文档文本内容
第七章 数 列
5/
1
真题多维细目表
考题 考点 考向 情境载体 关键能力 考查要求 核心素养
２０２２ 新 高 考 累乘法求数列的
求通项公式 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ１７ 通项公式
Ⅰ
２０２２ 新 高 考 等差数列的性
求值 数学原理习得 运算求解 创新性 数学运算
ꎬ３ 质及应用
Ⅱ
２０２２ 新 高 考 等比数列及其 运算求解
与集合的综合 数学推理学习 创新性 数学运算
ꎬ１７ 前ｎ项和 逻辑思维
Ⅱ
２０２１ 新 高 考
数列的求和 错位相减法求和 数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ１６
Ⅰ
求解等差数列的
２０２１ 新 高 考 等差数列及 数学运算
通项公式、求和公 数学运算学习 运算求解 综合性
ꎬ１７ 其前ｎ项和 逻辑推理
Ⅱ 式的运用
２０２０ 新 高 考 等差数列及其 求等差数列的前ｎ
数学运算学习 运算求解 综合性 数学运算
ꎬ１４ 前ｎ项和 项和
Ⅰ
２０２０ 新 高 考 等比数列及其 求通项公式及分 运算求解 数学运算
数学运算学习 综合性
ꎬ ꎬ１８ 前ｎ项和 组转化法求和 逻辑推理 逻辑推理
Ⅰ Ⅱ
2
命题规律与备考策略
重点考查等差 等比数列的概念 性质 通项公式和 时考查数列的创新问题 实际应用问题 与不等式的
、 、 、 ꎬ ꎬ
前ｎ项和公式 考查错位相减 裂项相消等求和方法.有 综合问题 考查化归与转化思想 运算求解能力.
ꎬ 、 ꎬ ꎬ7.1 等差数列
考点清单
学生用书P50 知识结构化 考点清单化
考点一 等差数列及其前ｎ项和 为
２
ｄ.
若 ａ ｂ 项数相同 是等差数列 则 ｐａ ｑｂ ｐ ｑ是常
１.通项公式 (４) { ｎ}ꎬ{ ｎ}( ) ꎬ { ｎ＋ ｎ}( ꎬ
数 仍是等差数列.
如果等差数列 ａ 的首项为ａ 公差为ｄ 那么它的通项公式 )
是ａ
ｎ＝
ａ
１＋(
ｎ
－
{
１)
ｎ
ｄ
}
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ .
１ꎬ ꎬ
(
公
５
差
)
若
为
{
ｍ
ａ
ｎ
ｄ
}
的
是
等
等
差
差
数
数
列
列
.
ꎬ
则ａ
ｋꎬ
ａ
ｋ ＋ ｍꎬ
ａ
ｋ ＋２ ｍꎬ(
ｋ
ꎬ
ｍ
∈
Ｎ
)
组成
２.前ｎ项和公式
２.与等差数列各项的和有关的性质
已知条件 前ｎ项和公式 {Ｓ }
若 ａ 是等差数列 则 ｎ 也是等差数列 其首项与 ａ
(１) { ｎ} ꎬ ｎ ꎬ { ｎ}
ｎ(ａ ａ )
ａ １ ꎬａ ｎ ꎬｎ Ｓ ｎ＝ １ ２ ＋ ｎ 的首项相同 ꎬ 公差是 { ａ ｎ} 的公差的 １ .
２
ｎ(ｎ )
ａ １ ꎬｄꎬｎ Ｓ ｎ＝ ｎａ １＋ －１ ｄ (２) Ｓ ｍꎬ Ｓ ２ ｍꎬ Ｓ ３ ｍ 分别为 { ａ ｎ} 的前ｍ项 ꎬ 前 ２ ｍ项 ꎬ 前 ３ ｍ项的和 ꎬ
２ 则Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 成等差数列.
ｍꎬ
２
ｍ－ ｍꎬ
３
ｍ－
２
ｍ
３.等差中项 关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质
(３)
ａ ｂ Ｓ ａ
如果Ａ ＝ ＋ ꎬ 那么Ａ叫做ａ与ｂ的等差中项. (ｉ) 若项数为 ２ ｎ ꎬ 则Ｓ 偶－ Ｓ 奇＝ ｎｄ ꎬＳ 奇 ＝ａ ｎ .
２ 偶 ｎ
＋１
Ｓ
考点二 等差数列的性质及应用 若项数为 ｎ 则Ｓ ｎ ａ Ｓ ｎａ Ｓ Ｓ ａ 奇
(ｉｉ) ２ －１ꎬ 偶＝( －１) ｎꎬ 奇＝ ｎꎬ 奇－ 偶＝ ｎꎬＳ
偶
１.等差数列的常用性质 ｎ
.
(１)
通项公式的推广
:
ａ
ｎ＝
ａ
ｍ＋(
ｎ
－
ｍ
)
ｄ
(
ｎ
ꎬ
ｍ
∈
Ｎ
)
. ＝ｎ
－１
(２)
若
{
ａ
ｎ}
是等差数列
ꎬ
且 ｋ
＋
ｌ
＝
ｍ
＋
ｎ
(
ｋ
ꎬ
ｌ
ꎬ
ｍ
ꎬ
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ (４)
若两个等差数列
{
ａ
ｎ}、{
ｂ
ｎ}
的前 ｎ 项和分别为 Ｓ
ｎ、
Ｔ
ｎꎬ
则
则ａ ａ ａ ａ . ａ Ｓ
ｋ＋ ｌ＝ ｍ＋ ｎ ｎ ２ ｎ －１.
若 ａ 是等差数列 公差为ｄ 则 ａ 也是等差数列 公差 ｂ ＝Ｔ
(３) { ｎ} ꎬ ꎬ { ２ ｎ} ꎬ ｎ ２ ｎ －１
第
七
章
数
列
１ １３
题型方法
学生用书P50 题型经典 方法实用
一、等差数列的判定方法 例2 (２０２１全国乙理ꎬ１９ꎬ１２ 分)记 Ｓ 为数列 ａ 的前 ｎ 项
ｎ { ｎ}
１.证明一个数列 ａ 为等差数列的基本方法有两种
{ ｎ} : 和 ｂ 为数列 Ｓ 的前ｎ项积 已知 ２ １ .
(１)
利用等差数列的定义证明
ꎬ
即证明ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｄ
(
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｄ为 ꎬ ｎ { ｎ} ꎬ Ｓ
ｎ
＋ｂ
ｎ
＝２
常数 证明 数列 ｂ 是等差数列
)ꎻ (１) : { ｎ} ꎻ
(２)
利用等差中项证明
ꎬ
即证明ａ
ｎ ＋２＋
ａ
ｎ＝２
ａ
ｎ ＋１(
ｎ
∈
Ｎ
)
.
(２)
求
{
ａ
ｎ}
的通项公式.
２.解选择题 填空题时 也可用通项公式或前ｎ项和公式直接 解析 证明 由 ｂ Ｓ Ｓ Ｓ 可得 Ｓ
判断 、 ꎬ {ｂ ｎ (１) : ｎ ＝ １ ２ ｎ ꎬ ｎ
: １ꎬ ＝１ꎬ
通项公式法 若数列 ａ 的通项公式是关于 ｎ 的一次函 ｂ
(１) : { ｎ} ＝ ｎ ｎ .
数 即ａ Ａｎ Ｂ 则 ａ 是等差数列 ｂ ꎬ ≥２
ꎬ ｎ＝ ＋ ꎬ { ｎ} ꎻ ｎ －１
前ｎ项和公式法 若数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ 可以化为Ｓ
(２) : { ｎ} ｎ ｎ＝ 由 ２ １ 知
Ａｎ２ ＋ Ｂｎ ( Ａ ꎬ Ｂ是常数 ) 的形式 ꎬ 则 { ａ ｎ} 是等差数列. Ｓ ｎ ＋ｂ ｎ ＝２ ꎬ
例1 已知数列 { ａ ｎ} 满足ａ １＝１ꎬ 且ｎａ ｎ ＋１－( ｎ ＋１) ａ ｎ＝２ ｎ２ ＋２ ｎ. 当ｎ ＝１ 时 ꎬＳ ２ ＋ｂ １ ＝２ꎬ 即 ｂ ２ ＋ｂ １ ＝２ꎬ
求ａ ａ 的值 １ １ １ １
(１) ２ꎬ ３ ꎻ
{ａ } 所以ｂ Ｓ ３
(２)
证明数列
ｎ
ｎ 是等差数列
ꎬ
并求
{
ａ
ｎ}
的通项公式. １＝ １＝
２
ꎬ
解析 由已知 得ａ ａ 则ａ ａ 又ａ 所 当ｎ 时 ２ １
(１) ꎬ ２－２ １＝４ꎬ ２＝２ １＋４ꎬ １＝１ꎬ ≥２ ꎬ ｂ
ｎ
＋ｂ
ｎ
＝２ꎬ
以ａ 由 ａ ａ 得 ａ ａ 所以ａ .
２＝６ꎬ ２ ３－３ ２＝１２ꎬ ２ ３＝１２＋３ ２ꎬ ３＝１５ ｂ
ｎ
ｎａ ｎ ａ －１
(２) 由已知ｎａ ｎ ＋１－( ｎ ＋１) ａ ｎ＝２ ｎ ( ｎ ＋１)ꎬ 得 ｎ ＋ ｎ １ ( － ｎ ( ＋ ＋ １) １) ｎ ＝ ２ꎬ 即 ２ ｂ ｎ＝２ ｂ ｎ －１＋１ꎬ 即ｂ ｎ－ ｂ ｎ －１＝ １ ꎬ
ａ ａ {ａ } ２
即 ｎ ＋１ ｎ 所以数列 ｎ 是首项为 公差为 的等差数 故数列 ｂ 是首项为 ３ 公差为 １ 的等差数列.
ｎ － ｎ ＝２ꎬ ｎ １ꎬ ２ { ｎ} ꎬ
＋１ ２ ２
ａ ｎ
列
ꎬ
则
ｎ
ｎ
＝１＋２(
ｎ
－１)＝２
ｎ
－１ꎬ
所以ａ
ｎ＝２
ｎ２
－
ｎ.
(２)
由
(１)
知
ꎬ
ｂ
ｎ＝
３
＋(
ｎ
－１)×
１
＝
＋２
ꎬ
２ ２ ２
ｂ ｎ ｎ 例3 (２０１９北京理ꎬ１０ꎬ５ 分)设等差数列 ａ 的前 ｎ 项和为
故当ｎ 时 Ｓ ｎ ＋２ Ｓ ３ 也符合该式 即Ｓ ＋２ ｎ { ｎ}
≥２ ꎬ ｎ＝ｂ
ｎ －１
＝ｎ
＋１
ꎬ １＝
２
ꎬ ｎ＝ｎ
＋１
( Ｓ
ｎ
.若ａ
２＝－３ꎬ
Ｓ
５＝－１０ꎬ
则 ａ
５＝ ꎬ
Ｓ
ｎ
的最小值为
Ｎ .
∈ )ꎬ
解析 解法一 设等差数列 ａ 的公差为ｄ
从而ａ Ｓ ３ : { ｎ} ꎬ
１＝ １＝ ꎬ {ａ ｄ
２ １＋ ＝－３ꎬ
ｎ ｎ ａ Ｓ
当ｎ ≥２ 时 ꎬ ａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝ｎ ＋ ＋ ２ １ － ＋ ｎ １ ＝－ｎ ( ｎ １ ＋１) ꎬ ａ １＝ ２ ３ 不符合 ∵ ２＝－３ꎬ ５＝－１０ꎬ∴ ５ ａ １＋ ５× ２ ４ｄ ＝－１０ꎬ
该式
ꎬ
ì ï ï ３ ꎬ ｎ ＝１ꎬ
解得
{ａ
ｄ
１
＝
＝
１
－
ꎬ
４ꎬ
∴
ａ
５＝
ａ
１＋４
ｄ
＝０ꎬ
Ｓ
ｎ＝－４
ｎ
＋
ｎ２
２
－ ｎ
＝ ２
１
(
ｎ２
－９
ｎ
)＝
( )
所以ａ í２ ２
ｎ＝ï
ï １ ｎ .
１ ｎ
－
９
－
８１
ꎬ∵
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ∴
ｎ
＝４
或
５
时
ꎬ
Ｓ
ｎ
取得最小值
ꎬ
最
î－ｎ ｎ ꎬ ≥２ ２ ２ ８
( ＋１) 小值为 .
二、等差数列前ｎ项和的最值问题 －１０
ａ ａ
求等差数列 ａ 的前ｎ项和Ｓ 的最值的方法 解法二 设等差数列 ａ 的公差为 ｄ 易得 Ｓ ５( １＋ ５)
{ ｎ} ｎ : : { ｎ} ꎬ ５ ＝ ＝
２
ａ Ｓ ａ 又ａ ｄ
５ ３ꎬ∵ ５＝－１０ꎬ∴ ３＝－２ꎬ ２＝－３ꎬ∴ ＝１ꎬ
ａ ａ ｄ
∴ ５＝ ３＋２ ＝０ꎬ
Ｓ Ｓ Ｓ .
∴ ( ｎ)ｍｉｎ＝ ４＝ ５＝－１０
答案
０ꎻ－１０
年
高 考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ １４
五年 考点式编排 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
高考 题组式训练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2018—2022 —
２０１２ ２０１７
考点一 等差数列及其前 ｎ 项和 ６.(２０２０江苏ꎬ１１ꎬ５分ꎬ综合性)设 ａ 是公差为 ｄ 的等差数
学生用书P194 { ｎ}
１
２ꎬ
.
.
(
则
２０
ａ
１
６
５
＝
重庆ꎬ２ꎬ５
.
分ꎬ基础性)在等
.
差数列 { ａ ｎ} 中 ꎬ 若
.
ａ ２＝
(
４ꎬ ａ ４＝
)
列
Ｓ ｎ
ꎬ
＝ 答
{
ｎ
ｂ
案 ２
ｎ
－
}
ｎ
是
＋２
公
ｎ －
比
１(
为
ｎ ∈
ｑ的
Ｎ
等
)ꎬ
比
则
数
ｄ
列
＋ ｑ
.已
的
知
值
数
是
列 { ａ ｎ ＋ ｂ ｎ}
.
的前ｎ项和
Ａ －１ Ｂ０ Ｃ１ Ｄ６ ４
答案 Ｂ ７.(２０２０课标 Ⅱ 文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ ｎ 为等差数列 { ａ ｎ} 的
２.(２０１５浙江ꎬ３ꎬ５ 分ꎬ基础性)已知 ａ 是等差数列 公差 ｄ 前ｎ项和.若ａ ａ ａ 则Ｓ .
{ ｎ} ꎬ １＝－２ꎬ ２＋ ６＝２ꎬ １０＝
不为零 前ｎ项和是Ｓ .若ａ ａ ａ 成等比数列 则 答案
ａ ｄ ꎬ ｄＳ ｎ ３ꎬ ４ꎬ ８ ａ ｄ ｄＳ ꎬ ( ) ８.(２０２０ 新 ２５ 高考 ꎬ１４ꎬ５分ꎬ综合性)将数列 ｎ 与 ｎ
Ａ. １ >０ꎬ ４>０ Ｂ. １ <０ꎬ ４<０ Ⅰ {２ －１} {３ －２}
Ｃ. ａ １ ｄ >０ꎬ ｄＳ ４<０ Ｄ. ａ １ ｄ <０ꎬ ｄＳ ４>０ 的公共项从小到大排列得到数列 { ａ ｎ}ꎬ 则 { ａ ｎ} 的前ｎ项和为
答案 Ｂ .
３.(２０１４辽宁ꎬ８ꎬ５分ꎬ基础性)设等差数列 ａ 的公差为ｄ.若 答案 ｎ２ ｎ
{ ｎ} ３ －２
数列 {２ ａ １ ａｎ } 为递减数列 ꎬ 则 ( ) ９.(２０１９课标 Ⅲ 文ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ ｎ 为等差数列 { ａ ｎ} 的
ｄ ｄ 前ｎ项和.若ａ ａ 则Ｓ .
Ａ. <０ Ｂ. >０ ３＝５ꎬ ７＝１３ꎬ １０＝
ａ ｄ ａ ｄ 答案 Ｃ. 答 １ 案 <０ Ｃ Ｄ. １ >０ １０.(２０１ ９ １ 课 ００ 标 Ⅲ 理ꎬ１４ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ ｎ 为等差数列 { ａ ｎ} 的
Ｓ
前ｎ项和 若ａ ａ ａ 则 １０ .
４.(２０１９课标 理ꎬ９ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ 为等差数列 ａ 的前 ꎬ １≠０ꎬ ２＝３ １ꎬ Ｓ ＝ Ⅰ ｎ { ｎ} ５
ｎ项和.已知Ｓ ａ 则 答案
Ａ. ａ ｎ＝２ ｎ －５
４＝０ꎬ ５＝５ꎬ
Ｂ. ａ ｎ＝３ ｎ －１０
( )
１１.(２０２ ２
４
全国甲ꎬ理 １７ꎬ文 １８ꎬ１２ 分ꎬ基础性)记 Ｓ ｎ 为数列
Ｓ
Ｃ.
Ｓ
ｎ＝２
ｎ２
－８
ｎ
Ｄ.
Ｓ
ｎ＝
１ ｎ２
－２
ｎ
{
ａ
ｎ}
的前ｎ项和.已知２
ｎ
ｎ
＋
ｎ
＝２
ａ
ｎ＋１
.
２
答案 Ａ 证明 ａ 是等差数列
(１) :{ ｎ} ꎻ
５.(２０２２全国乙文ꎬ１３ꎬ５分ꎬ基础性)记Ｓ 为等差数列 ａ 的 若ａ ａ ａ 成等比数列 求Ｓ 的最小值.
ｎ { ｎ} (２) ４ꎬ ７ꎬ ９ ꎬ ｎ
前ｎ项和.若 Ｓ Ｓ 则公差ｄ . Ｓ ２ ３＝３ ２＋６ꎬ ＝ 解析 ( )证明:由已知条件２ ｎ ｎ ａ 可得ꎬ
答案 １ ｎ ＋ ＝２ ｎ＋１
２
２
Ｓ
ｎ＝２
ｎａ
ｎ＋
ｎ
－
ｎ２
①
ꎬ当ｎ
≥２
时ꎬ由
①
可得
２
Ｓ
ｎ －１＝２
(ｎ
－１
)ａ
ｎ －１
答案 Ｄ
＋
(ｎ
－１
)
－
(ｎ
－１
)２
②
ꎬ由ａ
ｎ＝
Ｓ
ｎ－
Ｓ
ｎ －１
及
①－②
可得ꎬ(
２
ｎ
－２
)ａ
ｎ－
２.(２０１１全国ꎬ４ꎬ５分ꎬ基础性)设Ｓ
ｎ
为等差数列
{
ａ
ｎ}
的前ｎ项
( ２ ｎ －２ )ａ ｎ －１＝２ ｎ －２ ꎬｎ ≥２ ꎬ且ｎ ∈ Ｎ ꎬ 和 ꎬ 若ａ １＝１ꎬ 公差ｄ ＝２ꎬ Ｓ ｋ ＋２－ Ｓ ｋ＝２４ꎬ 则ｋ ＝ ( )
即ａ ａ ꎬ因此{ａ }是等差数列ꎬ公差为 .
( ) ｎ－ ａ ｎ － ꎬ １ ａ ＝ ꎬ １ ａ 成等比 ｎ 数列ꎬ且ａ ａ ꎬａ １ ａ ꎬａ ａ ꎬ Ａ.８ 答案 Ｄ Ｂ.７ Ｃ.６ Ｄ.５
２ ａ２ ∵ ａ ４ ａ ７ ꎬ即 ９ (ａ )２ (ａ ４ ) ＝ (ａ １＋３ )ꎬ ７＝ １＋６ ９＝ １＋８ ３.(２０１３ 课标 全国 Ⅰ ꎬ７ꎬ５分ꎬ基础性)设等差数列 { ａ ｎ} 的前ｎ
∴ ７＝ ４ ９ １＋６ ＝ １＋３ １＋８ 项和为Ｓ 若Ｓ Ｓ Ｓ 则ｍ
解得ａ １＝－１２ ꎬ ∴ 等差数列{ａ ｎ }的通项公式为ａ ｎ＝－１２＋ (ｎ －１ ) ｎꎬ ｍ －１＝－２ꎬ ｍ＝０ꎬ ｍ ＋１＝３ꎬ ＝ ( )
ｎ ꎬ Ａ.３ Ｂ.４ Ｃ.５ Ｄ.６
１＝ －１３ 答案 Ｃ
∴
Ｓ
ｎ＝
(ａ
１＋
ａ
ｎ
)ｎ
＝
１ ｎ２
－
２５ｎ
＝
１
(
ｎ
－
２５
)
２
－
６２５ꎬ ４.(２０２０ 课标
Ⅱ
理ꎬ４ꎬ５分ꎬ应用性)北京天坛的圜丘坛为古代
２ ２ ２ ２ ２ ８ 祭天的场所 分上 中 下三层.上层中心有一块圆形石板 称为
∵
ｎ
∈
Ｎ ꎬ
∴
当ｎ
＝１２
或ｎ
＝１３
时ꎬＳ
ｎ
最小ꎬ
天心石 环
ꎬ
绕天心
、
石
、
砌 块扇面形石板构成第一环 向
(
外每
最小值为 . )ꎬ ９ ꎬ
－７８ 环依次增加 块.下一层的第一环比上一层的最后一环多
１２.(２０２１新高考 ꎬ１７ꎬ综合性)记Ｓ 为公差不为零的等差数 ９ ９
Ⅱ ｎ 块 向外每环依次也增加 块.已知每层环数相同 且下层比中
列 ａ 的前ｎ项和 若ａ Ｓ ａ ａ Ｓ . ꎬ ９ ꎬ
{ ｎ} ꎬ ３＝ ５ꎬ ２ ４＝ ４ 层多 块 则三层共有扇面形石板 不含天心石
求 ａ 的通项公式 ７２９ ꎬ ( ) ( )
(１) { ｎ} ꎻ
求使得Ｓ ａ 成立的ｎ的最小值.
(２) ｎ> ｎ
解析 ( )设等差数列{ａ }的公差为ｄꎬｄ .ａ Ｓ ａ ｄ
１ ｎ ≠０ ３＝ ５⇒ １＋２
ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄ ａ ｄꎬ ａ ａ Ｓ
＝５ １＋１０ ⇒４ １＋８ ＝０⇒ １＋２ ＝０⇒ １＝－２ ① ２ ４＝ ４⇒
(ａ ｄ)(ａ ｄ) ａ ｄꎬ
１＋ １＋３ ＝４ １＋６ ② 块 块
将 代入 得 ｄ２ ｄ ｄ (舍)或ｄ ꎬ Ａ.３６９９ Ｂ.３４７４
① ② － ＝－２ ⇒ ＝０ ＝２ 块 块
ａ ｄ ꎬ ａ (ｎ ) ｎ . Ｃ.３４０２ Ｄ.３３３９
∴ １＝－２ ＝－４ ∴ ｎ＝－４＋ －１ ×２＝２ －６ 答案 Ｃ
( )由( )知ａ ｎ ꎬ
２ １ ｎ＝２ －６ ５.(２０２０北京ꎬ８ꎬ４分ꎬ综合性)在等差数列 ａ 中 ａ ａ
ｎ(ｎ ) { ｎ} ꎬ １＝－９ꎬ ５
Ｓ
ｎ＝
ｎａ
１＋
－１ ｄ
＝－４
ｎ
＋
ｎ(ｎ
－１
)
＝
ｎ２
－５
ｎ.
＝－１
.记Ｔ
ｎ＝
ａ
１
ａ
２
ａ
ｎ(
ｎ
＝１ꎬ２ꎬ)ꎬ
则数列
{
Ｔ
ｎ} ( )
２ 有最大项 有最小项 有最大项 无最小项
Ｓ
ｎ>
ａ
ｎ⇔
ｎ２
－５
ｎ
>２
ｎ
－６⇔
ｎ２
－７
ｎ
＋６>０⇔
(ｎ
－１
)(ｎ
－６
)
>０
ꎬ Ａ.
无最大项
ꎬ
有最小项
Ｂ.
无最大项
ꎬ
无最小项
解得ｎ (舍)或ｎ ꎬ ｎ为正整数ꎬ ｎ的最小值为 . Ｃ. ꎬ Ｄ. ꎬ
<１ >６ ∵ ∴ ７ 答案 Ｂ
考点二 等差数列的性质及应用
学生用书P195 ６.(２０１９江苏ꎬ８ꎬ５分ꎬ基础性)已知数列
{
ａ
ｎ}(
ｎ
∈
Ｎ
)
是等差
１.(２０２２新高考 ꎬ３ꎬ５分ꎬ创新性)图 是中国古代建筑中的 数列 Ｓ 是其前 ｎ 项和.若 ａ ａ ａ Ｓ 则 Ｓ 的
举架结构 ＡＡ′ Ｂ Ⅱ Ｂ′ ＣＣ′ ＤＤ′是桁 相邻 １ 桁的水平距离称为步 值是 ꎬ ｎ . ２ ５＋ ８ ＝ ０ꎬ ９ ＝ ２７ꎬ ８
ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ ꎬ
垂直距离称为举.图 是某古代建筑屋顶截面的示意图 其中 答案
２ ꎬ １６
ＤＤ ＣＣ ＢＢ ＡＡ 是举 ＯＤ ＤＣ ＣＢ ＢＡ 是相等的步 相邻 ７.(２０２１新高考 ꎬ１７ꎬ１０分ꎬ综合性)已知数列 ａ 满足ａ
１ꎬ １ꎬ １ꎬ １ ꎬ １ꎬ １ꎬ １ꎬ １ ꎬ Ⅰ { ｎ} １＝
ＤＤ ＣＣ ＢＢ ＡＡ {ａ ｎ为奇数
桁的举步之比分别为 １ . １ ｋ １ ｋ １ ｋ .已知 ａ ｎ＋１ꎬ ꎬ
ＯＤ ＝０５ꎬＤＣ ＝ １ꎬＣＢ ＝ ２ꎬＢＡ ＝ ３ １ꎬ ｎ ＋１＝ ａ ｎ为偶数.
１ １ １ １ ｎ＋２ꎬ
ｋ ｋ ｋ 成公差为 . 的等差数列 且直线ＯＡ的斜率为 . 记ｂ ａ 写出ｂ ｂ 并求数列 ｂ 的通项公式
则 １ꎬ ｋ ２ꎬ ３ ０１ ꎬ ０７２５ꎬ (１) 求 ａ ｎ＝ 的 ２ ｎꎬ 前 项 １ 和 ꎬ . ２ꎬ { ｎ} ꎻ
３＝ ( ) (２) { ｎ} ２０
解析 ( )由题意得ａ ａ ꎬａ ａ ꎬ
１ ２ ｎ ＋１＝ ２ ｎ＋２ ２ ｎ ＋２＝ ２ ｎ ＋１＋１
所以ａ ａ ꎬ即ｂ ｂ ꎬ且ｂ ａ ａ ꎬ
２ ｎ ＋２＝ ２ ｎ＋３ ｎ ＋１＝ ｎ＋３ １＝ ２＝ １＋１＝２
所以数列{ｂ }是以 为首项ꎬ 为公差的等差数列ꎬ
ｎ ２ ３
所以ｂ ꎬｂ ꎬｂ (ｎ ) ｎ .
１＝２ ２＝５ ｎ＝２＋ －１ ×３＝３ －１
( )当ｎ为奇数时ꎬａ ａ .
２ ｎ＝ ｎ ＋１－１
设数列{ａ }的前ｎ项和为Ｓ ꎬ
ｎ ｎ
则Ｓ ａ ａ ａ
２０＝ １＋ ２＋ ＋ ２０
(ａ ａ ａ ) (ａ ａ ａ )
＝ １＋ ３＋ ＋ １９ ＋ ２＋ ４＋ ＋ ２０
[(ａ ) (ａ ) (ａ )] (ａ ａ ａ )
＝ ２－１ ＋ ４－１ ＋ ＋ ２０－１ ＋ ２＋ ４＋ ＋ ２０
(ａ ａ ａ ) ꎬ
图 ＝２ ２＋ ４＋ ＋ ２０ －１０
１ 由( )可知 ａ ａ ａ ｂ ｂ ｂ １０×９
１ ２＋ ４＋ ＋ ２０＝ １＋ ２＋ ＋ １０＝１０×２＋ ×３＝
２
ꎬ故Ｓ ꎬ即{ａ }的前 项和为 .
１５５ ２０＝２×１５５－１０＝３００ ｎ ２０ ３００
解题关键 一是对已知关系式进行转化ꎬ进而利用等差数
列定义求得数列{ｂ }的通项公式ꎻ二是利用分组求和的方式
ｎ
对Ｓ 进行重组变形ꎬ结合ａ
ｎ
与ｂ
ｎ
的关系求得结果.
第
２０
８.(２０２１全国甲理ꎬ１８ꎬ１２分ꎬ综合性)已知数列 ａ 的各项均 七
{ ｎ} 章
为正数
ꎬ
记Ｓ
ｎ
为
{
ａ
ｎ}
的前ｎ项和
ꎬ
从下面
①②③
中选取两个作
图 为条件 证明另外一个成立. 数
２ ꎬ
. . . . 数列 ａ 是等差数列 数列 Ｓ 是等差数列 ａ ａ . 列
Ａ.０７５ Ｂ.０８ Ｃ.０８５ Ｄ.０９ ① { ｎ} ꎻ② { ｎ} ꎻ③ ２＝３ １
１ １５
注:若选择不同的组合分别解答ꎬ则按第一个解答计分. 则 Ｓ Ｓ (ｎ ) ａ ｎ ａ ａ ꎬ所以数列{ Ｓ }是
解析 选 作为条件ꎬ证明 . ｎ ＋１－ ｎ ＝ ＋１ １－ １ ＝ １ ｎ
①② ③ 公差为 ａ 的等差数列.
证明:设等差数列{ａ ｎ }的公差为ｄꎬ因为{ Ｓ ｎ }是等差数列ꎬ所 选 作为 １ 条件ꎬ证明 .
②③ ①
以 Ｓ Ｓ Ｓ ꎬ即 ａ ｄ ａ ａ ｄꎬ两边平 证明:设等差数列{ Ｓ }的公差为ｄꎬ因为 Ｓ ａ ꎬ Ｓ
２ ２ ＝ １＋ ３ ２ ２ １＋ ＝ １＋ ３ １＋３ ｎ １ ＝ １ ２ ＝
方ꎬ得 ( ａ ｄ) ａ ａ ｄ ａ( ａ ｄ)ꎬ整理得 ａ ｄ ａ ａ ａ ａ ａ ꎬ所以ｄ Ｓ Ｓ ａ ａ
４ ２ １＋ ＝ １＋３ １＋３ ＋２ １ ３ １＋３ ４ １＋ １＋ ２ ＝ １＋３ １ ＝２ １ ＝ ２－ １ ＝２ １－ １
ａ( ａ ｄ)ꎬ两边平方ꎬ得 ａ２ ａ ｄ ｄ２ ( ａ２ ａ ꎬ则等差数列{ Ｓ } 的通项公式为 Ｓ ａ
＝２ １ ３ １＋３ １６ １＋８ １ ＋ ＝ ４ ３ １＋ ＝ １ ｎ ｎ ＝ １ ＋
则 ３ ａ １ ａ ｄ)ꎬ ａ 化简 ｄ 得 ４ ａ ａ . ２ １－４ ａ １ ｄ ＋ ｄ２ ＝０ ꎬ即( ２ ａ １－ ｄ)２ ＝０ ꎬ所以ｄ ＝２ ａ １ ꎬ (ｎ －１ ) ａ １ ＝ ｎ ａ １ ꎬ所以 Ｓ ｎ＝ ｎ２ａ １ ꎬ当 ｎ ≥２ 时ꎬａ ｎ＝ Ｓ ｎ－ Ｓ ｎ －１＝
选 ２＝ 作 １＋ 为条 ＝３ 件 １ ꎬ证明 . ｎ２ａ １－ (ｎ －１ )２ａ １＝ ( ２ ｎ －１ )ａ １ ꎬ且当ｎ ＝１ 时ꎬ上式也成立ꎬ所以数
证 ① 明 ③ :设等差数列{ａ } ② 的公差为ｄ. 列{ａ ｎ }的通项公式为ａ ｎ＝ ( ２ ｎ －１ )ａ １ ꎬ则ａ ｎ ＋１－ ａ ｎ＝ ( ２ ｎ ＋１ )ａ １－
ｎ ( ｎ )ａ ａ ꎬ所以数列{ａ }是公差为 ａ 的等差数列.
因为ａ ａ ꎬ即ａ ｄ ａ ꎬ所以ｄ ａ . ２ －１ １＝２ １ ｎ ２ １
２＝３ １ １＋ ＝３ １ ＝２ １
ｎ(ｎ )
方法总结 证明数列{ａ ｎ }是等差数列的方法:
所以等差数列{ａ
ｎ
}的前 ｎ 项和 Ｓ
ｎ ＝
ｎａ
１＋
－１ ｄ
＝
ｎａ
１＋
(
１
)定义法:证明ａ
ｎ－
ａ
ｎ －１＝
ｄ(ｎ
≥２
ꎬｎ
∈
Ｎ )或ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ＝
ｄ(ｎ
∈
２ Ｎ )ꎻ
ｎ(ｎ )
－１
２
ａ
１＝
ｎ２ａ
１
.又ａ
１>０
ꎬ所以 Ｓ
ｎ ＝
ｎ ａ
１
. (
２
)等差中项法:证明
２
ａ
ｎ＝
ａ
ｎ －１＋
ａ
ｎ ＋１
(ｎ
≥２
ꎬｎ
∈
Ｎ ).
２
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ １６
三年 考点基础练 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
模拟 综合提升练 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
2020—2022
A组 考点基础题组 学生用书P196
考点一 等差数列及其前 ｎ 项和 充分不必要条件
Ａ.
１.(２０２２湖南省名校第二次大联考ꎬ３)设等差数列 ａ 的前ｎ 必要不充分条件
{ ｎ} Ｂ.
充分必要条件
项和为Ｓ 且 ａ ａ 则Ｓ
ｎꎬ ２ ７－ １１＝４ꎬ ５＝ ( ) Ｃ.
既不充分也不必要条件
Ｄ.
Ａ.１５ Ｂ.２０ Ｃ.２５ Ｄ.３０
答案 Ｂ 答案 Ｃ
２.(多选)(２０２２福州一模ꎬ１０)已知等差数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和 ４.(２０２２上海杨浦二模ꎬ１４)数列 { ａ ｎ} 为等差数列 ꎬ ａ １>０ 且公
为Ｓ 公差ｄ 若Ｓ Ｓ 则 差ｄ 若 ａ ａ ａ 也是等差数列 则其公差为
ｎꎬ ≠０ꎬ ｎ≤ ６ꎬ ( ) >０ꎬ ｌｇ １ꎬｌｇ ３ꎬｌｇ ６ ꎬ ( )
ａ ｄ
ｄ ｄ ２ ３
Ａ. １<０ Ｂ. <０
Ａ.ｌｇ Ｂ.ｌｇ(２ ) Ｃ.ｌｇ Ｄ.ｌｇ
ａ Ｓ ３ ２
Ｃ. ６＝０ Ｄ. １３≤０ 答案 Ｄ
答案 ＢＤ
５.(多选)(２０２２ 福建名校联盟全国优质校大联考ꎬ１１)已知
３.(２０２２江苏苏州常熟抽测二ꎬ１３)已知等差数列 ａ 的前 ｎ
{ ｎ} ａ 是正项等差数列 其公差为ｄ 若存在常数 使得对任意正
项和
答
为
案
Ｓ ｎ
５
ꎬ 若ａ ２＝１ꎬ Ｓ ６＝１２ꎬ 则ａ ８＝ . {
整数
ｎ}
ｎ均有 ａ ２ ＝ａ ｃ ＋
ꎬ
ａ ｃ ｎ ꎬ 则以下判
ꎬ
断正确的是
ꎬ
( )
考点二 等差数列的性质及应用 ｎ ｎ
＋１
ｄ ｄ
１.(２０２２八省八校联考二ꎬ３)记Ｓ 为等差数列 ａ 的前ｎ项 Ａ. >０ Ｂ. ＝０
ｎ { ｎ} ｃ ｃ
Ｃ. ≥２ Ｄ.０< <２
和 ꎬ 且满足ａ １<０ꎬ Ｓ ３＝ Ｓ ９ꎬ 则当Ｓ ｎ 取得最小值时 ꎬ ｎ的值为 答案 ＢＤ
６.(多选)(２０２２湖北黄冈蕲春实验高级中学一模ꎬ１１)已知单
( )
Ａ.３
答案 Ｂ
Ｂ.６ Ｃ.９ Ｄ.１２
调
Ｓ
递
则
增
下
数
列
列
说
{
法
ａ
ｎ
正
}
满
确
足
的
ａ
是
ｎ ＋２＝２
ａ
ｎ ＋１－
ａ
ｎ(
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
其前ｎ项和为
ｎꎬ ( ) ２.(２０２２河北邯郸一模ꎬ７) 中国剩余定理 又称 孙子定理
“ ” “ ”ꎬ 若ａ ａ 为方程ｘ２ ｘ 的两根 则 ａ １ ａ
可见于中国南北朝时期的数学著作 孙子算经 卷下第十六题 Ａ. ２ꎬ ６ ＋２ －３５＝０ ꎬ ２ ３＋ ６＝３
« » ２
的 物不知数 问题 原文如下 今有物不知其数 三三数之剩 若ａ ａ Ｓ 则ａ 是数列 ａ 中最大的负数项
“ ” ꎬ : ꎬ Ｂ. ９＋ ５<０ꎬ １４>０ꎬ ７ { ｎ}
二 五五数之剩三 七七数之剩二 问物几何 现有一个相关的
ꎬ ꎬ ꎬ ? 若Ｓ Ｓ 则Ｓ Ｓ ７ Ｓ
问题 将 到 这 个自然数中被 除余 且被 除 Ｃ. ６＝４ ３ꎬ １２－ ９＝ ６
: １ ２０２２ ２０２２ ３ ２ ５ ４
余 的数按照从小到大的顺序排成一列 构成一个数列 则该 Ｓ Ｓ Ｓ
４ ꎬ ꎬ Ｄ. ９＝２( ６－ ３)
数列的项数为 答案 ＢＣ
( )
７.(２０２０广东揭阳摸底ꎬ４)已知等差数列 ａ 的前 ｎ 项和 Ｓ
Ａ.１３２ Ｂ.１３３ Ｃ.１３４ Ｄ.１３５ { ｎ} ｎ
答案 Ｃ 满足Ｓ Ｓ 则ａ 等于
４＝５ꎬ ９＝２０ꎬ ７ ( )
３.(２０２２江苏泰州二调ꎬ６)已知等差数列 ａ 的公差为ｄ 前ｎ
{ ｎ} ꎬ Ａ.－３ Ｂ.－５ Ｃ.３ Ｄ.５
项和为Ｓ 则 ｄ 是 Ｓ Ｓ Ｓ 的 答案 Ｃ
ｎꎬ “ >０” “ ｎ＋ ３ ｎ>２ ２ ｎ” ( )
B组 综合应用题组 学生用书P197
40分钟 55分
一、单项选择题(每小题５分ꎬ共２５分) 答案 ＡＣＤ
１.(２０２２辽宁二轮复习联考(二)新高考卷ꎬ７)已知等差数列 ７.(２０２２河北九师联盟一模ꎬ９)已知等差数列 ａ 的前ｎ项和
{ ｎ}
ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若ａ Ｓ Ｓ ａ 则ａ 为Ｓ 且满足ａ Ｓ 则
{ ｎ} ｎꎬ １＝２ꎬ２ ３＝ ２＋ ４ꎬ ２０２２＝ ( ) ｎꎬ ５＝－４ꎬ ５＝－４０ꎬ ( )
ａ
Ａ.－６０６５ Ｂ.－６０６１ Ｃ.６０６１ Ｄ.６０６５ Ａ. １０＝６
答案 Ｂ Ｓ
Ｂ. １０＝－３０
２.(２０２２辽宁名校联盟３月联考ꎬ５)设Ｓ 是等差数列 ａ 的前 当且仅当ｎ 时 Ｓ 取最小值
ｎ { ｎ} Ｃ. ＝６ ꎬ ｎ
ｎ项和 ａ Ｓ ａ .当 Ｓ 取得最小值时 ｎ ａ ａ ａ ａ ａ ａ
ꎬ ２＝－７ꎬ ５＝２ １ ｜ ｎ｜ ꎬ ＝ ( ) Ｄ. ５＋ ６＋ ７＋ ８＋ ９＋ １０＝０
答案 ＡＢ
Ａ.１０ Ｂ.９ Ｃ.８ Ｄ.７
答案 Ｃ ８.(２０２２福建４月百校联合测评ꎬ９)已知等差数列 ａ 的前ｎ
{ ｎ}
３.(２０２２ 山东聊城二中第一次测试ꎬ８)在正整数数列中 由 ａ２ｎ２ ｎ
ꎬ １ 项和为Ｓ １ ＋ 公差为ｄ 则
开始依次按如下规则取该数列的项 第一次取 第二次取 ｎ＝ ꎬ ꎬ ( )
: １ꎻ ２ ２
个连续的偶数 第三次取 个连续的奇数 第四次取 ａ
２ꎬ４ꎻ ３ ５ꎬ７ꎬ９ꎻ Ａ. １＝１
个连续的偶数 第五次取 个连续的奇数 ｄ
４ １０ꎬ１２ꎬ１４ꎬ１６ꎻ ５ １７ꎬ Ｂ. ＝１
.按此规律取下去 得到一个数列 Ｓ ａ ｎ
１９ꎬ２１ꎬ２３ꎬ２５ ꎬ １ꎬ２ꎬ４ꎬ５ꎬ７ꎬ９ꎬ Ｃ.２ ｎ－ ｎ＝１＋３＋５＋＋(２ －１)
１０ꎬ１２ꎬ１４ꎬ１６ꎬ１７ꎬ１９ꎬꎬ
则这个数列中的第
２０２２
个数是
Ｄ.
Ｓ
２ ｎ＝２
ａ２ｎ＋２ ａ
ｎ
答案 ＡＢＣ
( )
三、填空题(共５分)
Ａ.３９７４ Ｂ.３９７６ Ｃ.３９７８ Ｄ.３９８０
答案 Ｄ ｘ
９.(２０２２黑龙江哈九中三模ꎬ１６)设函数ｆ ｘ １－ ａ
４.(２０２２广东金山中学期末ꎬ７)已知数列 ａ ａ １ 其中
( )＝ ２＋ｌｎ ｘ ꎬ １＝
{ ｎ}ꎬ ｎ＝ｆ ｎ ꎬ ( ) ( ) ( ) (ｎ )
ｆ ｎ 为最接近 ｎ的整数 若 ａ 的前ｍ项和为 则
(
ｍ
)
１ꎬ
ａ
ｎ＝
ｆ １
ｎ ＋
ｆ ２
ｎ ＋
ｆ ３
ｎ ＋＋
ｆ －
ｎ
１
(
ｎ
∈
Ｎ
ꎬ
ｎ
≥２)
.设
( ) ꎬ { ｎ} １０ꎬ ＝
Ｓ
( ) 数列 { ａ ｎ} 的前ｎ项和为Ｓ ｎꎬ 则 ｎ＋ ｎ ２０的最小值为 .
Ａ.１５ Ｂ.２０ Ｃ.３０ Ｄ.４０
答案 Ｃ 答案 ４１
５.(２０２１重庆二模ꎬ４)已知公差不为 ０ 的等差数列 { ａ ｎ} 中 ꎬ ａ ２＋ 四、解答题 ５ (共１０分)
ａ ａ ａ ａ２ 则ａ
４＝ ６ꎬ ９＝ ６ꎬ １０＝ ( ) １０.(２０２２山东烟台、德州一模ꎬ１８)已知等差数列 ａ 的前 ｎ
{ ｎ}
５ 项和为Ｓ ａ Ｓ .
Ａ.
２
Ｂ.５ Ｃ.１０ Ｄ.４０ ｎꎬ ４＝９ꎬ ３＝１５
求 ａ 的通项公式
答案 Ａ (１) { ｎ} ꎻ
二、多项选择题(每小题５分ꎬ共１５分) (２) 保持数列 { ａ ｎ} 中各项先后顺序不变 ꎬ 在ａ ｋ 与ａ ｋ ＋１( ｋ ＝１ꎬ２ꎬ
６.(２０２２重庆金太阳联考ꎬ１１)朱世杰是历史上伟大的数学家 之间插入 ｋ 个 使它们和原数列的项构成一个新的数列
) ２ １ꎬ
之一 ꎬ 他所著的 « 四元玉鉴 » 卷中 “ 如像招数 ” 五问中有如下问 { ｂ ｎ}ꎬ 记 { ｂ ｎ} 的前ｎ项和为Ｔ ｎꎬ 求Ｔ １００ 的值.
题 :“ 今有官司差夫一千八百六十四人筑堤 ꎬ 只云初日差六十 解析 ( １ )设{ａ ｎ }的公差为ｄꎬ由已知得ａ １＋３ ｄ ＝９ ꎬ ３ ａ １＋３ ｄ ＝
四人 ꎬ 次日转多七人 ꎬ 每人日支米三升. ” 其大意为 “ 官府陆续派 １５ .解得ａ １＝３ ꎬｄ ＝２ .所以ａ ｎ＝２ ｎ ＋１ .
遣 １８６４ 人前往修筑堤坝 ꎬ 第一天派出 ６４ 人 ꎬ 从第二天开始每 ( ２ )因为在ａ ｋ 与ａ ｋ ＋１ (ｋ ＝１ ꎬ ２ ꎬ)之间插入 ２ ｋ 个 １ ꎬ所以ａ ｋ 在
天比前一天多派 人 官府向修筑堤坝的每人每天发放大米 ｋ
升. 则下列结论正 ７ 确的 ꎬ 有 ３ {ｂ ｎ }中对应的项数为ｎ ＝ ｋ ＋２ １ ＋２ ２ ＋２ ３ ＋ ＋２ ｋ －１ ＝ ｋ ＋ ２－２ ＝２ ｋ ＋ ｋ
” ( )
１－２
将这 人派遣完需要 天 ꎬ当ｋ 时ꎬ ｋ ｋ ꎬ当ｋ 时ꎬ ｋ ｋ ꎬ所以ａ
Ａ. １８６４ １６ －２ ＝６ ２ ＋ －２＝６８ ＝７ ２ ＋ －２＝１３３ ６＝
第十天派往筑堤的人数为 ｂ ꎬａ ｂ ꎬ且ｂ ｂ ｂ .因此Ｔ Ｓ ( ２
Ｂ. １３４ ６８ ７＝ １３３ ６９＝ ７０＝ ＝ １００＝１ １００＝ ６＋ ２×１＋２ ×１＋
官府前 天共发放 升大米 ( ) ６
Ｃ. ６ １４６７ ３ ５ ) ６× ３＋１３ ２－２ .
官府前 天比后 天少发放 升大米 ２ ×１＋ ＋２ ×１ ＋３２×１＝ ＋ ＋３２＝１４２
Ｄ. ６ ６ １２６０ ２ １－２
第
七
章
数
列
１ １７
一年 甄选情境素养 五年 考点式编排 三年 考点基础练 一年 甄选情境素养
创新 专家独家命制 高考 题组式训练 模拟 综合提升练 创新 专家独家命制
学生用书P198
１.(２０２２５３原创题)已知数列 ａ 的首项为 且满足ａ ａ ２.(２０２２ ５３原创题)某驾校规定 学员必须通过线上 个学
{ ｎ} １ꎬ ｎ ｎ ＋１ ꎬ ２１
＝２
ｎ
(
ｎ
∈
Ｎ
)ꎬ
则ａ
５＝ ( )
时
(
每个学时
４０
分钟
)
的理论学习
ꎬ
方可预约科目三考试.李威
利用连续一周的时间恰好完成了学习要求 他采取了循序渐进
８ １５ ꎬ
Ａ.３ Ｂ. Ｃ. Ｄ.２ 的学习方式 即从第二天开始每天都比前一天多学固定的时
３ ４ ꎬ
答案 Ｂ 长 并且李威前 天的学习总时长与后 天的学习总时长相
ꎬ ４ ３
等 则李威第一天的学习时长应为 分钟
ꎬ ( ) Ｓ ３ ａ ａ ａ 则Ｓ 等于
３＋ ( １８＋２ ２０＋ ２２)＝３０ꎬ ２１ ( )
Ａ.８０ Ｂ.９０ Ｃ.１００ Ｄ.１１０ ４
答案 Ｂ
Ａ.８０ Ｂ.９５ Ｃ.１００ Ｄ.１０５
３.(２０２２ ５３原创题)已知等差数列 ａ 的前ｎ项和为Ｓ 若 答案 Ｄ
{ ｎ} ｎꎬ
年
高
考
年
模
拟
︵
教
师
用
书
︶
１ １８
