ＝２
Ａ.２ 答 １ 案 Ｂ Ｂ.４２ Ｃ.６３ Ｄ.８４ ( ２ )(新高考 Ⅰ )由题设及( １ )知ｂ １＝０ ꎬ且当 ２ ｎ ≤ ｍ <２ ｎ ＋１时ꎬｂ ｍ
３.(２０２０课标 Ⅱ 文ꎬ６ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ ｎ 为等比数列 { ａ ｎ} 的前 ＝ ｎ.所以Ｓ １００＝ ｂ １＋ (ｂ ２＋ ｂ ３ ) ＋ (ｂ ４＋ ｂ ５＋ ｂ ６＋ ｂ ７ ) ＋ ＋ (ｂ ３２＋ ｂ ３３＋ ＋
ｂ ) (ｂ ｂ ｂ )
ｎ项和.若ａ ａ ａ ａ 则 Ｓ ｎ ６３ ＋ ６４＋ ６５＋ ＋ １００
５－ ３＝１２ꎬ ６－ ４＝２４ꎬ ａ ｎ ＝ ( ) ＝０＋１×２＋２×２ ２ ＋３×２ ３ ＋４×２ ４ ＋５×２ ５ ＋６× ( １００－６３ ) ＝４８０ .
４
Ａ
.
.
(
２ 答
２
ｎ －
０
案
２
１
０ 课
Ｂ
标 Ⅱ 理
Ｂ.
ꎬ
２
６
－
ꎬ
２
５
１－
分
ｎ
ꎬ基础性
Ｃ
)
.２
数
－２
列
ｎ －１
{ ａ ｎ} 中 ꎬ
Ｄ
ａ １
.２
＝
１－
２
ｎ
ꎬ
－
ａ
１
ｍ ＋ ｎ＝
(
＝
新
２
３ 高
－２
考 ５
ｎ
Ⅱ
＋２
) ７ ａ
－
１
２
ａ ９ ２－
＋
ａ ２ ａ
＋
３＋ (
－１
＋ ) ( ｎ － －１ １ )ｎ －
２
１ ２ ａ ｎ ＋ ｎ １ ａ ｎ
＝
＋１ ２ ３[
１
１
－
－
(
(
－
－
２
２
２
２
)
)ｎ]
＝ ５
８
－
ａ ｍ ａ ｎ .若ａ ｋ ＋１＋ ａ ｋ ＋２＋＋ ａ ｋ ＋１０＝２ １５ －２ ５ ꎬ 则ｋ ＝ ( ) ( －１ )ｎ２
２＋３
.
５
Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５ １０.(２０２０课标 文ꎬ１７ꎬ１２ 分ꎬ综合性)设等比数列 ａ 满足
答案 Ｃ Ⅲ { ｎ}
ａ ａ ａ ａ .
５.(２０１９课标 ꎬ文６ꎬ理５ꎬ５分ꎬ基础性)已知各项均为正数的 １＋ ２＝４ꎬ ３－ １＝８
Ⅲ 求 ａ 的通项公式
等比数列 ａ 的前 项和为 且ａ ａ ａ 则ａ (１) { ｎ} ꎻ
{ ｎ} ４ １５ꎬ ５＝３ ３＋４ １ꎬ ３＝ 记Ｓ 为数列 ａ 的前ｎ项和.若Ｓ Ｓ Ｓ 求ｍ.
(２) ｎ {ｌｏｇ３ ｎ} ｍ＋ ｍ ＋１＝ ｍ ＋３ꎬ
( ) 解析 (
１
)设{ａ
ｎ
}的公比为ｑꎬ则ａ
ｎ＝
ａ
１
ｑｎ －１.
Ａ.１６ Ｂ.８ Ｃ.４ Ｄ.２ {ａ ａ ｑ ꎬ
答案 Ｃ 由已知得 １＋ １ ＝４ 解得ａ ꎬｑ .
６.(２０１８ 北京 ꎬ文５ꎬ理４ꎬ５分ꎬ应用性) 十二平均律 是通用
ａ
１
ｑ２
－
ａ
１＝８
. １＝１ ＝３
的音律体系 明代朱载堉最早用数学方法
“
计算出半音
”
比例 为
所以{ａ
ｎ
}的通项公式为ａ
ｎ＝３
ｎ －１.
ꎬ ꎬ ｎ(ｎ )
这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音 ( )由( )知 ａ ｎ .故Ｓ －１ .
２ １ ｌｏｇ３ ｎ＝ －１ ｎ＝
程分成十二份 依次得到十三个单音 从第二个单音起 每一个 ２
单音的频率与
ꎬ
它的前一个单音的频率
ꎬ
的比都等于１２
ꎬ
.若第一
由Ｓ
ｍ＋
Ｓ
ｍ ＋１＝
Ｓ
ｍ ＋３
得ｍ(ｍ
－１
)
＋
(ｍ
＋１
)ｍ
＝
(ｍ
＋３
)(ｍ
＋２
)ꎬ即ｍ２
个单音的频率为ｆ 则第八个单音的频率为 ２ －５ ｍ －６＝０ .解得ｍ ＝－１ (舍去)或ｍ ＝６ . 解析 ( １ )设{ａ ｎ }的
３ ｆ
ꎬ
３ ２ｆ １２ ５ｆ １２
(
７ｆ
) 公比为ｑꎬ
{
则
ａ
ａ
ｎ ａ ＝ ｑ
ａ
１
ｑｎ
ꎬ
－１.
Ａ. ２ Ｂ. ２ Ｃ. ２ Ｄ. ２ 由已知得 １＋ １ ＝４ 解得ａ ꎬｑ .
答案 Ｄ ａ ｑ２ ａ . １＝１ ＝３
７.(２０１９课标 Ⅰ 理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ ｎ 为等比数列 { ａ ｎ} 的 所以{ａ ｎ }的 １ 通项 － 公 １＝ 式 ８ 为ａ ｎ＝３ ｎ －１.
前ｎ项和.若ａ
１＝ ３
１
ꎬ
ａ２
４＝
ａ
６ꎬ
则Ｓ
５＝
.
( ２ )由( １ )知 ｌｏｇ３ ａ ｎ＝ ｎ －１ .故Ｓ ｎ＝
ｎ(ｎ
－１
)
.
２
答案 １２１ 由Ｓ ｍ＋ Ｓ ｍ ＋１＝ Ｓ ｍ ＋３ 得ｍ(ｍ －１ ) ＋ (ｍ ＋１ )ｍ ＝ (ｍ ＋３ )(ｍ ＋２ )ꎬ即ｍ２
３ ｍ .解得ｍ (舍去)或ｍ .
８.(２０２２新高考 ꎬ１７ꎬ１０ 分ꎬ创新性)已知 ａ 是等差数列 －５ －６＝０ ＝－１ ＝６
Ⅱ { ｎ} ꎬ 考点二 等比数列的性质及应用 学生用书P200
ｂ 是公比为 的等比数列 且ａ ｂ ａ ｂ ｂ ａ .
{ ｎ} ２ ꎬ ２－ ２＝ ３－ ３＝ ４－ ４ １.(２０１４大纲全国ꎬ１０ꎬ５分ꎬ基础性)等比数列 ａ 中 ａ
年 证明 ａ ｂ { ｎ} ꎬ ４＝２ꎬ
高
(１)
求集
:
合
１＝
ｋ ｂ
１ꎻ
ａ ａ ｍ 中元素的个数.
ａ
５＝５ꎬ
则数列
{ｌｇ
ａ
ｎ}
的前
８
项和等于
( )
考 (２) { ｜ ｋ＝ ｍ＋ １ꎬ１≤ ≤５００}
解析 ( )证明:设等差数列{ａ }的公差为ｄ. Ａ.６ Ｂ.５ Ｃ.４ Ｄ.３
１ ｎ 答案 Ｃ
年 由ａ ｂ ａ ｂ 得ａ ｄ ｂ ａ ｄ ｂ ꎬ故ｄ ｂ ꎬ
模 由ａ ２－ ｂ ２＝ ｂ ３－ ａ ３ 得ａ １＋ － ｄ ２ １ ｂ ＝ １＋ ｂ ２ － ａ ４ １ ｄꎬ故 ＝ ａ ２ １ ① ｄ ｂ ꎬ ２.(２０２０课标 Ⅰ 文ꎬ１０ꎬ５分ꎬ基础性)设 { ａ ｎ} 是等比数列 ꎬ 且ａ １
拟 ３ 由 － ３＝ ４ 得 － ４ ａ １＋ ｂ ２ －４ ｂ １ ꎬ ＝ 即 ８ ａ １－ ｂ １－ . ３ ２ １＋５ ＝１２ １ ＋ ａ ２＋ ａ ３＝１ꎬ ａ ２＋ ａ ３＋ ａ ４＝２ꎬ 则ａ ６＋ ａ ７＋ ａ ８＝ ( )
② ①② ２ １＋１０ １＝１２ １ １＝ １
︵
(
＝
２
２
)
ａ
由
１＋
(
(
１
ｍ
)
－
知
１ )
ｄ
ｄ
＝
ꎬ即
２ ｂ １
ａ
＝
１×
２ ａ
２
１
ｋ －
ꎬ
１
由
＝２
ｂ
ａ
ｋ
１
＝
＋
ａ
２
ｍ
(
＋
ｍ
ａ
－
１
１
ꎬ
)
１≤
ａ １ ꎬ
ｍ
其
≤
中
５０
ａ
０
１
得
≠０
ｂ
ꎬ
１×２ ｋ －１
３
Ａ
.
.
(
１ 答
２
２
０
案
２１ 全
Ｄ
国 甲理
Ｂ.
ꎬ
２
７
４
ꎬ５分ꎬ综合性
Ｃ
)
.３
等
０
比数列 { ａ ｎ}
Ｄ
的
.３
公
２
比为ｑ ꎬ
教 ｋ －１ ｍꎬ即 ｋ －２ ｍꎬ ｋ －２ ꎬ ｋ ꎬ ｋ 前ｎ项和为Ｓ .设甲 ｑ 乙 Ｓ 是递增数列 则
∴２ ＝２ ２ ＝ ∴ １≤２ ≤５００ ∴ ０≤ －２≤８ ∴ ２≤ ｎ : >０ꎬ :{ ｎ} ꎬ ( )
师 .故集合{ｋ ｂ ａ ａ ꎬ ｍ }中元素个数为 个. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
用 ≤１０ ｜ ｋ＝ ｍ＋ １ １≤ ≤５００ ９ Ａ.
书 ９.(２０２０新高考 Ⅰ ꎬ Ⅱ ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ综合性)已知公比大于 １ 的等 Ｂ. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
︶ 比数列 ａ 满足ａ ａ ａ . 甲是乙的充要条件
{ ｎ} ２＋ ４＝２０ꎬ ３＝８ Ｃ.
１ ２０
甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 数 且ａ ａ ａ ａ ５ 则 ａ ａ ａ .
Ｄ. ꎬ １０ １１＋ ９ １２＝２ｅ ꎬ ｌｎ １＋ｌｎ ２＋＋ｌｎ ２０＝
答案 Ｂ 答案
５０
４.(２０１４广东ꎬ１３ꎬ５分ꎬ综合性)若等比数列 ａ 的各项均为正
{ ｎ}
第
七
章
数
列
１ ２１
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P200
考点一 等比数列及其前 ｎ 项和 答案
３
１.(２０２２湖南常德一模ꎬ３)设Ｓ ｎ 为等比数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和 ꎬ ８.(２０２２重庆第十一中学校３月月考ꎬ１４)记Ｓ ｎ 为数列 { ａ ｎ} 的
若ａ ４＝４ꎬ Ｓ ３＝ Ｓ ２＋２ꎬ 则ａ １＝ ( ) 前
答
ｎ项
案
和 ꎬ 若Ｓ ｎ＝２ ａ ｎ－１ꎬ 则ａ ５＝ .
１６
１
Ａ. Ｂ.１ Ｃ. ２ Ｄ.２ 考点二 等比数列的性质及应用
２
答案 Ａ １.(２０２２长沙一中月考(八)ꎬ１２)一个等比数列的前 项和为
７
２.(２０２２石家庄行唐期末ꎬ３)等比数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和为Ｓ ｎꎬ 前 项和为 则前 项和为
４８ꎬ １４ ６０ꎬ ２１ ( )
Ｓ Ｓ 则公比ｑ
３＝３ꎬ ６＝９ꎬ ＝ ( )
Ａ.１８０ Ｂ.１０８ Ｃ.７５ Ｄ.６３
３ ３ 答案 Ｄ
Ａ. ３ Ｂ. ２ Ｃ. ３ Ｄ. ２
答案 Ｄ ２.(２０２２上海民办南模中学３月月考ꎬ７)正项等比数列 ａ 满
{ ｎ}
３.(２０２２广东汕头一模ꎬ４)已知各项均为正数的等比数列 ａ 足 ａ ａ ａ ａ 则ａ ａ 的最小值为 .
{ ｎ} : ３＋ ６－ １－ ４＝６ꎬ ５＋ ８
的前 项和为 ａ ａ ａ 成等差数列 则ａ 答案
４ １５ꎬ４ １ꎬ２ ３ꎬ ５ ꎬ １＝ ( ) ２４
３.(２０２２广东佛山二模ꎬ１６)公比为ｑ的等比数列 ａ 满足 ａ
Ａ.５ ２－５ Ｂ.５ ２＋５ Ｃ.５ ２ Ｄ.５ { ｎ} : ９
答案 Ａ ａ 记Ｔ ａ ａ ａ ａ 则当ｑ最小时 使Ｔ 成立的
＝ｌｎ １０>０ꎬ ｎ＝ １ ２ ３ ｎꎬ ꎬ ｎ≥１
４.(２０２２重庆高考模拟调研(三)ꎬ５)已知等比数列 ａ 的前ｎ 最小ｎ的值是 .
{ ｎ}
Ｓ 答案
项和为Ｓ 且ａ ａ ａ 成等差数列 则 ６ １７
ｎꎬ ２ꎬ３ ５ꎬ９ ８ ꎬ Ｓ ＝ ( ) ４.(２０２２河北九师联盟 ３ 月质检联考(一模)ꎬ１７)已知数列
３
ａ 满足ａ ａ ａ .
１ ４ { ｎ} １＝１ꎬ２ ｎ ＋１＝４ ｎ－１
Ａ. Ｂ. Ｃ.３ Ｄ.４ 证明 数列 ａ 是等比数列
３ ３ (１) : {２ ｎ－１} ꎻ
答案 Ｂ 求数列 ｎ ａ 的前ｎ项和Ｓ .
(２) { (２ ｎ－１)} ｎ
５.(２０２２河北廊坊省级示范性高中联合体第一次联考ꎬ４)已知 解析 ( )证明:由 ａ ａ ꎬ得 ａ ａ ( ａ
１ ２ ｎ ＋１＝４ ｎ－１ ２ ｎ ＋１－１＝４ ｎ－２＝２ ２ ｎ
Ｓ 为等比数列 ａ 的前ｎ项和 且公比ｑ 则 ａ ａ 是 Ｓ ).又 ａ ꎬ所以 ａ .
ｎ { ｎ} ꎬ >１ꎬ “ ５> １” “ ４ －１ ２ １－１＝１≠０ ２ ｎ－１≠０
的 ａ
>０” ( ) 于是２ ｎ ＋１－１ ꎬ所以{ ａ }是首项为 ꎬ公比为 的等比
充分不必要条件 必要不充分条件 ａ ＝２ ２ ｎ－１ １ ２
Ａ. Ｂ. ２ ｎ－１
充要条件 既不充分也不必要条件 数列.
Ｃ. Ｄ.
答案 Ｃ (
２
)由(
１
)得
２
ａ
ｎ－１＝２
ｎ －１ꎬ则ｎ(
２
ａ
ｎ－１
)
＝
ｎ
２
ｎ －１.
６.(２０２２辽宁沈阳二模ꎬ５)已知数列 { ａ ｎ} 是递增的等比数列 ꎬ Ｓ ｎ＝１×１＋２×２＋３×２ ２ ＋４×２ ３ ＋ ＋ (ｎ －１ ) ×２ ｎ －２ ＋ ｎ ×２ ｎ －１ꎬ ①
且ａ １＋ ａ ４＝１８ꎬ ａ ２ ａ ３＝３２ꎬ 若 { ａ ｎ} 的前ｎ项和Ｓ ｎ 满足Ｓ ｋ ＋１０－ Ｓ ｋ＝ ２ Ｓ ｎ＝１×２＋２×２ ２ ＋３×２ ３ ＋４×２ ４ ＋ ＋ (ｎ －１ ) ×２ ｎ －１ ＋ ｎ ×２ ｎ. ②
２ １６ －２ ６ ꎬ 则正整数ｋ等于 ( ) ①－② ꎬ得 － Ｓ ｎ＝１＋２＋２ ２ ＋２ ３ ＋ ＋２ ｎ －１ － ｎ ×２ ｎ
Ａ.５ Ｂ.６ Ｃ.７ Ｄ.８ ２
(
１－２
ｎ －１)
ｎ ｎ
答案 Ａ ＝１＋ － ×２
１－２
７.(２０２２江苏决胜新高考 ４ 月联考ꎬ１３)已知正项等比数列 ( ｎ) ｎ .所以Ｓ (ｎ ) ｎ .
＝ １－ ×２ －１ ｎ＝ －１ ×２ ＋１
ａ 满足ａ ａ ａ 则其公比为 .
{ ｎ} ｎ ＋２＝２ ｎ ＋１＋３ ｎꎬ
B组 综合应用题组 学生用书P201
50分钟 65分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分) 答案 Ｂ
１.(２０２２河北深州中学期末ꎬ７)已知正项等比数列 ａ 的前ｎ ２.(２０２２湘赣皖长郡十五校联盟第二次联考ꎬ１０)已知等比数
{ ｎ}
项和为Ｓ ｂ
ａ４ｎ
且数列 ｂ 的前ｎ项和为Ｔ 若对于一切
列
{
ａ
ｎ}
的公比为ｑ
ꎬ
且ａ
５＝１ꎬ
则下列选项不正确的是
( )
ｎꎬ ｎ＝ａ３ｎ
＋１
ꎬ { ｎ} ｎꎬ
Ａ.
ａ
３＋
ａ
７≥２ Ｂ.
ａ
４＋
ａ
６≥２
正整数ｎ都有Ｓ Ｔ 则数列 ａ 的公比ｑ的取值范围为
ｎ< ｎꎬ { ｎ} ａ ａ １ １ ａ ａ
Ｃ. ７－２ ６＋１≥０ Ｄ.ａ ＋ａ ＝ １＋ ９
( ) 答案 Ｂ １ ９
Ａ.(１ꎬ＋∞) Ｂ.(０ꎬ１) Ｃ.(２ꎬ＋∞) Ｄ.(０ꎬ４)
３.(２０２２山东德州夏津一中４月联测ꎬ８)已知等比数列 ａ 的
{ ｎ} ８.(２０２２湖南益阳一模ꎬ１６)已知数列 ａ 中 ａ ａ ５
首项ａ 公比为ｑ 前ｎ项和为Ｓ 前ｎ项积为Ｔ 函数ｆ ｘ { ｎ} ꎬ １＝１ꎬ ｎ ＋１＝ －
１>１ꎬ ꎬ ｎꎬ ｎꎬ ( ) ２
ｘ ｘ ａ ｘ ａ ｘ ａ 若ｆ ′ 则下列结论不正确
＝
的是
( ＋ １)( ＋ ２)( ＋ ７)ꎬ (０)＝１ꎬ
( ) ａ
１
ｎ ꎬ
若ｂ
ｎ＝ａ ｎ
１
－２ ꎬ
则数列
{
ｂ
ｎ}
的前ｎ项和Ｓ
ｎ＝
.
ａ 为单调递增的等差数列 ｎ ｎ
Ａ.{ｌｇ ｎ} 答案 ４ ＋６ －１
ｑ
－
Ｂ.０< <１ ９
{ ａ } ９.(２０２２广东梅州二模ꎬ１６)分形几何学的创立为解决传统科
Ｃ. Ｓ ｎ－ １ ｑ 为单调递增的等比数列 学众多领域的难题提供了全新的思路.图 是长度为 的线
１－ １ １
使得Ｔ 成立的ｎ的最大值为 段 将图 中的线段三等分 以中间部分的线段为边 向外作等
Ｄ. ｎ>１ ６ ꎬ １ ꎬ ꎬ
答案 Ａ 边三角形 再将中间部分的线段去掉得到图 称为 一次分
ꎬ ２ꎬ “
４.(２０２２山东潍坊素养测评ꎬ８)如图 在边长为ａ的等边三角 形 用同样的方法把图 中的每条线段重复上述操作 得到
ꎬ ”ꎻ ２ ꎬ
形ＡＢＣ中 圆Ｄ 与 ＡＢＣ相切 圆Ｄ 与圆Ｄ 相切且与ＡＢ 图 称为 二次分形 依次进行 ｎ次分形 ｎ Ｎ .
ＡＣ相切 ꎬ 圆 １ Ｄ △ 与圆 Ｄ 相 ꎬ 切且 ２ 与 ＡＢ Ａ １ Ｃ 相切 依次得 ꎬ 规定 ３ꎬ 一个 “ 分形图中所 ”ꎻ 有 线 段 ꎬ 的长度之 “ 和为该分形 ” 图 ( 的 ∈ 长度 )
到圆Ｄ ꎬ Ｄ ꎬ Ｄ . ｎ 设 ＋１ 圆Ｄ Ｄ ｎ Ｄ 的面 ꎬ 积之和为 ꎬ Ｘ ｎ 要得 : 到一个长度不小于 的分形图 则 ｎ 的最小整数值 ꎬ
Ｎ
)ꎬ
则 ３ꎬ Ｘ
ｎ
４
＝
ꎬꎬ ｎ １ꎬ ２ꎬꎬ ｎ
(
ｎ( ∈
)
是 .
(
取
ｌｇ３≈０
.
４７
３
７
０
１ꎬｌｇ２≈０
.
３
ꎬ
０１０)
答案
１２
四、解答题(共２０分)
１０.(２０２２重庆第七次质检ꎬ１７)已知数列 ａ 满足ａ ａ
{ ｎ} １＝２ꎬ ｎ ＋１
{ａ ｎ为奇数
ｎ－１ꎬ ꎬ
＝ ａ ｎ为偶数.
２ ｎ＋２ꎬ
记ｂ ａ 写出ｂ ｂ 并求数列 ｂ 的通项公式
(１) ｎ＝ ２ ｎ －１ꎬ １ꎬ ２ꎬ { ｎ} ꎻ
求数列 ａ 的前 项和.
(２) { ｎ} ３０
解析 ( )由题意得ｂ ａ ꎬｂ ａ ａ (ａ )
( )ｎ －１ １ １＝ １＝２ ２＝ ３＝２ ２＋２＝２ １－１ ＋２
１ ａ２ １ .
Ａ. π ＝４
Ｂ. ３ １ ３ ２ ２ π ａ２ [ １ ９ － ( ９ １ )ｎ] 当 故{ ｎ ｂ ≥ ｎ } ２ 是 时 首 ꎬｂ 项 ｎ＝ 为 ａ ２ ２ ｎ ꎬ －１ 公 ＝ 比 ２ ａ 为 ２ ｎ －２ ２ ＋ 的 ２＝ 等 ２ 比 (ａ 数 ２ ｎ － 列 ３－ ꎬ １ ｂ ) ｎ＝ ＋ ２ ２ ｎ ＝ . ２ ａ ２ ｎ －３＝２ ｂ ｎ －１ .
[ ( )ｎ] ( )由( )知ａ ｂ ｎꎬ
１ ａ２ １ ２ １ ２ ｎ －１＝ ｎ＝２
Ｃ. π １－ ａ ａ ａ ａ ａ (ａ ) ａ (ａ ) ａ (ａ
８ ３ ∴ １＋ ２＋ ＋ ２９＋ ３０＝ １＋ １－１ ＋ ３＋ ３－１ ＋ ＋ ２９＋ ２９－
[( )ｎ －１ ( )ｎ －１ ] ) (ｂ ｂ ｂ ) ( １６ ) １７ .
１ ａ２ １ １ １ ＝２ １＋ ２＋ ＋ １５ －１５＝２× ２ －２ －１５＝２ －１９
Ｄ. π － ＋１ １１.(２０２２广东汕头一模ꎬ１８)已知数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ
１２ ９ ３ { ｎ} ｎꎬ
答案 Ｂ
３
ａ
ｎ＝２
Ｓ
ｎ＋２
ｎ
(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
５.(２０２０山东济宁一中质检ꎬ６)已知正项等比数列 { ａ ｎ} 满足 : (１) 证明 : 数列 { ａ ｎ＋１} 为等比数列 ꎬ 并求数列 { ａ ｎ} 的前 ｎ 项
ａ ａ ａ ａ ａ 若存在两项ａ ａ 使得 ａ ａ 则 和Ｓ
２ ８＝１６ ５ꎬ ３＋ ５＝２０ꎬ ｍꎬ ｎ ｍ ｎ ＝３２ꎬ ｎꎻ
１ ４的最小值为 设ｂ ａ 证明 １ １ １ .
ｍ＋ ｎ ( ) (２) ｎ＝ｌｏｇ３( ｎ ＋１＋１)ꎬ :ｂ２ ＋ｂ２ ＋＋ｂ２ｎ <１
１ ２
解析 ( )当ｎ 时ꎬ ａ Ｓ ꎬ即 ａ ꎬ由 ａ Ｓ
３ ９ ３ ９ １ ＝１ ３ １＝２ １＋２ １＝２ ３ ｎ＝２ ｎ＋
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. ｎꎬ得 ａ Ｓ (ｎ )ꎬｎ ꎬ两式相减可得 ａ ａ
４ １０ ２ ５ ２ ３ ｎ －１＝２ ｎ －１＋２ －１ ≥２ ３ ｎ－３ ｎ －１＝
答案 Ａ ａ ꎬ即ａ ａ ꎬ
二、多项 选 择题(共５分)
２ ｎ＋２ ｎ＝３ ｎ －１＋２
ａ
所以ａ (ａ )ꎬ即 ｎ＋１ ꎬ又ａ ꎬ所以数列{ａ
６.(２０２２江苏泰州兴化４月质检ꎬ１０)数列 { ａ ｎ} 满足ａ １＝１ꎬ ａ ｎ ＋１ ｎ＋１＝３ ｎ －１＋１ ａ ｎ －１＋１ ＝３ １＋１＝３ ｎ
年 ａ ｎ＝ １ ｎꎬ ｎ ∈ Ｎ ꎬ Ｓ ｎ 为数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和 ꎬ 则 ( ) ＋１ }为等比数列ꎬ则ａ ｎ＋１＝３×３ ｎ －１ ＝３ ｎꎬ所以ａ ｎ＝３ ｎ －１ ꎬ
高 考 ２ 则Ｓ ｎ＝ ( ３＋３ ２ ＋ ＋３ ｎ) － ｎ ＝ ３ ( １－３ ｎ) － ｎ ＝ ３ ｎ ＋１ －３ － ｎ.
Ａ. ａ ４＝ １ Ｂ. ａ ｎ ＋１≤ ａ ｎ １－３ ２
年 模
拟 Ｃ.
Ｓ
ｎ<３
８
Ｄ.
Ｓ
ｎ<
３ Ｓ
ｎ －１
( ２ )证明:由( １ )及题意得ｂ ｎ＝ｌｏｇ３ (ａ ｎ ＋１＋１ ) ＝ｌｏｇ３３ ｎ ＋１ ＝ ｎ ＋１ ꎬ ｂ １ ２ｎ
２
答案 ＢＣ １ １ １ １ ꎬ
三、填空 题( 每小题５分ꎬ共１５分)
＝(ｎ
＋１
)２<ｎ(ｎ
＋１
)＝
(
ｎ －ｎ
＋１ ) ( ) ( )
︵ 教 ７.( ａ ２０２ ｎ ２辽宁 若 抚顺一 ａ 模ꎬ１６ 则 )设 ｋ 数 的 列 值 { 为 ａ ｎ} 的前ｎ项 . 和为Ｓ ｎꎬ 且Ｓ ｎ 所以 ｂ １ ２ １ ＋ｂ １ ２ ２ ＋ ＋ｂ １ ２ｎ < １－ ２ １ ＋ ２ １ － ３ １ ＋ ＋ ｎ １ －ｎ ＋ １ １ ＝１－
＝２ ｎ＋ －７ꎬ ３０< ｋ<５０ꎬ
师 答案 １ .
ｎ <１
用 ４ ＋１
书
︶
１ ２２
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P203
１.(２０２２ ５３原创题)已知ｆ ｘ 是定义在Ｒ上的偶函数 且满 数列 ｆ Ａ 表示把Ａ中每个 都变为 每个 都变为
( ) ꎬ １ ”ꎬ ( ) ０ １ꎬ０ꎬ１ꎬ １
足ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ 各项均为正数的数列 ａ 满足 所得到的新的 数列 例如Ａ 则ｆ Ａ
(１－ )＝ ( －５)ꎬ (１)＝ １ꎬ { ｎ} ０ꎬ１ꎬ０ꎬ “０ꎬ１ ”ꎬ ＝{１ꎬ０}ꎬ ( )＝
ａ １＝１ꎬ ａ２ｎ－( ３－１) ａ ｎ ａ ｎ －１－ ３ ａ２ｎ －１＝０( ｎ ≥２)ꎬ 则ｆ ( ａ ３)＋ ｆ ( ａ ５)＝ {
ｆ
０
Ａ
ꎬ１ꎬ０
ｋ
ꎬ１ꎬ０ꎬ１} .设
.若
Ａ １
有
是
限
一个有
数
限
列
“０ꎬ
Ａ
１ 数列 ”ꎬ 定义
则
Ａ
数
ｋ ＋１
列
＝
( )
( ｋ)ꎬ ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ “０ꎬ１ ” １＝{０ꎬ１ꎬ０}ꎬ
Ａ 的所有项之和为 .
Ａ.２ Ｂ.１ Ｃ.０ Ｄ.－１ ２０２２
答案 Ａ 答案 １ (
３
２０２２
＋１
)
２.(２０２２ ５３原创题) 数列 在通信技术中有着重要应 ２
“０ꎬ１ ”
用 它是指各项的值都等于 或 的数列.设Ａ是一个有限
ꎬ ０ １ “０ꎬ
第
七
章
数
列
１ ２３
