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第七章 数列章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
A．106 B．53 C．48 D．36
【答案】D
【分析】由已知条件可得 ，再利用等差数列的求和公式及性质即可得解.
【详解】 ， ，
，则 .
故选：D
2．已知等比数列 满足 ， ，则公比
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】利用 以及等比数列的通项公式，化简 得到 ，由此求得 的值.
【详解】由 及 ，可得 .故选A.
【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.3．设 是等差数列 的前 项和.若 ，则
A．5 B．6 C．7 D．9
【答案】A
【分析】首先根据等差数列的性质得到 ，再计算 即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 .
所以 .
故选：A
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查等差数列的前 项和，属于简单题.
4．已知等比数列 的公比为 ，前 项的和为 ，且 成等差数列，则 （ ）
A． 或 B． C． 或 D．
【答案】A
【分析】根据等差中项及等比数列前 项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.
【详解】因为 成等差数列，
所以 .
因为等比数列 的前 项的和为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又因为等比数列 的公比为 ，
所以由 得 ，即 ，解得 或 .
故选：A.
5．若等差数列 的前 项和为 ， ， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】推导出 ， ， ，由此能求出 的最大值．
【详解】∵等差数列 的前n项和为 ， ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
的最大值为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解
能力，是基础题．
6．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇
数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数 ，记按照上述规
则实施第 次运算的结果为 ，则使 的 所有可能取值的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】推导出 ， ，由 ，得 ，从而 ，进而 或
．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的 的值的个数．
【详解】解：由题意知 ， ，
由 ，得 ， ， 或 ．
①当 时， ， ， 或 ， 或 ．②若 ，则 ， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
当 时， ，此时， 或 ，
综上，满足条件的 的值共有6个．
故选：D
7．已知 为数列 的前 项和，且 ，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知得 ， ，两式作差得 ，再求得 ，
，得数列 从第2项起构成以 为公比的等比数列，求得 时， ， ，代入判断可得选项.
【详解】解：因为 ，所以 ，两式作差得 ，
即 ，所以 ，
又 ， ，解得 ， ，
所以数列 从第2项起构成以 为公比的等比数列，
所以 ， ，，
所以 ，故A不正确，B不正确；
，所以 ，故C不正确，D正确，
故选：D.
8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称
为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，已知数列 满足
， ， ，若 ， 为数列 的前 项和，则 （ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【分析】首先根据累加法得到 的通项公式进而得到 ，并对 进行放缩得到
.
【详解】由 得 ，因此数列 为公比为4，
首项为 的等比数列，故 ，进而根据累加法
得 ，
，
，
又 ，，
令
，
，
，
代入 得 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新概念问题，重点是对 的放缩.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太
极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化
中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，
50，…，则（ ）
A．数列第16项为144 B．数列第16项为128
C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项
【答案】BC
【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可.
【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，
即 ， ， ， ， ，
即偶数项对应的通项公式为 ，
则数列的第16项为第8个偶数即 ，
故选:BC．
10．数列 的前 项和为 ，则有（ ）
A． B． 为等比数列 C． D．
【答案】ABD
【分析】根据 求得 ，进而求得 以及判断出 是等比数列.
【详解】由题得 ，
两式相减得 ，即 ，
当 时， ，
所以数列 从第 项起是等比数列，所以 ，
所以数列的通项为 ， ，
当 时， ；当 时， 符合上式，
所以 ，所以 ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列.
所以ABD选项正确，C选项错误.
故选：ABD
11．数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列说法正确的有 （ ）A． B． 是周期数列 C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意，分别求得 ，得到数列 构成以 为周期的周期数列，逐项判
定，即可求解.
【详解】由题意，数列 满足
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ； ，
归纳可得数列 构成以 为周期的周期数列，所以A不正确，B正确；
又由 ，所以C正确；
因为 ，所以 ，所以D错误．
故选：BC．
12．已知等比数列 的前 项积为 ，公比 ，且 ，则（ ）
A．当 时， 最小
B．C．存在 ，使得
D．当 时， 最小
【答案】BD
【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断.
【详解】对于选项B：因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，故B正确；
对于选项A、D：因为 ，
所以 ，则 ，
又因为 ，可得 ，
则 ，故 ，
且 ，可知数列 是单调递增数列，
当 时， ；当 时， ；
所以当 时， 最小，故选项A错误，选项D正确；
对于选项C：因为数列 是单调递增数列，且当 时， ，
所以 ，故C错误.
故选：BD.
【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项
之间的关系选择恰当的性质解题.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等差数列 的首项 ，而 ，则 .
【答案】0
【分析】由 ，代入 即可化简求值.
【详解】等差数列 的首项 ， ，则 .
故答案为：0.
14．已知等比数列 的前n项和为 ， ，则数列 的公比 ．
【答案】
【解析】由 可得 ，从而可求公比.
【详解】由 可得 ，故 或 ，
若 故 ，若 ，则 ，
故答案为： .
15．数列 满足 ， ，则数列 的前 项和 ．
【答案】120
【分析】 ，利用 是等比数列可得 的通项公式，从而可得 ．
【详解】 ， ，又 ，
， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
， ，
，
故答案为 ．
【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．16．已知数列 满足 .且 ，设 ，则数列 的前100项和为 ;
【答案】
【分析】根据递推关系 ，构造等差数列 求出通项公式，进而求得 的通项公
式，再求和；
【详解】由 ，得 ，则 ，
所以数列 是 为首项，1为公差的等差数列，
则 ，所以 ，
则 ，
所以数列 的前100项和为 ，
故答案为： .
【点睛】根据递推关系构造等差数列是求解本题的关键，同时数列求和时用到裂项相消法.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．已知等差数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)记 为 的前 项和，求 的最小值及取得最小值时 的值．
【答案】(1)(2) 取6或7，最小值为
【分析】（1）根据递推公式 ,带入求得首项 .由递推可得作差即可得等差数列的公差 ,即
可得等差数列的通项公式
（2）先求得等差数列的前 项和 ,可得 的通项公式,即可求最小值.
【详解】（1）由已知 为等差数列，记其公差为 ，
①当 时， 所以两式相减可得 ,
②当 时， ，所以 ．
所以， ．
（2） ，
所以，当 取与 最接近的整数6或7时， 最小，最小值为—21．
18．数列 的前 项和记为 ， , , , , .
（1）求 的通项公式；
（2）求证：对 ,总有 ．
【答案】（1） （2）见解析
【分析】（1）根据 , ,得 ，两式相减，得出递推关系即可求解；
（2）利用累加法求出 ，利用裂项求和求出即可得证.
【详解】解：（1）由 ．可得 ，
两式相减得 ，∴ ，
又 ， ．
故 是首项为9，公比为3的等比数列，
∴
（2）
当 时，
又 符合上式， ．
∴ ．
则
∵ ，
∴ ．
【点睛】此题考查求数列通项公式，结合裂项相消求和证明不等式，对常规解法的考查，对计算能及要求
较高.
19．设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 .
(1)证明：数列 是等差数列，并求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1)证明见解析，(2)
【分析】（1）对已知式子化简可得 ，则 ，两式相减化简可得
，从而可得 是等差数列，进而可求出其通项公式，
（2）由（1）得 ，然后利用错位相减法可求得 .
【详解】（1）由 ，得 ，
，
两式相减得， ，则有 ，
两式相减得， ，
∴ ，
数列 是等差数列，
当 时， ，
又 ，
.
（2） ，
，
两式相减得， .
20．已知等差数列 的前 项和为 ， ， 为整数，且 .
（1）求 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)首先根据 ，得到 ， ，从而列出两个关于公差 的不等式，解出公差 的取
值范围，又 是整数，得到 的值，最后写出数列 的通项公式；
(2)由于 前3项为正，从第4项开始为负，得到 ，所以在对数列 前 项
和 时要分情况讨论，分为 和 两种情况，再依次算出 的值.
【详解】解：（1）由于 ， 为整数，所以等差数列 的公差 为整数，
又 ，所以 ， ，即： ，解得 ，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
（2）由 得： ，所以 ，
当 时， ；
当 时， ，
所以 ；所以 .
【点睛】对于有正负项的等差数列来说，在对其绝对值求和时要注意，要从发生正负改变的哪一项进行分
段，再进行分类讨论求出结果.
21．若数列 满足 ，则称数列 为“平方递推数列".已知数列 中， ，点 在
函数 的图象上，其中n为正整数，
(1)证明:数列 是“平方递推数列”，且数列 为等比数列;
(2)设 ， ， 求数列 的前10项和 .
【答案】(1)证明见解析
(2)436
【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
（2）求出 表达式，再分段求前10项和即可.
【详解】（1） 点 在函数 的图象上，
， ，
数列 是“平方递推数列”，
因为 ，
对 两边同时取对数得 ，
数列 是以1为首项、2为公比的等比数列；
（2）由（1）知 ，
所以所以
.
22．已知各项均为正数的数列 的首项 ，其前 项和为 ，从① ；② ，
；③ 中任选一个条件作为已知，并解答下列问题.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，设数列 的前 项和 ，求证： .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）.
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)证明见解析.
【分析】（1）选择条件①②③，利用给定条件并作变形，再结合 求解作答.
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求和，再借助数列单调性推理作答.
【详解】（1）选择①：因为 ，则 ，
两式相减得 ，即 ，
而 ， ，则 ，因此数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .
选择②：因为 ，则 ，
于是当 时， ，即 ，由 ，得 ，
即有 ，因此 ， ，即数列 是以 为首项，2为公差的等差数列，
所以 .选择③：因为 ，又 ，
则 ，即 ，
显然 ，于是 ，即 是以1为首项，1为公差的等差数列，
从而 ，即 ，因此 ，而 满足上式，
所以 .
（2）由（1）知， ， ，
因此 ，
则 ，
显然数列 单调递减，于是 ，则 ，
所以 .
