文档内容
第3讲 等比数列及其前n项和
最新考纲 考向预测
1.通过生活中的实例，理解等比
数列的概念和通项公式的意义.
等比数列也是高考的常考内容，以
2.探索并掌握等比数列的前n项
等比数列的基本公式及基本运算为
和公式，理解等比数列的通项公 命题
基础，可考查单一的等比数列问
趋势
式与前n项和公式的关系.
题，但更倾向于与等差数列或其他
3.能在具体的问题情境中，发现
内容相结合的问题.
数列的等比关系，并解决相应的
问题.
4.体会等比数列与指数函数的关 核心
数学抽象、逻辑推理
素养
系.
1．等比数列的有关概念
(1)等比数列的定义
①文字语言：一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的前一项的比都等于同一个
常数(非零)．
②符号语言：＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G 叫做a与b的等比中项．即G2
＝ab．
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a ＝a q n － 1 ．
n 1
(2)前n项和公式：S ＝
n
3．等比数列的性质
已知数列{a }是等比数列，S 是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N*)
n n
(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则a ·a ＝a · a ＝a；
m n p q
(2)数列a ，a ，a ，a ，…仍是等比数列；
m m＋k m＋2k m＋3k
(3)数列S ，S －S ，S －S ，…仍是等比数列(此时{a }的公比q≠－1)．
m 2m m 3m 2m n
常用结论
1．等比数列的单调性当q＞1，a ＞0或0＜q＜1，a ＜0时，{a }是递增数列；
1 1 n
当q＞1，a ＜0或0＜q＜1，a ＞0时，{a }是递减数列；
1 1 n
当q＝1时，{a }是常数列．
n
2．等比数列与指数函数的关系
当q≠1时，a ＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数
n
的乘积，因此数列{a }各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
n
3．等比数列{a }的前n项和S ＝A＋B·Cn⇔A＋B＝0，公比q＝C.(A，B，C均不
n n
为零)
常见误区
1．在等比数列中，易忽视每一项与公比都不为0.
2．在求等比数列的前n项和时，易忽略q＝1这一特殊情形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是
等比数列．( )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(3)满足a ＝qa (n∈N*，q为常数)的数列{a }为等比数列．( )
n＋1 n n
(4)如果{a }为等比数列，b ＝a ＋a ，则数列{b }也是等比数列．( )
n n 2n－1 2n n
(5)等比数列中不存在数值为0的项．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2．(易错题)已知在等比数列{a }中，a ＝7，前三项之和S ＝21，则公比q的值
n 3 3
是( )
A．1 B．－
C．1或－ D．－1或
解析：选C.当q＝1时，a ＝7，S ＝21，符合题意；当q≠1时，得q＝－.综上，q
n 3
的值是1或－，故选C.
3．(多选)已知数列{a }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( )
n
A.
B．{log a}
2
C．{a ＋a }
n n＋1
D．{a ＋a ＋a }
n n＋1 n＋2
解析：选AD.当等比数列{a }的通项公式为a ＝1时，log a＝0，数列{log a}不
n n 2 2是等比数列，当等比数列{a }的公比q＝－1时，a ＋a ＝0，数列{a ＋a }不是
n n n＋1 n n＋1
等比数列，由等比数列的定义知和{a ＋a ＋a }都是等比数列．故选AD.
n n＋1 n＋2
4．(2020·高考全国卷Ⅲ改编)设等比数列{a }满足a ＋a ＝4，a －a ＝8.则通
n 1 2 3 1
项公式a ＝________．
n
解析：设{a }的公比为q，则a ＝a qn－1.
n n 1
由已知得
解得a ＝1，q＝3.
1
所以{a }的通项公式为a ＝3n－1.
n n
答案：3n－1
5．在等比数列{a }中，a ＝4，a ＝16，则a 和a 的等比中项为________．
n 2 10 2 10
解析：设a 与a 的等比中项为G，因为a ＝4，a ＝16，所以G2＝4×16＝64，
2 10 2 10
所以G＝±8.
答案：±8
等比数列的基本运算
(1)(2020·高考全国卷Ⅱ)记S 为等比数列{a }的前n项和．若a －a ＝
n n 5 3
12，a －a ＝24，则＝( )
6 4
A．2n－1
B．2－21－n
C．2－2n－1
D．21－n－1
(2)(2020·湖北八校第一次联考)已知数列{a }是等比数列，a ＝1，a ＝－，若S
n 2 5 k
＝－，则k＝________．
【解析】 (1)设等比数列{a }的公比为q，则由解得所以S ＝＝2n－1，a ＝a qn
n n n 1
－1＝2n－1，所以＝＝2－21－n，故选B.
(2)设等比数列{a }的公比为q，因为a ＝1，a ＝－，所以q3＝－，解得q＝－，
n 2 5
所以a ＝－2，由S ＝＝－，解得k＝5.
1 k
【答案】 (1)B (2)5
解决等比数列基本运算问题的两种常用思想方程 等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求
1 n n
的思想 二”，通过列方程(组)求关键量a 和q，问题可迎刃而解
1
分类讨 等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝
论的 1时，{a }的前n项和S ＝na ；当q≠1时，{a }的前n项和
n n 1 n
思想 S ＝＝
n
1．设等比数列{a }的前n项和为S ，已知S ＝－2，S ＝－6，且公比q≠1，则
n n 1 3
a ＝( )
3
A．－2 B．2
C．－8 D．－2或－8
解析：选C.依题意知解得q＝－2(q＝1舍去)，故a ＝a q2＝－2×(－2)2＝－
3 1
8，故选C.
2．已知等差数列{a }的前n项和为S ，等比数列{b }的前n项和为T ，a ＝－
n n n n 1
1，b ＝1，a ＋b ＝2.
1 2 2
(1)若a ＋b ＝5，求{b }的通项公式；
3 3 n
(2)若T ＝21，求S .
3 3
解：设{a }的公差为d，{b }的公比为q，则a ＝－1＋(n－1)d，b ＝qn－1.
n n n n
由a ＋b ＝2得d＋q＝3.①
2 2
(1)由a ＋b ＝5得2d＋q2＝6.②
3 3
联立①和②解得(舍去)，
因此{b }的通项公式为b ＝2n－1.
n n
(2)由b ＝1，T ＝21得q2＋q－20＝0，
1 3
解得q＝－5或q＝4.
当q＝－5时，由①得d＝8，则S ＝21.
3
当q＝4时，由①得d＝－1，则S ＝－6.
3
等比数列的判定与证明
(1)(多选)已知数列{a }是等比数列，则下列命题正确的是( )
n
A．数列{|a |}是等比数列
n
B．数列{a a }是等比数列
n n＋1
C．数列是等比数列
D．数列{lg a}是等比数列(2)在数列{b }中，点(b ，T )在直线y＝－x＋1上，其中T 是数列{b }的前n项
n n n n n
和．
求证：数列{b }是等比数列．
n
【证明】 (1)选ABC.因为数列{a }是等比数列，所以＝q.对于A，＝＝|q|，所
n
以数列{|a |}是等比数列，A正确；对于B，＝q2，所以数列{a a }是等比数列，B
n n n＋1
正确；对于C，＝＝，所以数列是等比数列，C正确；对于D，＝＝，不一定是常数，
所以D错误．
(2)因为点(b ，T )在直线y＝－x＋1上，
n n
所以T ＝－b ＋1.①
n n
所以T ＝－b ＋1(n≥2)．②
n－1 n－1
①②两式相减，得
b ＝－b ＋b (n≥2)．
n n n－1
所以b ＝b ，所以b ＝b .
n n－1 n n－1
由①，令n＝1，得b ＝－b ＋1，所以b ＝.
1 1 1
所以数列{b }是以为首项，为公比的等比数列．
n
等比数列的判定与证明的技巧
[注意] (1)在解答题中证明一个数列为等比数列时，只能用定义法；
(2)如果要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续的三项不成等比
数列即可．
1．(2020·高考全国卷Ⅱ)数列{a }中，a ＝2，a ＝a a ，若a ＋a ＋…＋a
n 1 m＋n m n k＋1 k＋2 k
＝215－25，则k＝( )
＋10
A．2 B．3C．4 D．5
解析：选C.令m＝1，则由a ＝a a ，得a ＝a a ，即＝a ＝2，所以数列{a }
m＋n m n n＋1 1 n 1 n
是首项为2、公比为2的等比数列，所以a ＝2n，所以a ＋a ＋…＋a ＝a (a
n k＋1 k＋2 k＋10 k 1
＋a ＋…＋a )＝2k×＝2k＋1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4，故选C.
2 10
2．已知数列{a }满足a ＝1，a ＝4a ＋3n－1，b ＝a ＋n.
n 1 n＋1 n n n
证明：数列{b }为等比数列．
n
证明：因为b ＝a ＋n，所以b ＝a ＋n＋1.
n n n＋1 n＋1
又因为a ＝4a ＋3n－1，所以＝＝＝＝4.
n＋1 n
又因为b ＝a ＋1＝1＋1＝2，所以数列{b }是首项为2，公比为4的等比数列
1 1 n
等比数列的性质及应用
角度一 等比数列项的性质
(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a }中，a ，a 是方程x2＋6x＋
n 3 15
2＝0的两个实数根，则的值为( )
A．－ B．－
C. D．－或
(2)在等比数列{a }中，a >0，a ＋a ＋…＋a ＝4，a a …·a ＝16，则＋＋…＋的
n n 1 2 8 1 2 8
值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
【解析】 (1)设等比数列{a }的公比为q，因为a ，a 是方程x2＋6x＋2＝0的
n 3 15
两个实数根，所以a ·a ＝a＝2，a ＋a ＝－6，所以a ＜0，a ＜0，a ＝a q6＜0，则
3 15 3 15 3 15 9 3
a ＝－，所以＝＝a ＝－.
9 9
(2)由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a a ＝a a ＝a a ＝a a ，所以
8 1 7 2 3 6 4 5
原式＝＝，又a a …a ＝16＝(a a )4，a ＞0，所以a a ＝2，所以＋＋…＋＝2.故选
1 2 8 4 5 n 4 5
A.
【答案】 (1)B (2)A
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件．利用性质，特别是
性质“若m＋n＝p＋q，则a ·a ＝a ·a ”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当
变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度二 等比数列前n项和的性质
(1)已知等比数列{a }共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项
n
的和大80，则公比q＝________．
(2)设等比数列{a }的前n项和为S ，若＝，则＝________．
n n
【解析】 (1)由题意，得解得所以q＝＝＝2.
(2)设等比数列{a }的公比为q，因为＝，所以{a }的公比q≠1.由÷＝，得q3＝
n n
－，所以＝＝.
【答案】 (1)2 (2)
与等比数列前n项和S 相关的结论
n
(1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a }中，公比为q.
n
①若共有2n项，则S ∶S ＝q；
偶 奇
②若共有2n＋1项，则S －S ＝(q≠1且q≠－1)．
奇 偶
(2)分段求和：S ＝S ＋qnS ⇔qn＝(q为公比)．
n＋m n m
1．(多选)已知数列{a }是正项等比数列，且＋＝，则a 的值可能是( )
n 5
A．2 B．4
C. D.
解析：选ABD.因为数列{a }是正项等比数列，所以a ＞0，a ＞0，a ＞0.由＝
n 3 7 5
＋≥2＝＝，得a ≥2.因此符合题意的选项为ABD.故选ABD.
5
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设{a }是等比数列，且a ＋a ＋a ＝1，a ＋a ＋a ＝2，
n 1 2 3 2 3 4
则a ＋a ＋a ＝( )
6 7 8
A．12 B．24
C．30 D．32
【解析】 选D.方法一：设等比数列{a }的公比为q，所以＝＝q＝2，由a ＋a
n 1 2
＋a ＝a (1＋q＋q2)＝a (1＋2＋22)＝1，解得a ＝，所以a ＋a ＋a ＝a (q5＋q6＋q7)
3 1 1 1 6 7 8 1
＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32，故选D.
方法二：令b ＝a ＋a ＋a (n∈N*)，则b ＝a ＋a ＋a .设数列{a }
n n n＋1 n＋2 n＋1 n＋1 n＋2 n＋3 n
的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{b }为等比数列，由题意知b ＝1，b ＝2，所以
n 1 2
等比数列{b }的公比q＝2，所以b ＝2n－1，所以b ＝a ＋a ＋a ＝25＝32，故选D.
n n 6 6 7 8
3．在正项等比数列{a }中，已知a a a ＝4，a a a ＝12，a a a ＝324，则n
n 1 2 3 4 5 6 n－1 n n＋1
＝( )A．12 B．13
C．14 D．15
解析：选C.因为数列{a }是各项均为正数的等比数列，所以a a a ，a a a ，
n 1 2 3 4 5 6
a a a ，a a a ，…也成等比数列．
7 8 9 10 11 12
不妨令b ＝a a a ，b ＝a a a ，则公比q＝＝＝3.
1 1 2 3 2 4 5 6
所以b ＝4×3m－1.
m
令b ＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，
m
所以b ＝324，即a a a ＝324.
5 13 14 15
所以n＝14.
思想方法系列11 构造法求数列的通项公式
类型一 形如a ＝ca ＋d(c≠0，其中a ＝a)型
n＋1 n 1
(1)若c＝1，数列{a }为等差数列；
n
(2)若d＝0，数列{a }为等比数列；
n
(3)若c≠1且d≠0，数列{a }为线性递推数列，其求解方法如下：设a ＋λ＝
n n＋1
c(a ＋λ)，得a ＝ca ＋(c－1)λ，
n n＋1 n
与题设a ＝ca ＋d比较系数得λ＝(c≠1)，
n＋1 n
所以a ＋＝c(n≥2)，
n
即构成以a ＋为首项，以c为公比的等比数列．
1
设数列{a }的前n项和为S ，已知a ＝1，S －2S ＝1，n∈N*，则通项
n n 1 n＋1 n
公式a ＝________．
n
【解析】 因为S －2S ＝1.
n＋1 n
所以S ＝2S ＋1.
n＋1 n
因此S ＋1＝2(S ＋1)，＝2.
n＋1 n
因为a ＝S ＝1，S ＋1＝2，所以{S ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．
1 1 1 n
所以S ＋1＝2n，S ＝2n－1.
n n
当n≥2时，a ＝S －S ＝2n－1，a ＝1也满足此式，故a ＝2n－1，n∈N*.
n n n－1 1 n
【答案】 2n－1(n∈N*)
类型二 形如a ＝(r，p，q为常数，r＞0，p，q，a ≠0)型
n＋1 n
a ＝(r，p，q为常数，r＞0，p，q，a ≠0)的求解
n＋1 n
方法是等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式a ＝Aa ＋B(n≥2，A，B
n n－1是常数)，进而求解．
已知在数列{a }中，a ＝1，a ＝，则数列{a }的通项公式 a ＝
n 1 n＋1 n n
________．
【解析】 因为a ＝，a ＝1，所以a ≠0，
n＋1 1 n
所以＝＋，即－＝.
又a ＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．
1
所以＝＋(n－1)×＝＋.所以a ＝(n∈N*)．
n
【答案】 (n∈N*)
类型三 形如a ＝pa ＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)型
n＋1 n
a ＝pa ＋q·pn＋1(p≠0，1，q≠0)的求解方法是两端同时除以pn＋1，即得－＝
n＋1 n
q，则数列为等差数列．
在数列{a }中，a ＝，且a ＝－2a ＋3n＋1(n∈N*)，则通项公式a ＝
n 1 n＋1 n n
________．
【解析】 已知递推式的两边同时除以3n＋1，得到＝－·＋1.
令b ＝，则b ＝－b ＋1, [构造新数列{b }]
n n＋1 n n
显然有b －＝－，b －＝－，故是以－为首项，－为公比的等比数列．
n＋1 1
因此b －＝－·，可得a ＝－·(－2)n－1＋·3n＋1，n∈N*.
n n
【答案】 －·(－2)n－1＋·3n＋1，n∈N*
1．已知正项数列{a }满足a ＝4，a ＝2a ＋2n＋1，则a ＝( )
n 1 n＋1 n n
A．n·2n－1
B．(n＋1)·2n
C．n·2n＋1
D．(n－1)·2n
解析：选B.因为a ＝2a ＋2n＋1，
n＋1 n
所以＝＋1，即－＝1，
又因为＝＝2，
所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
所以a ＝(n＋1)·2n，故选B.
n
2．在数列{b }中，b ＝－1，b ＝，n∈N*，则通项公式b ＝________．
n 1 n＋1 n
解析：对递推式b ＝的两边同时取倒数，得＝，即 ＝2·＋3，
n＋1因此＋3＝2·，＋3＝2，故是以2为首项，2为公比的等比数列，于是＋3＝2·2n
－1，可得b ＝(n∈N*)．
n
答案：(n∈N*)
[A级 基础练]
1．(2020·广东六校第一次联考)等比数列{a }的前n项和为S ，且4a ，2a ，a
n n 1 2 3
成等差数列．若a ＝1，则S ＝( )
1 4
A．16 B．15 C．8 D．7
解析：选B.设公比为q，由题意得4a ＝4a ＋a ，即4a q＝4a ＋a q2，又a ≠0，
2 1 3 1 1 1 1
所以4q＝4＋q2，解得q＝2，所以S ＝＝15，故选B.
4
2．(2020·丹东模拟)设正项等比数列{a }的前n项和为S ，若S ＝3，S ＝15，则
n n 2 4
公比q＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选D.因为S ＝3，S ＝15，S －S ＝12，
2 4 4 2
所以
两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，
因为数列是正项等比数列，
所以q＝2，故选D.
3．(2020·贵阳市第一学期监测考试)设单调递增等比数列{a }的前n项和为
n
S ，若a ＋a ＝10，a a a ＝64，则正确的是( )
n 2 4 2 3 4
A．S ＝2n－1－1 B．a ＝2n
n n
C．S －S ＝2n＋1 D．S ＝2n－1
n＋1 n n
解析：选D.设等比数列{a }的公比为q，
n
因为a a a ＝64，所以a＝64，解得a ＝4.
2 3 4 3
又a ＋a ＝10，
2 4
所以＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，
解得q＝2或q＝.
又等比数列{a }单调递增，
n
所以q＝2，a ＝1，所以a ＝2n－1，
1 n所以S ＝＝2n－1，S －S ＝2n＋1－1－(2n－1)＝2n.
n n＋1 n
因此只有选项D正确，故选D.
4．(多选)已知数列{a }的前n项和S ＝5n＋t(t∈R)，下列结论正确的是( )
n n
A．t为任意实数时，{a }均是等比数列
n
B．当且仅当t＝－1时，{a }是等比数列
n
C．当t＝0时，{a }中＝5
n
D．当t＝－5时，{a }一定不是等比数列
n
解析：选BCD. a ＝S ＝5＋t，a ＝S －S ＝5n－5n－1＝4×5n－1(n＞1)，当且仅
1 1 n n n－1
当a ＝4，即t＝－1时，{a }是等比数列．A错误，B正确．当t＝0时，{a }中＝＝
1 n n
5，C正确．当t＝－5时，a ＝0，{a }一定不是等比数列，D正确．
1 n
5．(2020·河北唐山一中月考)已知等比数列{a }的前n项和为S ＝3n＋a，则数
n n
列{a}的前n项和为( )
A. B.
C. D．9n－1
解析：选A.设数列{a}的前n项和为T ，因为S ＝3n＋a，所以S ＝3n－1＋
n n n－1
a(n≥2)，所以a ＝S －S ＝2·3n－1(n≥2)，且S ＝a ＝3＋a.又数列{a }为等比数
n n n－1 1 1 n
列，所以a ＝2·3n－1且2＝3＋a，所以a＝－1.因为＝＝9且a＝4，所以{a}是首项
n
为4，公比为9的等比数列．所以{a}的前n项和T ＝＝. 故选A.
n
6．在等比数列{a }中，若a a ＝16，a ＝8，则a ＝________．
n 1 5 4 6
解析：因为a a ＝16，所以a＝16，所以a ＝±4.
1 5 3
又a ＝8，所以q＝±2.
4
所以a ＝a q2＝8×4＝32.
6 4
答案：32
7．如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接
正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有
1 023 个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为
________．
解析：由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知
共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，所以n＝10，所以最小正方形的边长为×＝.
答案：
8．(2020·贵阳市四校联考)已知数列{a }中，a ＝3，且点P (a ，a )(n∈N*)在
n 1 n n n＋1
直线3x－y＋1＝0上，则数列{a }的通项公式为________．
n
解析：因为点P (a ，a )(n∈N*)在直线3x－y＋1＝0上，所以3a －a ＋1＝
n n n＋1 n n＋1
0，即a ＝3a ＋1，所以a ＋＝3，所以数列是公比为3的等比数列，首项为a
n＋1 n n＋1 1
＋＝3＋＝，所以a ＋＝·3n－1，所以a ＝·3n－1－.
n n
答案：·3n－1－
9．(2020·云南玉溪二模)在等比数列{a }中，a ＝6，a ＝12－a .
n 1 2 3
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记S 为{a }的前n项和，若S ＝66，求m.
n n m
解：(1)设等比数列{a }的公比为q，
n
因为a ＝6，a ＝12－a ，
1 2 3
所以6q＝12－6q2，解得q＝－2或q＝1，
所以a ＝6×(－2)n－1或a ＝6.
n n
(2)①若a ＝6×(－2)n－1，
n
则S ＝＝2[1－(－2)n]，
n
由S ＝66，得2[1－(－2)m]＝66，解得m＝5.
m
②若a ＝6，q＝1，则{a }是常数列，
n n
所以S ＝6m＝66，解得m＝11.
m
综上，m的值为5或11.
10．(2020·北京市适应性测试)已知{a }是公比为q的无穷等比数列，其前n项
n
和为S ，满足a ＝12，________．是否存在正整数k，使得S >2 020？若存在，求k
n 3 k
的最小值；若不存在，说明理由．
从①q＝2，②q＝，③q＝－2这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并
作答．
解：选择①：
因为a ＝12，所以a ＝3，
3 1
所以S ＝＝3(2n－1)．
n
令S >2 020，即3(2k－1)>2 020，得2k>.
k
所以存在正整数k，使得S >2 020，k的最小值为10.
k
选择②：因为a ＝12，所以a ＝48，所以S ＝＝96.
3 1 n
因为S <96<2 020，
n
所以不存在满足条件的正整数k.
选择③：
因为a ＝12，所以a ＝3，
3 1
所以S ＝＝1－(－2)n.
n
令S >2 020，即1－(－2)k>2 020，整理得(－2)k<－2 019.
k
当k为偶数时，原不等式无解；
当k为奇数时，原不等式等价于2k>2 019，
所以存在正整数k，使得S >2 020，k的最小值为11.
k
[B级 综合练]
11．(2020·河南郑州三测)已知数列{a }，{b }满足a ＝b ＝1，a －a ＝＝3，
n n 1 1 n＋1 n
n∈N*，则数列{ba }的前10项和为( )
n
A.×(310－1) B.×(910－1)
C.×(279－1) D.×(2710－1)
解析：选D.因为a －a ＝＝3，
n＋1 n
所以{a }为等差数列，公差为3，{b }为等比数列，公比为3，所以a ＝1＋3(n
n n n
－1)＝3n－2，b ＝1×3n－1＝3n－1，
n
所以ba ＝33n－3＝27n－1，
n
所以{ba }是以1为首项，27为公比的等比数列，
n
所以{ba }的前10项和为＝×(2710－1)，故选D.
n
12．(多选)在等比数列{a }中，公比为q，其前n项积为T ，并且满足a ＞1，
n n 1
a ·a －1＞0，＜0，下列选项中，结论正确的是( )
99 100
A．0＜q＜1
B．a ·a －1＜0
99 101
C．T 的值是T 中最大的
100 n
D．使T ＞1成立的最大自然数n等于198
n
解析：选ABD.对于A，因为a a －1＞0，
99 100
所以a·q197＞1，所以(a ·q98)2·q＞1.
1
因为a ＞1，所以q＞0.
1
又因为＜0，所以a ＞1，且a ＜1.
99 100
所以0＜q＜1，故A正确；对于B，因为a＝a ·a ，a ＜1，所以0＜a ·a ＜1，
99 101 100 99 101
即a ·a －1＜0，故B正确；
99 101
对于C，由于T ＝T ·a ，而0＜a ＜1，
100 99 100 100
故有T ＜T ，故C错误；
100 99
对于D，T ＝a ·a ·…·a ＝(a ·a )(a ·a )…(a ·a )＝(a ·a )99＞1，
198 1 2 198 1 198 2 197 99 100 99 100
T ＝a ·a ·…·a ＝(a ·a )(a ·a )…(a ·a )·a ＜1，故D正确．故选ABD.
199 1 2 199 1 199 2 198 99 101 100
13．(2020·北京东城二模)已知{a }为等比数列，其前n项和为S ，且满足a ＝
n n 3
1，S ＝3a ＋1，{b }为等差数列，其前n项和为T ，如图________，T 的图象经过
3 2 n n n
A，B两个点．
(1)求S ；
n
(2)若存在正整数n，使得b ＞S ，求n的最小值．从图①，图②，图③中选择一
n n
个适当的条件，补充在上面问题中并作答．
解：(1)设等比数列{a }的公比为q.由S ＝3a ＋1，a ＝1，得a ＝2a ，故q＝＝.
n 3 2 3 1 2
又因为a ＝a q2，所以a ＝4，
3 1 1
所以S ＝＝8＝8－23－n.
n
(2)设等差数列{b }的公差为d.
n由题图①知：T ＝b ＝1，T ＝－3，可判断d＜0，故数列{b }是递减数列．而
1 1 3 n
{S }是递增数列，且b ＜S ，
n 1 1
所以不满足“存在正整数n，使得b ＞S ”．
n n
由题图②知：T ＝b ＝1，T ＝6，可判断d＞0，故数列{b }是递增数列．
1 1 3 n
由题图③知：T ＝b ＝－3，T ＝0，可判断d＞0，故数列{b }是递增数列．
1 1 3 n
所以选择题图②③均满足“存在正整数n，使得b ＞S ”．
n n
若选择题图②，则T ＝b ＝1，T ＝6，可得d＝1，所以b ＝n.
1 1 3 n
当n＝1，2，3，4，5，6，7时，b ＞S 不成立，
n n
当n＝8时，b ＝8，S ＝8－23－8，即S ＜b ，
8 8 8 8
所以使得b ＞S 成立的正整数n的最小值为8.
n n
若选择题图③，则T ＝b ＝－3，T ＝0，可得d＝3，所以b ＝3n－6.
1 1 3 n
当n＝1，2，3，4时，b ＞S 不成立，
n n
当n＝5时，b ＝9，S ＝8－23－5，即S ＜b ，
5 5 5 5
所以使得b ＞S 成立的正整数n的最小值为5.
n n
14．已知在数列{a }中，a ＝1，a ·a ＝，记T 为{a }的前2n项的和，b ＝a
n 1 n n＋1 2n n n 2n
＋a ，n∈N*.
2n－1
(1)判断数列{b }是否为等比数列，并求出b ；
n n
(2)求T .
2n
解：(1)因为a ·a ＝，
n n＋1
所以a ·a ＝，
n＋1 n＋2
所以＝，
即a ＝a .
n＋2 n
因为b ＝a ＋a ，
n 2n 2n－1
所以＝＝＝，
因为a ＝1，a ·a ＝，
1 1 2
所以a ＝，所以b ＝a ＋a ＝.
2 1 1 2
所以{b }是首项为，公比为的等比数列．
n
所以b ＝×＝.
n
(2)由(1)可知，a ＝a ，
n＋2 n
所以a ，a ，a ，…是以a ＝1为首项，以为公比的等比数列；a ，a ，a ，…是以
1 3 5 1 2 4 6
a ＝为首项，以为公比的等比数列，
2
所以T ＝(a ＋a ＋…＋a )＋(a ＋a ＋…＋a )
2n 1 3 2n－1 2 4 2n＝＋＝3－.
[C级 创新练]
15．(多选)(2020·山东青岛三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其
中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数
学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功
疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长
织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，
第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少
尺布？已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中
的第n天所织布的尺数为a ，b ＝2a ，对于数列{a }，{b }，下列选项中正确的为(
n n n n n
)
A．b ＝8b B．{b }是等比数列
10 5 n
C．a b ＝105 D.＝
1 30
解析：选BD.由题意知，{a }为等差数列，a ＝5，S ＝390，设公差为d，则S
n 1 30 30
＝30×5＋d，所以d＝.对于B，{b }中，＝＝2a －a ＝2d，故{b }为等比数列，故
n n＋1 n n
B 正确．对于 A，＝25d＝2≠8，故 A 错误．对于 C，a b ＝5×32×2×29＝
1 30
5×32×216≠105，故C错误．对于D，＝＝，故D正确．
16．(2020·广东梅州质量检测)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，且S ＝
n n 1 n
λa －1(λ为常数)．若数列{b }满足a b ＝－n2＋9n－20，且b ＜b ，则满足条件
n n n n n＋1 n
的n的取值集合为________．
解析：当n＝1时，a ＝S ＝λa －1.又a ＝1，所以λ－1＝1，解得λ＝2.所以S ＝
1 1 1 1 n
2a －1，所以S ＝2a －1(n≥2)．所以a ＝S －S ＝2a －2a ，即a ＝2a ，
n n－1 n－1 n n n－1 n n－1 n n－1
所以数列{a }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{a }的通项公式为a
n n n
＝2n－1.又a b ＝－n2＋9n－20，所以b ＝，所以b －b ＝－＝＜0.又2n＞0，所以
n n n n＋1 n
n2－11n＋28＝(n－4)·(n－7)＜0，解得4＜n＜7.又n∈N*，所以满足条件的n的取
值集合为{5，6}．
答案：{5，6}
