文档内容
第 02 讲 等差数列及其前 n 项和
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：等差数列的基本量运算........................................................................................................2
题型二：等差数列的判定与证明........................................................................................................3
题型三：等差数列的性质....................................................................................................................5
题型四：等差数列前n项和的性质....................................................................................................5
题型五：等差数列前n项和的最值....................................................................................................6
题型六：等差数列的实际应用............................................................................................................9
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论......................................................................................11
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题..................................................................................13
题型九：利用等差数列的单调性求解..............................................................................................15
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题......................................................................................16
02 重难创新练....................................................................................................................................19
03 真题实战练....................................................................................................................................30题型一：等差数列的基本量运算
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知首项 的等差数列 中， ，若该数列的前 项和
，则 等于（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】D
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ， ，
所以 ，解得 或 ，
若 ，则 为常数数列，则 ，不合题意，舍去；
则 ，由等差数列前 项和公式得 ，解得 .
故选：D.
2．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
3．（2024·河北·模拟预测）已知 是等差数列 的前 项和，若 ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由等差数列前 项和公式,得 ，即 .
因为 ，所以 ,由 ，可得 ,
所以 ， ,
所以 .
故选：D.
4．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知等差数列 满足 ，且 ，则首项 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，且 ，
所以 ，所以 .
故选：A
题型二：等差数列的判定与证明
5．已知数列 满足： ， ， .
(1)证明： 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)设 ，若数列 是递增数列，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 为常数，
又 ，所以数列 是公差为 ，首项为 的等差数列.
所以 ，
当 时， ，
所以 ，又 ，所以 ，又 ，满足 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，因为数列 是递增数列，
所以 ，对 恒成立，得到 对 恒成立，所以 .
6．数列 的前 项和为 ，且 ，当 时， .
(1)计算： ， ；
(2)证明 为等差数列，并求数列 的通项公式；
【解析】（1）由 ， ，
令 ，得 ，又 ，所以 ，
令 ，得 ，又 ；
（2）因为当 时， ，
所以 ，
所以数列 为等差数列，首项为 ，公差为 ，
所以 ，
所以 ，
于是，当 时，
，
当 时， ，满足上式，
故 .
7．（2024·高三·山东济宁·开学考试）已知各项均为正数的数列 中， 为 的前 项和，
．证明：数列 是等差数列；
【解析】在正数的数列 中， ，当 时， ，
两式相减得： ，整理得 ，
显然 ，则 ，又 ，即 ， ，
解得 ，有 ，因此 ， ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列.
8．（2024·高三·山东·开学考试）记数列 的前 项和为 ，已知 ．证明：
；
【解析】证明：因为 ，
当 时， ，
两式相减，得 ①，则 ②，
- 得 ，
②所以① ．
当 时， ，
当 时， ．
所以 ，所以 ．
题型三：等差数列的性质
9．（2024·辽宁抚顺·三模）已知数列 的前n项和为 ，若 ，则 ，
.
【答案】 2 99
【解析】由 ，得 ，解得 ；
则 ，显然 是等差数列，所以 .
故答案为：2；99
10．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列 中， ，则 .
【答案】
【解析】 ，故 .
故答案为： .
题型四：等差数列前n项和的性质
11．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且 ，则．
【答案】
【解析】因为等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，
故可设 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： .
12．已知等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，则 ．
【答案】
【解析】等差数列 的前 项和分别为 ，且 ，
所以 .
故答案为：
13．设 是等差数列 的前 项和， ， ，则 .
【答案】200
【解析】依题意， ， ， ，…， 依次成等差数列，
设该等差数列的公差为 .又 ， ，
因此 ，解得 ，
所以 .
故答案为：200题型五：等差数列前n项和的最值
14．（2024·四川南充·三模）设为 等差数列 的前n项和，已知 、 、 成等比数列，
，当 取得最大值时， （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，解得 ，
由 、 、 成等比数列，得 ，解得 ，
因此 ，
则 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
故选：A
15．若 是等差数列， 表示 的前n项和， ，则 中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以公差 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最小值，
即 中最小的项是 .
故选：B.
16．（2024·四川自贡·三模）已知数列 的前项和为 ，且 ．
(1)证明：数列 为等差数列；
(2)若 ， ， 成等比数列，求 的最大值．
【解析】（1）数列 满足 ①，当 时，有 ②，
① ②可得： ，
即 ，
变形可得 ，
故数列 是以 为等差的等差数列；
（2）由（1）可知数列 是以 为等差的等差数列，
若 ， ， 成等比数列，则有 ，
即 ，解得 ，
所以 ，
所以 单调递减，又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
故当 或 时， 取得最大值，
且 ．
17．在等差数列 中，已知： ， .
(1)求数列 的公差及通项公式；
(2)求数列 的前 项和 的最小值，并指出此时正整数 的值.
【解析】（1）设等差数列的公差为 ，
由 ，
，
，
所以等差数列的公差为 ，通项公式 .
（2）因为 ，
所以 ，
当 时， 有最小值 ，此时正整数 的值为 .
18．记 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的最小值.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，由 ， ，可得 ，解得 ，
所以数列 的通项公式为 .
（2）由（1）知 ，可得数列 为递增数列，且 ，
所以当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以，当 或 时， 取得最小值，即 ，
所以 ，故 的最小值为 .
题型六：等差数列的实际应用
19．（2024·山西·模拟预测）干支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即：甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
干支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地
支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，排列到“癸酉”后，
天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”、“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，依
此类推．已知2024年是甲辰年，则2124年为（ ）
A．丁辰年 B．癸未年 C．甲午年 D．甲申年
【答案】D
【解析】天干可看作公差为10的等差数列，地支可看作公差为12的等差数列，
由于 ，故100年后天干为甲，
由于 ，余数为4，故100年后地支为“辰”后面第四个，即“申”，
所以2124年为甲申年．
故选：D
20．（2024·湖南·二模）张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按
0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要
进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法
找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和
是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（ ）
A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码
【答案】C
【解析】设第一个尺码为 ，公差为 ，
则 ，
则 ，当 时， ，
故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为
码，
所有缺货尺码的和为 码，
又因为缺货的一个尺寸为 码，
则另外一个缺货尺寸 码，
故选：C.
21．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有
多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩
下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，
则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
【答案】B
【解析】根据题意，被以3除余2，除以5余3的数，构成首项为 ，公差为 的等差数列，
则 ，
所以将这样的正整数由小到大排列，则前5个数的和为 .
故选：B.
22．（2024·高三·上海·开学考试）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即
甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌，
亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由
“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”…，以此
类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新
开始，即“丙子”…，以此类推．2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，该年是（ ）
A．丁酉年 B．丁戌年 C．戊酉年 D．戊戌年
【答案】A
【解析】天干以十年为一个周期，地支以十二年为一个周期.
年与 年相隔 年，
，即天干有24个周期，余7年；
，即地支有20个周期，余7年.
故甲往前数7年为丁，辰往前数7年为酉，
故 年为丁酉年.
故选：A.题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
23．（2024·山东威海·一模）已知数列 的各项均为正数，记 为 的前n项和，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由 得 时，
两式相减得 ,整理得
因为 ，所以 ,所以数列 是以 为公差的等差数列
在 中令 解得
所以 .
（2）当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以
当 时
，
又 ， ，...， 是首项为2，公差为2的等差数列，
所以 ，
故 ．所以
当 为偶数时, ; 当 为奇数时, ;
24．（2024·黑龙江·三模）已知等差数列 的公差 ， 与 的等差中项为5，且 .
(1)求数列 的通项公式；(2)设 求数列 的前20项和 .
【解析】（1）因为 为等差数列，且 与 的等差中项为5，
所以 ，解得 ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故数列 的通项公式为 ；
（2）由题知，
即
所以
，
故数列 的前20项和 为 .
25．（2024·山东·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ， 且 ，数列 满足
，设 ．
(1)求 的通项公式，并证明： ；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，由数列 满足 ，可得 ， ， ，
所以 ，
因为 ，所以 .
（2）由（1）可知 ，
因为 ，
所以数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
两式相减，可得
，
所以 .
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
26．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列 ，记 为 的前 项和，从下面①②③中再选
取一个作为条件，解决下面问题．① ；② ；③ ．
(1)求 的最小值；
(2)设 的前 项和为 ，求 ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，且 ．
选择①：（1）因为 ，所以 ，解得 ．
所以 ，则 ，
利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称，
因为 ，所以当 或6时， .
选择②：因为 ，可得 ，因为 ，所以 ，此时 ，所以 ，
因为 ，所以 单调递增，且当 时， ．
所以当 或11时， 最小，此时 .
选择③：因为 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 ，则 ，
利用二次函数对称性和开口方向知， 关于 对称，
因为 ，所以当 或6时， .
（2）若选择①或③：由（1）知 ，当 时， ，
所以
.
若选择②：由（1）知 ，且当 时， ，且 ，
所以
.
27．（2024·湖南·二模）记 为等差数列 的前 项和， ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值．
【解析】（1）设等差数列 的首项和公差分别为 、 ，
由题意可知 ，
化简得 ，解得 ，
所以 ．
（2）由（1）知：当 时， ；当 时， ，
所以．
28．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知等差数列 的前n项和为 ，其中 ， ．
(1)求数列 的通项；
(2)求数列 的前n项和为 ．
【解析】（1）设 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ；
（2）因为 ，所以 ，
当 时， ，此时 ，
，
当 时， ，此时 ，
，
综上所述： .
题型九：利用等差数列的单调性求解
29．（2024·高三·山东淄博·期末）设 为等差数列 的前n项和，则“对 ， ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，
若对 ， ，即 ，
若 ，则 ，即 为单调递增数列，又因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以“对 ， ”是“ ”的充要条件.
故选：C
30．（2024·吉林白山·模拟预测）若等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，对任意正整
数 ，都有 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】C
【解析】依题意 ，
又 ，即 ，则
则 ，且 ，
所以等差数列 单调递减， ，
所以对任意正整数 ，都有 ，则 ．
故选，C．
31．已知 是等差数列 的前 项和，且 ， 则（ ）
A．数列 为递增数列 B．
C． 的最大值为 D．
【答案】B
【解析】由
且 ，
所以 ，故B正确；
所以公差 ，
数列 为递减数列，A错误；
由 ， ， ，
所以 ， ，
时， ，
的最大值为 ，故C错误；，故D错误.
故选：B
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
32．（多选题）（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知 是等差数列 的前 n 项和，且 ，
，则下列选项正确的是（ ）
A．数列 为递减数列 B．
C． 的最大值为 D．
【答案】ABC
【解析】设等差数列 的公差为d，
由于 ， ，故 ，
则 ，B正确；
，则数列 为递减数列，A正确，
由以上分析可知 ， 时， ，
故 的最大值为 ，C正确；
，D错误，
故选：ABC
33．（多选题）公差为 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． B． 时， 的最小值为2022
C． 有最大值 D． 时， 的最大值为4043
【答案】CD
【解析】对于 ：由 可得 ，
故等差数列 的公差 ，故A错误；
对于B：由A得，数列为单调递减数列，且 ，故 时，
的最小值为2023，故B错误；
对于C：由A得， ，故 是关于 的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值，故C正确；
对于D：因为数列 的前2022项均为正数，
且 ，
，
时， 的最大值为4043，故D正确
故选：CD
34．（多选题）已知数列 的前 项和 ， ，数列 的前 项和 满足
对任意 恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A． B．当 为奇数时，
C． D． 的取值范围为
【答案】AC
【解析】当 时， ，当 时， ，适合上式，所以
，故A正确；
所以 ，
当 为奇数时，
，故B错误；
当 为偶数时，
，
所以 ，故C正确；
当 为奇数时， ，
若 ，则 ，即 ，所以 ，而 ，即 ；
当 为偶数时，则 得 ，
即 ，而 ，即 ，
综上所述， ，故D错误.
故选：AC.
1．（2024·陕西西安·三模）如图，用相同的球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，
且只有1个球；第2堆有2层4个球，其中第1层有1个球，第2层有3个球；…；第n堆有n层共 个球，
第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…．已知 ，则 （ ）
A．2290 B．2540 C．2650 D．2870
【答案】D
【解析】在第 堆中，从第2层起，第n层的球的个数比第 层的球的个数多n，
记第n层球的个数为 ，则 ，
得 ，
其中 也适合上式，则 ，
在第n堆中，
，当 时， ，解得 .
故选：D.
2．（2024·广东东莞·模拟预测）等差数列 和等比数列 都是各项为正实数的无穷数列，且 ，
， 的前n项和为 ， 的前n项和为 ，下列判断正确的是（ ）
A． 是递增数列 B． 是递增数列
C． D．
【答案】D
【解析】设数列 和数列 均为常数列 ，所以排除A，B，C，选D，
对于D，设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由 ，可知 ，故 ，
由 ，可知 ，又由 ， ，有 ，故 ，
且 ，
故 ，即 ，
所以 ，故 ，
所以 .
故选：D
3．（2024·山西阳泉·三模）已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦函数性质知，当 ，即 时，函数 取得极大值，
则 ，由等差数列性质，得 ，
所以 .
故选：D
4．（2024·浙江·模拟预测）已知实数 构成公差为d的等差数列，若 ， ，则d的取值范
围为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，所以设 ， ，
则 ，所以 ，
构造函数 ， ，
当 时， ，所以此时 单调递减，
当 时， ，所以此时 单调递增，
所以 的最小值为 ，
当b趋近于 时， 趋近于 ，当b从负方向趋近于 时， 也趋近于 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
5．（2024·浙江·三模）已知等差数列 的前n项和为 ，“ ”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ，得 ；
当 时， ，得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件，
故选：C．
6．（2024·青海海西·模拟预测）前 项和为 的等差数列 中，若 ，则 （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由 ，可得 ．
故选：A．
7．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数 ，公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A．1012 B．2024 C．3036 D．4048
【答案】D
【解析】根据题意，函数 ， ，故 图象关于直线
对称，
由 ，可知 ，即 ，
所以 ．
故选：D．
8．（2024·四川攀枝花·三模）数列 的前 项和为 ， ， ，设 ，
则数列 的前51项之和为（ ）
A． B． C．49 D．149
【答案】B
【解析】因为 ，
当 时， ，
即 ，
可得 ，又 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，则 ，
当 时 ，
所以 ，当 时 也成立，
所以 ，
可得数列 的前 项之和为 ．
故选：B．
9．（多选题）（2024·山西吕梁·三模）已知等差数列 的首项为 ，公差为 ，前 项和为 ，若
，则下列说法正确的是（ ）
A．当 最大
B．使得 成立的最小自然数
C．D． 中最小项为
【答案】BD
【解析】根据题意： ，即 ，
两式相加，解得： ，当 时， 最大，故A错误
由 ，可得到 ，所以 ，
，
所以 ，故C错误；
由以上可得： ，
，而 ，
当 时， ；当 时， ；
所以使得 成立的最小自然数 ，故B正确.
当 ，或 时， ；当 时， ；
由 ，
所以 中最小项为 ，故D正确.
故选：BD.
10．（多选题）（2024·湖南益阳·三模）已知 是等比数列， 是其前n项和，满足 ，则下
列说法正确的有（ ）
A．若 是正项数列，则 是单调递增数列
B． 一定是等比数列
C．若存在 ，使 对 都成立，则 是等差数列
D．若 ，且 ， ，则 时 取最小值
【答案】ACD
【解析】对于A，设数列 的公比为 ，由 可得， ，
因 ，则得 ，解得 或 ，因 是正项数列，故 ， ，故 是单调递增数列，即A正确；
对于B，由上分析知， 或 ，
当 时， ，
此时，若 为偶数，则 都是0，故不符合，即B错误；
对于C，若 ，则 是递增数列，
此时不存在 ，使 对 都成立；
若 时，易得 ，故存在 ，使得 对 都成立，
此时 为常数列，故 是公差为0的等差数列，故C正确；
对于D，因 ， ，故由上分析知 ，
则 ，
由 ，
当 时， ，故 ，数列 递减，且 ；
当 时， ，故 ，数列 递增，且 ；
则当 时， 取最小值，故D正确.
故选：ACD.
11．（多选题）（2024·重庆·模拟预测）已知数列 ， ，记 ， ，
若 且 则下列说法正确的是（ ）
A． B．数列 中的最大项为
C． D．
【答案】BD
【解析】对于A，由已知 ，
当 时， ，即 ， ，当 时， ，即 ，
所以 ，即 ，
所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，
所以 ，即 ，A选项错误；
对于B，所以 ， ，且数列 单调递减，
所以数列 中的最大项为 ，B选项正确；
对于C， ，
，
所以 ，C选项错误；
对于D，又 ，所以 ，即 ，D选项正确；
故选：BD.
12．（2024·浙江绍兴·三模）记 为正项数列 的前 项积，已知 ，则 ；
．
【答案】 2 2025
【解析】根据题意令 ，可知 ，又数列 的各项均为正，即 ；
解得 ；
由 可得 ，
即 ，可得 ；
所以数列 是以 为首项，公差为 的等差数列；
因此 ，
所以 .
故答案为：2；2025.
13．（2024·湖北襄阳·模拟预测）蚊香具有悠久的历史，我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关，如图
为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下：在水平直线上收长度为1的线段 ，作一个等边
三角形 ，然后以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 （第一段圆弧），再以点 为圆心， 为半径逆时针画圆弧交线段 的延长线于点 ，再以点 为圆心， 为半径逆时
针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时，“蚊香”的长度为 .
【答案】
【解析】由题意可知：每段圆弧的圆心角为 ，
设第 段圆弧的半径为 ，则可得 ，
故数列 是以首项 ，公差 的等差数列，
则 ，
则“蚊香”的长度为
.
故答案为： .
14．（2024·上海·三模）已知两个等差数列2，6，10，…，202和2，8，14，…，200，将这两个等差数列
的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 ．
【答案】
【解析】等差数列2，6，10，…，202中，公差 ；等差数列2，8，14，…，200中，公差 ，
和 的最小公倍数为 ，
所以新数列 的公差 ，首项 ，所以 ，
令 ，解得 ，故新数列共有 项，
所以新数列的各项之和为 ，
故答案为：
15．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前10项和.
【解析】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，则 ，
化简整理，得 ，
解得 ，
.
（2）由（1）可得， ，
则 ，
数列 的前10项和为：
.
16．（2024·重庆九龙坡·三模）已知 是等差数列 的前 项和， ，数列 是公比大于1
的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求使 取得最大值时 的值.
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ，
设等比数列 的公比为 ，
则 ，解得 ，
所以 ；（2）由（1）得 ，
则 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以当 或 时， 取得最大值.
17．（2024·贵州六盘水·三模）已知 为等差数列，且 ， ．
(1)求 的通项公式；
(2)若 恒成立，求实数λ的取值范围．
【解析】（1）设数列 的公差为d，则根据题意可得 ，
解得 ，则 ．
（2）由（1）可知运用等差数列求和公式，得到 ，
又 恒成立，则 恒成立，
设 ，则 ，
当 时， ，即 ；
当 时， ，则 ，则 ；
则 ，故 ，
故实数λ的取值范围为 ．
18．（2024·山东青岛·二模）已知数列 满足 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最小值.
【解析】（1）数列 中， ， ，当 时， ，则 ，由 ，得 ，
当 为正奇数时，数列 是首项为3，公差为4的等差数列，
则 ，即 ，
当 为偶奇数时，数列 是首项为5，公差为4的等差数列，
则 ，即 ，即 ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，显然数列 是首项为 ，公比 的等比数列，
则 ，由 ，得 ，整理得 ，
而数列 是递增数列， ，因此 ，
所以 的最小值为5.
19．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列 的前n项积为 ，数列 满足 ，
（ ， ）．
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)将数列 ， 中的公共项从小到大排列构成新数列 ，求数列 的通项公式．
【解析】（1） ， ，
当 时， ，
当 时， ，即 ，
而 ，满足上式，
所以数列 的通项公式为 ；
若数列 满足 ， （ ， ），
则 ，
从而数列 的通项公式为 ；
（2）令 ，解得 ，这表明 ，
从而只能 ，
所以 ，所以数列 的通项公式为 .
20．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数 的所有正零点构成递增数列
．
(1)求函数 的周期和最大值；
(2)求数列 的通项公式 及前 项和 ．
【解析】（1）由题可得 ，
因此函数 的周期 ，
当 ，即 时，取最大值，最大值为 ．
（2）由 得 ，
因此函数 的所有正零点为 ，
， ，因此 是首项为 ，公差为1的等差数列；
，
1．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙：
为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C
【解析】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，
因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
2．（2022年新高考全国II卷数学真题）图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相
邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中
是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ．已
知 成公差为0.1的等差数列，且直线 的斜率为0.725，则 （ ）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】设 ，则 ，
依题意，有 ，且 ，
所以 ，故 ，
故选：D
3．（2022年新高考北京数学高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是
“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，
若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
4．（2024年北京高考数学真题）设 与 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合
，给出下列4个结论：
①若 与 均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若 与 均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若 为等差数列， 为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若 为递增数列， 为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【解析】对于①，因为 均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故 中至多一个元素，故①正确.
对于②，取 则 均为等比数列，
但当 为偶数时，有 ，此时 中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设 ， ，
若 中至少四个元素，则关于 的方程 至少有4个不同的正数解，
若 ，则由 和 的散点图可得关于 的方程 至多有两个不同的解，矛
盾；
若 ，考虑关于 的方程 奇数解的个数和偶数解的个数，
当 有偶数解，此方程即为 ，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时 ，
否则 ，因 单调性相反，
方程 至多一个偶数解，
当 有奇数解，此方程即为 ，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时 即
否则 ，因 单调性相反，
方程 至多一个奇数解，
因为 ， 不可能同时成立，故 不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为 为递增数列， 为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故答案为：①③④.
5．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则
.
【答案】95
【解析】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
6．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（江西卷））在等差数列 中， ，公差为 ，
前 项和为 ，当且仅当 时 取最大值，则 的取值范围 ．
【答案】
【解析】由题意得： ，所以 ，解得 ，
故答案为： ．
7．（2023年北京高考数学真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码
的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列 ，
该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；数列
所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【解析】方法一：设前3项的公差为 ，后7项公比为 ，
则 ，且 ，可得 ，
则 ，即 ，可得 ，
空1：可得 ，
空2：方法二：空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
故答案为：48；384.
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差
．
【答案】2
【解析】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）记 为等差数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【解析】（1）设等差数列的公差为 ，
由题意可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，
（2）因为 ，
令 ，解得 ，且 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，则 ，可得
；综上所述： .
10．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设等差数列 的公差为 ，且 ．令 ，记
分别为数列 的前 项和．
(1)若 ，求 的通项公式；
(2)若 为等差数列，且 ，求 ．
【解析】（1） ， ，解得 ，
，
又 ，
，
即 ，解得 或 （舍去），
.
（2） 为等差数列，
，即 ，
，即 ，解得 或 ，
， ，
又 ，由等差数列性质知， ，即 ，
，即 ，解得 或 （舍去）
当 时， ，解得 ，与 矛盾，无解；
当 时， ，解得 .
综上， .
11．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数
列 ， 的前n项和， ， ．(1)求 的通项公式；
(2)证明：当 时， ．
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，
则 ，
于是 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，
当 为奇数时，若 ，则
，显然 满足上式，因此当 为奇数时， ，
当 时， ，因此 ，
所以当 时， .
12．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）记 为数列 的前n项和．已知 ．(1)证明： 是等差数列；
(2)若 成等比数列，求 的最小值．
【解析】（1）因为 ，即 ①，
当 时， ②，
① ②得， ，
即 ，
即 ，所以 ， 且 ，
所以 是以 为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
所以，当 或 时， ．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得 ， ， ，
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，解得 ，
所以 ，即有 .
则当 或 时， ．
【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出 的最小值，适用于可以求出 的表达式；
法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．
